17.1.1勾股定理說課市公開課一等獎省賽課微課金獎?wù)n件

17.1勾股定理（1）人教版八年級數(shù)學(xué)（下）武夷山三中數(shù)學(xué)組baca2+b2=c21/54一、教材分析 （一）教材所處地位及作用：《勾股定理》是人教版新課標(biāo)八年級數(shù)學(xué)第十七章第一節(jié)第一課時內(nèi)容，勾股定理是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形相關(guān)性質(zhì)基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)，是幾何中幾個主要定理之一，它揭示是直角三角形中三邊數(shù)量關(guān)系，它能夠處理直角三角形中計算問題，是解直角三角形主要依據(jù)之一，在實際生活中用途也很大。從學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)上看，它把形特征轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，架起了幾何與代數(shù)之間橋梁；勾股定理發(fā)覺、驗證和應(yīng)用蘊含著豐富文化價值，是對學(xué)生進行愛國主義教育良好素材，所以含有相當(dāng)主要地位和作用，學(xué)好本節(jié)至關(guān)主要。2/54（二）教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能：了解勾股定理發(fā)覺過程，掌握勾股定理內(nèi)容，會用面積法證實勾股定理，初步會用它進行相關(guān)計算。培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、推理能力。經(jīng)過拼圖活動，體驗數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維。

2、過程與方法：經(jīng)歷“觀察—猜測—歸納—驗證”數(shù)學(xué)發(fā)覺過程，發(fā)展合情合理推理能力，溝通數(shù)學(xué)知識之間內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，體會“數(shù)形結(jié)合”和“特殊到普通”思想方法。

3、情感態(tài)度與價值觀：經(jīng)過了解勾股定理歷史，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化思想激勵學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)。讓學(xué)生體驗自己努力得到結(jié)論成就感，體驗數(shù)學(xué)充滿了探索和創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)之美，探究之趣。鍛煉克服困難勇氣，培養(yǎng)合作意識和探索精神。3/54（三）教學(xué)重點、難點：

重點：是勾股定理發(fā)覺、驗證和應(yīng)用。

難點：是用拼圖方法、面積法證實勾股定理。4/54二、學(xué)情分析：

前面，學(xué)生已具備一些平面幾何知識，能夠進行普通推理和論證，但怎樣經(jīng)過面積法（拼圖法）證實勾股定理，學(xué)生對這種處理問題路徑還比較陌生，存在一定難度，針對這個問題我將本課教法和學(xué)法表達(dá)確定以下：5/541、教法分析：針對八年級學(xué)生知識結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課采取探究發(fā)覺式教學(xué)，提供適當(dāng)問題情境．由淺入深，由特殊到普通地提出問題。引導(dǎo)學(xué)生自主探索與合作交流空間，引導(dǎo)學(xué)生有目標(biāo)地進行探索。經(jīng)過演示實物，并利用教具與多媒體進行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、分析、證實，提升學(xué)生動手操作能力，以及分析問題和處理問題能力。使學(xué)生得到取得新知成功感受，從而激發(fā)學(xué)生鉆研新知欲望。這種教學(xué)理念反應(yīng)了時代精神，有利于提升學(xué)生思維能力，能有效地激發(fā)學(xué)生思維主動性。6/542、學(xué)法分析:

在教師組織引導(dǎo)下，采取自主探索、合作交流研討式學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、討論、操作、歸納，了解定理獲取知識，掌握方法，借此培養(yǎng)學(xué)生動手、動腦、動口能力，發(fā)表自己看法和展示自己才華機會；更希望教師滿足他們創(chuàng)造愿望。發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)主體。7/54年在北京召開國際數(shù)學(xué)家大會8/54你聽說過勾股定理嗎？

這個圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證實勾股定理時用到，被稱為“趙爽弦圖”．這就是本屆大會會徽圖案．9/54

在我國古代，人們將直角三角形中短直角邊叫做勾，長直角邊叫做股，斜邊叫做弦．依據(jù)我國古算書《周髀算經(jīng)》記載，在約公元前1100年，人們已經(jīng)知道，假如勾是三，股是四，那么弦是五，以后人們深入發(fā)覺并證實了直角三角形三邊之間關(guān)系：兩條直角邊平方和等于斜邊平方。這就是勾股定理。章前圖中左下角圖案有什么意義？為何選它作為年在北京召開國際數(shù)學(xué)家大會會徽？本章我們將探索并證實勾股定理及其逆定理，并利用這兩個定理去處理相關(guān)問題，由此能夠加深對直角三角形認(rèn)識。

勾股定理10/54讀一讀

勾股世界

我國是最早了解勾股定理國家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個直角三角形，假如勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。故稱之為“勾股定理”或“商高定理”。圖1-1稱為“弦圖”，最早是由公元前3世紀(jì)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》注解時給出.趙爽利用它來證實勾股定理。在這本書中另一處，還記載了勾股定理普通形式。弦股勾圖1-1圖1-1這么引入可喚起學(xué)生好奇心和求知欲，激發(fā)學(xué)生對勾股定理興趣，從而較自然引入課題。11/54讀一讀

