流體流動(dòng)數(shù)值模擬

流體流動(dòng)現(xiàn)象普遍存在于自然界及多種工程領(lǐng)域中。所有這些流動(dòng)過(guò)程都遵循質(zhì)量守

恒、動(dòng)量守恒、能量守恒和組分守恒等基本物理定律；而且流動(dòng)若處于湍流狀態(tài)，則該流動(dòng)

系統(tǒng)還要遵守附加的湍流輸運(yùn)方程。本講座將依據(jù)流體運(yùn)動(dòng)的特性闡述計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的相

關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)及任務(wù)；在流體運(yùn)動(dòng)所遵循的守恒定律及其數(shù)學(xué)描述的基礎(chǔ)上，介紹數(shù)值求解這

些基本方程的思想及其求解過(guò)程。

第一節(jié)計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)概述

計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）技術(shù)用于流體機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)分析及其性能預(yù)測(cè)，具有成本低，

效率高，方便、快捷用時(shí)少等優(yōu)點(diǎn)。近年來(lái)隨著計(jì)算流體力學(xué)和計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)及計(jì)算機(jī)技

術(shù)的發(fā)展，CFD技術(shù)已成為解決各種流體運(yùn)動(dòng)和傳熱，以及場(chǎng)問(wèn)題的強(qiáng)有力、有效的工具，

廣泛應(yīng)用于水利、水電，航運(yùn)，海洋，冶金，化工，建筑，環(huán)境，航空航天及流體機(jī)械與流

體工程等科學(xué)領(lǐng)域。利用數(shù)值計(jì)算模擬的方法對(duì)流體機(jī)械的內(nèi)部流動(dòng)進(jìn)行全三維整機(jī)流場(chǎng)模

擬，進(jìn)而進(jìn)行性能預(yù)測(cè)的方法越來(lái)越廣泛地被從事流體機(jī)械及產(chǎn)品性能取決于各種場(chǎng)特性的

設(shè)計(jì)、科研等科技人員所使用；過(guò)去只有通過(guò)實(shí)驗(yàn)才能獲得的某些結(jié)果或結(jié)論，現(xiàn)在完全可

借助CFD模擬的手段來(lái)準(zhǔn)確地獲取。這不僅既可以節(jié)省實(shí)驗(yàn)資源,還可以顯示從實(shí)驗(yàn)中不能

得到的許多場(chǎng)特性的細(xì)節(jié)信息。

一、什么是計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)

計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（ComputationalFluidDynamicsr簡(jiǎn)稱(chēng)CFD）是通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算和

圖像顯示，對(duì)包含流體流動(dòng)和有熱傳導(dǎo)等相關(guān)物理現(xiàn)象的系統(tǒng)所做的分析。CFD的基本思

想可以歸結(jié)為：把原來(lái)在時(shí)間域及空間域上連續(xù)的物理場(chǎng)（如速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)，以及熱力場(chǎng)

等），用一系列有限個(gè)離散點(diǎn)上變量值的集合來(lái)代替；并通過(guò)一定的原則和規(guī)律建立起關(guān)于

這些離散點(diǎn)上的場(chǎng)變量之間關(guān)系，從而組成這些場(chǎng)變量之間關(guān)系的代數(shù)方程組；然后求解這

種代數(shù)方程組，來(lái)獲得這些場(chǎng)變量的近似值山3］；這就是流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算。或者直觀地說(shuō)，

通過(guò)數(shù)值計(jì)算中的各種離散方法，把描述連續(xù)流體運(yùn)動(dòng)的控制偏微分方程離散成代數(shù)方程

組，由此建立該流動(dòng)的數(shù)值模型；再根據(jù)問(wèn)題的具體情況，設(shè)定邊界條件和初始條件封閉方

程組；然后通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算求解這種代數(shù)方程組，從而獲得描述該流場(chǎng)場(chǎng)變量的某些運(yùn)

動(dòng)參數(shù)的數(shù)值解。

計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)是在經(jīng)典流體力學(xué)、數(shù)值計(jì)算理論、計(jì)算方法，以及計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)

的基礎(chǔ)上建立和發(fā)展起來(lái)的多學(xué)科、多領(lǐng)域交叉的流體力學(xué)中的一個(gè)新分支；或可以說(shuō)是一

門(mén)新學(xué)科。他將科學(xué)的理論知識(shí)與實(shí)際工程計(jì)算緊密地結(jié)合在了一起，是我們流體機(jī)械及流

體工程學(xué)科和工程領(lǐng)域中目前科學(xué)研究與工程計(jì)算、分析或設(shè)計(jì)的高質(zhì)、高效，短周期、低

費(fèi)用的強(qiáng)有力不可或缺的重要工具。

所謂CFD,從實(shí)質(zhì)上講就是對(duì)流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一種分析方法；可以被看作是對(duì)在流動(dòng)

基本方程（質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程、能量守恒方程）控制下的流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬描述的

一種方法。通過(guò)這種數(shù)值模擬，我們可以獲得復(fù)雜流場(chǎng)內(nèi)各個(gè)位置上的基本物理量（如速度、

壓力、溫度、濃度等）的分布及其隨時(shí)間的變化情況。據(jù)此可以描述出其流動(dòng)的特征，如旋

渦分布、空化特性及脫流區(qū)等；還可以計(jì)算出其它相關(guān)的物理量，如對(duì)于旋轉(zhuǎn)流體機(jī)械的轉(zhuǎn)

矩、水力損失、效率和空蝕系數(shù)等。此外，結(jié)合CAD還可以進(jìn)行結(jié)構(gòu)上的優(yōu)化和可靠性設(shè)

計(jì)等。

CFD方法與傳統(tǒng)的理論分析方法、實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法組成了研究流體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的完整體系，

三者之間的互補(bǔ)關(guān)系如圖1所示。

圖1研究流動(dòng)的三種方法互補(bǔ)關(guān)系示意圖

理論分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于所得結(jié)果具有普遍性和一定準(zhǔn)確性，各種影響因素清晰可見(jiàn)，

是指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)研究和驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算方法正確與否及其計(jì)算精確度的基礎(chǔ)。但是，它往往需要對(duì)

計(jì)算對(duì)象進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，且只有對(duì)較簡(jiǎn)單的流動(dòng)問(wèn)題才可能得出理論上的解析解；對(duì)于復(fù)

雜的特別是非線(xiàn)性的問(wèn)題，很難求解。因此，對(duì)存在于自然界和實(shí)際工程中的流動(dòng)問(wèn)題，只

有其中的極少數(shù)才能給出解析結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法所得到的實(shí)測(cè)結(jié)果一般真實(shí)可信，它是對(duì)理論分析和數(shù)值計(jì)算結(jié)果的驗(yàn)證

依據(jù)。然而，實(shí)驗(yàn)往往受到試驗(yàn)條件（如模型尺寸、形狀，流場(chǎng)擾動(dòng)和測(cè)量精度等）的影響

和限制，有時(shí)也很難得到很準(zhǔn)確的結(jié)果。此外，實(shí)驗(yàn)還會(huì)遇到人力和物力的巨大耗費(fèi)而受到

經(jīng)費(fèi)投入及周期長(zhǎng)等許多因素的制約。

而CFD方法恰好克服了前面兩種方法的弱點(diǎn)，它是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)對(duì)某一流動(dòng)系統(tǒng)或

某一流動(dòng)現(xiàn)象的一個(gè)特定的計(jì)算。這個(gè)特定的計(jì)算，就是用數(shù)值的方法所作的近似計(jì)算，即

通過(guò)數(shù)值求解各種簡(jiǎn)化的或非簡(jiǎn)化的流體動(dòng)力學(xué)基本方程，以獲得流動(dòng)在各種條件下的狀態(tài)

參數(shù)和作用在形成流道的邊壁或繞流物上的力或力矩等數(shù)據(jù)，以及流場(chǎng)的分布與流動(dòng)的狀態(tài)

等。這種計(jì)算就好像在計(jì)算機(jī)上做一次物理實(shí)驗(yàn)。例如，機(jī)翼的繞流，通過(guò)計(jì)算并將其結(jié)果

在屏幕上顯示，就可以看到流場(chǎng)分布的各種細(xì)節(jié)，如激波的運(yùn)動(dòng)及其強(qiáng)度，渦的生成與傳播,

流動(dòng)的分離及其表面的壓力分布、受力的大小及其隨時(shí)間的變化等。數(shù)值模擬實(shí)質(zhì)上就是在

計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的數(shù)值試驗(yàn)，可以形象地再現(xiàn)流動(dòng)的場(chǎng)景。在本質(zhì)上講，與做物理實(shí)體實(shí)驗(yàn)沒(méi)

