理學(xué)狀態(tài)反饋

1.5線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合1.5.1常用反饋結(jié)構(gòu)及其對系統(tǒng)特性的影響1.5.2系統(tǒng)的極點配置1.5.4狀態(tài)觀測器及其設(shè)計1.5.3狀態(tài)反饋動態(tài)解耦

在控制理論中，反饋結(jié)構(gòu)是系統(tǒng)設(shè)計的主要方式。對輸入輸出模型，只能采用輸出反饋；因狀態(tài)空間模型能夠提供系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)信息，所以，能夠采用狀態(tài)反饋，對系統(tǒng)進行更細致的控制。

系統(tǒng)的綜合：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，設(shè)計控制規(guī)律u，使系統(tǒng)在其作用下的行為滿足所給出的期望的性能指標。

性能指標可分為非優(yōu)化型性能指標和優(yōu)化型性能指標。1.5.1常用反饋結(jié)構(gòu)及其對系統(tǒng)特性的影響

一兩種常用反饋結(jié)構(gòu)在系統(tǒng)的綜合設(shè)計中，常用的反饋形式是狀態(tài)反饋和輸出反饋。

1狀態(tài)反饋

設(shè)系統(tǒng)為式中v是參考輸入；K∈Rp×n是定常反饋矩陣。引入狀態(tài)的線性反饋狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)反饋(閉環(huán))系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為特征多項式：傳遞函數(shù)矩陣：uxy++B∫CAK+-v2輸出反饋引入輸出向量的線性反饋輸出反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖輸出反饋(閉環(huán))系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為特征多項式：傳遞函數(shù)矩陣：F是p×q維實反饋增益矩陣。v+-Fuxy++B∫CA3.狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)與輸出反饋結(jié)構(gòu)比較相同點：1)無論是狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)還是輸出反饋結(jié)構(gòu)都使閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣不同于原系統(tǒng)矩陣A。2)狀態(tài)反饋是一種完全的系統(tǒng)信息反饋，輸出反饋則是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的一種不完全反饋。3)設(shè)計者可以通過選取適當?shù)姆答伨仃嘖或F來改變系統(tǒng)的特性，達到設(shè)計要求。不同點：輸出反饋能完成的設(shè)計任務(wù),狀態(tài)反饋必然能夠完成；狀態(tài)反饋能完成的設(shè)計任務(wù),輸出反饋不一定能完成。二反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)性能的影響1對系統(tǒng)的可控性和可觀測性的影響定理：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性，但可能改變系統(tǒng)的可觀測性。證明：可控性不變

狀態(tài)反饋改變系統(tǒng)的極點(特征值)，若發(fā)生零點與極點抵消情況，則改變系統(tǒng)的可觀性。

若采用的狀態(tài)反饋是閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例：可控可觀測系統(tǒng)可控性判別矩陣閉環(huán)系統(tǒng)為閉環(huán)系統(tǒng)是不完全可觀測，其傳遞函數(shù)為可觀測性判別矩陣定理：輸出反饋不改變系統(tǒng)可控性可觀性。證明：可控性不變可觀性不變2.反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響可鎮(zhèn)定性：如果采用反饋措施能夠使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，稱該系統(tǒng)是反饋可鎮(zhèn)定的。狀態(tài)反饋和輸出反饋都改變系統(tǒng)的特征值，故都影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。鎮(zhèn)定：加入反饋，使得通過反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)成為穩(wěn)定系統(tǒng)，稱之為鎮(zhèn)定。

由于狀態(tài)反饋具有許多優(yōu)越性，而且輸出反饋總可以找到與之性能等同的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，故在此只討論狀態(tài)反饋的可鎮(zhèn)定性問題。對于線性定常受控系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋控制律使得通過反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即（A-BK）的特征值均具有負實部，則稱系統(tǒng)實現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。定理：當線性定常系統(tǒng)的不可控部分漸近穩(wěn)定時，系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。

證明：設(shè)系統(tǒng){A,

B}不完全可控，其結(jié)構(gòu)分解為對于任意的狀態(tài)反饋矩陣，得到即狀態(tài)反饋K不能改變不可控極點，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是不可控部分是漸近穩(wěn)定的。

利用狀態(tài)反饋和輸出反饋使閉環(huán)系統(tǒng)的極點位于所希望的極點位置，稱為極點配置。狀態(tài)反饋和輸出反饋都能配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點。

狀態(tài)反饋K不能改變不可控部分的極點，但能夠任意配置可控部分的極點。

輸出反饋F也只能配置可控部分的極點，但不一定能實現(xiàn)期望極點的任意配置；肯定不能將極點配置到系統(tǒng)的零點處。1.5.2系統(tǒng)的極點配置一單輸入系統(tǒng)的極點配置

