浙江省衢州市五校2025屆高三級(jí)第三次統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題試卷含解析

浙江省衢州市五校2025屆高三級(jí)第三次統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則（）．A． B．C． D．2．某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）A．36種 B．44種 C．48種 D．54種3．在一個(gè)數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，，公積為，則（）A． B． C． D．4．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．5．設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．命題：存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，使得恒成立；：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．7．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．48．3本不同的語(yǔ)文書(shū)，2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，從中任意取出2本，取出的書(shū)恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的概率是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．10．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為99，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線，且，則的最小值為()A． B．0 C． D．12．已知的共軛復(fù)數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“”是“”的__________條件.（填寫(xiě)“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）14．已知，則_____。15．直線（，）過(guò)圓：的圓心，則的最小值是______.16．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，則的取值范圍為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知三棱柱中，，是的中點(diǎn)，，.（1）求證：；（2）若側(cè)面為正方形，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知矩陣，.求矩陣；求矩陣的特征值.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點(diǎn).（1）證明:平面（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足.（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與（Ⅰ）中曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△面積的最大值及此時(shí)直線的方程.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)）.當(dāng)直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為.①若，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②若直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，試判斷是否為定值，并說(shuō)明理由.22．（10分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求函數(shù)的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目,2．B【解析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位；任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案．【詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F，如果任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位，剩下四個(gè)位置，先排好D、F，再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C，此時(shí)共有排列方法：；如果任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位，則B，C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有，可能都在A、E的右側(cè)，排列方法有；如果任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，則B，C分別在A、E的兩側(cè)；所以不同的執(zhí)行方案共有種．本題考查了排列組合問(wèn)題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．3．B【解析】

計(jì)算出的值，推導(dǎo)出，再由，結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由題意可知，則對(duì)任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.4．D【解析】

作出圖象，取AB中點(diǎn)E，連接EF2，設(shè)F1A＝x，根據(jù)雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進(jìn)而得到e的值【詳解】解：取AB中點(diǎn)E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F(xiàn)1A＝AE＝EB，設(shè)F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問(wèn)題，關(guān)鍵是列出含有中兩個(gè)量的方程，有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理，從而求出離心率.5．B【解析】

根據(jù)題意,畫(huà)出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B本題考查了向量加法的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】

分別判斷命題和的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于命題，由于，所以命題為真命題.對(duì)于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數(shù)，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，①.成等比數(shù)列，②，解①②可得.故選：.本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】

把5本書(shū)編號(hào)，然后用列舉法列出所有基本事件．計(jì)數(shù)后可求得概率．【詳解】3本不同的語(yǔ)文書(shū)編號(hào)為，2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)編號(hào)為，從中任意取出2本，所有的可能為：共10個(gè)，恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的只有一種，∴所求概率為．故選：D.本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫(xiě)出所有的基本事件，然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率．9．A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得的值，再求得的值.【詳解】依題意，.故選：A本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，即可容易求得結(jié)果.【詳解】運(yùn)行該程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此時(shí)要輸出的值為99.此時(shí).故選：C.本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎(chǔ)題.11．D【解析】

運(yùn)用輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，由對(duì)稱(chēng)軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設(shè)，，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值，故選D.本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.12．D【解析】

設(shè)，整理得到方程組，解方程組即可解決問(wèn)題．【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，解得：，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，此點(diǎn)位于第四象限.故選D本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識(shí)，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.14．【解析】

由已知求，再利用和角正切公式，求得，【詳解】因?yàn)樗詂os因此.本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。15．；【解析】

求出圓心坐標(biāo)，代入直線方程得的關(guān)系，再由基本不等式求得題中最小值．【詳解】圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，由題意，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：．本題考查用基本不等式求最值，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題方法是配方法求圓心坐標(biāo)，“1”的代換法求最小值，目的是湊配出基本不等式中所需的“定值”．16．【解析】

真數(shù)有最小值，根據(jù)已知可得的范圍，求出函數(shù)的最小值，建立關(guān)于的不等量關(guān)系，求解即可.【詳解】，且（且）有最小值，，的取值范圍為.故答案為：.本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明平面得出，再得出；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，計(jì)算，即可得出答案．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，，，，，故，又，，平面，平面，，，分別是，的中點(diǎn)，，．（2）解：四邊形是正方形，，又，，平面，平面，在平面內(nèi)作直線的垂線，以為原點(diǎn)，以，，為所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，2，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得：，，，，．直線與平面所成角的正弦值為，．本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間向量與空間角的計(jì)算，屬于中檔題．18．；，.【解析】

由題意，可得，利用矩陣的知識(shí)求解即可.矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，求出矩陣的特征值.【詳解】設(shè)矩陣，則，所以，解得，，，，所以矩陣；矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，解得，，即矩陣的兩個(gè)特征值為，.本題考查矩陣的知識(shí)點(diǎn)，屬于常考題.19．（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，由菱形的性質(zhì)以及中位線，得，由平面平面，且交線，得平面，故而，最后由線面垂直的判定得結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)建平面直角坐標(biāo)系，求出平面平與平面的法向量，，最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解：（1）連結(jié)∵，且是的中點(diǎn)，∴∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴又為菱形，且為棱的中點(diǎn)，∴∴.又∵，平面∴平面.（2）由題意有，∵四邊形為菱形，且∴分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則設(shè)平面的法向量為由，得，令，得取平面的法向量為∴二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為處理線面垂直問(wèn)題時(shí)，需要學(xué)生對(duì)線面垂直的判定定理特別熟悉，運(yùn)用幾何語(yǔ)言表示出來(lái)方才過(guò)關(guān)，一定要在已知平面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直，才可以證得線面垂直，其次考查了學(xué)生運(yùn)用空間向量處理空間中的二面角問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象力.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程；（2）設(shè)出直線方程后，采用（表示原點(diǎn)到直線的距離）表示面積，最后利用基本不等式求解最值.【詳解】解：（Ⅰ）由定義法可得，點(diǎn)的軌跡為橢圓且，.因此橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為與橢圓交于點(diǎn)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去可得，即，.面積可表示為令，則，上式可化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因此面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.常見(jiàn)的利用定義法求解曲線的軌跡方程問(wèn)題：（1）已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足且，則的軌跡是橢圓；（2）已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足且，則的軌跡是雙曲線.21．（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②【解析】

（1）由題意焦距為2，設(shè)點(diǎn)，代入橢圓，解得，從而四邊形的面積，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，推導(dǎo)出，，，，由此猜想：直線過(guò)定點(diǎn)，從而能證明，，三點(diǎn)共線，直線過(guò)定點(diǎn)．②由題意設(shè)，，，，直線，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：，得，推導(dǎo)出，，由此推導(dǎo)出（定值）．【詳解】（1）由題意焦距為2，可設(shè)點(diǎn)，代入橢圓，得，解得，四邊形的面積，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，，解得，從而，，，同理可得，，猜想：直線過(guò)定點(diǎn)，下證之：，，，，三點(diǎn)共線，直線過(guò)定點(diǎn)．②為定值，理由如下：由題意設(shè)，，，，直線，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：，得，，，，（定值）．本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明，考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法，考查橢圓、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．22．（1）見(jiàn)解析（2）的最小值為【解析】

（1）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，令，可得；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)