有什么區(qū)別。

與實(shí)驗(yàn)方法相比，其突出的優(yōu)點(diǎn)是：

1、CFD方法所需要的設(shè)備與條件只是計(jì)算機(jī)和相應(yīng)的CFD軟件，因而，所需花費(fèi)與

損耗小，試驗(yàn)與產(chǎn)品開(kāi)發(fā)周期短；

2、在計(jì)算機(jī)上可以方便地任意改變流場(chǎng)中固體結(jié)構(gòu)件的形狀和尺寸以及流動(dòng)條件，即

可馬上進(jìn)行計(jì)算，且流場(chǎng)不受試驗(yàn)裝置與測(cè)試儀器儀表的干擾。即很容易實(shí)現(xiàn)各種條件下的

流動(dòng)計(jì)算，目保持了流場(chǎng)的原態(tài)；

3、可定量地刻畫(huà)、詳細(xì)地描述出流動(dòng)隨時(shí)間的變化以及總體流場(chǎng)與局部細(xì)節(jié)，并能定

量地給出各種物理量的物性參數(shù)值；同時(shí)，還可隨意進(jìn)行流場(chǎng)的重構(gòu)和分析、診斷，等。

二、流體動(dòng)力學(xué)計(jì)算的基本內(nèi)容和步驟

所有流動(dòng)或流場(chǎng)的計(jì)算與模擬工作，首先都應(yīng)根據(jù)所要求解的物理問(wèn)題及預(yù)期目標(biāo)擬定

出合理、周密的技術(shù)路線(xiàn)與求解方案，以保證順利地實(shí)現(xiàn)意圖，達(dá)到預(yù)期的目的。為此，在

擬定流場(chǎng)數(shù)值模擬求解方案時(shí)，主要應(yīng)考慮如何選定以下一些必須解決的問(wèn)題：

1、物理模型的流型：根據(jù)所要研究的問(wèn)題，分析該流動(dòng)是可壓縮流還不可壓縮流，是

有粘流動(dòng)還是無(wú)粘流動(dòng)，是層流還是湍流，流動(dòng)是穩(wěn)態(tài)還是瞬態(tài)？由此確定該流動(dòng)的流型；

2、CFD方法的模型目標(biāo)：即確定要建立什么樣的CFD計(jì)算模型，并要從該模型中獲

得怎樣的模擬結(jié)果？獲取這些結(jié)果的使用目的，由此確定計(jì)算模型是按二維還是三維構(gòu)造及

需要什么樣的計(jì)算精度；

3、計(jì)算域的確定：根據(jù)確定的流型和計(jì)算模型，分析該問(wèn)題的流動(dòng)特征是否對(duì)稱(chēng)或存

在回流與尾跡流或射流，即考慮對(duì)于該問(wèn)題計(jì)算域是否需要外延，或取其一部分；

4、網(wǎng)格的類(lèi)型及其劃分方式：即根據(jù)物理模型和計(jì)算域決定是采用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格還是非結(jié)

構(gòu)網(wǎng)格，以及其單元體的選擇與劃分方式的確定；網(wǎng)格劃分的合適與否，即網(wǎng)格劃分的質(zhì)量

對(duì)流動(dòng)計(jì)算的精度和穩(wěn)定性有重大影響。網(wǎng)格的質(zhì)量?jī)?nèi)容包括：節(jié)點(diǎn)的分布情況（密集度和

聚集度）光滑型與正交性，等。而且有限體積法的突出優(yōu)點(diǎn)是其計(jì)算效率高，因而，目前它

在CFD領(lǐng)域中得到了廣泛地應(yīng)用，大多數(shù)CFD商用軟件，包括FLUENT在內(nèi)，都使用有

限體積法編制的。

5、計(jì)算方法與求解過(guò)程的選擇與確定：

6、湍流模型的選擇與確定：兩方程模型中有三種常用模型，即

1）、標(biāo)準(zhǔn)4模型;

2）、RNG女-￡模型（重整化群模型）；和

3）、Realizable攵-￡模型

7、離散方法與格式的選擇與確定：離散包括兩部分內(nèi)容，即計(jì)算域空間的離散和控制

方程與湍流模型在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散兩個(gè)部分；離散的方法根據(jù)因變量在節(jié)點(diǎn)之間分布的假

設(shè)及推導(dǎo)離散方程的方法不同而不同；有有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）、有限體積

法（FVM）,等等。

8、定解條件（邊界條件與初始條件）的確定；

9、求解器的選擇。

在考慮并確定上述的九個(gè)主要問(wèn)題時(shí)，既要考慮計(jì)算資源的硬件條件實(shí)現(xiàn)的可能性，又

應(yīng)考慮計(jì)算結(jié)果精度與計(jì)算所需機(jī)時(shí)的經(jīng)濟(jì)性來(lái)綜合決定

采用CFD的方法對(duì)流體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬，通常包括以下的內(nèi)容與步驟：

1、建立反映工程或物理問(wèn)題本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型

所謂建立數(shù)學(xué)模型，具體地說(shuō)就是要建立能完善、準(zhǔn)確地反映問(wèn)題各個(gè)物理量之間關(guān)系

的微分方程及其相應(yīng)的定解條件；流體運(yùn)動(dòng)的基本控制方程通常包括質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守

恒方程、能量守恒方程。沒(méi)有較準(zhǔn)確、完善的數(shù)學(xué)模型，數(shù)值模擬就毫無(wú)意義；這是數(shù)值模

擬的基本出發(fā)點(diǎn)與最基本的要求。

2、尋求并采用高精度、高效率的計(jì)算方法

尋求高精度、高效率的計(jì)算方法是為獲得滿(mǎn)意的計(jì)算結(jié)果奠定基礎(chǔ)。這里所說(shuō)的計(jì)算方

法，不僅包括選用針對(duì)性較強(qiáng)、精度高的控制微分方程的離散化方法（如有限差分、有限元、

有限體積等方法）和求解的方法；還包括貼體坐標(biāo)系的建立，邊界條件的處理等。這是CFD

模擬計(jì)算中的核心與關(guān)鍵的內(nèi)容和步驟。

3、編制程序和進(jìn)行計(jì)算

這部分工作包括計(jì)算網(wǎng)格的劃分、初始條件和邊界條件、控制參數(shù)的設(shè)定以及具體的計(jì)

算等。這是整個(gè)CFD模擬計(jì)算中最繁雜、最費(fèi)時(shí)的工作內(nèi)容和過(guò)程。由于Navier-Stokes方

程就是一個(gè)十分復(fù)雜的非線(xiàn)性方程，數(shù)值求解的方法在理論上也不是絕對(duì)完善的，所以還需

要通過(guò)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。正是從這個(gè)意義上講，數(shù)值模擬又叫作數(shù)值試驗(yàn)。應(yīng)該指出，這部分

工作不是輕而易舉就可以完成的，需要耐心細(xì)致地反復(fù)修改和調(diào)整的過(guò)程。

4、顯示計(jì)算結(jié)果。計(jì)算結(jié)果一般是通過(guò)各種圖形、圖表或曲線(xiàn)等方式顯示，這對(duì)檢查

和分析計(jì)算結(jié)果及其計(jì)算質(zhì)量具有直接的作用和重要的參考價(jià)值。

以上這些內(nèi)容與步驟構(gòu)成了CFD數(shù)值模擬的全過(guò)程；其中數(shù)學(xué)模型的建立屬于基礎(chǔ)理

論研究性的課題。

三、計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的特點(diǎn)

CFD的長(zhǎng)處是適應(yīng)性強(qiáng)、應(yīng)用面廣。首先，流動(dòng)問(wèn)題的控制方程一般是非線(xiàn)性的，且

自變量多，計(jì)算域的幾何形狀和邊界條件復(fù)雜，很難求得解析解；而用CFD方法則有可能

找出滿(mǎn)足工程需要的數(shù)值解。其次，可以利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行各種數(shù)值試驗(yàn)，例如，選擇不同流

動(dòng)參數(shù)進(jìn)行物理方程中各項(xiàng)有效性和敏感性的試驗(yàn)，從而進(jìn)行方案比較。再者，它不受物理

模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷南拗?，省錢(qián)、省時(shí)，有較大的靈活性，能給出流動(dòng)的詳細(xì)而完整的資料和

信息，并能很容易地模擬特殊尺寸、高溫、有毒、易燃等真實(shí)條件和物理實(shí)驗(yàn)中只能接近而

無(wú)法達(dá)到的理想條件。

但CFD也存在著一定的缺陷或局限性。首先，數(shù)值解法是一種離散的、近似的計(jì)算方

法，依賴(lài)于物理上的合理性、數(shù)學(xué)上的適用性；而且，適合于在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行離散與計(jì)算的

