初中數(shù)學(xué)壓軸題

中考數(shù)學(xué)壓軸題精編

1.(河南省)如圖，直線與反比例函數(shù)(x>0)的圖象交于A(1,6),B

X

(a,3)兩點.

(1)求用、心的值；

(2)直接寫出自x+6—反>0時x的取值范圍；

X

(3)如圖，等腰梯形。中，BC//OD,OB=CD,0。邊在x軸上，過點C作CEJ_0D

于E,CE和反比例函數(shù)的圖象交于點P,當(dāng)梯形0BCD的面積為12時，請判斷PC和PE

的大小關(guān)系，并說明理由.

(1)由題息知：后=1x6=6................................................1分

...反比例函數(shù)的解析式為y=-

X

又B(a,3)在y=°的圖象上，；.a=2,(2,3)

X

???直線ynkix+b過A(1,6),B(2,3)兩點

[k+b=6口供1=一3八

]1解得41...........................................4分

[2kl+b=3[b=9

(2)x的取值范圍為l<x<2..............................................6分

(3)當(dāng)S梯形OBCD=12時，PC=PE..........................................7分

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(m,〃)，'：BC//OD,CE±OD,OB=CD,B(2,3)

/.C(.m,3),CE=3,BC=m—2,OD=m+2

sOBCD=-(BC+OD)-CE,即12=-X(m-2+/?.+2)X3

22

3i

???加=4,mn=6,.\n=—,BPPE——CE

22

：.PC=PE................................................................10分

2.(河南省)

(1)操作發(fā)現(xiàn)?

如圖，矩形ABCO中，E是的中點，將AABE沿BE折疊后得到△GBE,且點G在矩形

ABCD內(nèi)部.小明將BG延長交0c于點R認為GF=DF,你同意嗎？說明理由.

(2)問題解決

保持(1)中的條件不變，若。C=2DR求絲的值；

AB

(3)類比探究

保持(1)中的條件不變，若DdDF,求絲的值.

AB

2.解:

(1)同意.連接EF,則/EGP=/O=90。，EG=AE=ED,EF=EF

RtA￡GF^RtA￡DF,/.GF=DF..........................................................3分

(2)由(1)GF=DF,設(shè)。尸=x,BC=y,則有GF=x,AD=y

?：DC=2DF,：.CF=x,DC=AB=BG=2x

：.BF=BG+GF=3x

在RtZXBCP中，BC2+CF2=BF2,即/+/=(3苫)2

:.y=26x,=—=V2...................................................6分

'AB2x

(3)由(1)知GF=O尸，DF=X,BC=y,則有GF=x,AD=y

'：DC=n-DF,：.DC=AB=BG=nx

：.CF=(n-l)x,BF=BG+GF=(n+l)x

在RtZSBCP中，BC2+CF2=BF2,即/+[(〃-1)X]2=[(〃+1)X]2

:.y=lGx,二改=上=型E(或二)

...............................................................10分

ABnxn

3.(河南省)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)

三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為相，△AM2的面積為S.求S

關(guān)于相的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

(3)若點尸是拋物線上的動點，點。是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得

點。、B,。為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點。的坐標(biāo).

3.解：

(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a/+6x+c(aWO),則有

16^—4Z?+c=0

<c=-4解得《5=1

4a+2b+c=O

拋物線的解析式為y=-/+x-4.................................................3分

2

17

(2)過點M作"。_Lx軸于點。，設(shè)M點的坐標(biāo)為(機，-m+m-4)

2

12

則A￡)=機+4,MD=——m—m+4

S=SZ\4MD+S梯形QM50-SAABO

1171191

=—(m+4)(——m—m+4)+—(——m—m+4+4)(—m)——x4x4

22222

2

=—m—4m(—4<m<0)............................................................................................6分

27

BP5——m—4m——(m+2)+4

二?S最大值=4...............................................................................................................................7分

(3)滿足題意的。點的坐標(biāo)有四個，分別是：(―4,4),(4,-4)

(-2+2石，2—2石)，(-2-275,2+2石)...........................H分

2014年中考數(shù)學(xué)分類匯編—與特殊四邊形有關(guān)的填空壓軸題

2014年與特殊四邊形(正多邊形)有關(guān)的填空壓軸題，題目展示涉及：折疊問題；旋

轉(zhuǎn)問題；三角形全等問題；平面展開-最短路徑問題；動點問題的函數(shù)圖象問題.知識點涉

及：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的判定和性質(zhì)；解直角三角形，勾股定理，正多邊形

性質(zhì)；銳角三角函數(shù).數(shù)學(xué)思想涉及：分類討論；數(shù)形結(jié)合；方程思想.現(xiàn)選取部分省市的

2014年中考題展示，以饗讀者.

