2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 第四章 圖形的相似4 探索三角形相似的條件第2課時(shí) 相似三角形的判定（2）教案 （新版）北師大版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件第2課時(shí)相似三角形的判定（2）教案（新版）北師大版課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來自于北師大版2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第四章“圖形的相似”第二節(jié)“相似三角形的判定（2）”。主要內(nèi)容包括：

1.判定兩個(gè)三角形相似的方法：AA相似定理、SAS相似定理、ASA相似定理、AAS相似定理。

2.應(yīng)用相似三角形的判定方法解決實(shí)際問題，如求解三角形的不明量（如邊長、角度等）。

3.熟記相似三角形的性質(zhì)，如對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等。

4.能夠運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題，提高學(xué)生的解決問題的能力。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)相似三角形的判定方法和性質(zhì)，學(xué)生能夠提高幾何直觀能力，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；同時(shí)，通過掌握判定定理和性質(zhì)定理，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，能夠運(yùn)用定理解決類似問題。此外，學(xué)生能夠利用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。在教學(xué)過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力，讓學(xué)生在探究活動(dòng)中，提升自主學(xué)習(xí)能力和問題解決能力。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）判定兩個(gè)三角形相似的方法：AA相似定理、SAS相似定理、ASA相似定理、AAS相似定理。

以AA相似定理為例，重點(diǎn)講解：如果兩個(gè)三角形的兩對角分別相等，則這兩個(gè)三角形相似。

（2）相似三角形的性質(zhì)，如對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等。

以對應(yīng)邊成比例為例，重點(diǎn)講解：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即如果兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊長分別為a、b和c、d，則有a/b=c/d。

（3）運(yùn)用相似三角形的判定方法和性質(zhì)解決實(shí)際問題，如求解三角形的不明量（如邊長、角度等）。

重點(diǎn)講解：如何運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)定理求解三角形的不明量，例如在已知兩個(gè)三角形的兩邊和夾角相等的情況下，如何求解第三邊的長度。

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）理解并掌握相似三角形的判定方法，尤其是AA相似定理、SAS相似定理、ASA相似定理、AAS相似定理。

難點(diǎn)舉例：學(xué)生可能難以理解當(dāng)兩個(gè)三角形的兩對角分別相等時(shí)，這兩個(gè)三角形為什么相似。

（2）運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題，尤其是如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，以及如何運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)定理求解三角形的不明量。

難點(diǎn)舉例：學(xué)生可能難以將實(shí)際問題抽象為相似三角形的模型，并運(yùn)用相關(guān)定理求解。

（3）邏輯推理能力的培養(yǎng)，如何引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行推理，從而解決實(shí)際問題。

難點(diǎn)舉例：學(xué)生可能難以運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行邏輯推理，從而解決類似問題。

針對以上重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師應(yīng)采取有針對性的教學(xué)方法，如通過具體案例講解相似三角形的判定方法，引導(dǎo)學(xué)生參與實(shí)際問題解決的探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力等，以幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，掌握核心知識(shí)。四、教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體投影儀、白板、幾何畫板軟件、量角器、直尺、三角板、教學(xué)掛圖。

2.課程平臺(tái)：北師大版數(shù)學(xué)課程平臺(tái)，提供教材電子版、教學(xué)視頻、習(xí)題庫等資源。

3.信息化資源：網(wǎng)絡(luò)搜索引擎、在線教育平臺(tái)（如作業(yè)幫、猿輔導(dǎo)等），用于查找相關(guān)教學(xué)案例、拓展知識(shí)及互動(dòng)交流。

4.教學(xué)手段：小組合作探究、討論交流、案例分析、問題解決、練習(xí)鞏固等。

5.教輔材料：北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊教材、教案冊、PPT課件、課后練習(xí)題、同步練習(xí)冊等。

6.參考文獻(xiàn)：相關(guān)數(shù)學(xué)教育論文、教學(xué)設(shè)計(jì)書籍、數(shù)學(xué)學(xué)科詞典等。

7.學(xué)生資源：學(xué)生自帶的三角板、量角器、直尺等學(xué)習(xí)工具。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對“相似三角形”的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道什么是相似三角形嗎？它與我們的生活有什么關(guān)系？”

