學(xué)案二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-教案課件-人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

(1)從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根

的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

(2)從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式.

①經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.能

借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.

②借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關(guān)系。

【學(xué)習(xí)過程】

一、自主學(xué)習(xí)

知識點(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系

J>0J=0J<0

d/k

y=ax2+bx+

4oAz/

c(a>0)的圖象

有兩個(gè)不相等有兩個(gè)相等的

ax1+bx+c=

的實(shí)數(shù)根無1，X2實(shí)數(shù)根Xl=X2=~沒有實(shí)數(shù)根

0(4>0)的根b

(X1<T2)2a

a)c+bx+c>Q[x\x<x\,或b

{4#一五}R

(a>0)的解集X>X2}

ax1++c<0

{X\X\<X<X2}00

(6Z>0)的解集

狀元隨筆一元二次不等式的解法:

(1)圖象法：一般地，當(dāng)a〉0時(shí)，解形如加+匕x+c>0(>0)或o^+Zzx+cvO(a<0)的

一元二次不等式，一般可分為三步：

①確定對應(yīng)方程加+公+。=0的解；②畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象簡圖；③由

圖象得出不等式的解集.

對于?<0的一元二次不等式，可以直接采取類似a>0時(shí)的解題步驟求解；也可以先把它

化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解.

(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當(dāng)p<q時(shí)，若(x-

p)(X—q)>0,則x>q或x<p；若(x—p)(x—q)<0,則p<x<q.有口訣如下“大于取兩邊，

小于取中間”.

教材解難：

教材P50思考

能.可以從2個(gè)角度來看

①函數(shù)的角度：一元二次不等式a^+bx+oQ表示二次函數(shù)y=ax1+bx+c的函數(shù)值大于

0,圖象在x軸的上方；一元二次不等式加+法+c>0的解集即二次函數(shù)圖象在x軸上方部分

的自變量的取值范圍.

②方程的角度：一元二次不等式a^+bx+oO的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程加+區(qū)+

c=0的根.

基礎(chǔ)自測：

1.下列不等式中是一元二次不等式的是()

A.<22J?+2>0

B.93

C.—m<0

D.爐一2%+1〉0

解析：選項(xiàng)A中，/=()時(shí)不符合；選項(xiàng)B是分式不等式；選項(xiàng)D中，最高次數(shù)為三次；

只有選項(xiàng)C符合.

答案：C

2.不等式x(x+1)00的解集為()

A.[—1,+oo)

B.[-1,0)

C.(-00,-1]

D.[-1,0]

解析：解不等式得一修g0,故選D.

答案：D

函數(shù)產(chǎn)產(chǎn)N?

3.的定義域?yàn)?)

A.[-7,1]

B.(-7,1)

C.(—oo,—7]U[1?+oo)

D.(—oo,-7)U(1,+oo)

解析：由7—6x—%2〉。，得f+Gx—7<0,即(x+7)(x—1)<0,所以一7<r<l,故選B.

答案：B

4.不等式l+2x+fg0的解集為.

解析：不等式i+2x+f4)化為G+1)2<0,解得x=-1.

答案：{—1}

二、素養(yǎng)提升

題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式(教材P52例1、2、3)

例1：(1)求不等式f—5元+6〉0的解集.

(2)求不等式外6x+l>0的解集.

(3)求不等式一f+Zx—?〉。的解集.

解析：(1)對于方程f—5x+6=0,因?yàn)?>0,所以它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.解得汨=2,及=3.

畫出二次函數(shù)y=^~5x+6的圖象(圖1),結(jié)合圖象得不等式f—5x+6〉0的解集為

{x\x<2,或x>3}.

(2)對于方程91-6*+1=0,因?yàn)?=0,所以它有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，解得汨=尬=/

畫出二次函數(shù)y=9f—6%+1的圖象(圖2),結(jié)合圖象得不等式9f-6%+1〉0的解集為

（3）不等式可化為f—2x+3<0.

因?yàn)?=-8<0,所以方程f—2r+3=0無實(shí)數(shù)根.

畫出二次函數(shù)y=/—2x+3的圖象（圖3）.

結(jié)合圖象得不等式x2—2x+3<0的解集為。.

因此，原不等式的解集為0.

因?yàn)榉匠蘕2—5x+6=0的根是函數(shù)y=x2—5x+6的零點(diǎn)，所以先求出x2—5x+6=0的

根，再根據(jù)函數(shù)圖象得到X2-5X+6>0的解集.