【題1】（2014.年河南省第題）如圖矩形ABCD中，AD=5,AB=7,點E為DC上一個

動點，把4ADE沿AE折疊，當(dāng)點D的對應(yīng)點D'落在NABC的角平分線上時，DE的長

為-,

【考點】：翻折變換（折疊問題）.

【分析】：連接BD',過D'作MNLAB,交AB于點M,CD于點N,作D'P1BC

交BC于點P,先利用勾股定理求出MD',再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

【解答】：解：如圖，連接BD',過D'作MNLAB,交AB于點M,CD于點N,作

D'P_LBC交BC于點P,

:點D的對應(yīng)點D'落在NABC的角平分線上，

AMD,=PD',

設(shè)MD'=x,貝IJPD'=BM=x,

.\AM=AB-BM=7-x,

又折疊圖形可得AD=AD'=5,

x2+（7-x）2=25,解得x=3或4,

即MD'=3或4.

在RTVXEND，中，設(shè)ED，=a,

①當(dāng)MD'=3時，D'E=5-3=2,EN=7-CN-DE=7-3-a=4-a,

??a=2+（4-a）,

解得a=2即DE=也，

22

②當(dāng)MD'=4時，D'E=5-4=1,EN=7-CN-DE=7-4-a=3-a,

..a=1+（3-a;，

解得a=g即DE=g

33

故答案為：王或巨

23

【點評】：本題主要考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應(yīng)

相等的.

【題2】（2014年四川省綿陽市第17題）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、

CD上的點，ZEAF=45°,4ECF的周長為4,則正方形ABCD的邊長為

【考點工旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).

【分析工根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NEAF'=45。，進而得出△FAEgAEAF',即可得出

EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF/=4,得出正方形邊長即可.

【解答］解：將4DAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度到△BAP位置，

由題意可得出：△DAFgZXBAF',

：.DF=BF',ZDAF=ZBAFZ,

.*.ZEAF/=45°,

在AFAE和中

'AF=AF'

'NFAE=NEAF'，

,AE=AE

.,.△FAE^AEAF,(SAS),

.*.EF=EF,,

「△ECF的周長為4,

...EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF,=4,

；.2BC=4,

；.BC=2.

【點評】：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出

△FAE^AEAFZ是解題關(guān)鍵.

【題3】(2014年湖北隨州第16題)如圖1,正方形紙片ABCD的邊長為2,翻折NB、

ZD,使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P、EF、GH分別是折痕(如圖2).設(shè)AE=x

(0<x<2),給出下列判斷：

①當(dāng)x=l時，點P是正方形ABCD的中心；

②當(dāng)x=』時，EF+GH>AC；

2

③當(dāng)0<x<2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是豆；

④當(dāng)0<x<2時，六邊形AEFCHG周長的值不變.

其中正確的是—(寫出所有正確判斷的序號).

圖1圖2

【考點】：翻折變換(折疊問題)；正方形的性質(zhì).

【分析】：(1)由正方形紙片ABCD,翻折NB、ZD,使兩個直角的頂點重合于對角線

BD上一點P,得出4BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以當(dāng)AE=1時，重合點P是

BD的中點，即點P是正方形ABCD的中心；

(2)由△BEFszXBAC,得出EF=g\C,同理得出GH=』AC,從而得出結(jié)論.

44

(3)由六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-4EBF的面積-46口11的面積.得

出函數(shù)關(guān)系式，進而求出最大值.

(4)六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH++HG+AG=(AE+CF)+(FC+AG)+(EF+GH)

求解.

【解答］解：(1)正方形紙片ABCD,翻折/B、ZD,使兩個直角的頂點重合于對角

線BD上一點P,

AABEF和△三DGH是等腰直角三角形，

.?.當(dāng)AE=1時，重合點P是BD的中點，

點P是正方形ABCD的中心；

故①結(jié)論正確，

(2)正方形紙片ABCD,翻折NB、/D,使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P,

.,.△BEF^ABAC,

..1

?X=—,

2

BE=2-2=2

22

3

?BE-EFpn2_EF

BAAC2AC

.?.EF=?AC,

4

同理，GH=1AC,

4

；.EF+GH=AC,

故②結(jié)論錯誤，

(3)六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-4EBF的面積-46口11的面積.