定理1

對n階單輸入線性定常系統(tǒng)，通過狀態(tài)反饋，實現(xiàn)系統(tǒng)全部n個極點任意配置的充要條件是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。1極點可配置條件證明：設(shè)系統(tǒng){A,

b}完全可控，其可控標準形為

其中：

引入狀態(tài)反饋：則閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為

由閉環(huán)特征多項式與期望特征多項式相等據(jù)期望極點，得到期望特征多項式得到n個簡單的代數(shù)方程，即可計算出可控標準形的狀態(tài)反饋矩陣，進而得到必要性：已知極點可任意配置，欲證（A,b）可控。反證法。如果系統(tǒng)（A,b）不可控，說明系統(tǒng)的有些狀態(tài)將不受u的控制，則引入狀態(tài)反饋時就不可能通過控制k來影響不可控的極點。設(shè)不完全可控系統(tǒng){A,

B}為參考題能否找到狀態(tài)反饋矩陣K，使閉環(huán)特征值配置到提示：對系統(tǒng)作可控性結(jié)構(gòu)分解，得到系統(tǒng)有一下列位置：{-2，-2，-1，-1}；{-2，-2，-2，-1}；{-2，-2，-2，-2}。個不可控特征值-1。

給定可控系統(tǒng)(A,b,c)和一組期望的閉環(huán)特征值,要確定(1×n)維的反饋增益向量k,使閉環(huán)系統(tǒng)矩陣(A-bk)的特征值為。☆通用的計算方法(※)：設(shè)(1)計算期望的特征多項式：2單輸入系統(tǒng)的極點配置算法(2)用待定系數(shù)計算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：(3)由下列n個方程計算反饋矩陣k的元素：注意：系統(tǒng)完全可控，單輸入系統(tǒng)的極點配置有唯一解；系統(tǒng)不完全可控，若期望極點中包含所有不可控極點，極點配置有解，否則無解。例已知線性定常系統(tǒng){A,B}為求反饋向量K，使系統(tǒng)的閉環(huán)特征值為解：

(1)計算A的特征多項式:(2)計算期望的特征多項式:

計算(可控標準型)反饋矩陣:☆完全可控系統(tǒng)極點配置的規(guī)范計算方法(5)計算原系統(tǒng)的反饋增益陣：(4)計算變換矩陣P:例已知線性定常系統(tǒng){A,B}為求反饋向量K，使系統(tǒng)的閉環(huán)特征值為解：(1)判斷系統(tǒng)的能控性所以系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可以利用狀態(tài)反饋任意配置特征值。(2)計算期望的特征多項式:

將（A,B）轉(zhuǎn)化成能控規(guī)范形(4)計算實際特征多項式(5)比較兩特征多項式，得(4)計算K二多輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點配置（1）循環(huán)矩陣循環(huán)矩陣定義：矩陣A的特征多項式等于其最小多項式；循環(huán)矩陣性質(zhì)：當且僅當A的約當標準型中相應(yīng)于每個不同的特征值僅有一個約當小塊時，A為循環(huán)矩陣。1直接法

若A的n個特征值兩兩互異，則A為循環(huán)矩陣；若A為循環(huán)矩陣，則至少存在一個n維列向量b，使{A,b}可控；循環(huán)矩陣相關(guān)定理：

定理1：若系統(tǒng){A,B}完全能控，且A為循環(huán)矩陣，則幾乎對任意的實向量，單輸入系統(tǒng){A,Bρ}狀態(tài)完全能控。

定理3：對n階多輸入線性定常系統(tǒng)，通過狀態(tài)反饋，實現(xiàn)系統(tǒng)全部n個極點任意配置的充要條件是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。

定理2：若A不是循環(huán)矩陣，且系統(tǒng){A,B}完全能控，則幾乎對任意的矩陣，A-BK的全部特征值均不相同，因而A-BK是循環(huán)矩陣。（2）多輸入系統(tǒng)極點配置算法[直接法]

第1步：判斷矩陣A是否為循環(huán)矩陣。若不是，則引入一狀態(tài)反饋使得系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為循環(huán)矩陣，即。第2步：對循環(huán)矩陣，適當選取實常向量，令：，使為狀態(tài)完全能控。第3步：對于等價單輸入系統(tǒng)，利用單輸入極點配置問題的算法，求出狀態(tài)增益向量第4步：當A為循環(huán)矩陣時，所求的增益矩陣為：當A為非循環(huán)矩陣時，所求的增益矩陣為：例1已知二輸入線性定常系統(tǒng)要求確定狀態(tài)反饋增益矩陣，使閉環(huán)系統(tǒng)的特征值配置在－1,－2,－3。解根據(jù)約當規(guī)范形能控性判據(jù)可知，本系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，因此，可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)極點的任意配置。由于矩陣的不同的特征值對應(yīng)一個約當塊，因此，為循環(huán)矩陣。令

