小學(xué)1-6年級數(shù)學(xué)難點解析附34個必考公式

小學(xué)1-6年級數(shù)學(xué)難點解析，附34個必考公式

一年級契數(shù)

一年級的孩子剛剛踏入小學(xué).不論是學(xué)習(xí)習(xí)慣還是學(xué)習(xí)方法，都需要全面的培養(yǎng)和

正確的引導(dǎo)，這就需要家長對整個六年的小學(xué)學(xué)習(xí)有一個全面的規(guī)劃。

學(xué)習(xí)重點難點解析：

巧算與速算的基本知識：對于一年級的學(xué)生來說，計算是學(xué)生學(xué)習(xí)時遇到的第一個

問題。如果能夠在看似無序的算式中尋找到一定的規(guī)律，化繁為簡，那么學(xué)生一定

能夠增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。另外，計算與速算是各種后續(xù)問

題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)好數(shù)學(xué)，首先就要過計算這關(guān)。

認(rèn)識并學(xué)會數(shù)各種基本圖形：正方形、長方體、圓和立方體等是小學(xué)學(xué)習(xí)中最常見

的圖形。通過系統(tǒng)的指導(dǎo)，使一年級的學(xué)生能夠計算出各種基本圖形的個數(shù)；使學(xué)

生建立起有序思維，為建立思維模式打下基礎(chǔ)。

學(xué)習(xí)簡單的枚舉法：枚舉法對于一年級的學(xué)生來說的確是有一定的困難。在華數(shù)課

本中，介紹這一難題時采用數(shù)數(shù)這種更為直觀的方式，將復(fù)雜抽象的問題形象化，

便于孩子們理解。

枚舉法訓(xùn)練的重點在于有序的思維方式，學(xué)習(xí)之初將抽象問題形象化，能夠更好地

引導(dǎo)學(xué)生去主動思考，建立起自己的思維方式。

數(shù)字的奇與偶、不等與相等等關(guān)于數(shù)論的基礎(chǔ)知識：數(shù)論問題是后續(xù)學(xué)習(xí)中的一個

重點，而這學(xué)期將要學(xué)到的：數(shù)字的奇與偶、不等與相等等無疑將會是今后學(xué)習(xí)的

基礎(chǔ)，在這里我們把數(shù)論問題分解為各種類型逐一講解，使華教學(xué)習(xí)更加系統(tǒng)。

二年級奧數(shù)

二年級是開發(fā)孩子智力、形成良好思維習(xí)慣的最佳時期，學(xué)習(xí)奧數(shù)不僅能夠極大地

鍛煉孩子的思維能力，也能為孩子之后的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。對于二年級的學(xué)生

家長來說，激發(fā)孩子對華數(shù)的興趣是最主要的。

學(xué)習(xí)重點難點解析：

計算要過關(guān)：對于二年級學(xué)生的奧數(shù)學(xué)習(xí)來說，最先碰到的問題就是計算問題，計

算問題是重點也是難點。

根據(jù)學(xué)校數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)情況，孩子還沒有學(xué)習(xí)乘除法的列豎式，尤其是乘法的列豎式

在二年級華數(shù)的學(xué)習(xí)中要求的比較多，比如華數(shù)課本下冊第三講速算與巧算中就多

次用到了乘法，另外一些應(yīng)用題中也會有所應(yīng)用。所以對于學(xué)習(xí)下冊華數(shù)的學(xué)生，

首先計算關(guān)一定要過。

枚舉是難點：對于二年級的學(xué)生來說，有序思維和抽象思維是匕匕較困難的，對于問

題，二年級的學(xué)生更多的愿意以湊數(shù)來嘗試解答問題。

而枚舉法的問題需要的就是孩子的有序思維，比如華數(shù)課本上冊幾枚硬幣湊錢的方

法，下冊的整數(shù)拆分都屬于枚舉法的問題。這類問題不僅要求孩子要有序，同時直

觀性不強，對于孩子理解有一定困難。建議家長可以比較抽象的問題形象化，比如

上面舉到的漢堡和汽水的例子就更加形象。

應(yīng)用題要接觸：二年級華教課本下冊中的后幾講已經(jīng)接觸到了應(yīng)用題部分，對于倍

數(shù)等概念也有學(xué)習(xí)，建議學(xué)有余力的孩子可以適當(dāng)接觸三年級中的部分問題，但是

難度不要像三年級華數(shù)課本中那樣大。

三年級奧數(shù)