勾股世界1945年，人們在研究古巴比倫人遺留下一塊數(shù)學(xué)泥板時，詫異地發(fā)覺上面竟然刻有15組能組成直角三角形三邊數(shù)，其年代遠(yuǎn)在商高之前。相傳二千多年前，希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證實了勾股定理，所以在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。

畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)人，比商高晚出生五百多年。相傳，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派找到了勾股定理證實后，欣喜若狂，殺了一百頭牛祭神，由此，又有“百牛定理”之稱。

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畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，相傳2500年前，一次，畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其它賓客都在盡情歡樂，高談闊論，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家方磚地而發(fā)起呆來．原來，朋友家地是用一塊塊直角三角形形狀磚鋪成，黑白相間，非常美觀大方．主人看到畢達(dá)哥拉斯樣子非常奇怪，就想過去問他．誰知畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟樣子，站起來，大笑著跑回家去了。

看似平淡無奇現(xiàn)象有時卻隱藏著深刻道理。經(jīng)過講述故事來深入激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在不知不覺中進入學(xué)習(xí)最正確狀態(tài)。13/54同學(xué)們，我們也來觀察下列圖地面，看看你能發(fā)覺什么？是否也和大數(shù)學(xué)家有一樣發(fā)覺呢？原來古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯從朋友家地磚鋪成地面上發(fā)覺了:直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系。ABCA、B、C面積有什么關(guān)系？

能夠發(fā)覺，以等腰三角形兩直角邊為邊長小正方形面積和，等于以斜邊為邊長正方形面積。SA+SB=SC即我們驚奇地發(fā)覺，等腰三角形三邊之間有一個特殊關(guān)系：兩直邊平方和等于斜邊平方。cab即：a2+b2=c214/54ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖2-1圖2-2讓我們一起再探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系A(chǔ)面積(單位長度)B面積(單位長度)C面積(單位長度)圖1圖29944C面積怎么求呢？15/54ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖2-1圖2-2分“割”成若干個直角邊為整數(shù)三角形。（單位面積）C面積怎么求呢？16/54ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖2-1圖2-2（單位面積）把C“補”成邊長為6正方形面積二分之一。C面積怎么求呢？17/54ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖2-1圖2-2SA+SB=SCA面積(單位長度)B面積(單位長度)C面積(單位長度)圖2-19918圖2-2A、B、C面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系448兩直角邊平方和等于斜邊平方baca2+b2=c2“問題是思維起點”，經(jīng)過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺新知。18/54對于等腰直角三角形有這么性質(zhì)：那么對于普通直角三角形是否也有這么性質(zhì)呢？歸納小結(jié)：兩直角邊平方和等于斜邊平方思索19/54ABC圖1-2ABC圖1-32．觀察右邊兩個圖并填寫下表：A面積B面積C面積圖1-2圖1-316949C面積怎么求呢？做一做20/54ABC圖3-1ABC圖3-2分割成若干個直角邊為整數(shù)三角形。（面積單位）C面積怎么求呢？探究二：21/54ABC圖1-2ABC圖1-3分割成若干個直角邊為整數(shù)三角形。C面積怎么求呢？探究二：（面積單位）=4××2×3+112=1322/54ABC圖3-1ABC圖3-2把C“補”成邊長為7正方形面積減去4個直角三角形面積。（面積單位）7-4×=2×4×321C面積怎么求呢？探究二：23/54ABC圖1-2ABC圖1-3把C“補”成邊長為5正方形面積減去4個直角三角形面積。（面積單位）=13C面積怎么求呢？探究二：5-4×=2×2×32124/54ABC圖1-2ABC圖1-3A面積B面積C面積圖1-2圖1-31694925133．三個正方形A，B，C面積之間有什么關(guān)系？SA+SB=SC即：兩條直角邊上正方形面積之和等于斜邊上正方形面積．議一議25/54ABCA面積(單位面積)B面積(單位面積)C面積(單位面積)圖2圖3A、B、C面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系圖2圖3491392534sA+sB=sC兩直角邊平方和等于斜邊平方探究與猜測ABC26/54ABCacbSa+Sb=Sc猜測:兩直角邊a、b與斜邊c之間關(guān)系？a2+b2=c2兩條直角邊上正方形面積之和等于斜邊上正方形面積．27/54┏a2+b2=c2acb

假如直角三角形兩直角邊長分別是a、b，斜邊長是c，那么a2+b2=c2。勾股弦

命題1：

是不是全部直角三角形都含有這么特點呢？這就需要我們對普通直角三角形進行證實．到當(dāng)前為止，對這個命題證實方法已經(jīng)有幾百種之多．下面我們就來看一看我國數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證實這個命題．滲透從特殊到普通數(shù)學(xué)思想.為學(xué)生提供參加數(shù)學(xué)活動時間和空間，發(fā)揮學(xué)生主體作用；培養(yǎng)學(xué)生類比遷移能力及探索問題能力，使學(xué)生在相互觀賞、爭辯、互助中得到提升。28/54cb

a依據(jù)科學(xué)理論證實：

直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方.ab你能用這個圖試著證實勾股定理嗎？趙爽弦圖我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽指出：四個全等直角三角形以下拼成一個中空正方形，由大正方形面積等于小正方形面積與4個直角三角形面積和得：

