安徽省亳州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

亳州市2023-2024學(xué)年下學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)（人教版）本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．考生注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若是離散型隨機變量，則（）A. B. C.0 D.2.函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.某市旅游局對全市各旅游景區(qū)的環(huán)境進行綜合治理，投入不同數(shù)額的經(jīng)費（千萬元），得到各旅游景區(qū)收益的增加值（萬元），對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：投人的治理經(jīng)費（單位：千萬元）1234567收益的增加值（單位：萬元）2325779若與的回歸直線方程為，則相應(yīng)于點的殘差是（）A. B.0.358 C. D.8.6424.函數(shù)在上（）A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.有增有減 D.無法判定5.某班新年聯(lián)歡會原定5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為A.42 B.30 C.20 D.126.已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)．若曲線在點處的切線方程是，則的值是（）A. B. C. D.7.甲乙兩人分別擲兩枚骰子，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和是3的倍數(shù)，則由原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則由對方接著擲．第一次擲由甲開始，設(shè)第次由甲擲的概率為，則與之間的關(guān)系是（）A B.C. D.8.設(shè)分別是離心率為的橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，且，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.把一個正態(tài)曲線沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線，下列說法中正確的是（）A.曲線仍然是正態(tài)曲線B.曲線和曲線的最高點的縱坐標(biāo)相等C.以曲線為概率密度曲線的總體的期望比以曲線為概率密度曲線的總體的期望小2D.以曲線為概率密度曲線的總體的方差比以曲線為概率密度曲線的總體的方差大210.已知數(shù)列的前項和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C. D.是遞增數(shù)列11.“曼哈頓距離”是由赫爾曼-閔可夫斯基使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語．在平面直角坐標(biāo)系中，點的曼哈頓距離為：．若點，點為圓上一動點，則（）A.點和點的曼哈頓距離為3B.設(shè)，則C.的最大值為D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，則的值是___________13.在二項式的展開式中，所有項的系數(shù)和為，則此二項式展開式中二項式系數(shù)之和是___________．14.若不等式對任意恒成立，則整數(shù)的最大值是___________．四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)底數(shù)．（1）求的極值；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．16.如圖，在四棱錐中，底面矩形垂直于側(cè)面，且分別是棱的中點，．（1）證明：平面；（2）若，求二面角正弦值．17.已知為坐標(biāo)原點，是拋物線上與點不重合任意一點．（1）設(shè)拋物線的焦點為，若以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點，且的面積為，求圓的方程；（2）若是拋物線上的另外一點，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個定點．18.某市一些企業(yè)，由于沒有技術(shù)更新業(yè)務(wù)受到形響，資金出現(xiàn)缺額，銀行將給予低息貸款的扶持．銀行制定了評分標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)對這些企業(yè)進行評估，然后依據(jù)企業(yè)評估得分將這些企業(yè)分別定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個等級，并根據(jù)等級分配相應(yīng)的低息貸款數(shù)額．為了更好地掌握貸款總額，銀行隨機抽查了部分企業(yè)，得到以下兩個圖表數(shù)據(jù)．評估得分評定類型不合格合格良好優(yōu)秀貸款金額（萬元）0200400800（1）任抽一家企業(yè)，求抽到的等級是優(yōu)秀或良好的概率（將頻率近似看做概率）；（2）對照上表給出的標(biāo)準(zhǔn)，這些企業(yè)進行了整改．整改后，優(yōu)秀企業(yè)數(shù)量不變，不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量成等差數(shù)列．要使這些企業(yè)獲得貸款的數(shù)學(xué)期望不低于410萬元，求整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)百分比的最大值．19.特征根方程法是求一類特殊遞推關(guān)系數(shù)列通項公式的重要方法．一般地，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式可以按以下步叕求解：①對應(yīng)的方程為，該方程有兩個不等的實數(shù)根；②令，其中為常數(shù)，利用求出，可得的通項公式．滿足的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在非零實數(shù)，使得為等比數(shù)列，求的值；（3）判定是數(shù)列的第幾項，寫出推理過程．亳州市2023-2024學(xué)年下學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)（人教版）本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．