：AE=x,

，六邊形AEFCHG面積=22-1BE-BF-1GD?HD=4-lx(2-x)?(2-x)-2x?x=-

2222

X2+2X+2=-(x-1)2+3,

六邊形AEFCHG面積的最大值是3,

故③結(jié)論錯誤，

(4)當(dāng)0<x<2時，

VEF+GH=AC,

六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH++HG+AG=(AE+CF)+(FC+AG)+(EF+GH)

=2+2+2&=4+2料

故六邊形AEFCHG周長的值不變，

故④結(jié)論正確.

故答案為：①④.

【點評】：考查了翻折變換(折疊問題)，菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC,綜

合性較強，有一定的難度.

【題4】(2014江西第13題)如圖，是將菱形ABCD以點0為中心按順時針方向分別旋

轉(zhuǎn)90°,180°,270。后形成的圖形。若NBAD=60。,AB=2,則圖中陰影部分的面積為

【考點】菱形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【分析】連接AC、BD,AO、BO,AC與BD交于點E,求出菱形對角線AC長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)可知ACUC0。在RtZUOC中，根據(jù)勾股定理求出AO=CO=^^=J^=n，從而求出

RtaAOC的面積，再減去4ACD的面積得陰影部分AOCD面積，一共有四個這樣的面積，乘以

4即得解。

【解答】

解：連接BD、AC,相交于點E,連接AO、COo

?.?因為四邊形ABCD是菱形，

.\AC±BD,AB=AD=2。

：/BAD=60°,

.,.△ABD是等邊三角形，BD=AB=2,

ZBAE=-ZBAD=30°,AE=-AC,BE=DE=1BD=1,

222

在RtAABE中，AE=AB2-BE2=A/22-12=也，

.\AC=2V3o

:菱形ABCD以點0為中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,180。，270°,

.\ZA0C=-X3600=90°，即A0_LC0,A0=C0

4

在RtZXAOC中，A0=C0==V6°

=

SAMXF—AO,C0=—X^6XV63,SAADC^—AC?DE=—X2-\/3X1=V3,

2222

；.S陰影=SAAG-SAADC=4X(3-V3)=12—4百

所以圖中陰影部分的面積為12-473。

【題5】（2014年河南省第14題）如圖，在菱形ABCD中，AB=1,ZDAB=60°,把菱

形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。得到菱形AB'CD，,其中點C的運動路徑為CC'，則

圖中陰影部分的面積為

B)

【考點工菱形的性質(zhì)；扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【分析工連接BD',過D'作D'H±AB,則陰影部分的面積可分為3部分，再根據(jù)

菱形的性質(zhì)，三角形的面積公式以及扇形的面積公式計算即可.

【解答】：解：連接BD',過D'作D'H1AB,

;在菱形ABCD中，AB=1,ZDAB=60°,把菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。得到菱形

AB'CD',

AD,H=l,

2

?E?SAABDz=—XIxU,

222

圖中陰影部分的面積為耳2-M，

42

Bf

【點評工本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只

改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵.

［題6］（2014?泰州第16題）如圖，正方向ABCD的邊長為3cm,E為CD邊上一點,

ZDAE=30°,M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q.若PQ=AE,

則AP等于cm.

AD

【考點】：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形

【專題】：分類討論.

【分析］根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN_LBC,交BC于點N,由ABCD為正方形，得到

AD=DC=PN,在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進而

利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三

角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊,對應(yīng)角相等得到DE=NQ,

ZDAE=ZNPQ=30°,再由PN與DC平行，得到/PFA=/DEA=60。，進而得到

PM垂直于AE,在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，利用銳角三角函數(shù)定義

求出AP的長，再利用對稱性確定出AP，的長即可.

【解答】：解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNLBC,交BC于點N,

?..四邊形ABCD為正方形，

；.AD=DC=PN,

在Rt^ADE中，ZDAE=30°,AD=3cm,

.\tan30o=I?,即DE=J^cm,

根據(jù)勾股定理得：AE=^22-~（風(fēng)）5cm,

為AE的中點，

/.AM=1AE='/5cln,

2

在RtAADE和RtAPNQ中,

[AD=PN,

lAE=PQ，

RtAADE絲RtAPNQ(HL),

；.DE=NQ,ZDAE=ZNPQ=30°,

；PN〃DC,

/.ZPFA=ZDEA=60°,

ZPMF=90°,即PM_LAF,

在RtZ\AMP中，ZMAP=30°,cos30°=例,

AP

/.AP=-=2cm；

cos300蟲

~2

由對稱性得至I」AP'=DP=AD-AP=3-2=lcm,

綜上，AP等于1cm或2cm.

