2024-2025學(xué)年宜豐中學(xué)高三最后一卷數(shù)學(xué)試題理試題含解析

2024-2025學(xué)年宜豐中學(xué)高三最后一卷數(shù)學(xué)試題理試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B．C． D．2．著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，滿足，，，若，則()A．2020 B．4038 C．4039 D．40403．已知命題p:直線a∥b，且b?平面α，則a∥α；命題q:直線l⊥平面α，任意直線m?α，則l⊥m.下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于、兩點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且，則（）A． B．2 C． D．35．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺體的體積公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸6．若，則“”的一個(gè)充分不必要條件是A． B．C．且 D．或7．已知菱形的邊長為2，，則（）A．4 B．6 C． D．8．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣210．復(fù)數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的終邊過點(diǎn)，若，則__________．14．如圖所示的流程圖中，輸出的值為______.15．某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為______.16．若函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.則同時(shí)滿足①②的，的一組值可以分別是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)，且當(dāng)時(shí)，不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，，為拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）若點(diǎn)在線段上，求的最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.20．（12分）（1）已知數(shù)列滿足：，且（為非零常數(shù)，），求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）已知數(shù)列滿足：（?。θ我獾模唬áⅲθ我獾?，，且.①若，求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證：數(shù)列是等比數(shù)列，其中.21．（12分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直，BM∥AN，，，．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)N到平面CDM的距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

作交于點(diǎn)，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點(diǎn)，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.2．D【解析】

計(jì)算，代入等式，根據(jù)化簡得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.3．C【解析】

首先判斷出為假命題、為真命題，然后結(jié)合含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線面平行的判定，我們易得命題若直線，直線平面，則直線平面或直線在平面內(nèi)，命題為假命題；根據(jù)線面垂直的定義，我們易得命題若直線平面，則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直，命題為真命題.故:A命題“”為假命題；B命題“”為假命題；C命題“”為真命題；D命題“”為假命題.故選：C.本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷，考查含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點(diǎn)，由和拋物線的定義可求得，利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點(diǎn)，由拋物線解析式知：，準(zhǔn)線方程為.，，，，由拋物線定義知：，，，.由拋物線性質(zhì)得：，解得：，.故選：.本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.5．B【解析】試題分析：根據(jù)題意可得平地降雨量，故選B.考點(diǎn)：1.實(shí)際應(yīng)用問題；2.圓臺的體積.6．C【解析】，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故“且”是“”的充分不必要條件.選C．7．B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.．8．B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．9．D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦＝（1+2i）（1+ai）=，又因?yàn)閦∈R，所以，解得a＝-2.故選：D本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】所對應(yīng)的點(diǎn)為（-1，-2）位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.11．B【解析】

因?yàn)?所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.12．D【解析】

利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由，解得，即函?shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，增區(qū)間的一個(gè)子集為.故選D.本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值．【詳解】∵的終邊過點(diǎn)，若，．即答案為-2.本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.14．4【解析】

根據(jù)流程圖依次運(yùn)行直到，結(jié)束循環(huán)，輸出n，得出結(jié)果.【詳解】由題：，，，結(jié)束循環(huán)，輸出.故答案為：4此題考查根據(jù)程序框圖運(yùn)行結(jié)果求輸出值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語句.15．【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖：此四棱錐的高為，底面是長為，寬為2的矩形，所以體積.所以本題答案為.本題考查幾何體與三視圖的對應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷.16．，【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)和的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數(shù)及，可取，則，由的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，得，，即，，可取.故，的一組值可以分別是，.故答案為：，.本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）;（2）.【解析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出．【詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1.（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、一元二次方程的解法等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯位相減法求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．18．（1）；（2）.【解析】

（1）通過分類討論去掉絕對值符號，進(jìn)而解不等式組求得結(jié)果；（2）將不等式整理為，根據(jù)能成立思想可知，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可化為，由，解得；由，解得；由，解得．綜上所述：所以原不等式的解集為．（2），，，，有解，，即，又，，實(shí)數(shù)的取值范圍是．本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是明確對于不等式能成立的問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.19．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）由拋物線的性質(zhì)，當(dāng)軸時(shí)，最??；（2）設(shè)點(diǎn)，，分別代入拋物線方程和得到三個(gè)方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解：（1）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，當(dāng)軸時(shí)，最小，最小值為，即為4.（2）由題意，設(shè)點(diǎn)，，其中，.則，①，②因?yàn)椋?，，所?③由①②③，得，由，且，得，解不等式，得點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍為.本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題，考查運(yùn)算能力，此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等，易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解.20．（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】

（1）由條件可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式，即可得到所求；（2）①若，可令，運(yùn)用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可得到所求充要條件；②當(dāng)，，，由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，化簡變形，即可得到所求結(jié)論．【詳解】解：（1），，且為非零常數(shù)，，，可得，可得數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，可得，前項(xiàng)和為；（2）①若，可令，，且，即，，，，對任意的，，可得，可得，，數(shù)列是等比數(shù)列，則，，可得，，即，又，即有，即，數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為；②證明：對任意的，，，，，當(dāng)，，，可得，即以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列；同理可得以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列；對任意的，，可得，即有，所以對，，，可得，，即且，則，可令，故數(shù)列，，，，，，，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其中．本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查分類討論思想方法和推理、運(yùn)算能力，屬于難題．21．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，證明平面得到答案.（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，為平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，，，，為直角，，平面，平面，∴面面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可取為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則，其中，，不妨取，則..為銳二面角，∴二面角的余弦值為.本題考查了面面垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.22．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）因?yàn)檎叫蜛BCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，平面平面，，