教材反思

我們以求解可化成加+bx+c>0（a>0）形式的不等式為例，用框圖表示其求解過程.

△V0

22

方程aj.2+In'+c方程aj+Ztr+c方程+bx+c

=0有兩個(gè)不相=0有兩個(gè)相等=0沒有實(shí)數(shù)根

等的實(shí)數(shù)根.解得的實(shí)數(shù)根.解得

一口，上、2（?門V）

■

V

原不等式的解集原不等式的解集為原不等式的解集

為《Z|上V2-1.或?yàn)镽

ZI才豐一

7>-1-2}

跟蹤訓(xùn)練1：解下列不等式:

(1)x2—78+12〉0；

(2)-x1-2x+3>0；

(3)x2—2x+1<0；

(4)-2f+3x-2<0.

解析：（1）因?yàn)椤?1>0,所以方程幺一7%+12=0有兩個(gè)不等實(shí)根a=3,及=4.再根

據(jù)函數(shù)y=f—7x+12的圖象開口向上，可得不等式f-7》+12>0的解集是{MxV3或尤>4}.

（2）不等式兩邊同乘一1,原不等式可化為f+Zx—BWO.因?yàn)?=16>0,所以方程V+

2%—3=0有兩個(gè)不等實(shí)根用=—3,超=1.再根據(jù)函數(shù)y=/+2x—3的圖象開口向上，可得不

等式一x2—2x+3K）的解集是{x|—3勺3}.

(3)因?yàn)?=0,所以方程f—2x+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)根㈤=X2=1.再根據(jù)函數(shù)

-2x+l的圖象開口向上，可得不等式x2—Zx+lVO的解集為。.

(4)原不等式可化為2f—3x+2>0,因此』=9-4x2x2=-7VO,所以方程2%2—3x+

2=0無實(shí)根，又二次函數(shù)y=2f—3x+2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.

題型二：三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

例2：已知關(guān)于x的不等式公2+bx+c>0的解集為｛x|2<r<3｝,求關(guān)于x的不等式c/+Zzx

+。<0的解集.

解析：方法一：由不等式ax2+bx+c>Q的解集為｛x[2<x<3｝可知，a<0,且2和3是方程

加+云+。=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知§=-5,'=6.由加0知c<0,與=￡,故不等

式cf+〃x+avO,即/+紇+@>(),即『一獲+]>0,解得或所以不等式cx1+bx+

ccoo32

a<0的解集為(一8，；)呢，+oo).

方法二：由不等式加+〃x+c>0的解集為｛x[2<x<3｝可知，<7<0,且2和3是方程加+法

+c=0的兩根，所以of+bx+cuQ(x—2)(x—3)=ax1—5ax+6a=>b=—5a,c=6a,故不

等式cx^+bx+a<Q,即bar2—5ax+a<0=>6a^—^x—^<0,故原不等式的解集為(一8,

&+4

狀元隨筆||由給定不等式的解集形式|T|確定a<0及關(guān)于a,b,c的方程組I-

用a表示b,c一代入所求不等式一求解cx2+bx+a<0的解集

方法歸納：

一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí),

要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.

(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對應(yīng)一元二次方程的

根，要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系.

(2)若一元二次不等式的解集為R或。，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時(shí)可以根據(jù)二次

函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍.

跟蹤訓(xùn)練2：已知一元二次不等式f+px+qcO的解集為卜■,求不等式q/+px

+1〉0的解集.

所以尤1=-3與X2=；是方程x1+px+q

解析：因?yàn)閒+px+q<0的解集為x

=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

fl1f1

廠5=—P'P=M

由根與系數(shù)的關(guān)系得J解得J1

〔鏟卜步心[L.

所以不等式qf+px+l〉。即為一"+今+1〉0,

整理得x2—x—6<0,解得一2<x<3.

即不等式qx^+px+1>0的解集為｛x|—2<r<3｝.

狀元隨筆|國給定不等式的解集形式|一|由根與系數(shù)的關(guān)系得p,q的方言'

t確定p,q的值一求不等式qx2+px+1>0的解集

題型三：含參數(shù)的一元二次不等式的解法

例3：解關(guān)于x的不等式2f+ax+2>0.