數(shù)學(xué)模型有限；同時(shí)，又不能提供任何連續(xù)的解析表達(dá)式形式的最終計(jì)算結(jié)果，而只能是有

限個(gè)離散點(diǎn)上的數(shù)值解，且有一定的計(jì)算誤差；第二，它不像物理模型實(shí)驗(yàn)?zāi)菢?，一開(kāi)始就

能給出流動(dòng)的各種現(xiàn)象和定性地描述，往往需要由原體觀測(cè)或物理模型試驗(yàn)提供某些流動(dòng)參

數(shù)，并需要對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證；第三，程序的編制及資料的收集、整理與正確地利

用，在很大程度上要依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)與技巧。此外，由于數(shù)值處理方法等原因，有可能導(dǎo)致計(jì)算

結(jié)果的不真實(shí)（例如產(chǎn)生數(shù)值粘性和頻散等偽物理效應(yīng)），以及由于CFD涉及巨大數(shù)量的迭

代計(jì)算過(guò)程，而需要較高的計(jì)算機(jī)軟硬件配置等。

當(dāng)然，在上述的這些缺陷或局限性中，有些可采用相應(yīng)的方法加以克服或彌補(bǔ)。這在相

關(guān)的文獻(xiàn)中有相應(yīng)的介紹。

數(shù)值計(jì)算與理論分析、實(shí)驗(yàn)觀測(cè)相互聯(lián)系、相互促進(jìn)；但不能完全替代，三者各有各的

優(yōu)勢(shì)和適用場(chǎng)合。CFD方法有其自己的原理、方法和特點(diǎn)，在實(shí)際使用中要注意三者的有

機(jī)結(jié)合，使其優(yōu)勢(shì)、長(zhǎng)處互補(bǔ)。

四、計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域

近些年來(lái)，CFD有了很大的發(fā)展，替代了經(jīng)典流體力學(xué)中的一些近似計(jì)算方法和圖解

法。過(guò)去的一些典型教學(xué)實(shí)驗(yàn)，如Reynolds實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)在完全可以借助CFD手段在計(jì)算機(jī)上

實(shí)現(xiàn)。計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域極為廣泛，所有涉及流體的流動(dòng)、熱交換、分子輸運(yùn)等現(xiàn)

象的問(wèn)題，幾乎都可以通過(guò)計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的方法進(jìn)行分析和模擬。目前，CFD的方法不

僅可作為一種分析、研究問(wèn)題的工具，而且還可作為設(shè)計(jì)工具在熱能與動(dòng)力工程、水利水電

工程、石油化工與流體輸運(yùn)工程、船舶工程、海洋工程、環(huán)境工程、食品工程、土木工程以

及工業(yè)制造等領(lǐng)域中正發(fā)揮著巨大的作用。其主要的應(yīng)用領(lǐng)域及所涉及的相關(guān)工程問(wèn)題包

括：

鍋爐中燃燒的計(jì)算；

換熱片的換熱計(jì)算與形狀的選取，以及換熱器整體性能的分析與預(yù)測(cè)；

水輪機(jī)、泵與風(fēng)機(jī)等流體機(jī)械的內(nèi)部流動(dòng)問(wèn)題及其內(nèi)特性的研究；

飛機(jī)和航天飛行器等的設(shè)計(jì)；

船舶、魚(yú)雷等水中航行器的外形設(shè)計(jì)；

河、渠流中的水能計(jì)算；

洪水波及河口的潮流計(jì)算；

河流中污染物的擴(kuò)散；

油、氣以及石油化工物品等的管道輸送；

電子元器件的冷卻；

室溫、室內(nèi)濕度及其空氣流通的計(jì)算與調(diào)節(jié)，以及其環(huán)境的分析；

汽車(chē)尾氣對(duì)街道環(huán)境的污染；

食品中細(xì)菌的運(yùn)移；

風(fēng)載荷對(duì)高層建筑物穩(wěn)定性及其結(jié)構(gòu)性能的影響；

汽車(chē)的外型的設(shè)計(jì)及其對(duì)性能影響的分析；等等。

對(duì)這些問(wèn)題的分析與處理，過(guò)去主要借助于理論分析和反復(fù)大量的物理模型實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)

證；而現(xiàn)在大多采用CFD的方法加以分析和解決。CFD技術(shù)現(xiàn)已發(fā)展到了完全可以對(duì)粘性

湍流及旋渦運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜的流動(dòng)與傳熱問(wèn)題進(jìn)行三維的分析與計(jì)算的程度。

五、計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的計(jì)算方法

經(jīng)過(guò)四十多年的發(fā)展，CFD出現(xiàn)了多種數(shù)值解法。這些方法之間的主要區(qū)別在于對(duì)控

制方程的離散方式。根據(jù)離散的原理不同，CFD的計(jì)算方法大體上主要分為三種：

有限差分法(FiniteDifferenceMethod,FDM)

有限元法(FiniteElementMethod,FEM)

有限體積法(FiniteVolumeMethod,FVM)

有限差分法是應(yīng)用得最早、最經(jīng)典的CFD計(jì)算方法。它將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用

有限的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域，然后將偏微分方程的導(dǎo)數(shù)用差商來(lái)代替，推導(dǎo)出含有離

散點(diǎn)(即網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn))上有限個(gè)未知數(shù)的差分方程組。求出差分方程組的解，就作為描述這個(gè)

連續(xù)求解域內(nèi)定解問(wèn)題的偏微分方程的數(shù)值(近似)解。它是一種直接將微分問(wèn)題變換為代

數(shù)問(wèn)題的數(shù)值近似解法。這種方法發(fā)展較早，比較成熟，較多地用于求解雙曲型和拋物型問(wèn)

題。在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的方法有PIC(Particle-in-CeH)法、MAC(Marker-and-Cell)法，以

及由美籍華人學(xué)者陳景仁提出的有限分析法(FiniteAnalyticMethod)等。

有限元法是20世紀(jì)80年代開(kāi)始應(yīng)用的一種數(shù)值解法，它吸收了有限差分法的離散處理

思路，又采用了變分計(jì)算中選擇逼近函數(shù)對(duì)區(qū)域進(jìn)行積分的方法。所以，采用有限元法，特

別是在用其求解非定常流動(dòng)問(wèn)題時(shí)，每一步都要解大型代數(shù)方程組，計(jì)算工作量大，其求解

速度較有限差分法和有限體積法慢，且占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存大。因此應(yīng)用不是特別廣泛。在有限

元法的基礎(chǔ)上，英國(guó)CA.Brebbia等提出了邊界元法和混合元法等方法。

有限體積法首先是將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列的控制體積，其離散方程的建立，是將待求

解的微分方程通過(guò)對(duì)每一個(gè)控制體的積分而得出離散方程的。用有限體積法導(dǎo)出的離散方程

可以保證流動(dòng)具有守恒特性，而且離散方程中的系數(shù)物理意義明確，其計(jì)算量也相對(duì)較小。

但有限體積法的關(guān)鍵是在于其導(dǎo)出離散方程的過(guò)程，即在推導(dǎo)過(guò)程中需要先對(duì)界面上的被求

函數(shù)本身及其導(dǎo)數(shù)的分布作出某種形式的假定。1980年，S.V.Patanker在其專(zhuān)著《Numerical

HeatTransferandFluidFlow^中對(duì)有限體積法作了全面的闡述。此后，該方法得到了廣泛

應(yīng)用，是目前CFD軟件中應(yīng)用得最為普遍的一種方法。當(dāng)然，對(duì)這種方法的研究和擴(kuò)展也

在不斷地進(jìn)行著，如P.Chow提出了適用于任意多邊形非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的擴(kuò)展有限體積法。

目前大多數(shù)CFD商用軟件都是采用有限體積法編制的。

第二節(jié)流體機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)數(shù)值計(jì)算概述

何為流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算？

所謂流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算，就是通過(guò)數(shù)值計(jì)算中的各種離散化的方法，把描述連續(xù)流體介質(zhì)

運(yùn)動(dòng)的控制方程（數(shù)學(xué)模型）離散成代數(shù)方程組，從而建立起各種數(shù)值計(jì)算的數(shù)學(xué)模型，再

根據(jù)具體問(wèn)題，給定初始條件和邊界條件；然后通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算或數(shù)值試驗(yàn)，得到

定量描述該流動(dòng)的流場(chǎng)數(shù)值解。這就是流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算?；蛘咧庇^地說(shuō)，就是通過(guò)各種離散

化的方法，把描述連續(xù)流體運(yùn)動(dòng)的偏微分控制方程離散成代數(shù)方程組，以此建立起該運(yùn)動(dòng)的

數(shù)值模型，并通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，從而獲得描述流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)的定量數(shù)值解。

對(duì)流體機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的目的和意義：了解和掌握所計(jì)算的工況下其內(nèi)部流