所以，系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控。下面，針對單輸入系統(tǒng)，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，使相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的特征值配置在－1,－2,－3。首先化為能控規(guī)范形。矩陣的特征多項式為：

引入線性非奇異變換，將系統(tǒng)化為能控規(guī)范形：對實施狀態(tài)反饋：，這里。則閉環(huán)系統(tǒng)實際特征多項式為：(20)閉環(huán)系統(tǒng)期望的特征多項式為：(21)比較式(20)和(21)得

對實施狀態(tài)反饋：則閉環(huán)系統(tǒng)實際特征多項式為：閉環(huán)系統(tǒng)期望的特征多項式為：比較式(20)和(21)得

比較兩式，得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣：因此，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

多輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣為：因此，，而原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣：多輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣為：因此，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

2李亞普諾夫方程法

給定完全能控的多輸入線性定常系統(tǒng)

和一組任意的期望閉環(huán)特征值，要求通過狀態(tài)反饋，使閉環(huán)系統(tǒng)的特征值。同時要求：第1步：任選n×n矩陣F，要求F的特征值為期望的特征值。第2步：選取一個p×n實常值矩陣，使為狀態(tài)完全能觀。第3步：對給定矩陣A，B，F(xiàn)和，解李亞普諾夫方程：確定出唯一n×n的解矩陣T。第4步：若T為非奇異的，則所確定的狀態(tài)反饋矩陣K為：若T為奇異矩陣，則返回步驟2重新選擇。3能控規(guī)范形法

給定完全能控的多輸入線性定常系統(tǒng)

和一組任意的期望閉環(huán)特征值，要求通過狀態(tài)反饋，使閉環(huán)系統(tǒng)的特征值。

以n=9，p=3為例。第1步：將系統(tǒng){A,B}化為龍伯格能控規(guī)范形。第2步：將期望的閉環(huán)特征值，按龍伯格能控規(guī)范形中的對角塊個數(shù)和維數(shù)，分組并計算每組對應(yīng)多項式。第3步：對龍伯格能控規(guī)范形，按如下形式選取p×n狀態(tài)反饋矩陣。第4步：計算所求狀態(tài)反饋增益矩陣K。三狀態(tài)反饋對傳遞函數(shù)矩陣的影響

結(jié)論：對狀態(tài)完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點不發(fā)生改變，極點可能發(fā)生改變。1單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)

結(jié)論：對狀態(tài)完全能控的多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)反饋在配置傳遞函數(shù)矩陣全部n個極點的同時，一般不影響G(s)的零點。2多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)

G(s)的零點：對既能控又能觀的系統(tǒng)，滿足的所有s的值。四輸出反饋的極點配置

結(jié)論：對完全能控的n階單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)：采用輸出反饋：u=v-fy=v-fcx只能使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置到根軌跡上，而不能配置到根軌跡以外的位置上。1.5.3狀態(tài)反饋動態(tài)解耦0

解耦控制：對多輸入-多輸出系統(tǒng)，通過一定的控制算法，使系統(tǒng)的每個輸入都可單獨地影響每個輸出，即使系統(tǒng)的輸入和輸出之間一一對應(yīng)。uxy++B∫CA+vK-L0一動態(tài)解耦

對多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)在以下三個假設(shè)的前提下輸入向量的維數(shù)等于輸出向量的維數(shù)，即p=q;

解耦控制算法采用狀態(tài)反饋結(jié)合輸入變換的方法，即u=-Kx+Lv;

輸入變換矩陣L為非奇異。0通過u=-Kx+Lv，可以實現(xiàn)系統(tǒng)的動態(tài)解耦，得到的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：其閉環(huán)傳遞函數(shù)陣為非奇異對角有理分式矩陣：0二傳遞函數(shù)矩陣的兩個特征量1結(jié)構(gòu)特性指數(shù)和結(jié)構(gòu)特性向量的定義

對p×p的傳遞函數(shù)陣，表示0結(jié)構(gòu)特性指數(shù)：結(jié)構(gòu)特性向量：02結(jié)構(gòu)特性指數(shù)和結(jié)構(gòu)特性向量的性質(zhì)

結(jié)構(gòu)特性指數(shù)為非負整數(shù)，取值范圍為

可由狀態(tài)空間描述參數(shù)矩陣直接求和：0

對真有理分式陣G(s)，其結(jié)構(gòu)特性向量為

1×p的常向量。

引入狀態(tài)反饋和輸入變換后閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征量為：0

對任意矩陣對{L,K}，其中detL≠0，開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的特征量之間存在如下關(guān)系：0三可解耦條件結(jié)論1：對線性定常系統(tǒng)，利用狀態(tài)反饋和輸入變換實現(xiàn)動態(tài)解耦的充要條件為：為非奇異矩陣。0結(jié)論2(積分型解耦)：設(shè)線性定常系統(tǒng)滿足可解耦條件，選取解耦控制規(guī)律u=-Kx+Lv，其中：解耦后的系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為：0四確定解耦控制對{K,L}的算法