解析：對于方程Zf+or+ZnO,其判別式/=儲-16=(a+4)(a—4).

①當(dāng)a>4或a<—4時(shí)，/〉0,方程2^+0+2=0的兩根為汨=[(一“一卜屋一八),X2=

((-a+,\Ja2—16).

???原不等式的解集為

11

<->-

X44

②當(dāng)。=4時(shí)，zf=O,方程有兩個(gè)相等實(shí)根，XI=X2=-L

???原不等式的解集為｛4#-1).

③當(dāng)a=-4時(shí)，J=0,方程有兩個(gè)相等實(shí)根，尤1=及=1，

原不等式的解集為｛4#1｝.

④當(dāng)一4<a<4時(shí)，/<0,方程無實(shí)根，，原不等式的解集為R.

狀元隨筆|二次項(xiàng)系數(shù)為2,A=a2—16不是一個(gè)完全平方式，故不能確定根的個(gè)數(shù)，因此

需對判別式△的符號進(jìn)行討論，確定根的個(gè)數(shù).

方法歸納:

含參數(shù)一元二次不等式求解步驟

（1）討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號，即相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向；

（2）討論判別式的符號，即相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）當(dāng)/>0時(shí)，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大?。?/p>

（4）最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集.

跟蹤訓(xùn)練3解關(guān)于光的不等式（a+屋）％+爐>0.

解析：原不等式可變形為（%-?）-（x—/）>0,則方程（x—a）（X—/）=0的兩個(gè)根為

x\=a,%2=。2，

（1）當(dāng)a<0時(shí)，有a</,或x>/,此時(shí)原不等式的解集為｛x|x<a或x>/｝；

（2）當(dāng)0<。<1時(shí),有口>/,即或x>a,此時(shí)原不等式的解集為｛x|x<q2或x>q｝；

（3）當(dāng)a>l時(shí)，有即或x>/,此時(shí)原不等式的解集為｛x|x<a或x>/｝；

（4）當(dāng)a=0時(shí)，有#0；...原不等式的解集為｛x|xWR且燈0｝；

（5）當(dāng)。=1時(shí)，有中1,此時(shí)原不等式的解集為｛xkGR且存1｝；

綜上可知：

當(dāng)a<0或a〉l時(shí)，原不等式的解集為｛x|x<a或x>“2｝；

當(dāng)0<a<l時(shí)，原不等式的解集為｛%僅</或x>。｝；

當(dāng)。=0時(shí)，原不等式的解集為｛x|x￡R且/0｝；

當(dāng)。=1時(shí)，原不等式的解集為｛xlxGR且燈1｝.

不等式左邊分畫式］一|討論a的范圍|T|比較a與a2的大小|T國出不等式的解集'

題型四：一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用［經(jīng)典例題］

例4：某工廠的固定成本為3萬元，該工廠每生產(chǎn)100臺某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬元，設(shè)

生產(chǎn)該產(chǎn)品無（百臺），其總成本為g（龍）萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），并且銷售收

—0.5J?+7X—10.5,0<x<7,

入r（x）滿足r（尤）=<

13.5,x>7.

假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律求:

（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍？

（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時(shí)盈利最大？

解析：（1）依題意得g（x）=x+3,設(shè)利潤函數(shù)為/（x）,則

1—0.5f+6x—13.5,0<x<7,

f(x)=r(x)—g(x),所以f(x)=

10.5—x,x>7,

0<^<7,x>7,

要使工廠有盈利，則有了(X)>0,因?yàn)?(X)>0*或，

-0.5X2+6X-13.5>0一10.5—x>0

0<x<7,[x>7,[0<x<7,(x>7,

或<="或|則3<x<7或7<x<10.5,即3

y-12x+27<0-[10.5-x>0[3<x<9lx<10.5.

VxV10.5,所以要使工廠盈利，產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在大于300臺小于1050臺的范圍內(nèi).

(2)當(dāng)3〈后7時(shí)，fCx)=-0.5(x—6)2+4.5,故當(dāng)x=6時(shí)，/(%)有最大值4.5,而

當(dāng)x>7時(shí)，/(x)<10.5-7=3.5,所以當(dāng)工廠生產(chǎn)600臺產(chǎn)品時(shí)盈利最大.

(1)求利潤函數(shù)f(x)今解不等式f(x)>0,回答實(shí)際問題.