三年級的奧數(shù)學(xué)習(xí)是小學(xué)奧數(shù)最重要的基礎(chǔ)階段，只有牢固掌握了三年級奧數(shù)最基

本的知識技巧，才能有效的促進今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，最終在競賽、以及小升初中有所

斬獲。

學(xué)習(xí)重點難點解析：

三年級屬于奧數(shù)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)階段，孩子進入三年級以后，隨著年齡的增長，孩子的

計算能力，認(rèn)知能力，邏輯分析能力相比于一、二年級有很大的提高，這個時期是

奧數(shù)思維形成的關(guān)鍵時期，是學(xué)奧數(shù)的黃金時段，所以能否把握住三年級這一黃金

時段，關(guān)系到以后小升初的成與敗。

下面就簡要介紹一下三年級下學(xué)期學(xué)習(xí)的關(guān)鍵知識點。

1.運用運算定律及性質(zhì)速算與巧算

計算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本知識，也是學(xué)好奧數(shù)的基礎(chǔ)。能否又快又準(zhǔn)的算出答案，是

歷年數(shù)學(xué)競賽考察的一個基本點。在三年級，主要學(xué)習(xí)了加法與乘法運算定律，其

中應(yīng)用乘法分配率是競賽中考察巧算的一大重點;除此之外，競賽中還時?？疾鞄?/p>

符號“搬家"與添括號/去括號這兩種通過改變運算順序進而簡便運算的思路。例如：

17x5+17x7+13x5+13x7

問題解析：由于四個加項沒有公共的乘數(shù)，不能直接應(yīng)用乘法分配率?？梢钥紤]先

分組應(yīng)用乘法分配率，在觀察的思路，原式=(17x5+17x7)+(13x5+13x7)

=17x(5+7)+13x(5+7)=17x12+13x12=(17+13)x12=30x12

2,學(xué)習(xí)假設(shè)思想解決雞兔同籠問題

雞兔同籠問題源于我國1500年前左右的偉大數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，其中記載的

31題，"今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”翻譯成

現(xiàn)代文就是說有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，

有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

問題解析：我們知道每只雞2只腳，每只兔子4只腳，我們不妨假設(shè)籠子里面只有

雞，那么應(yīng)該有只腳，而事實上有94只腳，原因就是我們把一部分兔子假設(shè)成了

雞。

我們知道，每只兔子比雞多2只腳，那么一共應(yīng)該有只兔子，剩下了35-12=23只

雞。

對于一般的雞兔同籠問題，我們有雞數(shù)=(兔的腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù))(兔的腳數(shù)-

雞的腳數(shù))

兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞的腳數(shù)總頭數(shù))(兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù))

3.平均數(shù)應(yīng)用題

"平均數(shù)”這個數(shù)學(xué)概念在同學(xué)們的日常學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常用到。例如，三年級上

學(xué)期期末考完試，可以計算全班同學(xué)的數(shù)學(xué)"平均成績"，同學(xué)與爸爸媽媽三個人

的“平均年齡"等等，都是我們經(jīng)常碰?」的求平均數(shù)的問題。

根據(jù)我們所舉的例子，可以總結(jié)出求平均數(shù)的一般公式：總數(shù)和+人數(shù)（或個數(shù)）=

平均數(shù)。比如說人大附小三年級（一）班第2小組5名同學(xué)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)成績分

別是93,95,98,97,90,那么第2小組5名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均分是多少呢？

問題解析：根據(jù)我們總結(jié)的公式，首先可以求出第2小組5名同學(xué)數(shù)學(xué)的總分一共

是93+95+98+97+92=475,所以他們的平均分是475+5=95（分）。

4.和差倍應(yīng)用題

和差倍問題是由和差問題、和倍問題、差倍問題三類問題組成的。

和倍問題是已知大小兩個數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個數(shù)的應(yīng)用題，一般

可應(yīng)用公式：數(shù)量和一對應(yīng)的倍數(shù)和="1"倍量；

差倍問題就是已知大小兩個數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個數(shù)的應(yīng)用題，一

般可應(yīng)用公式：數(shù)量差+對應(yīng)的倍數(shù)差="1"倍量；

和差問題是已知大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)的應(yīng)用題一般可應(yīng)用

