專(zhuān)題02 相交線與平行線（考題壓軸、壓軸必刷）（解析版）

專(zhuān)題02相交線與平行線（壓軸必刷30題）一．余角和補(bǔ)角（共2小題）1．將一副學(xué)生用三角板（一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形）如圖疊放，則下列4個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）①OE平分∠AOD；②∠AOC＝∠EOD；③∠AOC﹣∠CEA＝15°；④∠COB+∠AOD＝180°．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB，即∠AOC＝∠BOD，故②錯(cuò)誤；∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠COB+∠AOD＝∠AOB+∠COD＝180°，故④正確；如圖，AB與OC交于點(diǎn)P，∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A＝180°，∴∠AOC﹣∠CEA＝15°．故③正確；沒(méi)有條件能證明OE平分∠AOD，故①錯(cuò)誤．故選：C．2．如圖1，某校七年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實(shí)踐活動(dòng)中，把一個(gè)直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)O放在互相垂直的兩條直線PQ、MN的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線PQ、MN上，將△AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）．（1）如圖2，若α＝26°，則∠BOP＝64°，∠AOM+∠BOQ＝180°；（2）若射線OC是∠BOM的角平分線，且∠POC＝β．①若△AOB旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，∠BON的度數(shù)為多少？（用含β的代數(shù)式表示）②△AOB在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此時(shí)β的值．【答案】（1）64°；180°；（2）①2β；②60°或36°．【解答】解：（1）如圖2，∵M(jìn)N⊥PQ，∴∠POM＝∠QOM＝90°，∵∠BOM＝∠AOQ＝26°，∴∠BOP＝90°﹣26°＝64°；∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠BOQ＝∠AOM+∠AOQ+∠AOB＝∠QOM+∠AOB＝90°+90°＝180°，故答案為：64°；180°；（2）①∵∠POM＝90°，∠POC＝β，∴∠COM＝90°﹣β，∵射線OC是∠BOM的角平分線，∴∠BOM＝2∠COM＝180°﹣2β，∴∠BON＝180°﹣（180°﹣2β）＝2β；②當(dāng)OA位于∠QOM內(nèi)部時(shí)，如圖3，∵OC平分∠BOM，∴∠BOC＝∠COM，∵∠AOC＝2∠AOM，∴∠AOM＝∠COM，∴∠AOM＝∠COM＝∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝90°，∴∠COM＝30°，∴β＝90°﹣30°＝60°；當(dāng)OA位于∠POM內(nèi)部時(shí)，如圖，∵∠POM＝90°，∠POC＝β°，∴∠COM＝90°﹣β，∵OC平分∠BOM，∴∠BOM＝2∠COM＝180°﹣2β，∠BOC＝∠COM＝90°﹣β，∴∠AOM＝180°﹣2β﹣90°＝90°﹣2β，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣（90°﹣β）＝β，∵∠AOC＝2∠AOM，∴β＝2（90°﹣2β），解得β＝36°，綜上所述，若∠AOC＝2∠AOM，β的值為60°或36°．二．平行線的判定（共1小題）3．一副直角三角板中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，現(xiàn)將直角頂點(diǎn)C按照如圖方式疊放，點(diǎn)E在直線AC上方，且0°＜∠ACE＜180°，能使三角形ADC有一條邊與EB平行的所有∠ACE的度數(shù)為45°或135°或165°．【答案】45°或135°或165°．【解答】解：當(dāng)∠ACE＝∠E＝45°時(shí)，AC∥BE，理由如下，如圖所示：∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，∴BE⊥CD．又∵AC⊥CD，∴AC∥BE；當(dāng)∠ACE＝135°時(shí)，BE∥CD，理由如下，如圖所示：∵∠ACE＝135°，∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，∵∠E＝45°，∴∠DCE＝∠E，∴BE∥CD；當(dāng)∠ACE＝165°時(shí)，BE∥AD．理由如下：延長(zhǎng)AC交BE于F，如圖所示：∵∠ACE＝165°，∴∠ECF＝15°，∵∠E＝45°，∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠CFB，∴BE∥AD，綜上，三角形ADC有一條邊與EB平行的所有∠ACE的度數(shù)的為：45°或135°或165°．故答案為：45°或135°或165°．三．平行線的性質(zhì)（共27小題）4．如圖，AB∥CD，E為AB上一點(diǎn)，且EF⊥CD垂足為F，∠CED＝90°，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，則下列結(jié)論：①；②DE平分∠GEB；③∠CEF＝∠GED；④∠FED+∠BEC＝180°；其中正確有（）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④【答案】C【解答】解：∵∠CGE＝a，AB∥CD，∴∠CGE＝∠GEB＝a，∴∠AEG＝180°﹣a，∵CE平分∠AEG，∴∠AEC＝∠CEG＝∠AEG＝90°﹣a，故①正確；∵∠CED＝90°，∴∠AEC+∠DEB＝90°，∴∠DEB＝a＝∠GEB，即DE平分∠GEB，故②正確；∵EF⊥CD，AB∥CD，∴∠AEF＝90°，∴∠AEC+∠CEF＝90°，∴∠CEF＝a，∵∠GED＝∠GEB﹣∠DEB＝a，∴∠CEF＝∠GED，故③正確；∵∠FED＝90°﹣∠BED＝90°﹣a，∠BEC＝180°﹣∠AEC＝90°+a，∴∠FED+∠BEC＝180°，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④，故選：C．5．