考生注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若是離散型隨機變量，則（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)計算即可.【詳解】.故選：C.2.函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知在開區(qū)間內(nèi)有個零點，，分析導(dǎo)函數(shù)再零點左右的導(dǎo)數(shù)值（正、負），即可判斷函數(shù)的極值點，從而得解.【詳解】從圖形中可以看出，在開區(qū)間內(nèi)有個零點，，在處的兩邊左正、右負，取得極大值；在處的兩邊左負、右正，取值極小值；在處的兩邊都為正，沒有極值；在處的兩邊左正、右負，取值極大值．因此函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極小值點只有一個．故選：A．3.某市旅游局對全市各旅游景區(qū)的環(huán)境進行綜合治理，投入不同數(shù)額的經(jīng)費（千萬元），得到各旅游景區(qū)收益的增加值（萬元），對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：投人的治理經(jīng)費（單位：千萬元）1234567收益的增加值（單位：萬元）2325779若與的回歸直線方程為，則相應(yīng)于點的殘差是（）A. B.0.358 C. D.8.642【答案】B【解析】【分析】先算出，代入回歸直線方程為，可得，進而得到回歸直線方程，當(dāng)時，求出，算出殘差即可.【詳解】，所以，當(dāng)時，，因此殘差為．故選：B．4.函數(shù)在上（）A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.有增有減 D.無法判定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可分析函數(shù)單調(diào)性.【詳解】因為，函數(shù)在上單調(diào)遞減．故選：B．5.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為A.42 B.30 C.20 D.12【答案】A【解析】【詳解】原定的5個節(jié)目之間有6個位．當(dāng)插入的這兩個新節(jié)目在一起時，有插法；當(dāng)插入的這兩個新節(jié)目不在一起時，有插法，所以總的不同插法的種數(shù)為種．故選：A．【點睛】關(guān)于排列和組合的題目，常用到捆綁法和插位法．捆綁法是將一些對象看作一個對象進行排列；插位法是將一些對象進行排列后，再對剩下的對象進行排列．6.已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)．若曲線在點處的切線方程是，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在某點的切線方程得到在點處的切線方程可表示為：，再由切線方程是，建立方程組求解.【詳解】因為，所以．在點處的切線方程可表示為：，又因為曲線在點處的切線方程是，所以解得．故選：C.7.甲乙兩人分別擲兩枚骰子，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和是3的倍數(shù)，則由原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則由對方接著擲．第一次擲由甲開始，設(shè)第次由甲擲的概率為，則與之間的關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】據(jù)題意列出第次由甲擲的兩種情況，根據(jù)互斥事件判斷可得到答案.【詳解】第次由甲擲應(yīng)該有兩種情況：①第次由甲擲，第次繼續(xù)由甲擲，此時概率為；②第次由乙擲，第次由甲擲，此時概率為．由于這兩種情況是互斥的，因此與之間的關(guān)系式是，其中．故選：C．8.設(shè)分別是離心率為的橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義結(jié)合余弦定理代入計算，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】因為，所以．設(shè)，則．在中，．在中，，所以，整理得，．于是．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.把一個正態(tài)曲線沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線，下列說法中正確的是（）A.曲線仍然是正態(tài)曲線B.曲線和曲線的最高點的縱坐標(biāo)相等C.以曲線為概率密度曲線的總體的期望比以曲線為概率密度曲線的總體的期望小2D.以曲線為概率密度曲線的總體的方差比以曲線為概率密度曲線的總體的方差大2【答案】AB【解析】【分析】利用正態(tài)分布的圖象與性質(zhì)判定即可.【詳解】密度函數(shù)，向右移動2個單位后，密度函數(shù)，曲線b仍然是正態(tài)曲線，最高點的縱坐標(biāo)不變,故AB正確；以曲線b為概率密度曲線的總體的期望值為，故C錯誤；以曲線為概率密度曲線的總體的方差不變．故D錯誤；故選:AB．10.已知數(shù)列的前項和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C. D.是遞增數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】由題中條件可得，判斷A；通過兩式相減的，變形可得出，判斷B；根據(jù)求和公式結(jié)合作差法比較大小判斷C，D；【詳解】對于A，由得，，所以．A正確；對于B，將與整體相減得，，所以，又，即，所以．因此不是等比數(shù)列，B錯誤；對于C,因為，所以當(dāng)時，．當(dāng)時，．當(dāng)時，，因此,C正確；對于D，因，所以，所以，因此是遞增數(shù)列，D正確；故選:ACD．11.“曼哈頓距離”是由赫爾曼-閔可夫斯基使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語．在平面直角坐標(biāo)系中，點的曼哈頓距離為：．若點，點為圓上一動點，則（）A.點和點的曼哈頓距離為3B.設(shè)，則C.的最大值為D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)“曼哈頓距離”即可去判斷選項A，根據(jù)，分類討論去絕對值結(jié)合輔助角公式可求判斷選項B，C，D.【詳解】對A，，A對；因為，所以，B對；當(dāng)，即時，的最大值為．滿足，當(dāng)，即時，的最大值為．滿足，則C錯，D對，故選ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，則的值是___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項分布的方差公式求得，再結(jié)合方差的性質(zhì)公式得出結(jié)果.