故答案為：1或2.

【點評］此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判

定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【題7】(2014年重慶市第18題)如圖，正方形ABCD的邊長為6,點O是對角線AC、

BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE,過點C作CFLBE,垂足為F,連接OF,貝UOF

的長為—.

【考點工全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì).

【分析】：在BE上截取BG=CF,連接OG,證明AOBG之△OCF,則OG=OF,

ZBOG=ZCOF,得出等腰直角三角形GOF,在RT^BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長,

即可求得OF的長.

【解答］解：如圖，在BE上截取BG=CF,連接OG,

：RTZ\BCE中，CF1BE,

ZEBC=ZECF,

ZOBC=ZOCD=45°,

ZOBG=ZOCF,

在AOBG與△OCF中

rOB=OC

<Z0BG=Z0CF

tBG=CF

AAOBG^AOCF(SAS)

.\OG=OF,ZBOG=ZCOF,

.\OG±OF,

在RTZ\BCE中，BC=DC=6,DE=2EC,

；.EC=2,

BE=VBC2+CE2=762+22=2^>

VBC2=BF?BE,

則62=BF?2A/I5，解得：BF=9四,

5

；.EF=BE-BF=2^,

5

VCF2=BF?EF,

...CF=3VT5,

5_

.*.GF=BF-BG=BF-CF=-^ZIP,

5

在等腰直角aOGF中

OF2=2GF2,

2

.\OF=-^.

5

A----------------------,2)

/：\>^JE

/9\I

\\

------------^C

【點評工本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股

定理的應(yīng)用.

【題8】（2014年寧夏第15題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=CD=2,BC=5,

/BAD的平分線交BC于點E,且AE〃CD,則四邊形ABCD的面積為.

【考點工平行四邊形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【分析】：根據(jù)題意可以判定^ABE是等邊三角形，求得該三角形的高即為等腰梯形

ABCD的高.所以利用梯形的面積公式進行解答.

【解答］解：如圖，過點A作AFLBC于點F.

：AD〃BC,

ZDAE=ZAEB,

又；NBAE=/DAE,

AZBAE=ZAEB,

：AE〃CD,

ZAEB=ZC,

：AD〃BC,AB=CD=2,

四邊形是等腰梯形，

.*.ZB=ZC,

.?.△ABE是等邊三角形，

；.AB=AE=BE=2,ZB=60°,

AF=AB?sin60°=2x運仃

2

：AD〃BC,AE〃CD,

二四邊形AECD是平行四邊形，

；.AD=EC=BC-BE=5-2=3,

.??梯形的面積=▲(AD+BC)xAF=lx(3+5)、仔4?.

22

【點評工本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的

性質(zhì)等.

【題9】（2014?寧波第n題）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上,

BC=1,CE=3,H是AF的中點，那么CH的長是.

【考點工直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；勾股定理的逆定理.

【分析工連接AC、CF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,

再求出/ACF=90。，然后利用勾股定理列式求出AF,再根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

【解答】：解：如圖，連接AC、CF,

,正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1,CE=3,

，AC=圾，CF=3V2>

ZACD=ZGCF=45°,

ZACF=90°,

由勾股定理得，AF=7AC2+CF2=VV22+（372）

是AF的中點，

CH」AFJX2后而

22

【點評工本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正

方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角

形是解題的關(guān)鍵.

【題10】(2014?武漢第16題)如圖，在四邊形ABCD中，AD=4,CD=3,

ZABC=ZACB=ZADC=45°,則BD的長為.

【考點】：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形

【分析】：根據(jù)等式的性質(zhì)，可得/BAD與/CAD'的關(guān)系，根據(jù)SAS,可得ABAD與

△CAD'的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD'的關(guān)系，根據(jù)勾

股定理，可得答案.

【解答工解：作AD'±AD,AD'=AD,連接CD，,DD',如圖：，

VZBAC+ZCAD=ZDAD/+ZCAD,

即NBAD=/CAD',

在ABAD與aCAD'中，

ZBA=CA

>NBAD=NCAD'，

、AD=AD'

AABADACADz(SAS),

.\BD=CD,.