如圖，AB∥EF，設(shè)∠C＝90°，那么x、y和z的關(guān)系是（）A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°【答案】B【解答】解：過(guò)C作CM∥AB，延長(zhǎng)CD交EF于N，則∠CDE＝∠E+∠CNE，即∠CNE＝y(tǒng)﹣z∵CM∥AB，AB∥EF，∴CM∥AB∥EF，∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，∵∠BCD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y﹣z＝90°．故選：B．6．如圖，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，給出下列結(jié)論：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：∵AB//CD，∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，∴∠ABO＝∠BOD＝α，∵OE平分∠BOC，∴，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴，∴，即OF平分∠BOD，∵OP⊥CD，∴∠POC＝90°，∴，∴∠POE＝∠BOF∠POB＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，，所以④錯(cuò)誤；故答案為：C．7．如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF＝28°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（）A．94° B．96° C．102° D．128°【答案】B【解答】解：∵長(zhǎng)方形的對(duì)邊AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝28°，∴∠CFE＝180°﹣3×28°＝96°．故選：B．8．如圖，AB∥CD，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)D∥EH，且FE平分∠AFG，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥EH于點(diǎn)G，且∠AFG＝2∠D，則下列結(jié)論：①∠D＝40°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解答】解：延長(zhǎng)FG，交CH于I．∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC＝∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，∴3∠EHC＝90°，∴∠EHC＝30°，∴∠D＝30°，∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，∴①∠D＝40°錯(cuò)誤；②2∠D+∠EHC＝90°正確，∵FE平分∠AFG，∴∠AFI＝30°×2＝60°，∵∠BFD＝30°，∴∠GFD＝90°，∴∠GFH+∠HFD＝90°，可見(jiàn)，∠HFD的值未必為30°，∠GFH未必為45°，只要和為90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正確．故選：A．9．如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G，若∠DEH＝100°，則∠BEG的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解答】解：設(shè)FBE＝∠FEB＝α，則∠AFE＝2α，∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，則∠CEH＝∠FAE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，80°+2α+180°﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故選：B．10．如圖，已知AB∥CD，CE，BE的交點(diǎn)為E，現(xiàn)作如下操作：第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點(diǎn)為E1，第二次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點(diǎn)為E2，第三次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點(diǎn)為E3，…第n次操作，分別作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點(diǎn)為En．若∠En＝1°，那∠BEC等于2n°．【答案】2n．【解答】解：如圖①，過(guò)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，∵∠BEC＝∠1+∠2，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；如圖②，∵∠ABE和∠DCE的平分線交點(diǎn)為E1，∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分線交點(diǎn)為E2，∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；如圖②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點(diǎn)為E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…以此類(lèi)推，∠En＝∠BEC．∴當(dāng)∠En＝1°時(shí)，∠BEC等于（2n）°．故答案為：2n．11．如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A，B分別落在A'，B'的位置，再沿AD邊將∠A'折疊到∠H處，已知∠1＝50°，則∠FEH＝15°．【答案】15．【解答】解：由折疊可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，∴∠BFE＝65°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝115°，∴∠A'EF＝115°，過(guò)B'作B'M∥AD，則∠DGB'＝∠GB'M，∵AD∥BC，∴∠MB'F＝∠1，∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，∵∠A'＝90°，∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，∴∠A'EH＝2×50°＝100°，∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．故答案為：15．12．