【詳解】因為，所以．故答案為：.13.在二項式展開式中，所有項的系數(shù)和為，則此二項式展開式中二項式系數(shù)之和是___________．【答案】【解析】【分析】令，利用各項系數(shù)和求出，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】在二項式的展開式中，令，得，，即，，解得，，所以二項式系數(shù)和為．故答案為：16.14.若不等式對任意恒成立，則整數(shù)的最大值是___________．【答案】3【解析】【分析】將不等式化為，令，將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切，進而求不等式的最值即可.【詳解】不等式就是，令，顯然直線過定點，因為的定義域為，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，可以畫出曲線的草圖（如圖），由圖象可知，直線的極限位置是與曲線相切，設(shè)切點是，則切線方程是，將點代入得，，即，則，令，則在內(nèi)單調(diào)遞增，又因為，在中，于是，故整數(shù)的最大值是3.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)恒成立問題，直線與曲線相切應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用以及函數(shù)最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想，是一道難題．四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求的極值；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）．【解析】【分析】（1）先對函數(shù)進行求導(dǎo)，對參數(shù)分類討論，求解函數(shù)極值；（2）根據(jù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為，令，利用函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性和在不同范圍內(nèi)函數(shù)的值域求得的取值范圍.【小問1詳解】．當(dāng)時，上單增，既沒有極大值，也沒有極小值．當(dāng)時，令，則當(dāng)時，在上單減，當(dāng)時，在上單增，所以的極小值為，沒有極大值.【小問2詳解】由得，．令．則，當(dāng)時，單增；當(dāng)時，單減．因此．顯然當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個公共點，即函數(shù)有兩個零點．故的取值范圍是．16.如圖，在四棱錐中，底面矩形垂直于側(cè)面，且分別是棱的中點，．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直可得平面，則，由幾何知識可得，，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點，可得平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【小問1詳解】因為為矩形，則，且平面平面，平面平面平面，則平面，且平面，所以．連接．在和中，，可知全等于．則，且是中點，則．在中，，而是的中點，則．且，平面，所以平面．小問2詳解】以A為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，由（1）知，是平面的法向量，且平面的法向量是．可得．所以二面角的正弦值為．17.已知為坐標(biāo)原點，是拋物線上與點不重合的任意一點．（1）設(shè)拋物線的焦點為，若以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點，且的面積為，求圓的方程；（2）若是拋物線上的另外一點，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個定點．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出，點到準(zhǔn)線的距離，利用求出可得答案；（2）方法一，對兩邊平方得，設(shè)，設(shè)直線的方程為，結(jié)合拋物線方程得，再由可得答案；方法二，對兩邊平方得，設(shè)，設(shè)直線的方程為與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合可得答案.【小問1詳解】準(zhǔn)線為到的距離是．由對稱性知，是等腰直角三角形，斜邊，點到準(zhǔn)線的距離，，解得，故圓的方程為；【小問2詳解】方法一，因為，所以，所以，設(shè)在拋物線上，則．顯然直線的斜率存在，則直線的方程為，將代入得，，即，令，得，由得，，因為（否則，有一個為零向量），所以，代入式可得，故直線經(jīng)過定點．方法二，因為，所以，設(shè)在拋物線上，則，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得到，，由得，，因為（否則，有一個為零向量），所以，即，因此就是．故直線經(jīng)過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.18.某市一些企業(yè)，由于沒有技術(shù)更新業(yè)務(wù)受到形響，資金出現(xiàn)缺額，銀行將給予低息貸款的扶持．銀行制定了評分標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)對這些企業(yè)進行評估，然后依據(jù)企業(yè)評估得分將這些企業(yè)分別定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個等級，并根據(jù)等級分配相應(yīng)的低息貸款數(shù)額．為了更好地掌握貸款總額，銀行隨機抽查了部分企業(yè)，得到以下兩個圖表數(shù)據(jù)．評估得分評定類型不合格合格良好優(yōu)秀貸款金額（萬元）0200400800（1）任抽一家企業(yè)，求抽到的等級是優(yōu)秀或良好的概率（將頻率近似看做概率）；（2）對照上表給出的標(biāo)準(zhǔn)，這些企業(yè)進行了整改．整改后，優(yōu)秀企業(yè)數(shù)量不變，不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量成等差數(shù)列．要使這些企業(yè)獲得貸款的數(shù)學(xué)期望不低于410萬元，求整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)百分比的最大值．【答案】（1）0.45（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖可得,抽到不合格、合