公式：大數(shù)=（數(shù)量和+數(shù)量差）+2，小數(shù)=（數(shù)量和-數(shù)量差）-2。

為了幫助我們理解題意，弄清題目中兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法

以線段的相對長度來表示兩種量間的關(guān)系，以便于找到解題的途徑。

5.年齡問題

基本的年齡問題可以說是和差倍問題生活化的典型應(yīng)用。同時，年齡問題也有其鮮

明的特點：任何兩個人之間的年齡差保持不變。解決年齡問題，關(guān)鍵就是要抓住以

上兩點。例如：哥哥兩年后的年齡是弟弟年齡的2倍，今年哥哥比弟弟大5歲，那

么今年弟弟多少歲？

問題解析：由于兩人之間的年齡差不變，在2年之后哥哥仍然比弟弟大5歲，那時

哥哥是弟弟年齡的2倍，這就變成了一道差倍問題，也就是說弟弟的年齡在2年后

是5+（2-1）=5（歲），所以今年弟弟5-2=3（歲）。

四年級集數(shù)

四年級是一個承前啟后的階段，學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度和廣度有所增加，各種競賽任務(wù)和

招生考試的成績重要性大大增加。

不論自己的孩子是剛剛開始學(xué)習(xí)奧數(shù)，還是已經(jīng)著手為競賽、升學(xué)做準(zhǔn)備，如何更

好的完成四年級的學(xué)習(xí)計劃，如何做好四年級和五年級的過渡，如何規(guī)劃小升初之

前的這兩年時間是每個家長都要面對的問題。

學(xué)習(xí)重點難點解析：

1、計算：計算是貫穿整個小學(xué)階段的重點，每個年級奧數(shù)的學(xué)習(xí)都以計算為基礎(chǔ)，

較好的計算能力是學(xué)好其它章節(jié)，取得優(yōu)異成績的保證。

每個年級的計算有每個年級的特點，四年級的計算以加入了小數(shù)的計算為主，對于

奧數(shù)撤出扎實的同學(xué)并且希望在五年級取得一些成績的同學(xué)還應(yīng)該加入一些分?jǐn)?shù)的

計算。

四年級計算應(yīng)該掌握的重點題型有多位數(shù)的計算，小數(shù)的基本運算，小數(shù)的簡便運

算等。其中，多位數(shù)的計算主要以通過縮放講多位數(shù)湊成各位數(shù)全是9的多位數(shù)，

再利用乘法的分配率進行計算。小數(shù)的簡便運算主要與等差數(shù)列求和、乘法的分配

率和結(jié)合率、換元法等結(jié)合在一起，需要同學(xué)們對各種題型熟練的掌握，尤其是多

位數(shù)的計算。

最后，小數(shù)計算的重點還是最基礎(chǔ)的小數(shù)的加減乘除混合運算，在初學(xué)小數(shù)時由于

小數(shù)點的原因計算經(jīng)常出錯，如果計算不準(zhǔn)確，再好的方法和技巧都無從談起。

所以，四年級學(xué)習(xí)計算的重點在于以基礎(chǔ)計算為主，掌握各種簡便運算技巧，提高

準(zhǔn)確度和速度。

2、平均數(shù)問題：在學(xué)習(xí)平均數(shù)問題的時候一定要先對平均數(shù)的概念有很好的理解。

我們在授課過程中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)同學(xué)在解平均數(shù)問題時經(jīng)常犯一個錯，尤其是

在行程問題中的一道題，錯誤率最高。

小明從學(xué)校到家速度為12,從家到學(xué)校速度為24，問往返的平均速度是多少？很

多同學(xué)答案都是18,誤以為平均數(shù)度就是速度的平均，這是不對的。

在學(xué)習(xí)平均數(shù)問題的時候還要會利用基準(zhǔn)數(shù)處理一大串?dāng)?shù)據(jù)的求和問題和求平均數(shù)

的問題。很多復(fù)雜的平均數(shù)問題都是可以利用濃度三角的方法來解決的，尤其是思

維導(dǎo)引中后面的一些復(fù)雜的平均數(shù)問題，同學(xué)們應(yīng)該嘗試用濃度三角的方法來解決

平均數(shù)問題。

平均數(shù)問題的學(xué)習(xí)對以后濃度問題的學(xué)習(xí)很有好處，因為大部分平均問題的題型和

濃度問題的題型從本質(zhì)上來講是相同的。

3、行程問題：四年級行程問題要掌握以下各類的問題：相遇問題、追及問題、火車

相遇問題、流水行船問題、多次相遇問題等。

首先，我們要對基本的相遇問題和追及問題有非常深刻的了解，在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常