/DAD'=90°

由勾股定理得DD'=立口2+(AD‘)2m=4近,

7DC2+(DDZ)2=V9+32=V41

ND'DA+ZADC=90°

由勾股定理得CD'=正2+(DD‘)2=的通=弧，

???BD=CD，=V^I，

故答案為：41-

,D'

【點評】：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵.

【題11】（2014?蘇州第17題）如圖，在矩形ABCD中，期=W以點B為圓心，BC

BC5

長為半徑畫弧，交邊AD于點E.若AE?ED=&則矩形ABCD的面積為.

【考點】：矩形的性質(zhì)；勾股定理.

【分析工連接BE,設(shè)AB=3x,BC=5x,根據(jù)勾股定理求出AE=4x,DE=x,求出x的

值，求出AB、BC,即可求出答案.

【解答］解：如圖，連接BE,則BE=BC.

設(shè)AB=3x,BC=5x,

??,四邊形ABCD是矩形，

???AB=CD=3x,AD=BC=5x,ZA=90°,

由勾股定理得：AE=4x,

貝ljDE=5x-4x=x,

；AE?ED=&

3

???4/x?x—_—4,

3

解得：x=Yl（負數(shù)舍去），

3_

貝ljAB=3X=A/3?BC=5X=---^,

3_

二矩形ABCD的面積是ABxBC=J3＜殳③5,

3

故答案為：5.

【點評】：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出x的值，題目

比較好，難度適中.

【題129］（2014?棗莊第18題）圖①所示的正方體木塊棱長為6cm,沿其相鄰三個面

的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從

頂點A爬行到頂點B的最短距離為cm.

【考點】：平面展開-最短路徑問題；截一個幾何體

【分析】：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進而根據(jù)"兩點之

間線段最短"得出結(jié)果.

【解答工解：如圖所示：

ABCD是等腰直角三角形，4ACD是等邊三角形，

在RtZ\BCD中，CD=.BC2+BD46倔m,

BE=-lcD=3\''7cm,

2

在RtZXACE中，AE=〃C2

從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（3揚3?）cm.

故答案為：（3揚36）.

【點評工考查了平面展開-最短路徑問題，本題就是把圖②的幾何體表面展開成平面

圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解決問題.

【題13】（2014年江蘇徐州第18題）如圖①，在正方形ABCD中，點P沿邊DA從點

D開始向點A以lcm/s的速度移動；同時，點Q沿邊AB、BC從點A開始向點C以2cm/s

的速度移動.當(dāng)點P移動到點A時，P、Q同時停止移動.設(shè)點P出發(fā)xs時，4PAQ的面

積為ycm2,y與x的函數(shù)圖象如圖②,則線段EF所在的直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為.

【考點工動點問題的函數(shù)圖象.

【分析】：根據(jù)從圖②可以看出當(dāng)Q點到B點時的面積為9,求出正方形的邊長，再利用三

角形的面積公式得出EF所在的直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

【解答］解：：點P沿邊DA從點D開始向點A以lcm/s的速度移動；點Q沿邊AB、BC

從點A開始向點C以2cm/s的速度移動.

/.當(dāng)P點到AD的中點時，Q到B點，

從圖②可以看出當(dāng)Q點到B點時的面積為9,

.*.9=lx(1AD)?AB,

22

VAD=AB,

；.AD=6,即正方形的邊長為6,

當(dāng)Q點在BC上時，AP=6-x,AAPQ的高為AB,

/.y=A(6-x)x6,即y=-3x+18.

2

故答案為：y=-3x+18.

【點評】：本題主要考查了動點函數(shù)的圖象，解決本題的關(guān)鍵是求出正方形的邊長.

2014年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題

面積類

1.如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)點M是線段上的點(不與2,C重合)，過M作軸交拋物線于N,若點M

的橫坐標(biāo)為m,請用m的代數(shù)式表示MN的長.

(3)在(2)的條件下，連接NB、NC,是否存在小，使△BNC的面積最大？若存在，求加

的值；若不存在，說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合.

分析：

(1)已知了拋物線上的三個點的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點M的橫坐標(biāo)，代入直線BC、拋物

線的解析式中，可得到M、N點的坐標(biāo)，N、M縱坐標(biāo)的差的絕對值即為的長.