把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G，D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，則∠2﹣∠1＝16°．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AD∥BC，∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，∵長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點(diǎn)為G，∴∠DEF＝∠GEF＝49°，∴∠2＝2×49°＝98°，∴∠1＝180°﹣98°＝82°，∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．故答案為16°．13．綜合與探究問(wèn)題情境在綜合實(shí)踐課上，老師組織七年級(jí)（2）班的同學(xué)開(kāi)展了探究?jī)山侵g數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知射線AM∥BN，連接AB，點(diǎn)P是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．探索發(fā)現(xiàn)“快樂(lè)小組”經(jīng)過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)∠A＝60°時(shí)，∠CBD＝∠A．請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）不斷改變∠A的度數(shù)，∠CBD與∠A卻始終存在某種數(shù)量關(guān)系，用含∠A的式子表示∠CBD為∠CBD＝．操作探究（3）“智慧小組”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度數(shù)后，探究二者之間的數(shù)量關(guān)系．他們驚奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無(wú)論點(diǎn)P在AM上的什么位置，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系都保持不變，請(qǐng)寫(xiě)出它們的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（4）點(diǎn)P繼續(xù)在射線AM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到使∠ACB＝∠ABD時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出2∠ABC+∠A的結(jié)果．【答案】（1）過(guò)程見(jiàn)解析．（2）∠CBD＝．（3）過(guò)程見(jiàn)解析．（4）90°．【解答】解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，又∵∠A＝60°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°．∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN＝60°，∴∠CBD＝∠A．（2）∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝180°﹣∠A，∴∠CBD＝．（3）∠APB＝2∠ADB理由如下：∵BD分別平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠NBD，∵AM∥BN，∴∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，∴∠APB＝2∠ADB．（4）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，當(dāng)∠ACB＝∠ABD時(shí)，有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，∴2∠ABC＝∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∴2∠ABC+∠A＝（∠A+∠ABN）＝×180°＝90°．14．小明同學(xué)在完成七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)后，遇到了一些問(wèn)題，請(qǐng)你幫他解決一下．（1）如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直線交于點(diǎn)E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數(shù)．【答案】（1）成立，理由見(jiàn)解答；（2）50°．【解答】解：（1）成立，理由：如圖1中，作EF∥AB，則有EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，∵AB∥CD，∠FAD＝60°，∴∠FAD＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，∴∠EDC＝∠ADC＝30°，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝20°，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．15．綜合與探究，問(wèn)題情境：綜合實(shí)踐課上，王老師組織同學(xué)們開(kāi)展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）如圖1，EF∥MN，點(diǎn)A，B分別為直線EF，MN上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為平行線間一點(diǎn)且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度數(shù)；問(wèn)題遷移（2）如圖2，射線OM與射線ON交于點(diǎn)O，直線m∥n，直線m分別交OM，ON于點(diǎn)A，D，直線n分別交OM，ON于點(diǎn)B，C，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)P在A，B（不與A，B重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)P不在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)都不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD，∠α，∠β間的數(shù)量關(guān)系．