有同學(xué)到六年級了對于追及問題中兩個人所走的時間是否相等還經(jīng)常容易出錯。

其次，我們要熟悉并掌握火車相遇問題和流水行船問題這兩個行程問題中最基本的

專題，對我們后面復(fù)雜行程問題的學(xué)習(xí)起到非常大的幫助。

最后，要掌握行程問題中解決復(fù)雜問題常用的技巧，劃線段的習(xí)慣，并養(yǎng)成良好、

簡潔的解題習(xí)慣。

畫線段圖的方法是解決很多復(fù)雜行程問題常用的方法，很多同學(xué)在畫線段圖的時候

不夠簡潔，常常畫出的線段圖中多余的線段和條件太多，導(dǎo)致畫出的線段圖比題目

本身還復(fù)雜，無法分析求解。在平時的學(xué)習(xí)中應(yīng)該盡量模仿老師，養(yǎng)成良好的解題

習(xí)慣。

4、排列組合：排列組合是對上學(xué)期所學(xué)的加法原理和乘法原理兩講的一個升華。在

加法原理和乘法原理中大家對分步和分類有了一定程度的理解和掌握，排列組合在

此鄲出上提供了更專業(yè)更有效解決計數(shù)問題的方法。

在排列組合中首先要對排列組合的概念、排列數(shù)與組合數(shù)的計算、排列與組合的區(qū)

別等有很好的理解，尤其是排列和組合的區(qū)分上，需要對一些經(jīng)典例題的掌握從而

來理解排列和組合的區(qū)別。

同時，很多問題好需要結(jié)合分類分步方法和排列組合的原理來解題，并不是單純的

排解組合公式的應(yīng)用。對于一些基礎(chǔ)不好的同學(xué)，一定要在熟練掌握加法原理和乘

法原理之后再來學(xué)習(xí)排列組合的知識。對于一些排列組合常見的題型和常用的方法

要做到信手拈來。

5、幾何計數(shù)與周期性問題：幾何計數(shù)和周期性問題相對于行程和排列組合來說是兩

個較小的專題，但是也是各大競賽和入學(xué)考試常見題型，尤其是很多綜合題同時包

含數(shù)論和周期性問題的相關(guān)知識點，是競賽和備考的重中之重。

幾何級數(shù)的掌握要從線段、角、三角形、長方形開始，學(xué)會用簡單的方法來解決復(fù)

雜計數(shù)問題的步驟。而周期性問題常和等差數(shù)列、數(shù)論結(jié)合在一起，同學(xué)在做題題

時經(jīng)常容易出錯，需要在這方面的加大做題量。

五年級契數(shù)

五年級下學(xué)期是小升初前的最后一個學(xué)期，對于整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著至關(guān)

重要的作用，只有這一關(guān)過好了，才可能在小升初的備考中游刃有余。所以這學(xué)期

的奧數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)該有更強的針對性，針對自己的實際情況和目標(biāo)選擇合適的班型。