動(dòng)的狀況和流態(tài)，為進(jìn)一步改進(jìn)設(shè)計(jì)和改善與提高其性能提供依據(jù)。

所謂CFD,從實(shí)質(zhì)上講就是對(duì)流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一種分析方法；可以被看作是對(duì)在流動(dòng)

基本方程（質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程、能量守恒方程）控制下的流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬描述的

一種方法。通過(guò)這種數(shù)值模擬，我們可以獲得復(fù)雜流場(chǎng)內(nèi)各個(gè)位置上的基本物理量（如速度、

壓力、溫度、濃度等）的分布及其隨時(shí)間的變化情況。據(jù)此可以描述出其流動(dòng)的特征，如旋

渦分布、空化特性及脫流區(qū)等；還可以計(jì)算出其它相關(guān)的物理量，如對(duì)于旋轉(zhuǎn)流體機(jī)械的轉(zhuǎn)

矩、水力損失、效率和空蝕系數(shù)等。此外，結(jié)合CAD還可以進(jìn)行結(jié)構(gòu)上的優(yōu)化和可靠性設(shè)

計(jì)等。

一、流體機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)數(shù)值計(jì)算的基本出發(fā)點(diǎn)

由于流動(dòng)的復(fù)雜性和直接求解三維流動(dòng)的困難性，流體機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)數(shù)值計(jì)算的基本出

發(fā)點(diǎn)是：

1、將復(fù)雜和難于計(jì)算的三維流動(dòng)降維

所謂降維即是將三維的問(wèn)題降為二維的來(lái)計(jì)算或?qū)⒍S的問(wèn)題降為一維的來(lái)計(jì)算。

如對(duì)葉（轉(zhuǎn)）輪內(nèi)部流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算，就是將其內(nèi)部復(fù)雜的三維流動(dòng)化為Si（回轉(zhuǎn)）流

面和S2（子午）流面內(nèi)的兩個(gè)二維流動(dòng)來(lái)求解的；由于這兩個(gè)二維流動(dòng)共同描述的是同一個(gè)

復(fù)雜的三維流動(dòng)，是人為地將其分解為兩個(gè)二維流動(dòng)，所以這兩個(gè)流面上的二維流動(dòng)是相互

關(guān)聯(lián)的。如回轉(zhuǎn)面Si的形狀、位置和流層的厚度將由子午面S2上的流動(dòng)計(jì)算來(lái)確定（在子

午面上常采用勢(shì)流計(jì)算來(lái)確定S1流面的位置）；而子午面上流動(dòng)計(jì)算所需的速度Wo、Wm

和液流角B等值又需要在回轉(zhuǎn)面的流動(dòng)計(jì)算中來(lái)求得和提供（在回轉(zhuǎn)的Si流面上一般采用

湍流計(jì)算來(lái)確定出S2流面計(jì)算所需要的參數(shù)。）。因此，計(jì)算中須將這兩個(gè)二維流動(dòng)相互迭

代計(jì)算，不斷相互修正、調(diào)整進(jìn)行，才能達(dá)到收斂，得到其準(zhǔn)三維解。如采用邊界元法，可

直接進(jìn)行降維計(jì)算，這是它的最大優(yōu)點(diǎn)。邊界元法是將全計(jì)算域的計(jì)算化為了只在區(qū)域邊界

上的計(jì)算，這就使得計(jì)算的維數(shù)減少了一維。

2、簡(jiǎn)化描述流動(dòng)的基本控制方程；

所謂簡(jiǎn)化流動(dòng)的基本控制方程，即依據(jù)某一具體流動(dòng)，從流體運(yùn)動(dòng)連續(xù)方程、歐拉（Euler）

運(yùn)動(dòng)微分方程、納維一斯托克司（Navier-Stokes）方程出發(fā)，推導(dǎo)出描述該流動(dòng)的更直接、

更簡(jiǎn)明和便于求解的實(shí)用控制方程。

二、流體機(jī)械內(nèi)部流場(chǎng)數(shù)值計(jì)算中常用的主要方法

目前對(duì)湍流的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)控制方程（N-S方程）的求解，有直接求解的數(shù)值模擬方法以

及非直接數(shù)值模擬法的雷諾平均法和大渦模擬法等。

所謂直接解法。就是直接求解瞬時(shí)湍流控制方程。其優(yōu)點(diǎn)是：無(wú)需對(duì)湍流運(yùn)動(dòng)作任何近

似或簡(jiǎn)化，可以得到理論上的準(zhǔn)確解或計(jì)算結(jié)果；但目前其只能求解一些簡(jiǎn)單流動(dòng)；對(duì)于稍

復(fù)雜的湍流流動(dòng)（存在兩方面的困難）就無(wú)能為力了。

而非直接模擬，就是不直接計(jì)算湍流的脈動(dòng)特性，而是設(shè)法對(duì)流動(dòng)做出某種程度的近似

和簡(jiǎn)化處理后再進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。并且依據(jù)所采用的近似和簡(jiǎn)化方法的不同，非直接的數(shù)值模

擬又分為大渦模擬法和統(tǒng)計(jì)平均法與雷諾（Reynolds）平均法。

雷諾（Reynolds）平均法

雷諾（Reynolds）平均法的核心不是直接求解瞬時(shí)的Navier-Stokes方程，而是設(shè)法將其

瞬態(tài)的脈動(dòng)量通過(guò)某種表達(dá)式（模型）在時(shí)均化的Navier-Stokes方程中表現(xiàn)出來(lái)，從而求解

時(shí)均化的Reynolds方程。這樣，不僅可以避免DNS方法的計(jì)算困難和計(jì)算工作量大的問(wèn)題；

而且完全可以滿(mǎn)足工程實(shí)際的精度要求，并可以取得良好的效果。

在N—S方程的雷諾(Reynolds)平均解法中，脈動(dòng)部分對(duì)平均運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)(影響)是

通過(guò)雷諾應(yīng)力項(xiàng)來(lái)模化的；依據(jù)對(duì)雷諾應(yīng)力?；绞降牟煌；址譃槔字Z應(yīng)力模式和渦

粘模式兩類(lèi)。由于雷諾應(yīng)力模式計(jì)算量很大，受到計(jì)算條件的約束和限制，應(yīng)用范圍較窄。

因此，目前在湍流工程中得到廣泛應(yīng)用的是渦粘模式。

大渦模擬法(LES)

我們知道，湍流包含有一系列大大小小的渦團(tuán)，渦的尺度范圍相當(dāng)寬廣。為了模擬湍流

流動(dòng)，我們總是希望計(jì)算網(wǎng)格的尺度小到足以分辨最小渦的運(yùn)動(dòng)；然而，就目前的計(jì)算機(jī)能

力來(lái)講，能夠采用的計(jì)算網(wǎng)格的最小尺度仍比最小渦的尺度大許多。

由于流動(dòng)系統(tǒng)中的質(zhì)量、動(dòng)量、能量和其它物理量的輸運(yùn)，主要是由與所求解問(wèn)題密切

相關(guān)的大尺度渦來(lái)實(shí)現(xiàn)的；而小尺度渦趨向于各向同性，其運(yùn)動(dòng)具有共性，又小尺度渦不像

大尺度渦那樣與所求解的特定問(wèn)題密切相關(guān)，且?guī)缀醪皇軒缀渭斑吔鐥l件的影響；又包括脈

動(dòng)在內(nèi)的湍流瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)也必須遵循動(dòng)量守恒的規(guī)律，即流動(dòng)的描述也服從N—S方程；而N

—S方程本身本來(lái)就是封閉的，就其本身求解而言，本來(lái)就不需要補(bǔ)充方程或再建立什么模

型。由此產(chǎn)生一種想法，即是否可以在不引入任何湍流模型的情況下，把包括脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)在內(nèi)

的湍流瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)通過(guò)某種濾波方法分解成大尺度渦的運(yùn)動(dòng)和小尺度渦運(yùn)動(dòng)兩部分；然后，對(duì)

大尺度渦的運(yùn)動(dòng)通過(guò)數(shù)值求解其運(yùn)動(dòng)微分方程的方法直接計(jì)算出來(lái)；對(duì)于小尺度渦的運(yùn)動(dòng)對(duì)

大尺度渦運(yùn)動(dòng)的影響將以類(lèi)似于雷諾Reynolds平均法中的Reynolds應(yīng)力的應(yīng)力(稱(chēng)為亞格

子尺度應(yīng)力)項(xiàng)在大尺度渦的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)方程中體現(xiàn)出來(lái)，并通過(guò)建立近似模型來(lái)模擬和求解。

這就是大渦模擬理論與方法的基本思想。

大渦模擬是介于直接數(shù)值模擬(DNS)與Reynolds平均法(RANS)之間的一種湍流數(shù)值模

擬的方法。但要實(shí)現(xiàn)大渦模擬，首先必須要完成兩項(xiàng)重要的工作環(huán)節(jié)：一是要建立一種數(shù)學(xué)