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，理由如下：過(guò)P作PT∥EF，如圖：∵EF∥MN，∴PT∥EF∥MN，∴∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°，∴∠PAF+∠APT+∠TPB+∠PBN＝360°，即∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，∵∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠PAF﹣∠PBN＝360°﹣130°﹣120°＝110°；（2）①∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：過(guò)P作PE∥AD交CD于E，如圖：∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；②當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，如圖：此時(shí)∠CPD＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，如圖：此時(shí)∠CPD＝∠α﹣∠β．16．（1）【問(wèn)題解決】如圖1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度數(shù)；（2）【問(wèn)題遷移】如圖2，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，則∠PFC，∠PEA，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖3，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)（結(jié)果用含α的式子表示）．【答案】（1）∠EPF的度數(shù)為64°；（2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，理由見(jiàn)解答；（3）∠G的度數(shù)為α．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，∴∠BEP＝∠EPG＝36°，∵AB∥CD，∴GP∥CD，∴∠FPG＝180°﹣∠CFP＝28°，∴∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝64°，∴∠EPF的度數(shù)為64°；（2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，理由：過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，∴∠EPG＝∠PEA，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠PFC＝∠FPG，∵∠EPF＝∠FPG﹣∠EPG，∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA；（3）∵FG平分∠PFC，EG平分∠AEP，∴∠GFC＝∠PFC，∠GEA＝∠AEP，由（2）可得：∠G＝∠GFC﹣∠GEA，∵∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝α∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA＝∠PFC﹣∠AEP＝（∠PFC﹣∠PEA）＝α，∴∠G的度數(shù)為α．17．已知直線AM∥BN，點(diǎn)P是直線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），BC平分∠PBN，交直線AM于點(diǎn)C．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，若∠CPB＝40°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠PCB的度數(shù)，不必說(shuō)明理由；（2）若∠MAB＝60°，BD平分∠PBA，交直線AM于點(diǎn)D．①如圖2，若點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DBC的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出該度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；②∠ADB與∠ABC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】（1）70°；（2）①∠DBC的度數(shù)不發(fā)生變化，∠DBC＝60°，理由見(jiàn)解答過(guò)程；②∠ADB＝∠ABC或∠ADB+∠ABC＝180°，理由見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】解：（1）延長(zhǎng)NB到E，如圖1所示：∵AM∥BN，∠CPB＝40°，∴∠PBE＝∠CPB＝40°，∴∠PBN＝180°﹣∠PBE＝140°，∵BC平分∠PBN，∴∠CBN＝∠PBN＝70°，∵AM∥BN，∴∠PCB＝∠CBN＝70°；（2）①點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DBC的度數(shù)不發(fā)生變化，∠DBC＝60°，理由如下：延長(zhǎng)NB到E，如圖2所示：設(shè)∠ABD＝α，∵BD平分∠PBA，∴∠PBD＝∠ABD＝α，∠ABP＝2α，∵AM∥BN，∠MAB＝60°，∴∠EBA＝∠MAB＝60°，∴∠EBP＝∠EBA﹣∠ABP＝60°﹣2α，∴∠PBN＝180°﹣∠EBP＝180°﹣（60°﹣2α）＝120°+2α，∵BC平分∠PBN，∴∠PBC＝∠PBN＝（120°+2α）＝60°+α，∴∠DBC＝∠PBC﹣∠PBD＝60°+α﹣α＝60°，②∠ADB與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系是：∠ADB＝∠ABC或∠ADB+∠ABC＝180°，理由如下：（?。