學(xué)習(xí)重點難點解析：

五年級屬于小學(xué)高年級，孩子進入五年級以后，隨著年齡的增長，孩子的計算能力，

認(rèn)知能力，邏輯分析能力都比以前有很大的提高，這個時期是奧數(shù)思維形成的關(guān)鍵

時期，是學(xué)奧數(shù)的黃金時段，所以是否把握住五年級這個黃金時段，關(guān)系到以后小

升初的成與敗。

那么在整個五年級階段都有哪些重點知識呢？為了孩子更好的把握五年級的學(xué)習(xí)重

點，下面就介紹一下五年級的關(guān)鍵知識點。

1.迸入數(shù)學(xué)寶庫的分析方法一遞推方法：任何事物的發(fā)展總是從簡單到復(fù)雜，奧

數(shù)也是一樣，對于復(fù)雜問題，我們不妨先從最簡單的情況入手，通過處理簡單的問

題，我們可以從中得到規(guī)律或者訣竅，從而來解決復(fù)雜的問題，這就是遞推方法。

比如說：平面上2008條直線最多有幾個交點？同學(xué)們第一眼看到這個問題時，肯

定會想畫2008條直線相交然后再數(shù)交點個數(shù)，那該是多麻煩?。∑鋵嵨覀兛梢韵?/p>

來解決簡單點的情況，分別找到1條、2條、3條、4條……這些直線有多少個交點。

1條直線最多有0個交點

2條直線最多有1個交點

3條直線最多有3個交點

4條直線最多有6個交點

5條直線最多有10個交點

6條直線最多有15個交點

所以2008條直線有1+2+3+4+5+...+2007=2015028個交點。

那么聰明的你，你能算出2008條直線最多可以把圓分成幾部分么？

2.變化無窮.形跡不定的行程問題：提到行程問題，同學(xué)們可能就感到頭疼，的確

不錯，因為行程問題中各個物體的速度、時間、路程都在變化，而且各個物體都是

在運動中，位置是隨著時間在變化，所以分析起來就很麻煩。

為了更好的解決這個問題，我們把行程問題進行了細(xì)分：基本行程（單個物體）、

平均速度、相遇、追及、流水行船、火車過橋、火車錯車、鐘表問題、環(huán)形線路上

行程。

只要我們掌握這些每個小類型中的訣竅，形成一種分析思路，復(fù)雜的行程問題無非

是這些類型的變形而已，解決起來就容易多了。

3.抽象而又雜亂的數(shù)論問題：數(shù)論是從五年級的核心知識，無論是在哪本教材里，

都用了很多的章節(jié)來講解數(shù)論。

要想解決復(fù)雜的數(shù)論問題，我們首先得掌握數(shù)論的基本知識：數(shù)的奇偶性、約數(shù)（現(xiàn)

在叫因數(shù)八倍數(shù)、公約數(shù)及最大公約數(shù)、公倍數(shù)及最小公倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分

解質(zhì)因數(shù)、整除.余數(shù)及同余等。

這些基本知識點里又有些非常有代表性的例題，只要能掌握好這些知識點，然后做

一定量的數(shù)論綜合習(xí)題，碰到難的數(shù)論問題我們就容易解決了。

4.有趣的抽屜原理：生活中有很多有趣的事情，比如說：把4個蘋果放到3個抽屜

里，無論你怎么放，總有某個抽屜里至少有2個蘋果，這就是抽屜原理。

對于抽屜原理我們只要找到蘋果的個數(shù)a與抽屜的個數(shù)b,我們就可以得到下面的結(jié)

論：

若a+b=r......

當(dāng)q=0時，我們就說總有某個抽屜里至少有r個蘋果；

當(dāng)qO時，我們就說總有某個抽屜里至少有（r+1）個蘋果。

比如說把32個蘋果放進8個抽屜里，因為32+8=4,無論怎么放，總有某個抽屜

里有4個蘋果。如果把35個蘋果放進8個抽屜里，因為35+8=4……3,無論怎么

放，總有某個抽屜里有4+1=5個蘋果。

但是大部分的奧數(shù)題是沒有告訴我們抽屜的個數(shù)的，那樣我們就得自己構(gòu)造抽屜，

從而找出抽屜的個數(shù)。

5.圖形面積計算：求圖形的面積也是奧數(shù)中的一個難點，對于這類題我們首先要掌

握好各種基本圖形的面積計算公式，然后記住一些重要的結(jié)論：比如說三角形的等

積變形、直角三角形中30度所對的邊是斜邊的一半、勾股定理、梯形中蝴蝶翅膀

原理、相似三角形中邊與面積的關(guān)系。

在計算面積時的方法有：直接計算法、割補法、方程法等。在圖形面積計算中，難

題往往得添加輔助線，這個就是難點所在，因為添加輔助線非常靈活，這就要我們

多做些這方面的題，多積累一些添加輔助線的技巧，做到心中有數(shù)。

六年級奧數(shù)

現(xiàn)在正是小升初特別關(guān)鍵的一個時期，無論從信息還是自身的學(xué)習(xí)方面都要做好充

分的準(zhǔn)備。

下面主要說說當(dāng)機會擺在面前的時候我們應(yīng)該怎樣去把握住它，首先要明確一點，

小升初并不是我們的最終目標(biāo)，而只是為了孩子今后的學(xué)習(xí)打下一個良好的基礎(chǔ)。

所以我們一定要重視孩子學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，舉個很簡單的例子：很多同學(xué)做題的時

候?qū)忣}不認(rèn)真，經(jīng)常把會做的題目做錯，即使是最厲害的學(xué)生，如果把題目看錯了，

那也是不可能把題目做對的。

這一點特別特別的重要，無論是小升初還是今后的中考高考，因為現(xiàn)在的衡量標(biāo)準(zhǔn)

其實并不是比誰更"聰明"，而是比誰更認(rèn)真，學(xué)習(xí)更扎實。

從最近的一些學(xué)校的考試我們就可以看出一個趨勢，就是題量大，時間段，對于單

位時間內(nèi)的做題效率有很高的要求，這個效率體現(xiàn)在兩個方面，就是速度和正確率。

學(xué)習(xí)重點難點解析：

1、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)問題，比和比例：

這是六年級的重點內(nèi)容，在歷年各個學(xué)校測試中所占比例非常高，重點應(yīng)該掌握好

以下內(nèi)容：

對單位1的正確理解，知道甲比乙多百分之幾和乙比甲少百分之幾的區(qū)別；

求單位1的正確方法，用具體的量去除以對應(yīng)的分率，找到對應(yīng)關(guān)系是重點；

分?jǐn)?shù)比和整數(shù)比的轉(zhuǎn)化，了解正匕次口反比關(guān)系；

通過對"份數(shù)"的理解結(jié)合比例解決和倍（按比例分配）和差倍問題；

2、行程問題:

應(yīng)用題里最重要的內(nèi)容，因為綜合考察了學(xué)生比例，方程的運用以及分析復(fù)雜問題

的能力，所以常常作為壓軸題出現(xiàn)，重點應(yīng)該掌握以下內(nèi)容：

路程速度時間三個量之間的比例關(guān)系，即當(dāng)路程一定時，速度與時間成反比；速度

一定時，路程與時間成正比；時間一定時，速度與路程成正比。特別需要強調(diào)的是

在很多題目中一定要先去找到這個“一定"的量；

當(dāng)三個量均不相等時，學(xué)會通過其中兩個量的比例關(guān)系求第三個量的比；

學(xué)會用比例的方法分析解決一般的行程問題;

有了以上基礎(chǔ)，進一步加強多次相遇追及問題及火車過橋流水行船等特殊行程問題

的理解，重點是學(xué)會如何去分析一個復(fù)雜的題目，而不是一味的做題。

3、幾何問題：

幾何問題是各個學(xué)?？疾斓闹攸c內(nèi)容，分為平面幾何和立體幾何兩大塊，具體的平

面幾何里分為直線形問題和圓與扇形；立體幾何里分為表面積和體積兩大部分內(nèi)容。

學(xué)生應(yīng)重點掌握以下內(nèi)容：

等積變換及面積中比例的應(yīng)用；

與圓和扇形的周長面積相關(guān)的幾何問題，處理不規(guī)則圖形問題的相關(guān)方法；

立體圖形面積：染色問題、切面問題、投影法、切挖問題；

立體圖形體積：簡單體積求解、體積變換、浸泡問題。

4、數(shù)論問題:

?？純?nèi)容，而且可以應(yīng)用于策略問題，數(shù)字謎問題，計算問題等其他專題中，相當(dāng)

重要，應(yīng)重點掌握以下內(nèi)容：

掌握被特殊整數(shù)整除的性質(zhì)，如數(shù)字和能被9整除的整數(shù)一定是9的倍數(shù)等；

最好了解其中的道理，因為這個方法可以用在許多題目中，包括一些數(shù)字謎問題；

掌握約數(shù)倍數(shù)的性質(zhì)，會用分解質(zhì)因數(shù)法，短除法，輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公

因數(shù)和最小公倍數(shù)；

學(xué)會求約數(shù)個數(shù)的方法，為了提高靈活運用的能力，需了解這個方法的原理；

了解同余的概念，學(xué)會把余數(shù)問題轉(zhuǎn)化成整除問題，下面的這個性質(zhì)是非常有用的：

兩個數(shù)被第三個數(shù)去除，如果所得的余數(shù)相同，那么這兩個數(shù)的差就能被這個數(shù)整

除；

能夠解決求一個多位數(shù)除以一個較小的自然數(shù)所得的余數(shù)問題，例如求

1011121314...9899除以11的余數(shù)，以及求20082008除以13的余數(shù)這類問題。

5、計算問題：

計算問題通常在前幾個題目中出現(xiàn)概率較高，主要考察兩個方面，一個是基本的四

則運算能力，同時，一些速算巧算及裂項換元等技巧也經(jīng)常成為考察的重點。我們

應(yīng)該重點掌握以下內(nèi)容：

計算基本功的訓(xùn)練；

利用乘法分配率進行速算與巧算；

分小數(shù)互化及運算，繁分?jǐn)?shù)運算；

估算與比較；

計算公式應(yīng)用。如等差數(shù)列求和，平方差公式等；

裂項，換元與通項公式。

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34個小學(xué)數(shù)學(xué)必考公式

1、和差倍問題：

和差問題

和倍問題

差倍問題

已知條件

幾個數(shù)的和與差

幾個數(shù)的和與倍數(shù)

幾個數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范圍

已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

公式

①（和-差）+2=較小數(shù)

較小數(shù)+差=較大數(shù)

和-較小數(shù)=較大數(shù)

②（和+差）+2=較大數(shù)

較大數(shù)-差=較小數(shù)

和-較大數(shù)=較小數(shù)

和X倍數(shù)+1）=小數(shù)

小數(shù)x倍數(shù)=大數(shù)

和-小數(shù)=大數(shù)