29/54cba用趙爽弦圖證實勾股定理證法一：ba

a2+b2=c2經(jīng)過這些實際操作，學(xué)生進行一步加深對數(shù)形結(jié)合了解，拼圖也會產(chǎn)生感性認(rèn)識，也為論證勾股定理做好準(zhǔn)備。利用分組討論，加強合作意識。1、經(jīng)歷所拼圖形與多媒體展示圖形聯(lián)絡(luò)與區(qū)分。2、加強數(shù)學(xué)嚴(yán)密教育。從而更加好地了解代數(shù)與圖形相結(jié)合。30/54中黃實(b-a)2趙爽弦圖證法化簡得：c2cbabababacccS大正方形S小正方形4S直角三角形＝＋c2＝(b－a)2＋4×ab=b2-2ab+a2

+

2ab∴a2+b2=c231/54定理：經(jīng)過證實被確認(rèn)為正確命題叫做定理。勾股定理：

假如直角三角形兩直角邊長分別為ａ、ｂ，斜邊為ｃ，那么ａ2+b2=c2。如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，則

ａ2+b2=c2ABC股b勾a弦c32/54

讀一讀

“趙爽弦圖’表現(xiàn)了我國古代人隊數(shù)學(xué)鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)驕傲，所以，這個圖案被選為年在北京召開國際數(shù)學(xué)家大會會徽。圖1-1圖1-233/54

當(dāng)前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其它星球“人”,為此向宇宙發(fā)出了許多信號,如地球上人類語言,音樂,各種圖形等.我國數(shù)學(xué)家華羅庚提議,發(fā)射一個反應(yīng)勾股定理圖形,假如宇宙人是“文明人”,那么他們一定會識別這種語言.34/54

a2+b2=c2a2b2a2c2畢達(dá)哥拉斯證法證法4：35/54cabcabcabcab∵(a+b)2=a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2大正方形面積能夠表示為；也能夠表示為(a+b)2c2+4?ab2c2+4?ab236/54美國總統(tǒng)證實

伽菲爾德經(jīng)過重復(fù)思索與演算，終于搞清楚了其中道理，并給出了簡練證實方法．1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了證實，就稱這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。37/54茄菲爾德證法bacbacccS三角形1

S三角形2S三角形3S梯形化簡得:c2=a2+b2＝＋＋(a＋b)(a＋b)abab＋＋c2＝38/5411觀賞漂亮勾股樹使學(xué)生深入確信勾股定理正確性，并經(jīng)過觀賞勾股樹開闊他們視野，并到達(dá)美享受，深入提升他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力和興趣。

39/54abc

假如直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理結(jié)論變形c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2c=a=b=40/54練習(xí)：1、求以下圖中字母所表示正方形面積=625225400A22581B=14441/54y=0范例.求出以下直角三角形中未知邊長度68x5x13學(xué)以致用，做一做解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2=36+64x2=100x2=62+82∴x=10∵x>0

x2+52=132

x2=132-52x2=144∴x=12（2）在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2∵x>0ACBACB42/542.求以下圖中表示邊未知數(shù)x、y、z值.①81144xyz②③做一做62557614416943/54比一比看看誰算得快！書本P24練習(xí)1.求以下直角三角形中未知邊長:可用勾股定理建立方程.方法小結(jié):a=6bc=10b=15ab=12a=5c做一做c=2544/54(1)如圖，全部四邊形都是正方形，全部三角形都是直角三角形，其中最大正方形E邊長為7cm，求正方形A，B，C，D面積和。思索S1S2解：∵SE=49S1=SA+SBS2=SC+SD∴SA+SB+SC+SD

=S1+S2=SE=4945/54（2）如圖，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，輕易得出S1、S2、S3之間有關(guān)系式為

．46/54Sa+Sb=Sc（3）變式：你還能求出Sa、Sb、Sc之間關(guān)系式嗎？讓學(xué)生有機地把握所學(xué)知識技能，用來處理實際問題，加強對定理了解，從而突出重點。突破重點和難點方法，發(fā)揮學(xué)生主體作用，經(jīng)過學(xué)生動手實踐，讓學(xué)生在實踐中探索，在探索中領(lǐng)悟，在領(lǐng)悟中了解。47/54課堂小結(jié)⒈勾股定理是幾何中最主要定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間數(shù)量關(guān)系.⒉勾股定理：

直角三角形兩直角邊a、b平方和，等于斜邊c平方。a2+b2=c2⒊勾股定理主要作用是在直角三角形中,已知任意兩邊求第三邊長。48/54abc

假如直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理結(jié)論變形c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2c=a=b=學(xué)生經(jīng)過對學(xué)習(xí)過程小結(jié)，領(lǐng)會其中數(shù)學(xué)思想方法；經(jīng)過梳理所學(xué)內(nèi)容，形成完整知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)歸納概括能力。49/54作業(yè)必做題：書本習(xí)題18.1第1,2,3,4,5題。選做題：搜集相關(guān)勾股定理其它證實方法，下節(jié)課展