┊?dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)NB到E，如圖3所示：設(shè)∠ABD＝α，∵BD平分∠PBA，∴∠PBD＝∠ABD＝α，∠ABP＝2α，∵AM∥BN，∠MAB＝60°，∴∠EBA＝∠MAB＝60°，∴∠ADB＝∠EBD＝∠EBA﹣∠ABD＝60°﹣α，∵∠EBP＝∠EBA﹣∠ABP＝60°﹣2α，∴∠PBN＝180°﹣∠EBP＝180°﹣（60°﹣2α）＝120°+2α，∵BC平分∠PBN，∴∠PBC＝∠PBN＝（120°+2α）＝60°+α，∴∠ACB＝∠PBC﹣∠ABP＝60°+α﹣2α＝60°﹣α，∴∠ADB＝∠ACB；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)NB到E，如圖4所示：設(shè)∠ABD＝α，∵BD平分∠PBA，∴∠PBD＝∠ABD＝α，∠ABP＝2α，∵AM∥BN，∠MAB＝60°，∴∠EBA＝∠MAB＝60°，∴∠EBD＝∠EBA+∠ABD＝60°+α，∵AM∥BN，∴∠ADB+∠EBD＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠EBD＝180°﹣（60°+α）＝120°﹣α，∵∠EBA＝∠MAB＝60°，∠ABP＝2α，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝60°+2α，∴∠PBN＝180°﹣∠EBP＝180°﹣（60°+2α）＝120°﹣2α，∵BC平分∠PBN，∴∠PBC＝∠PBN＝（120°﹣2α）＝60°﹣α，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝2α+60°﹣α＝60°+α，∴∠ADB+∠ABC＝120°﹣α+60°+α＝180°．綜上所述：∠ADB與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系是：∠ADB＝∠ABC或∠ADB+∠ABC＝180°．18．如圖，MN∥OP，點(diǎn)A為直線MN上一定點(diǎn)，B為直線OP上的動(dòng)點(diǎn)，在直線MN與OP之間且在線段AB的右方作點(diǎn)D，使得AD⊥BD．設(shè)∠DAB＝α（α為銳角）．（1）求∠NAD與∠PBD的和；（提示過(guò)點(diǎn)D作EF∥MN）（2）當(dāng)點(diǎn)B在直線OP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明∠OBD﹣∠NAD＝90°；（3）當(dāng)點(diǎn)B在直線OP上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，請(qǐng)求出此時(shí)α的值【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作EF∥MN，則∠NAD＝∠ADE．∵M(jìn)N∥OP，EF∥MN，∴EF∥OP．∴∠PBD＝∠BDE，∴∠NAD+∠PBD＝∠ADE+∠BDE＝∠ADB．∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠NAD+∠PBD＝90°．（2）由（1）得：∠NAD+∠PBD＝90°，則∠NAD＝90°﹣∠PBD．∵∠OBD+∠PBD＝180°，∴∠OBD＝180°﹣∠PBD，∴∠OBD﹣∠NAD＝（180°﹣∠PBD）﹣（90°﹣∠PBD）＝90°．（3）若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，則有∠NAD＝∠BAD＝α，∠NAB＝2∠BAD＝2α，∠OBD＝2∠OBA．∵OP∥MN，∴∠OBA＝∠NAB＝2α，∴∠OBD＝4α．由（2）知：∠OBD﹣∠NAD＝90°，則4α﹣α＝90°，解得：α＝30°．19．如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)G，∠BCD＝90°．（1）試說(shuō)明：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖1，點(diǎn)F在AG的反向延長(zhǎng)線上，連接CF交AD于點(diǎn)E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求證：CF平分∠BCD．（3）如圖2，線段AG上有點(diǎn)P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過(guò)點(diǎn)C作CH∥AG．若在直線AG上取一點(diǎn)M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠GAD∴∠BAG＝∠BGA；（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG＝∠BGA，∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG﹣∠F＝45°，∴∠BCF＝45°，∵∠BCD＝90°，∴CF平分∠BCD；（3）解：有兩種情況：①當(dāng)M在BP的下方時(shí)，如圖5，設(shè)∠ABC＝4x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，∵AG∥CH，∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x，∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；②當(dāng)M在BP的上方時(shí)，如圖6，同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x，∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．綜上，的值是5或．20．已知：如圖，直線PQ∥MN，點(diǎn)C是PQ，MN之間（不在直線PQ，MN上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）若∠1與∠2都是銳角，如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠C與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系．（2）若小明把一塊三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如圖2放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角板的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度數(shù)．（3）將圖2中的三角板進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖3，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，連接EG，且有∠CEG＝∠CEM，給出下列兩個(gè)結(jié)論：①的值不變；②∠GEN﹣∠BDF的值不變．其中只有一個(gè)是正確的，你認(rèn)為哪個(gè)是正確的？并求出不變的值是多少．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如圖1，過(guò)C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）結(jié)論①的值不變是正確的，設(shè)∠CEG＝∠CEM＝x，則∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2（定值），即的值不變，值為2．21．