(2)根據(jù)第(1)題所求范圍，分類討論求函數(shù)最值,回答實(shí)際問題.

方法歸納：

解不等式應(yīng)用題的四步驟：

(1)審：認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系.

(2)設(shè)：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系.

(3)求：解不等式.

(4)答：回答實(shí)際問題.

特別提醒：確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”.

跟蹤訓(xùn)練4：某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征

稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將

征稅率降低x(樣0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個(gè)百分點(diǎn).

(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%,試確定x的取值范圍.

解析：(1)降低稅率后的稅率為(10—幻%,農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(l+2x%)萬擔(dān)，收購

總金額為200a(l+2x%)

依題意得，y=200a(1+2九%)(10-%)%

(100+2x)(10-x)(0<x<10).

(2)原計(jì)劃稅收為200a」0%=20a(萬元).

依題意得，(100+2x)(10—x)220ax83.2%,

化簡得『+40%—84或，

-42<x<2.

又,.?OVxVIO,：.Q<x<2.

：.x的取值范圍是{x|O〈啟2}.

狀元隨筆根據(jù)題意，列出各數(shù)量之間的關(guān)系表，如下:

原計(jì)劃降稅后

價(jià)格（元/擔(dān)）200200

稅率10%(10-x)%(0<x<10)

收購量（萬擔(dān)）aa(l+2x%)

收購總金額（萬元）200a200-a(l+2x%)

稅收y（萬元）200a-10%200-a(l+2x%)(10-x)%

三、學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)

（一）選擇題

1.不等式3f—2x+l>0的解集為（）

11

A.儼—r

f1]

C.0

D.R

解析：因?yàn)?=（-2）2-4x3xl=-8<0,所以拋物線yuBV—Zx+l開口向上，與x軸

無交點(diǎn)，故39—2%+1〉0恒成立，即不等式1?-2九+1〉0的解集為R.

答案：D

2.設(shè)機(jī)+”>0,則關(guān)于x的不等式（加一%）（〃+x）>0的解集是（）

A.{x|x<—?或x>m]

B.{x\—n<x<m}

C.{x|x<一加或

D.{x\—m<x<n}

解析：不等式（加一x）（/?+x）>0可化為（元一〃z）（x+〃）<0,方程（x—m）（x+n）=0

的兩根為即=機(jī)，xi=-n.由加+〃>0,得m>一幾,則不等式（x—機(jī)）（x+n）<0的解集是{x|

—n<x<m},故選B.

答案：B

3.不等式加+5尤+c>0的解集為“xS則a,c的值分別為()

A.。=6,c=1

B.a=-6,c=-l

C.。=1,c=\

D.a=-1,c=-6

解析：由題意知，方程加+5x+c=0的兩根為汨=/X2=：，由根與系數(shù)的關(guān)系得尤1+

1.1511c區(qū)力3-.

%2=§+g=_/XvX2=sx2=7r解得Q=-6,c=-1.

答案：B

4.若不等式/+如+々〉0的解集為R,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(2,+oo)

B.(—oo,2)

C.(—oo,0)U(2,+oo)

D.(0,2)

解析：由題意知原不等式對應(yīng)方程的/<0,即/n2-4xlxy<0,即m2-2m<0,解得0〈加<2,

故答案為D.

答案：D

(二)填空題

5.不等式(2x—5)(x+3)<0的解集為.

解析：方程⑵-5)(x+3)=0的兩根為xi=|,及=—3,函數(shù)尸⑵一5)(尤+3)的

圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0)和修，0),所以不等式(2x—5)(x+3)<0的解集為

x—3<r<2

答案：令<||

2x—1

6.不等式罰<0的解集為

解析：原不等式可以化為(2x—l)(2x+l)<0,

故原不等式的解集為H—去84}.

小自11

答案：x-^<21

7.用一根長為100m的繩子能圍成一個(gè)面積大于600m2的矩形嗎？若“能”，當(dāng)長=

m,寬=m時(shí)，所圍成的矩形的面積最大.

解析：設(shè)矩形一邊的長為刈1,則另一邊的長為(50—尤)m,0<Y<50.由題意，得x(50

-x)>600,即*-50*+600<0,解得204<30.所以，當(dāng)矩形一邊的長在(20,30)的范圍內(nèi)

取值時(shí)，能圍成一個(gè)面積大于60011?的矩形.用S表示矩形的面積