差X倍數(shù)-1）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

小數(shù)+差=大數(shù)

關(guān)鍵問題

求出同一條件下的

和與差

和與倍數(shù)

差與倍數(shù)

2、年齡問題的三個基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3、歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個"單一量"，題目一般用"照這樣的速度”……等詞語來表示。

關(guān)鍵問題：

根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;

4、植樹問題：

基本類型

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹

封閉曲線上植樹

基本公式

棵數(shù)=段數(shù)+1

棵距X段數(shù)=總長

棵數(shù)=段數(shù)-1

棵距X段數(shù)=總長

棵數(shù)=段數(shù)

棵距X段數(shù)=總長

關(guān)鍵問題

確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

5、雞兔同籠問題：

基本概念：

雞兔同籠問題又稱為置換問題'假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來；

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；

④再根據(jù)這兩個差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)x總頭數(shù)-總腳數(shù)）一（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)x總頭數(shù)）一（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

6、盈虧問題:

基本概念：

一定量的對象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分

組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?/p>

基本思路：

先將兩種分配方案進行I:匕較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總

份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量。

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）一兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）一兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）一兩次每份數(shù)的差

基本特點：

對象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問題：

確定對象總量和總的組數(shù)。

7、牛吃草問題:

基本思路：

假設(shè)每頭牛吃草的速度為"1"份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種

差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：

原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵問題：

確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量=（較長時間X長時間牛頭數(shù)-較短時間X短時間牛頭數(shù)）一（長時間-短時間）；

總草量=較長時間X長時間牛頭數(shù)-較長時間X生長量；

&周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律:

周期現(xiàn)象：

事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：

我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。

關(guān)鍵問題:

確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除;

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9、平均數(shù)：

基本公式：

①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)x總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和十總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進行計算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)

為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均

數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②

10、抽屜原理：

抽屜原則一：

如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體.

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：

?=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0@4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，

也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：

如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有：

④k=[n/m]+1個物體：當(dāng)n不能被m整除時。

◎k=n/m個物體：當(dāng)n能被m整除時。

理解知識點：

[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

關(guān)鍵問題：

構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算。

11、定義新運算：

基本概念：

定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：

嚴(yán)格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)

律進行運算。

關(guān)鍵問題：

正確理解定義的運算符號的意義.

注意事項：

①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

12.數(shù)列求和：

等差數(shù)列:

在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：

首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用al表示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：

等差數(shù)列中涉及五個量：al,an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四

個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：

通項公式：an=al+(n-1)d;

通項=首項+(項數(shù)一l)x公差；

數(shù)列和公式：sn,=(al+an)xn+2;

數(shù)列和=(首項+末項)x項數(shù)+2;

項數(shù)公式：n=(an+al)+d+1;

項數(shù)=（末項-首項）+公差+1;

公差公式:d=(an-al))+(n-1);

公差=（末項-首項）一（項數(shù)-1）；

關(guān)鍵問題：

確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13、二進制及其應(yīng)用：

十進制：

用0~9十個數(shù)字表示，逢10進1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20,百位

上的2表示200,所以234=200+30+4=2x102+3x10+4。

=Anx10n-l+An-1xl0n-2+An-2xl0n-3+An-3xl0n-4+An-4xl0n-5+An-6xl0n-7++A3

xl02+A2xl01+Alxl00

注意：N0=1;N1=N（其中N是任意自然數(shù)）

二進制：

用0~1兩個數(shù)字表示，逢2進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

（2）-Anx2n-l+An-1x2n-2+An-2x2n-3+An-3x2n-4+An-4x2n-5+An-6x2n-7

+......+A3x22+A2x21+Alx20

注意：不是就是

An010

十進制化成二進制：

①根據(jù)二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0,然后把每次所得的余數(shù)按自下而

上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一

直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。

14、加法乘法原理和幾何計數(shù)：

加法原理：

如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方

法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：ml+m2.......+mn種不同的

方法。

關(guān)鍵問題：

確定工作的分類方法。

基本特征：

每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：

如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進行，做第1步有ml種方法，不管第1步用哪一種方法，第2

步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：

mixm2.......xmn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：

確定工作的完成步驟。

基本特征：

每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：

一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：

沒有端點，沒有長度。

線段：

直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：

有兩個端點，有長度。

射線：

把直線的一端無限延長。

射線特點:

只有一個端點；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+...+（點數(shù)-1）;

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+...+（射線數(shù)一1）；

③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)x寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=lxl+2x2+3x3+...+行數(shù)x歹！j數(shù)

15、質(zhì)數(shù)與合數(shù):

質(zhì)數(shù)：

一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。

合數(shù)：

一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：

如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù).