如圖1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．（1）求證：∠DEC+∠ECD＝90°；（2）如圖2，BF平分∠ABD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠ABC＝100°，求∠F的大?。唬?）如圖3，若H是BC上一動(dòng)點(diǎn)，K是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，KH交BD于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)O，KG平分∠BKH，交DE于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)H在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)B重合），求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）∠F＝40°；（3）2．【解答】（1）證明：如圖1，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，即∠BCD+∠BDC+∠ADB＝180°，∵DE平分∠ADB，∴∠ADB＝2∠EDB，∵∠BDC＝∠BCD，∴2（∠BDC+∠EDB）＝180°，∴∠BDC+∠EDB＝90°，即∠CDE＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°；（2）解：如圖2，∵BF平分∠ABD，∴∠ABF＝∠DBF，設(shè)∠ABF＝∠DBF＝α，∵∠ABC＝100°，∴∠CBD＝100°﹣2α，∵∠BDC＝∠BCD，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠CBD）＝40°+α，∵∠BDC＝∠F+∠DBF，∴∠F＝∠BDC﹣∠DBF＝40°+α﹣α＝40°；（3）解：在△BMK中，∠BMK＝∠DMH＝180°﹣∠ABD﹣∠BKH，又∵∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB），∴∠DMH+∠BAD＝（180°﹣∠ABD﹣∠BKH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB）＝360°﹣∠BKH﹣2∠ABD﹣∠ADB＝2[180°﹣（∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD]，∵KG平分∠BKH，DE平分∠ADB，∴∠BKG＝∠BKH，∠BDE＝∠ADB，∴∠DNG＝∠KNE＝180°﹣∠BKG﹣∠AED＝180°﹣∠BKH﹣∠ABD﹣∠BDE＝180°﹣（∠BKH+∠ADB）﹣∠ABD，∴＝＝2．22．如圖1，AM∥NC，點(diǎn)B位于AM，CN之間，∠BAM為鈍角，AB⊥BC，垂足為點(diǎn)B．（1）若∠C＝40°，則∠BAM＝130°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM，交MA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，BE平分∠DBC交AM于點(diǎn)E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度數(shù)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作BE∥AM，則AM∥BE∥NC，∵BE∥NC，∠C＝40°，∴∠CBE＝∠C＝40°．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．∵AM∥BE，∴∠BAM+∠ABE＝18°，∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130°；（2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DM，則∠ADB+∠DBF＝180°．∵BD⊥AM，∴∠ADB＝90°．∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°．又∵AB⊥BC，∴∠CBF+∠ABF＝90°．∴∠ABD＝∠CBF．∵AM∥CN，∴BF∥CN，∴∠C＝∠CBF．∴∠ABD＝∠C．（3）解：設(shè)∠DEB＝x°，由（2）可得∠ABD＝∠C，∵∠C＝∠DEB，∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x°．過(guò)點(diǎn)B作BF∥DM，如圖3，∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC．∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x°．∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x°．∵BE平分∠DBC，∴∠DBC＝2∠CBE＝4x°，即4x＝90+x，解得x＝30．∴∠DEB的度數(shù)為30°．23．如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°角）（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB＝∠PAC+∠PBD；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB＝∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）不成立；（3）見(jiàn)解答．【解答】解：（1）解法一：如圖1延長(zhǎng)BP交直線AC于點(diǎn)E．∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD．∵∠APB＝∠PAE+∠PEA，∴∠APB＝∠PAC+∠PBD；解法二：如圖2過(guò)點(diǎn)P作FP∥AC，∴∠PAC＝∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB＝∠PBD．∴∠APB＝∠APF+∠FPB＝∠PAC+∠PBD；解法三：如圖3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD＝180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB＝180°，∴∠APB＝∠PAC+∠PBD．（2）不成立．結(jié)論是：∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°，理由是：過(guò)P作PM∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥PM∥BD，∴∠PAC+∠APM＝180°，∠PBD+∠BPM＝180°，∴∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°，而不能推出∠APB＝∠PAC+∠PBD；（3）（a）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是：∠PBD＝∠PAC+∠APB．