濾波函數(shù)，可從湍流瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)方程中將尺度比濾波函數(shù)的尺度小的渦濾掉，從而分解出描述

大渦流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程；而這時(shí)被濾掉的小渦對(duì)大渦運(yùn)動(dòng)的影響，則通過(guò)在大渦流場(chǎng)中的瞬時(shí)

運(yùn)動(dòng)方程中引入附加應(yīng)力項(xiàng)來(lái)體現(xiàn)；二螺建立小渦影響的應(yīng)力項(xiàng)數(shù)學(xué)模型(這一數(shù)學(xué)模型

稱(chēng)為亞格子尺度模型(SubGrid-Scalymodel),簡(jiǎn)稱(chēng)SGS微)。

大渦模擬法的優(yōu)點(diǎn)在于：

(1)、方程本身是精確的，計(jì)算結(jié)果的誤差只是由于采用的計(jì)算方法及數(shù)值計(jì)算本身所

帶來(lái)的誤差；

(2)、數(shù)值模擬可以提供每一瞬間流場(chǎng)中的全部信息，而且特別有重要意義的是能提供

很多在實(shí)驗(yàn)上目前還無(wú)法測(cè)量的量，這就使得可以用直接數(shù)值模擬所得到的計(jì)算結(jié)果來(lái)檢驗(yàn)

各種湍流模型的正確性和實(shí)用性，并為新的湍流模型開(kāi)發(fā)提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)；

(3)、在數(shù)值模擬中，流動(dòng)條件可以得到精確的控制，可以對(duì)各種因素單獨(dú)的或交互作

用的影響進(jìn)行系統(tǒng)的研究，這在實(shí)驗(yàn)中是難以做到的；

(4)、在某些情況下，，物理實(shí)驗(yàn)?zāi)M非常昂貴和危險(xiǎn)，而且有時(shí)由于實(shí)驗(yàn)條件的要求

達(dá)不到，甚至是不可能實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)流動(dòng)條件的完全相似，于是，直接大渦的數(shù)值模擬就成了

提供預(yù)測(cè)的唯一手段；

(5)、計(jì)算結(jié)果對(duì)建立的小渦計(jì)算模型的可靠性不敏感，即小渦影響的計(jì)算結(jié)果對(duì)總體

計(jì)算結(jié)果影響不大。

大渦模擬法的缺點(diǎn)在于：

計(jì)算工作量巨大，要求計(jì)算機(jī)硬件配置較高、計(jì)算速度快(但要低于DNS方法的要求);

而且目前只能進(jìn)行低雷諾數(shù)和簡(jiǎn)單幾何邊界條件的湍流直接模擬。

這是因?yàn)椋和牧髅}動(dòng)運(yùn)動(dòng)中包含著大大小小不同尺度的渦運(yùn)動(dòng)，湍流統(tǒng)計(jì)理論已證明，

這種湍流運(yùn)動(dòng)中的最大渦尺度L可與平均運(yùn)動(dòng)特征長(zhǎng)度相比較，而其中最小尺度的渦運(yùn)動(dòng)則

取決于粘性耗散速度，即為柯?tīng)柲曷宸?Kolmogorov)定義的內(nèi)尺度〃=(/為/。而且

這大小尺度的比值隨著雷諾數(shù)的增高而迅速增大，即U”瞰0

由此，為了模擬湍流流動(dòng)，一方面要求計(jì)算域的尺度應(yīng)達(dá)到足以包含最大尺度的渦；另

一方面又要要求計(jì)算網(wǎng)格的尺度應(yīng)小到足以分辨最小尺度的渦運(yùn)動(dòng)。這樣一來(lái)，計(jì)算域就得

很大，而且在計(jì)算域的范圍內(nèi)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)數(shù)至少應(yīng)為與N~R24同一量級(jí)；而且計(jì)算模擬的時(shí)

間長(zhǎng)度又要大于大渦的時(shí)間長(zhǎng)度〃而計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)又應(yīng)小于小渦的時(shí)間長(zhǎng)度77/。。故

總的計(jì)算量正比于因此，就目前世界上現(xiàn)有計(jì)算速度最快的計(jì)算機(jī)計(jì)算速度水平，用

直接數(shù)值模擬的方法求解工程中的復(fù)雜湍流問(wèn)題與要求的速度還差3個(gè)數(shù)量級(jí)。

總之，在一定意義上講，大渦模擬是介于直接數(shù)值模擬與采用湍流模型模擬之間的一種

折衷方法。

上述所提到的計(jì)算方法的具體計(jì)算過(guò)程與計(jì)算實(shí)例，請(qǐng)參見(jiàn)有關(guān)書(shū)籍或文章。

在非直接模擬的統(tǒng)計(jì)平均法中，由于對(duì)描述流動(dòng)控制方程所采取的離散方法的不同，因

而也就出現(xiàn)了許多不同的流動(dòng)數(shù)值計(jì)算方法。其中在流體機(jī)械內(nèi)部流場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算中，常用

的主要方法有：

有限差分法、有限元法、邊界元法、有限分析法和有限體積法，等。

有限差分法

該方法是將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)(即離散點(diǎn))代替連續(xù)的求解域,

然后將控制流動(dòng)的微分方程中的所有微分項(xiàng)均用相應(yīng)的差商來(lái)代替，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化

為代數(shù)形式的差分方程，即導(dǎo)出含有離散點(diǎn)上有限個(gè)未知數(shù)的差分方程組；求解這個(gè)差分方

程組，所得到的解就作為該流動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值近似解，也就是得到了該流動(dòng)在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處流動(dòng)

變量的數(shù)值解。它是一種直接將微分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的近似數(shù)值解法。這種近似的數(shù)值

解法關(guān)鍵在于針對(duì)所研究的流動(dòng)問(wèn)題選擇合適的差商來(lái)代替微商。

優(yōu)點(diǎn)：①這種方法出現(xiàn)與發(fā)展的較早、成熟；適用于求解非定常流動(dòng)問(wèn)題（拋物型、雙

曲型問(wèn)題）。

②有限差分法只須構(gòu)造偏導(dǎo)數(shù)的離散方法，這使得它比較容易推廣到高階精度；

對(duì)于多維問(wèn)題也是如此。

③對(duì)于網(wǎng)格拓?fù)淦纥c(diǎn)，有限差分法更容易取得高的精度。

缺點(diǎn)：①在曲線(xiàn)坐標(biāo)系中，有限差分法要對(duì)幾何量和物理量給出確定的組合關(guān)系才能進(jìn)

行差分離散，這樣做的后果之一是有限差分法可能產(chǎn)生所謂幾何誘導(dǎo)誤差（geometryinduced

error）o

②不善于表現(xiàn)復(fù)雜的邊界；用它來(lái)求解橢圓型問(wèn)題時(shí)，不如有限元法方便。

有限元法

有限元法是將一個(gè)連續(xù)的求解域任意分成適當(dāng)形狀的若干個(gè)單元，并于各單元分片構(gòu)造

插值函數(shù)，然后根據(jù)極值原理（伽遼金Galerkin法），由流動(dòng)問(wèn)題的控制微分方程構(gòu)造積分

方程，對(duì)各單元積分得到離散了的單元有限元方程，把總體的極值作為各單元極值之和，即

將局部單元總體合成，形成嵌入了指定邊界條件的代數(shù)方程組，求解該方程組就得到各結(jié)點(diǎn)

上待求的函數(shù)值，從而求得該流動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值解。有限元法是將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程來(lái)

求解的，其實(shí)質(zhì)是分段（或分片、分塊）逼近，即將整個(gè)求解區(qū)域劃分為有限個(gè)子區(qū)域，構(gòu)

造分區(qū)插值函數(shù)，以逼近真解。

與有限差分法相比，其

優(yōu)點(diǎn)：適用于求解幾何、物理?xiàng)l件比較復(fù)雜的流動(dòng)問(wèn)題，且便于程序標(biāo)準(zhǔn)化，也適于求

