云南省施甸縣第一中學(xué)2025屆高三2月命制數(shù)學(xué)試題含解析

云南省施甸縣第一中學(xué)2025屆高三2月命制數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于函數(shù)，定義滿足的實數(shù)為的不動點，設(shè)，其中且，若有且僅有一個不動點，則的取值范圍是（）A．或 B．C．或 D．2．的展開式中的常數(shù)項為()A．－60 B．240 C．－80 D．1803．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．34．已知集合，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點依次記為，且，則（）A． B． C． D．6．已知等比數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若，則實數(shù)a的值為()A． B．3 C． D．8．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．9．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)所有直線與l異面B．α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交10．已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點，則（）．A． B． C． D．11．若點是角的終邊上一點，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)（，且）在區(qū)間上的值域為，則（）A． B． C．或 D．或4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲，乙兩隊參加關(guān)于“一帶一路”知識競賽，甲隊有編號為1，2，3的三名運動員，乙隊有編號為1，2，3，4的四名運動員，若兩隊各出一名隊員進行比賽，則出場的兩名運動員編號相同的概率為______.14．已知點M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動點，當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時，該切線的方程為_______．15．如圖，直三棱柱中，，，，P是的中點，則三棱錐的體積為________.16．已知雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩漸近線對稱點重合，則雙曲線的離心率為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點，直線與曲線交于，兩點，求的值.18．（12分）已知橢圓：的離心率為，右焦點為拋物線的焦點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為坐標(biāo)原點，過作兩條射線，分別交橢圓于、兩點，若、斜率之積為，求證：的面積為定值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點是直線的一點，過點作曲線的切線，切點為，求的最小值.20．（12分）（江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行于軸的動直線交拋物線：于點，點為的焦點.圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設(shè)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線相切于點，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點，.當(dāng)線段的長度最小時，求的值.21．（12分）如圖,設(shè)點為橢圓的右焦點，圓過且斜率為的直線交圓于兩點，交橢圓于點兩點，已知當(dāng)時，（1）求橢圓的方程.（2）當(dāng)時，求的面積.22．（10分）已知函數(shù)，將的圖象向左移個單位，得到函數(shù)的圖象.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，的一條對稱軸是，求在的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)不動點的定義，利用換底公式分離參數(shù)可得；構(gòu)造函數(shù)，并討論的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)圖象，即可確定的取值范圍.【詳解】由得，.令，則，令，解得，所以當(dāng)時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，即最大值為，則的圖象如下圖所示：由有且僅有一個不動點，可得得或，解得或.故選：C本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用，屬于中檔題.2．D【解析】

求的展開式中的常數(shù)項，可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項和項，再求和即可得出答案.【詳解】由題意，中常數(shù)項為，中項為，所以的展開式中的常數(shù)項為：.故選：D本題主要考查二項式定理的應(yīng)用和二項式展開式的通項公式，考查學(xué)生計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識進行判斷．(2)當(dāng)一個命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：①若由“”經(jīng)過邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．4．B【解析】

求出集合，利用集合的基本運算即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，則集合，所以，.故選：B.本題主要考查集合的基本運算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】

令，求出在的對稱軸，由三角函數(shù)的對稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令，得，即對稱軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.本題考查了三角函數(shù)的對稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.6．B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，選B.7．B【解析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)周期，利用周期性和函數(shù)值，即可求得.【詳解】由已知可知，，所以函數(shù)是一個以4為周期的周期函數(shù)，所以，解得，故選：B.本題考查函數(shù)周期的求解，涉及對數(shù)運算，屬綜合基礎(chǔ)題.8．A【解析】

選取中間值和，利用對數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.9．D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.10．B【解析】

根據(jù)角終邊上的點坐標(biāo)，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因為終邊上有一點，所以，故選：B此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.11．A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點是角的終邊上一點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則，故選A.本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式，準(zhǔn)確化簡、計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

對a進行分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知，.討論：當(dāng)時，，所以，，所以；當(dāng)時，，所以，，所以.綜上，或，故選C.本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題，指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