已知狀態(tài)完全能控的線性定常系統(tǒng)：

要求確定一個狀態(tài)反饋和輸入變換矩陣對{K,L}，使相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)實現(xiàn)動態(tài)解耦，并使解耦后每個單輸入單輸出系統(tǒng)實現(xiàn)期望極點配置。第1步：計算受控系統(tǒng)的特征量第2步：組成并判斷矩陣E的非奇異性，若為非奇異即能解耦，進入下一步；否則不能解耦，停止計算。第3步：計算矩陣第4步：取預(yù)輸入變換矩陣和預(yù)狀態(tài)反饋陣導(dǎo)出積分型解耦系統(tǒng)為：其中：且保持完全能控。第5步：判斷能觀測性。若為不完全能觀測，計算：第6步：引入線性非奇異變換，化積分型解耦系統(tǒng)為解耦規(guī)范形：第7步：由已知和定出。第8步：對解耦規(guī)范形，選取p×n狀態(tài)反饋矩陣，使實現(xiàn)動態(tài)解耦。第9步：對解耦后各單輸入單輸出系統(tǒng)指定期望極點組：按單輸入極點配置算法，定出狀態(tài)反饋矩陣各個元組：第10步：對原系統(tǒng){A,B,C}，定出滿足動態(tài)解耦和期望極點配置的一個狀態(tài)反饋和輸入變換矩陣對{L,K}：狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器：維數(shù)等同于原系統(tǒng)降維狀態(tài)觀測器：維數(shù)小于原系統(tǒng)1.5.4狀態(tài)觀測器及其設(shè)計觀測器的直觀說明xuy∫狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器：維數(shù)等同于原系統(tǒng)降維狀態(tài)觀測器：維數(shù)小于原系統(tǒng)5.5狀態(tài)觀測器及其設(shè)計觀測器的直觀說明uy∫狀態(tài)觀測器321、觀測器的結(jié)構(gòu)形式考慮n維線性時不變系統(tǒng)

要求觀測器系統(tǒng)的輸出滿足如下關(guān)系：

全維狀態(tài)觀測器∫uy狀態(tài)觀測器++∫++

開環(huán)狀態(tài)觀測器（1）開環(huán)狀態(tài)觀測器∫∫GCuy+—狀態(tài)觀測器（2）閉環(huán)狀態(tài)觀測器觀測器的狀態(tài)空間描述為：上式中，G是待確定的常值陣，改寫成：將上圖改為：∫∫Guy2、觀測器存在條件定理：如果{A，C}能觀，則必可采用形如

所示的全維狀態(tài)觀測器來重構(gòu)其狀態(tài)，并且必可通過選擇增益矩陣G任意配置（A-GC）的特征值。

矩陣的轉(zhuǎn)置不改變行列式的值，因此有

可見，（A-GC）的特征值可由L任意配置。證明：若{A,C}能觀，則利用對偶原理知:

是能控的。因而存在狀態(tài)反饋增益矩陣，使3、觀測器綜合算法對于給定的被觀測系統(tǒng)：設(shè){A,C}能觀，觀測器系統(tǒng)的期望特征值為：設(shè)計全維狀態(tài)觀測器。方法一：實用算法（單變量系統(tǒng)）1)計算期望的特征多項式設(shè)反饋增益陣，用待定系數(shù)法計算閉環(huán)觀測系統(tǒng)的特征多項式3）求解下列n個方程，計算出矩陣G的元素4）計算（A-GC）,則所要設(shè)計的全維狀態(tài)觀測器為：

方法二：規(guī)范算法（多變量系統(tǒng)）

1）寫出被觀測系統(tǒng){A，B，C}的對偶系統(tǒng)

{}2）利用狀態(tài)反饋極點配置問題的算法，對

{}確定反饋增益矩陣

3）計算A-GC，即可得出所設(shè)計的觀測器為：并有例：給定系統(tǒng)解：方法一觀測器系統(tǒng)的特征值為：試構(gòu)造全維狀態(tài)觀測器.2）設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為增益矩陣為3）得到4）全維狀態(tài)觀測器為方法二：計算變換矩陣P系統(tǒng)的反饋增益矩陣GT:狀態(tài)觀測器為：4、組合觀測器與狀態(tài)反饋系統(tǒng)特性考慮n維線性時不變系統(tǒng)：并且假設(shè)系統(tǒng)是能觀的，