解橢圓型的流動(dòng)問(wèn)題。

缺點(diǎn)：由于求解非定常流動(dòng)問(wèn)題時(shí)，每一時(shí)步都要解大型代數(shù)方程組，故其計(jì)算工作量

大、占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存大。

有限邊界元法

所謂有限邊界元法，是先將流體運(yùn)動(dòng)控制微分方程化為邊界積分方程，再用有限元的基

本思想與方法、步驟（在求解域的邊界上劃分有限單元）來(lái)處理邊界積分方程。與有限差分

法和有限元法不同，它在域內(nèi)滿(mǎn)足微分方程，而在邊界上近似滿(mǎn)足邊界條件。

優(yōu)點(diǎn)：它是將全域的計(jì)算化為了在區(qū)域邊界上的計(jì)算，使計(jì)算域的維數(shù)減少了一個(gè)，使

三維問(wèn)題化為二維問(wèn)題，二維問(wèn)題化為一維問(wèn)題，給計(jì)算帶來(lái)一系列的簡(jiǎn)化和方便。由于邊

界元法的近似范圍僅在區(qū)域的邊界上，與有限元法相比，其精度較高。

缺點(diǎn)；由于邊界元法要采用解析函數(shù)的基本解，因而目前還只適用于線(xiàn)性問(wèn)題以及基本

解已知的問(wèn)題；對(duì)于非線(xiàn)性問(wèn)題、半無(wú)限域問(wèn)題，以及區(qū)域的角點(diǎn)處理等，邊界元法還不成

熟。

有限體積法

有限體積法又稱(chēng)控制體積法，其理論依據(jù)是基于物理守恒原理。對(duì)于N-S方程采用有

線(xiàn)體積法離散，其基本思路是：首先根據(jù)高斯散度理論，將計(jì)算域劃分為一系列不重疊且不

隨時(shí)間而變的網(wǎng)格，并使每個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)周?chē)幸粋€(gè)控制體積；將待求解的微分方程對(duì)每一個(gè)

控制體積進(jìn)行積分，得出一組積分形式的離散方程。其中未知數(shù)是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的因變量。的數(shù)

值。為了求出控制體積的積分，必須先假定。值在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)之間的變化規(guī)律，即設(shè)定。值的

分段分布剖面。

優(yōu)點(diǎn)：①這種方法對(duì)任意一組控制體積都滿(mǎn)足積分守恒；當(dāng)網(wǎng)格尺度有限時(shí)（粗網(wǎng)格的

情況下），它也可以比有限差分法更好地、且準(zhǔn)確地滿(mǎn)足質(zhì)量、動(dòng)量和能量的守恒；對(duì)擬一

維或軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)，守恒性更容易實(shí)現(xiàn)。

②在復(fù)雜區(qū)域上容易實(shí)現(xiàn)。

缺點(diǎn)：①對(duì)多維問(wèn)題，高精度（高于二階）有限體積法的構(gòu)造和實(shí)施比較困難。

②與有限元法類(lèi)似，計(jì)算工作量大。

有限分析法

有限分析法是一種改進(jìn)了的有限元法。其基本思路是：離散單元上的解不再用插值函數(shù)

來(lái)表達(dá)，而是用方程局部線(xiàn)性化后的解析解。它首先將待求問(wèn)題的總體區(qū)域劃分為許多小的

子區(qū)域，在這些子區(qū)域中求局部解析解；然后從局部解析解中導(dǎo)出一個(gè)代數(shù)方程，使子區(qū)域

上的內(nèi)結(jié)點(diǎn)值與相鄰的結(jié)點(diǎn)值聯(lián)系起來(lái)；再把所有的局部解析解匯集在一起，就得到了所要

求解問(wèn)題的有限分析的數(shù)值解。

優(yōu)點(diǎn)：它比較好地保持了原有問(wèn)題的物理特性，能準(zhǔn)確地模擬流動(dòng)的對(duì)流效應(yīng)，同時(shí)不

存在數(shù)值擴(kuò)散現(xiàn)象，計(jì)算穩(wěn)定、收斂快，計(jì)算所需機(jī)時(shí)與差分法相當(dāng)。

缺點(diǎn)：對(duì)于不同的問(wèn)題子區(qū)域的劃分須依靠經(jīng)驗(yàn)。

在流體機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)或流場(chǎng)的計(jì)算中主要采用的是有限差分法和有限體積法。兩者的異

同點(diǎn)在于：

有限差分法是微分類(lèi)的離散方法；有限體積法是積分類(lèi)的離散方法；但二者是密切相關(guān)

的。已經(jīng)證明，在幾何度量系數(shù)處理適當(dāng)?shù)臈l件下，在一般曲線(xiàn)坐標(biāo)系中的守恒型流動(dòng)方程

的有限差分法等價(jià)于物理空間的有限體積法或通量和類(lèi)方法。也就是說(shuō)，在對(duì)幾何度量系數(shù)

的處理適當(dāng)?shù)臈l件下，進(jìn)行曲線(xiàn)坐標(biāo)變換后的計(jì)算空間里的有限差分法，同不進(jìn)行變換的物

理空間里的有限體積法或通量和類(lèi)的方法是等價(jià)的。事實(shí)上，在矩形網(wǎng)格上，二者可以做到

完全等價(jià)。

Vinokur的研究證明：微分類(lèi)的有限差分法和積分類(lèi)的有限體積法由于兩類(lèi)方法的不同，

導(dǎo)致了對(duì)幾何項(xiàng)處理上的不同；但這只會(huì)對(duì)計(jì)算精度和效率產(chǎn)生影響，而不會(huì)對(duì)計(jì)算產(chǎn)生本

質(zhì)上的影響的。也就是說(shuō)，有限差分法和有限體積法的不同主要是對(duì)網(wǎng)格的幾何處理方法不

同，而兩者沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別。

一般來(lái)說(shuō)，有限差分法和有限體積法有如下不同之處：

①有限體積法中對(duì)幾何量（度量系數(shù)）和物理量的計(jì)算式是獨(dú)立的；而有限差分法是要

對(duì)幾何量（度量系數(shù)）和物理量必須有的確定組合才能進(jìn)行差分運(yùn)算。所以，在有限差分法

中采用不同的差分格式，其幾何量對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響是不同的。

②用有限差分法計(jì)算得到的是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的物理量，而用有限體積法計(jì)算得到的是單元

的平均值。

有限體積法的特點(diǎn)是：

①當(dāng)網(wǎng)格尺度有限時(shí)，它可以比有限差分法更好地保證對(duì)質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守

恒定律的滿(mǎn)足；對(duì)擬一維或軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)，守恒性更容易實(shí)現(xiàn)。

②在復(fù)雜區(qū)域上容易實(shí)現(xiàn)。

③對(duì)多維問(wèn)題，高精度（高于二階）有限體積法的構(gòu)造和實(shí)施比較困難。

有限差分法的特點(diǎn)是：

①有限差分法只須構(gòu)造偏導(dǎo)數(shù)的離散方法，這使得它比較容易推廣到高階精度；對(duì)于多

維問(wèn)題也是如此。

②對(duì)于網(wǎng)格拓?fù)淦纥c(diǎn)，有限差分法更容易取得高的精度。

③在曲線(xiàn)坐標(biāo)系中，有限差分法要對(duì)幾何量和物理量給出確定的組合關(guān)系才能進(jìn)行差分

離散，這樣做的后果之一是有限差分法可能產(chǎn)生所謂幾何誘導(dǎo)誤差。

T7

例如，考慮一流動(dòng)是定常的無(wú)界均勻流場(chǎng)，則Vi,j,上q=0。在由一般曲線(xiàn)坐標(biāo)構(gòu)

dt

成的網(wǎng)格（求解域可以是有界的，也可以是無(wú)界的，計(jì)算邊界條件是給定的均勻流動(dòng)參數(shù)）

TT

上采用有限差分方法計(jì)算此流動(dòng)，可能有而采用有限體積法，則恒有Vi,j,

dt

‘""=0；這就是幾何誘導(dǎo)誤差所引起的現(xiàn)象之一。

dt

第三節(jié)轉(zhuǎn)（葉）輪內(nèi)流動(dòng)的降維計(jì)算

對(duì)于轉(zhuǎn)（葉）輪內(nèi)流動(dòng)的降維在加和52流面上的數(shù)值計(jì)算，可分為粘性和非粘性的兩

種方法計(jì)算。

一、非粘性計(jì)算

在S1流面內(nèi)的數(shù)值計(jì)算方法有：

流線(xiàn)曲率法、有限差分法、奇點(diǎn)分布法、有限元法，以及有限差分和松弛法相結(jié)合的方

法等。

采用流線(xiàn)曲率法計(jì)算時(shí)，由于在葉片上下游沒(méi)有固定的邊界，因而必須對(duì)葉片進(jìn)出口前

后緣區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)作一些假設(shè)。這就影響了這種計(jì)算方法解的精度和可靠性，其計(jì)算精度在

某種程度上取決于計(jì)算者對(duì)邊界條件處理及前后緣處流動(dòng)假定條件給定的經(jīng)驗(yàn)；另外，由于

流線(xiàn)曲率法計(jì)算所用的坐標(biāo)系在每次流線(xiàn)迭代時(shí)都要隨流線(xiàn)的不同而改變，因而使用中很不

方便，故現(xiàn)在多采用準(zhǔn)正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系。再者，由于流線(xiàn)是由對(duì)很多離散點(diǎn)進(jìn)行曲線(xiàn)擬合而