展示一些關(guān)于相似三角形的圖片或?qū)嵗?，讓學(xué)生初步感受相似三角形的特點(diǎn)。

簡短介紹相似三角形的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.相似三角形基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解相似三角形的基本概念、判定方法和性質(zhì)。

過程：

講解相似三角形的定義，包括其主要判定方法和性質(zhì)。

詳細(xì)介紹相似三角形的判定方法（AA、SAS、ASA、AAS），使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.相似三角形案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解相似三角形的特性和重要性。

過程：

選擇幾個(gè)典型的相似三角形案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解相似三角形的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用相似三角形解決實(shí)際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與相似三角形相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對相似三角形的認(rèn)識(shí)和理解。

過程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)相似三角形的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括相似三角形的基本概念、判定方法和性質(zhì)等。

強(qiáng)調(diào)相似三角形在現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用相似三角形。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于相似三角形的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。六、知識(shí)點(diǎn)梳理本節(jié)課主要涉及以下知識(shí)點(diǎn)：

1.相似三角形的定義：

-兩個(gè)三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似。

2.相似三角形的判定方法：

-AA相似定理：如果兩個(gè)三角形的兩對角分別相等，則這兩個(gè)三角形相似。

-SAS相似定理：如果兩個(gè)三角形的一條邊和夾角分別相等，則這兩個(gè)三角形相似。

-ASA相似定理：如果兩個(gè)三角形的有兩邊和夾角分別相等，則這兩個(gè)三角形相似。

-AAS相似定理：如果兩個(gè)三角形的兩對角和一邊分別相等，則這兩個(gè)三角形相似。

3.相似三角形的性質(zhì)：

-相似三角形的對應(yīng)邊成比例。

-相似三角形的對應(yīng)角相等。

-相似三角形的面積比等于相似比的平方。

4.相似三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用：

-求解三角形的不明量（如邊長、角度等）。

-相似三角形的性質(zhì)在工程、建筑、設(shè)計(jì)等領(lǐng)域的應(yīng)用。

5.相似三角形的判定與性質(zhì)的證明：

-使用三角板、量角器、直尺等工具進(jìn)行判定與證明。

-運(yùn)用幾何畫板軟件進(jìn)行直觀演示與證明。

6.相似三角形的反證法：

-運(yùn)用反證法證明兩個(gè)三角形不相似的方法。

7.相似三角形的變形：

-相似三角形的相似比、位似比的概念及計(jì)算。

-相似三角形的形狀、大小關(guān)系。

8.相似三角形的對稱性：

-相似三角形的軸對稱性、中心對稱性。

9.相似三角形與全等三角形的關(guān)系：

-相似三角形一定不全等，但全等的三角形一定相似。

10.相似三角形的教學(xué)意義：

-培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力、邏輯思維能力。

-提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。七、重點(diǎn)題型整理1.題型一：判斷兩個(gè)三角形是否相似

例1：判斷下列兩組三角形是否相似：

A.∠A=∠B,∠C=∠D,AB/BC=CD/DA

B.∠A=∠C,∠B=∠D,AC/BC=AD/BD

解答：A組三角形相似，因?yàn)闈M足AA相似定理；B組三角形不相似，因?yàn)闆]有滿足任何相似定理。

2.題型二：運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求解三角形的不明量

例2：已知三角形ABC中，∠A=30°，AB=3,BC=4，求AC的長度。

解答：作輔助線，構(gòu)造相似三角形ABD和BCD，其中∠DAB=∠CBD=90°。

因?yàn)椤螦=30°，所以∠ADB=60°。

由勾股定理得：BD=√(AB2-AD2)=√(32-1.52)=√(9-2.25)=√6.75。

由相似三角形的性質(zhì)得：AC/AB=BD/BC，即AC/3=√6.75/4。

解得：AC=3×(√6.75/4)=3×(√(25/4)×√(0.7))=3×(5/4)×√0.7=15/4×√0.7。

3.題型三：運(yùn)用相似三角形的判定方法解決實(shí)際問題

例3：一塊平行四邊形鐵皮，其中一個(gè)角剪去一個(gè)等腰直角三角形后，剩余部分能否折成一只正方形？

解答：可以。設(shè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C、D，剪去的等腰直角三角形的頂點(diǎn)為E，底邊為CD。