分解質(zhì)因數(shù)：

把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分

解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式:

N=，其中al、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且al<a2<a3V......<an0<span="">

求約數(shù)個數(shù)的公式：

P=(rl+l)x(r2+l)x(r3+l)x......x(rn+l)

互質(zhì)數(shù)：

如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16、約數(shù)與倍數(shù)：

約數(shù)和倍數(shù)：

若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù).

公約數(shù)：

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù).

2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m.

例如:12的約數(shù)有L2、3、4、6、12;

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作（12,18）=6;

求最大公約數(shù)基本方法：

L分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48......;

18的倍數(shù)有：18、36、54、72......;

那么12和18的公倍數(shù)有:36、72、108……;

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36;

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

17、數(shù)的整除：

基本概念和符號：

L整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被

整除或能整除,記作

bbab|a0

2、常用符號:整除符號T,不能整除符號""；因為符號所以的符號

整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后T立數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除:

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最后T立數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

整除的性質(zhì)：

1.如果a、b能被c整除,那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18、余數(shù)及其應(yīng)用：

基本概念：

對任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a+b=q......r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做

a除以b的不完全商.<span="">

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

19、余數(shù)、同余與周期：

同余的定義：

①若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。

②已知三個整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作amb(modm),讀作a同

余于b模m。

同余的性質(zhì)：

①自身性:aHa(modm);

②對稱性：若a=b(modm),則bma(modm);

③傳遞性：若a=b(modm),bmc(modm),則a=c(modm);

④和差性:若a=b(modm),c=d(modm),則a+c=b+d(modm),a-c=b-d(modm);

⑤相乘性:若a=b(modm),c=d(modm),則axembxd(modm);

⑥乘方性：若a=b(modm),則an=bn(modm);

⑦同倍性:若a三b(modm),整數(shù)c,則axe三bxc(modmxc);

關(guān)于乘方的預(yù)備知識:

①若A=axb,則MA=Maxb=(Ma)b

②若B=c+d則MB=Mc+d=McxMd

被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個自然數(shù)M,n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)或(mod3);

②一個自然數(shù)M,X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M

=Y-X或M=ll-(X-Y)(mod11);

費爾馬小定理：

如果P是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-lHl(modp)。

20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用：

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位"1"平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù).

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位"1"平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進行思考。

②對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)

關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理

方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計

算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當(dāng)中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是

始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的

分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21、分?jǐn)?shù)大小的比較：

基本方法：

①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進行匕匕較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個分子或分母同時變化時分?jǐn)?shù)的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率

的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進行匕匕較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進行比較。

⑧大小比較法：用一個分?jǐn)?shù)減去另一個分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)匕匕較法：確定一個基準(zhǔn)數(shù)，每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)h匕較。

22、分?jǐn)?shù)拆分:

將一個分?jǐn)?shù)單位分解成兩個分?jǐn)?shù)之和的公式：

23.完全平方數(shù):

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0、L4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式：

X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：

(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：

(X-Y)2=X2-2XY+Y2

24、比和比例：

比：

兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。

比值：

比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：

比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：

表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：

兩個外項積等于兩個內(nèi)項積（交叉相乘），ad=bc。

正比例：

若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。

反比例：

若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。

比例尺：

圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：

把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

25、綜合行程:

基本概念：

行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系.

基本公式：

路程=速度X時間；路程+時間=速度；路程+速度=時間

關(guān)鍵問題：

確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間=路程差:速度差（寫出其他公式）

流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）乂順?biāo)畷r間

逆水行程=（船速-水速）X逆水時間

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度川罐-水速

靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：

已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意

兩個量，求第三個量。

26、工程問題：

基本公式：

①工作總量=工作效率X工作時間

②工作效率=工作總量+工作時間

③工作時間=工作總量+工作效率

基本思路：

①假設(shè)工作總量為"1"（和總工作量無關(guān)）；

②假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個

基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關(guān)鍵問題：

確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。

27、邏輯推理:

條件分析一假設(shè)法：

假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)

情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛

盾，那么a一定是奇數(shù)。

條件分析一列表法：

當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條

件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，

運用邏輯規(guī)律進行判斷。

條件分析一圖表法：

當(dāng)兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個對象之間的關(guān)系，有連線則表示"是，有"等

肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識或不認(rèn)識兩種狀態(tài)，有連線

表示認(rèn)識，沒有表示不認(rèn)識。

邏輯計算：

在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應(yīng)的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供

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