擬合出來(lái)的，因此很難保證擬合的曲線(xiàn)完全光滑，尤其是在流速變化較大處，流線(xiàn)曲率的計(jì)

算精度將急劇下降，從而導(dǎo)致計(jì)算不穩(wěn)定。

但流線(xiàn)曲率法具有物理概念清晰,所需數(shù)學(xué)知識(shí)及程序較簡(jiǎn)單，計(jì)算所占計(jì)算機(jī)內(nèi)存少等

優(yōu)點(diǎn)。

在有限差分法中，一般采用Katsanis的在葉片前緣附近加密計(jì)算網(wǎng)格，用松弛法求解；

該方法可適用于葉（轉(zhuǎn)）輪形狀復(fù)雜的內(nèi)部流動(dòng)計(jì)算。

Senoo的奇點(diǎn)分布法是先將S1流面保角地影射成平面環(huán)列葉柵，然后用奇點(diǎn)分布法求

解。由于這種方法中的奇點(diǎn)是分布在翼型的骨線(xiàn)上，所以這種方法原則上只適用于薄翼；對(duì)

于厚翼，則在平均流動(dòng)中用考慮厚度排擠的方法來(lái)進(jìn)行修正。

在S2流面上的數(shù)值計(jì)算方法有：

流線(xiàn)曲率法、有限差分法、有限元法，以及流線(xiàn)曲率法和松弛法相結(jié)合的方法等。

二、考慮粘性影響的粘性計(jì)算

1、死水區(qū)的非粘性計(jì)算方法

這種計(jì)算是將葉片背（負(fù)壓）面出U處的邊界層分離區(qū)定義為死水區(qū)，該部分的計(jì)算仍

然用無(wú)粘性的計(jì)算方法進(jìn)行，然后用修正葉片出口部分形狀的方法來(lái)考慮粘性的影響。這種

計(jì)算方法的缺點(diǎn)是不能給出明確的邊界層分離點(diǎn)的判別標(biāo)準(zhǔn)。

2、主流一邊界層組合計(jì)算的方法

這種計(jì)算方法是把流體機(jī)械內(nèi)的液流分成四個(gè)流動(dòng)區(qū)域，即主流區(qū)、頂部與底部壁面邊

界層區(qū)（離心泵的前、后蓋板，水輪機(jī)的上冠、下環(huán)）、側(cè)壁面（葉片表面）邊界層區(qū)和葉

片表面與蓋板間的轉(zhuǎn)角區(qū)。主流區(qū)采用非粘性計(jì)算，邊界層區(qū)采用Moses的條形積分法進(jìn)行

旋轉(zhuǎn)邊界的三維計(jì)算。

這種計(jì)算方法的主要優(yōu)點(diǎn)是可以顧及到回轉(zhuǎn)流道內(nèi)的二次流對(duì)邊界層發(fā)展的影響。

3、粘性方程的直接解法

這種計(jì)算方法目前只有Moore的混合長(zhǎng)度模型部分拋物線(xiàn)方程的解法和Fraser的用k-

￡模型的湍流計(jì)算法，以及Hah的用代數(shù)模型對(duì)N—S方程進(jìn)行壓力修正后得到橢圓型方程

的直接求解方法。

目前在工程上較成熟和實(shí)用的粘性計(jì)算方法是主流一邊界層的組合算法（詳見(jiàn)《現(xiàn)代水

泵設(shè)計(jì)方法》P204~256）o

總括起來(lái)說(shuō)，在流體機(jī)械內(nèi)部流動(dòng)的準(zhǔn)三維數(shù)值計(jì)算中，尤其是對(duì)旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)（葉）輪內(nèi)

部的流動(dòng)計(jì)算，采用了回轉(zhuǎn)的S1流面和平均的子午面S2流面的分解，使其相互迭代求得解

的精度受到了一定影響；其計(jì)算精度不如采用前述粘性方程的三種直接計(jì)算方法。

按描述流體運(yùn)動(dòng)的控制方程數(shù)學(xué)性質(zhì)的不同，在流體力學(xué)中將其分為三種類(lèi)型，分別為:

一種是雙曲線(xiàn)方程：如一維對(duì)流方程，—+a—=0,其中a為常數(shù)；

dtdx

一種是拋物形方程：如一維對(duì)流擴(kuò)散方程，M嗯=嚶,其中a、4為常數(shù)；

再一種是橢圓形方程：如不可壓有勢(shì)流動(dòng)的控制方程一拉普拉斯（Laplace）方程，

三、數(shù)值計(jì)算中必須注意的問(wèn)題

誤差分析在數(shù)值計(jì)算中是--個(gè)既重要而又復(fù)雜的問(wèn)題，因每步計(jì)算中都可能產(chǎn)生誤差，

而一個(gè)問(wèn)題的解決往往要經(jīng)過(guò)成千上萬(wàn)次運(yùn)算，不可能（也沒(méi)必要）對(duì)每一步都加以分析。

這里只提出在數(shù)值計(jì)算中應(yīng)該注意的幾個(gè)問(wèn)題，以避免某些誤差危害現(xiàn)象的產(chǎn)生。

1、要避免兩相近數(shù)值的相減

兩相近數(shù)值的相減會(huì)使有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失。例如，x*=4.312,y*=4.308都具有四位有效數(shù)

字，但x*-y*=0.004,卻就只有一位有效數(shù)字了。有效數(shù)字的數(shù)目嚴(yán)重?fù)p失，減少了3位；這

說(shuō)明應(yīng)盡量避免出現(xiàn)相近數(shù)值的相減。其辦法是改變計(jì)算方法。如在下面的情況中，用

如果難于改變算式的形式，也可采用增加有效數(shù)位的辦法。右端算式代替左端算式，有

效數(shù)字就不會(huì)損失。

當(dāng)x〉0很大時(shí)，

Jx+1-Vx=-；——1~廣,

X+1+y/X

111

--------------,

xx+1x(x+l)

arctg(x+1)-arctgx=arctg---!----

l+x(x+l)

當(dāng)w很小時(shí)，

l-cosx=2(sin92,

23

xx

ex-l=(l+x+—+-+???)-!

2!3!

112,、

—X(Z14--XH--X+,■,),

26

當(dāng)x,y很接近且都為正時(shí)，

x

Inx-Iny=ln—.

y

2、要避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法

在計(jì)算過(guò)程中，如計(jì)算工若0<|y|?|x|時(shí)，即用絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù)，會(huì)使商的數(shù)量

y

級(jí)增加，從而舍入誤差會(huì)增大，給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)嚴(yán)重的影響或失真；故應(yīng)盡量避免。

3、要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)

為了說(shuō)明這一點(diǎn)，下面舉個(gè)例子

例1、計(jì)算二次方程/-(1()9+l)x+1()9=0的根。

解：顯然方程的二個(gè)根為

X1—10,犬2=1。

但如果我們用求根公式

_-b+y]b2-4ac

在能將規(guī)格化的數(shù)表達(dá)到小數(shù)后八位的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算，則

-fe=109+l=0.1xl09+0.0000000001X1o10.

由于第二項(xiàng)最后兩位數(shù)“01”在機(jī)器上表示不出來(lái)，故在上機(jī)運(yùn)算時(shí)(用A表示)

△

一6=0.1X10'°+0.00000000X1O10=o.lxio10=109

類(lèi)似地分析有

b2-4ac?b2,yb2-4ac?網(wǎng)，

x_-bjb?-4ac上直+楊_】

故*—2a-T~

-/>-7/?2-4acM09-109,、

x,=------------=-------=0.

2a2

顯然根嚴(yán)重失真。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的主要原因是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行加減運(yùn)算要對(duì)階，-匕的

第二項(xiàng)00000000001x109在第八位,計(jì)算機(jī)中表示為機(jī)器0,則小數(shù)1被大數(shù)109“吃掉”

了，結(jié)果當(dāng)然就不可靠。為防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)，對(duì)于該類(lèi)問(wèn)題可采取的措施是利用根與

系數(shù)的關(guān)系

C

xx=—

v2a

來(lái)計(jì)算乙，這時(shí)有

C△1()9

4、要盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以減少運(yùn)算次數(shù)

對(duì)一個(gè)計(jì)算問(wèn)題，如能減少運(yùn)算次數(shù)，不但能節(jié)省計(jì)算所用的時(shí)間，還能使計(jì)算中的

誤差積累減小；這也是數(shù)值計(jì)算方法中應(yīng)充分要注意的問(wèn)題。

1001

例如要計(jì)算和式，一」的值，如果直接逐項(xiàng)求和，不但其運(yùn)算次數(shù)多，而且誤差

?=|+1)

積累嚴(yán)重。但若把和式簡(jiǎn)化為

11.1(11)11

占〃(〃+1)￡nn+l100f

則整個(gè)計(jì)算就變成了只要求一次倒數(shù)和一次減法了。

又如計(jì)算多項(xiàng)式

n

/(x)=aax+%x"T+…+anlx+an

的值。若直接計(jì)算a/"'再逐項(xiàng)相加，總共需做

,八八n(n+1)

/?+(n—1)H-----1-2+1f=--—

次乘法和n次加法。但若將前n項(xiàng)提出x,則有

f(x)=(aox"~'+%x"2+…+a“_])x+%.