(3)設(shè)M7V交x軸于D,那么△2NC的面積可表示為：COD+DB)

S^BN(^S^MNC+S^MNI^MN

=MN-OB,MN的表達式在(2)中已求得，OB的長易知，由此列出關(guān)于Sz\BNC、機的函

數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出△BNC是否具有最大值.

解答：

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-3),則：

a(0+1)(0-3)=3,a=-1；

.?.拋物線的解析式：y=-(尤+1)(尤-3)=-d+2%+3.

(2)設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,則有：

f3k+b=0

lb=3，

解得產(chǎn)-1；

[b=3

故直線的解析式：y=-x+3.

已知點M的橫坐標(biāo)為如MN//y,則“(如-m+3)>N(m,-m2+2m+3)；

MN=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m(0<m<3).

（3）如圖;

?SLBNGSAMNC^S/\MN『MN(OD+DB)=MN*OB,

SABNC=(~m2+3m)*3=-(m-)2+—(0<m<3)；

8

，當(dāng)初=時，△3NC的面積最大，最大值為21

2.如圖，拋物線產(chǎn)

點，已知B點坐標(biāo)為（4,0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo);

（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M

點的坐標(biāo).

考點：二次函數(shù)綜合題..

專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.

分析：（1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將2點坐標(biāo)代入解析式中即可.

（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標(biāo)，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出

直徑和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo).

(3)aMBC的面積可由以"B『BCx/z表示，若要它的面積最大，需要使/7取最大值，即點

M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一

個交點時，該交點就是點

解答：

解：(1)將B(4,0)代入拋物線的解析式中，得：

0=16a-><4-2,即：a=；

拋物線的解析式為：y=x2-x-2.

(2)由(1)的函數(shù)解析式可求得：A(-1,0)>C(0,-2)；

；.OA=1,OC=2,OB=4,

即：O(^=OA>OB,又：OC±AB,

：./\OAC^/\OCB,得：ZOCA=ZOBC；

：.ZACB=ZOCA+ZOCB=ZOBC+ZOCB=90°,

.?.△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

所以該外接圓的圓心為A3的中點，且坐標(biāo)為：(,0).

(3)已求得：B(4,0)、C(0,-2),可得直線BC的解析式為：y=x-2；

設(shè)直線/〃BC,則該直線的解析式可表示為：y=x+b,當(dāng)直線/與拋物線只有一個交點時,

可列方程：

x+b=XI-x-2,即：x2-2%-2-6=0,且△=()；

：.4-4x(-2-b)=0,即b=-4；

直線/：y=x-4.

所以點M即直線/和拋物線的唯一交點，有：

f123

廠守'2X"92仁=2

<,解得：1即M(2,-3).

y=1x-4k-3

過M點作MN_Lx軸于N,

-=x

SABMGS梯形OCMN+SZ\MN3SAOCBX2X(2+3)+2><3-x2x4=4.

平行四邊形類

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線產(chǎn)/+的：+〃經(jīng)過點A(3,0)、B(0,-3),點P

是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為九

(1)分別求出直線和這條拋物線的解析式.

(2)若點P在第四象限，連接AM、BM,當(dāng)線段PM最長時，求的面積.

(3)是否存在這樣的點尸，使得以點P、8、。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在,

請直接寫出點尸的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程一因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待

定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定..

專題：壓軸題；存在型.

分析：

(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A(3,0)3(0,-3)分別代入

與產(chǎn)區(qū)+b,得到關(guān)于小w的兩個方程組，解方程組即可；

(2)設(shè)點尸的坐標(biāo)是G,「3),則MG,『-2「3),用尸點的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)

得到的長，即PM=(L3)-(f-2/-3)=-Z2+3f,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到

當(dāng)u-——,3=時,尸加最長為一0-9=,再利用三角形的面積公式利用

2X(-1)4X(-1)

SAABM=SABPM+SAAPM計算即可；

(3)由9〃08,根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)時，點尸、M、B、。為頂點的四

邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)尸在第四象限：PM=0B=3,PM最長時只有，所以不可

能；當(dāng)產(chǎn)在第一象限：PM=0B=3,(?-2f-3)-G-3)=3；當(dāng)P在第三象限：PM=0B=3,

r2-3/=3,分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值.

解答：

解：(1)把A(3,0)B(0,-3)代入尸得

10=9+3/n解得了-2,所以拋物線的解析式是*_2天一3.