因?yàn)椤螦ED=45°，所以∠AEC=45°。

由相似三角形的性質(zhì)得：∠AEC/∠AED=AC/AD，即45°/45°=AC/AD。

解得：AC=AD。

所以，剩余部分可以折成一只正方形。

4.題型四：運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)定理進(jìn)行證明

例4：證明：如果兩個(gè)三角形的兩邊和夾角分別相等，則這兩個(gè)三角形相似。

解答：已知三角形ABC和三角形DEF中，AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF。

構(gòu)造輔助線，連接BD和EF，使其交于點(diǎn)G。

由勾股定理得：BD2=AB2-AD2，EF2=DE2-DF2。

因?yàn)椤螧AC=∠EDF，所以∠BAD=∠EDF。

由相似三角形的性質(zhì)得：∠BAD/∠EDF=AB/DE=AC/DF。

所以，三角形ABD和三角形EDF相似。

因此，三角形ABC和三角形DEF相似。

5.題型五：運(yùn)用相似三角形的對稱性解決實(shí)際問題

例5：一個(gè)正三角形沿著一條高剪成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的面積比是多少？

解答：設(shè)原正三角形的邊長為a，高為h。

則原正三角形的面積為(√3/4)a2。

剪成兩個(gè)三角形后，每個(gè)三角形的面積為(1/2)ah。

由相似三角形的性質(zhì)得：兩個(gè)三角形的面積比為(1/2)ah/((√3/4)a2)=(2/√3)。

所以，這兩個(gè)三角形的面積比為2√3/3。八、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測1.課堂小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了相似三角形的定義、判定方法、性質(zhì)以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用。相似三角形是幾何學(xué)中的重要概念，與我們的生活息息相關(guān)。通過學(xué)習(xí)相似三角形，我們能夠更好地理解和運(yùn)用幾何知識(shí)解決實(shí)際問題。

相似三角形的定義是指兩個(gè)三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。這一定義是相似三角形的基礎(chǔ)，也是我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用相似三角形的前提。

相似三角形的判定方法主要包括AA相似定理、SAS相似定理、ASA相似定理和AAS相似定理。這些定理為我們判斷兩個(gè)三角形是否相似提供了有力的工具，也是我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用相似三角形的關(guān)鍵。

相似三角形的性質(zhì)包括對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等和面積比等于相似比的平方。這些性質(zhì)是我們理解和運(yùn)用相似三角形的重要基礎(chǔ)，也是我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用相似三角形的必要條件。

相似三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用非常廣泛，例如在工程、建筑、設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，相似三角形的性質(zhì)可以幫助我們解決實(shí)際問題，提高工作效率。

2.當(dāng)堂檢測

為了檢驗(yàn)同學(xué)們對本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，我將給出以下幾道題目，請同學(xué)們認(rèn)真完成。

（1）判斷下列兩組三角形是否相似：

A.∠A=∠B,∠C=∠D,AB/BC=CD/DA

B.∠A=∠C,∠B=∠D,AC/BC=AD/BD

（2）已知三角形ABC中，∠A=30°，AB=3,BC=4，求AC的長度。

（3）一塊平行四邊形鐵皮，其中一個(gè)角剪去一個(gè)等腰直角三角形后，剩余部分能否折成一只正方形？

（4）證明：如果兩個(gè)三角形的兩邊和夾角分別相等，則這兩個(gè)三角形相似。

（5）一個(gè)正三角形沿著一條高剪成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的面積比是多少？

同學(xué)們，請認(rèn)真完成這些題目，并思考相似三角形的定義、判定方法、性質(zhì)以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用。通過這些題目，我們可以檢驗(yàn)自己對相似三角形的理解和掌握程度，也可以提高自己的解題能力。希望同學(xué)們能夠取得好的成績，加油！板書設(shè)計(jì)①相似三角形的定義：

-對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例

②相似三角形的判定方法：

-AA相似定理：兩對角分別相等

-SAS相似定理：一條邊和夾角分別相等

-ASA相似定理：兩角和一邊分別相等

-AAS相似定理：兩對角和一邊分別相等

③相似三角形的性質(zhì)：