出場運動員編號相同的事件顯然有3種，計算出總的基本事件數(shù)，由古典概型概率計算公式求得答案.【詳解】甲隊有編號為1，2，3的三名運動員，乙隊有編號為1，2，3，4的四名運動員，出場的兩名運動員編號相同的事件數(shù)為3，出現(xiàn)的基本事件總數(shù)，則出場的兩名運動員編號相同的概率為.故答案為：本題考查求古典概率的概率問題，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，利用基本不等式可得切點橫坐標(biāo)，從而可得切線方程.【詳解】，，＝1時有最小值1，此時M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．故答案為：.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).15．【解析】

證明平面，于是，利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】平面，平面，，又.平面，是的中點，.

故答案為：本題考查了線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合，可得一條漸近線的斜率為1，即，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】解：雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合，一條漸近線的斜率為1，即，，，故答案為：．本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計算能力，確定一條漸近線的斜率為1是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；（2）將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程，可得，，而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知，代入即可解決.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去；得曲線的極坐標(biāo)方程為.由，，，可得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入的方程，可得，，設(shè)，是點對應(yīng)的參數(shù)值，，，則.本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義，是一道容易題.18．（1）；（2）見解析【解析】

（1）由條件可得，再根據(jù)離心率可求得，則可得橢圓方程；（2）當(dāng)與軸垂直時，設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立求得的坐標(biāo)，通過、斜率之積為列方程可得的值，進而可得的面積；當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)，，的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和、斜率之積為可得，再利用弦長公式求出，以及到的距離，通過三角形的面積公式求解.【詳解】（1）拋物線的焦點為，，，，，，橢圓方程為；（2）（?。┊?dāng)與軸垂直時，設(shè)直線的方程為：代入得：，，，解得：，；（ⅱ）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)，，的方程為由，由①，，，即整理得：代入①得：到的距離綜上：為定值.本題考查橢圓方程的求解，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題.19．（1），；（2）見解析【解析】

（1）消去t,得直線的普通方程，利用極坐標(biāo)與普通方程互化公式得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）判斷與圓相離，連接，在中，，即可求解【詳解】（1）將的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)，得.因為，，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）知曲線是以為圓心，3為半徑的圓，設(shè)圓心為，則圓心到直線的距離，所以與圓相離，且.連接，在中，，所以，，即的最小值為.本題考查參數(shù)方程化普通方程，極坐標(biāo)與普通方程互化，直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題20．(1)．(2)見解析.【解析】試題分析：（1）設(shè)根據(jù)題意得到，化簡得到軌跡方程；（2）設(shè)，，，，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值.解析：（1）因為拋物線的方程為，所以的坐標(biāo)為，設(shè)，因為圓與軸、直線都相切，平行于軸，所以圓的半徑為，點，則直線的方程為，即，所以，又，所以，即，所以的方程為．（2）設(shè)，，，由（1）知，點處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設(shè)，由，所以，，所以，，所以．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值也是最小值，即取得最小值，此時．點睛：求軌跡方程，一般是問誰設(shè)誰的坐標(biāo)然后根據(jù)題目等式直接求解即可，而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式，例如，可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)進行運算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來理解，然后借助韋達定理求解即可運算此類題計算一定要仔細(xì).21．（1）（2）【解析】

（1）先求出圓心到直線的距離為，再根據(jù)得到，解之即得a的值，再根據(jù)c=1求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出，，再求得的面積.【詳解】(1)因為直線過點，且斜率.所以直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離為，又因為，圓的半徑為，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示橢圓的方程為.(2)由(1)得，橢圓的右準(zhǔn)線方程為，離心率，則點到右準(zhǔn)線的距離為，所以，即，把代入橢圓方程得，，因為直線的斜率，所以，因為直線經(jīng)過和，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組得，解得或，所以，所以的面積.本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的方程的求法，考查三角形面積的計算，意在考查學(xué)生