于是括號(hào)內(nèi)是nT次多項(xiàng)式，對(duì)它再施行同樣的手續(xù)，又有

n-2

/*)=l(aox+%x"-3+...+an2)x+an_t]x+a,,.

這樣內(nèi)層括號(hào)為一n-2次多項(xiàng)式，這樣每做一步，最內(nèi)層的多項(xiàng)式降低一次，最終可將多項(xiàng)

式表示為如下嵌套形式

/(%)=(???(aQx+^)x4-a2)xH---an_^x+an.

利用此式結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)從里往外一層一層地計(jì)算。設(shè)

仇=h()x+a],

b2

***9

b?=%x+4=/(x),

得遞推公式

b。=do，

hj=?+xb-i,1</<n.

{b?=f(x),

按遞推式求/(x)的值只需作n次乘法和n次加法，計(jì)算量節(jié)約了一半，且邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)

單。多項(xiàng)式求值的這種算法稱(chēng)為秦九韶方法，它是我國(guó)宋代一位數(shù)學(xué)家秦九韶最先提出的。

它的特點(diǎn)在于通過(guò)一次式的反復(fù)計(jì)算，逐步得出高次多項(xiàng)式的值，這種化繁為簡(jiǎn)的處理方法

在數(shù)值計(jì)算方法中是常見(jiàn)的。

例2、用秦九韶方法求多項(xiàng)式

/(x)=4x3+2x2-5x+7

在%=3的值。

解：把〃x)的系數(shù)按降塞排成一列，按下表計(jì)算：

a。環(huán)=魚(yú)4b0=4

%力=用+瓦以24二14

“二37

aib：=ai+xl)bi.]-5

4二U8=/⑶

%b?=a?+xQbn-i=f(xii)7

本數(shù)=左數(shù)+x0X上一數(shù)

第四節(jié)相對(duì)圓柱坐標(biāo)系中流體參數(shù)及其運(yùn)動(dòng)的描述

我們?cè)谶M(jìn)行旋轉(zhuǎn)流體機(jī)械轉(zhuǎn)（葉）輪內(nèi)的三維流動(dòng)數(shù)值計(jì)算時(shí)，為了方便和簡(jiǎn)化計(jì)算，

一般都選用相對(duì)圓柱坐標(biāo)系，并II坐標(biāo)軸固定在轉(zhuǎn)（葉）輪上；艇個(gè)坐標(biāo)軸分別為小。（或

9）、z；轉(zhuǎn)（葉）輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3由于坐標(biāo)系的改變，則描述流體運(yùn)動(dòng)的參數(shù)、

控制方程或表達(dá)式必然要改變；所以我們?cè)诓捎眯D(zhuǎn)的相對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)（葉D輪中流體運(yùn)

動(dòng)的計(jì)算時(shí)，必須要知道描述流體在相對(duì)圓柱坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)參數(shù)、控制方程或表達(dá)式。為

此，分別簡(jiǎn)介于下。

一、單位質(zhì)量流體的能量

1.單位質(zhì)量流體的勢(shì)能

單位質(zhì)量流體的勢(shì)能以與表示之，它等于

，=gZ+"……（1）

P

求上式的微分，對(duì)于不可壓縮流體有：

dY=gdz+—dp...（2）

P

在流體力學(xué)中，符號(hào)▽稱(chēng)為微分算于，它表示為

.d.d,d

▽w二。Flg--FI-~~

dr"d（p'dz

一個(gè)量的微分d（）可以寫(xiě)成這個(gè)量的梯度▽?zhuān)ǎ┡c力?="公+%/9+，/2的點(diǎn)乘積（標(biāo)量積）,

即

d（）=（三dr+鳥(niǎo)d。+三dz.）（）=（i,.dr+id。+i,dz）?

dro（pdz

.d.d.d

應(yīng)k+"。丁+"卞）（）=〃?▽?zhuān)ǎ?/p>

orro（pdz

于是公式(6-2)就可寫(xiě)成

dr,(yY-^Vz-—V/2)=0

P

因?yàn)榱?可任意給定，與小括號(hào)中所表示的向量不垂直，得

vyVp=o..⑶

p

2、單位質(zhì)量流體的能量—比能Y

vpuvu...(4)

y=gz+-+-=y?+-⑷

3、相對(duì)比能九

我們把相對(duì)運(yùn)動(dòng)伯努利(Bernoulli)方程中的四項(xiàng)之和稱(chēng)之為相對(duì)比能：

J(w)2...(5)

vy=gz+—+-----3

wp22

下面推導(dǎo)相對(duì)比能?與比能y之間的關(guān)系。根據(jù)余弦定理，從葉輪的速度三角形可得到

u2-arr~+W2-2a)r(a)r-)

從上式可得

gz+4,即得

上式等號(hào)兩邊均加

p)

Yw=Y-covur...(6)

二、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中與數(shù)值計(jì)算有關(guān)的流體運(yùn)動(dòng)表達(dá)式

1、相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的隨流導(dǎo)數(shù)

我們?cè)谕茖?dǎo)式(6-3)的過(guò)程中曾得到

d()=JR-V()...(7)

對(duì)于相對(duì)定常運(yùn)動(dòng)，我們可把上式寫(xiě)成

9=坐”()

dtdt

如果取而為相對(duì)運(yùn)動(dòng)的流線(xiàn)方向，則得到

^=W?V()...(8)

dt

2、方向?qū)?shù)

公式（6-7）中的向量東可以寫(xiě)成它的模歐與它的單位向量器的乘積'故得

W）=W（）

*>

3、相對(duì)圓柱坐標(biāo)系中流體的運(yùn)動(dòng)方程

如果流體是理想流體，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是定常運(yùn)動(dòng)，而且忽略流體的質(zhì)量力，則運(yùn)動(dòng)方程為:

dwr5_1dp

dtrpdr

=_1dp(10)

dtpd(p

—==--1--d-p

dtpdz.

上述這些在相對(duì)圓柱坐標(biāo)系中描述流體運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式，在我們進(jìn)行三維流動(dòng)計(jì)算中推導(dǎo)

計(jì)算公式時(shí)都將要用到。

第五節(jié)流動(dòng)控制方程組的數(shù)學(xué)性質(zhì)及分類(lèi)

流體力學(xué)中的流動(dòng)控制方程都是擬線(xiàn)性偏微分方程，其時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)是線(xiàn)性的，而空間導(dǎo)

數(shù)項(xiàng)往往是非線(xiàn)性的；因此，在絕大多數(shù)情況下無(wú)法求得這些偏微分方程的精確解。為此，

為求得流動(dòng)或流場(chǎng)的近似解，只有采用各種計(jì)算方法，通過(guò)CFD的手段求得滿(mǎn)足一定精度的

這些偏微分方程的數(shù)值解。流動(dòng)的數(shù)值解法即是偏微分方程數(shù)值解法的一部分，因而，必須

清楚所要求解的控制方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)，它是屬于哪種類(lèi)型的方程。不同類(lèi)型的離散方程，其

數(shù)值處理方法各異，這些相異點(diǎn)包括解的適定性、穩(wěn)定性、收斂性、物理性質(zhì)及差分格式的

適用性等。

那么，何為微分方程的適定性，差分方程（格式）的穩(wěn)定性和收斂性，以及差分方程與

其微分源方程的相容性呢？

微分方程的適定性是指：該微分問(wèn)題的解存在，并且唯一。

差分方程的穩(wěn)定性是指：在利用推進(jìn)（遞推）法數(shù)值求解差分方程的過(guò)程中，如果初始

誤差的增長(zhǎng)有界，即這些誤差在傳播過(guò)程中逐漸減小或只控制在某一個(gè)有限的范圍內(nèi)，貝?麻

差分方程或差分格式是穩(wěn)定的；否則即使不穩(wěn)定的。差分方程或差分格式的穩(wěn)定性是適定的

線(xiàn)性初值問(wèn)題及與它相容的差分方程收斂的充分必要條件。

差分方程（格式）的收斂性是指：當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)和網(wǎng)格間距4-0,AxfO時(shí)-，差分方

程的解趨近源微分方程的解，則稱(chēng)差分方程（格式）是收斂的。

其定義為：設(shè)微分源方程的解為〃（X,f）淇