[-3=n[n=-3

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,

把A(3,0)B(0,-3)代入尸fcr+b,得[。依+攵解得[口，

--3=b[b=-3

所以直線AB的解析式是1-3；

(2)設(shè)點P的坐標(biāo)是G,「3),則--2「3),

因為p在第四象限，

所以PM=(t-3)-(r2-2z-3)=-?+3r,

當(dāng)尸-——2_^=時，二次函數(shù)的最大值，即最長值為一°：9、=,

2X(-1)4X(-1)

=

貝IISABPM+S^APM=-x—X3~~'

248

(3)存在，理由如下：

'：PM//OB,

.?.當(dāng)時，點尸、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形，

①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3,PM最長時只有，所以不可能有PM=3.

②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3,(Z2-2/-3)-(r-3)=3,解得片■竺:②，屋一(舍

22

去)，所以P點的橫坐標(biāo)是生②；

2_

③當(dāng)尸在第三象限：PM=OB=3,Z2-3/=3,解得仔生②(舍去)，打=3二選I,所以p

2-2

點的橫坐標(biāo)是」一企!

2

所以尸點的橫坐標(biāo)是處②或3一收.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點為A(0,1),B(2,0),O(0,

0),將此三角板繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△A5O.

(1)一拋物線經(jīng)過點4、B,求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點尸，使四邊形的面積是

△A5O面積4倍？若存在，請求出尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)在(2)的條件下，試指出四邊形尸跟48是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形尸948

的兩條性質(zhì).

考點：二次函數(shù)綜合題..

專題：壓軸題.

分析：

(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出4(-1,0),B'(0,2),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

即可；

(2)利用SHte?PB'A'B=S^B,OA,^~S^POB'再假設(shè)四邊形的面積是△A'B'O面積的4

倍，得出一元二次方程，得出尸點坐標(biāo)即可；

(3)利用P點坐標(biāo)以及B點坐標(biāo)即可得出四邊形PB'A'B為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)

得出答案即可.

解答：

解：(1)AAEO是由△A20繞原點0逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到的，

又A(0,1),B(2,0),O(0,0),

AA,(-1,0),B'(0,2).

方法一：

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax+bx+c(a#0),

:拋物線經(jīng)過點4、B\B,

0=a-b+c-1

2=c，解得：?b=l，，滿足條件的拋物線的解析式為尸-*+"2.

,0=4a+2b+c1c=2

方法二：(-1,0),B'(0,2),B(2,0),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-2)

將夕(0,2)代入得出：2=a(0+1)(0-2),

解得：a=-1,

故滿足條件的拋物線的解析式為產(chǎn)-(x+1)(x-2)=-/+了+2；

(2)；尸為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，

設(shè)P(x,y),貝!］尤>0,y>0,P點坐標(biāo)滿足y=-￡+了+2.

連接尸8,PO,PB',

S四邊形PB'A'B=SAB'04'+SAPB'O+SAPOB，

=x1x2+x2x%+x2xy,

=x+(-f+x+2)+1,

=-X2+2XI-3.

VA'O=1,B'O=2,...△A'8'0面積為：xlx2=l,

假設(shè)四邊形尸的面積是△A0。面積的4倍，則

4=-x?+2x+3,

即x-2x+l=0,

解得：尤1=必=1，

此時產(chǎn)-儼+1+2=2,gpp(1,2).

存在點尸（1,2）,使四邊形PB7VB的面積是△4B9面積的4倍.

（3）四邊形尸夕42為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2個均可.

①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；②等腰梯形對角線相等;

③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等.-------------------（10分）

或用符號表示:

①NB'A'B=NPBA'或NA'B'P=NBPB'；②M=B'B；?B'P//A'B；@B'A'=PB.----------------

（10分）

5.如圖，拋物線產(chǎn)￡

（1）求拋物線頂點A的坐標(biāo);

（2）設(shè)拋物線與〉軸交于點B,與無軸交于點C、D（C點在。點的左側(cè)），試判斷

的形狀;

（3）在直線/上是否存在一點P,使以點P、A、B、。為頂點的四邊形是平行四邊形？若

存在,求點P的坐標(biāo);

考點：二次函數(shù)綜合題..

專題：壓軸題；分類討論.

分析：

(1)先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點A的橫坐標(biāo)，然后代入直線/的

解析式中即可求出點A的坐標(biāo).

(2)由A點坐標(biāo)可確定拋物線的解析式，進而可得到點8