（b）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上，結(jié)論是：∠PBD＝∠PAC+∠APB．或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD（任寫(xiě)一個(gè)即可）．（c）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)，結(jié)論是∠PAC＝∠APB+∠PBD．選擇（a）證明：如圖4，連接PA，連接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC＝∠PBD．又∵∠PMC＝∠PAM+∠APM（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠PBD＝∠PAC+∠APB．選擇（b）證明：如圖5∵點(diǎn)P在射線BA上，∴∠APB＝0度．∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC．∴∠PBD＝∠PAC+∠APB或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD．選擇（c）證明：如圖6，連接PA，連接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD．∵∠PAC＝∠APF+∠PFA，24．如圖，AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)P，且滿足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF與∠EQF之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類(lèi)討論：（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，若∠EPF＝110°，則∠EQF＝55°；猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，探究∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2與∠DFQ2的角平分線交于點(diǎn)Q3；…以此類(lèi)推，則∠EPF與∠EQnF滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)果）【答案】（1）55°；猜想：∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系為∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由見(jiàn)解析；（3）∠EPF+2n+1?∠EQnF＝360°或∠EPF＝2n+1∠EQnF．【解答】解：（1）過(guò)P作PM∥AB，過(guò)Q作QN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，AB∥CD∥QN，∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝；猜想：∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系為∠EPF＝2∠EQF．理由如下：∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，AB∥CD∥QN，∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，即∠EPF＝2∠EQF；故答案為55°；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：如圖2，過(guò)P作PM∥AB，過(guò)Q作QN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，AB∥CD∥QN，∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，∴2∠EQF+∠EPF＝360°；（3）當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)，根據(jù)（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，∠Q2＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，…則∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP）＝（）n∠EQF，∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，∴∠EPF+2n+1?∠EQnF＝360°．當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)，同理可求∠EPF＝2n+1∠EQnF．25．如圖1所示：點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，∠A＝∠D，AB∥CD．（1）直接寫(xiě)出∠ACB與∠BED的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延長(zhǎng)線與∠EDF的平分線交于H點(diǎn)，若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度數(shù)；（3）保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度數(shù)．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）【答案】（1）∠ACB+∠BED＝180°；（2）100°；（3）40°．【解答】解：（1）如答圖1所示，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F．∵AB∥CD，∴∠D＝∠EFB，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠EFB，∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠CED．∵∠CED+∠BED＝180°，∴∠ACB+∠BED＝180°．（2）如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)E作ES∥AB，過(guò)點(diǎn)H作HT∥AB．設(shè)∠ABG＝∠EBG＝α，∠FDH＝∠EDH＝β，∵AB∥CD，AB∥ES，∴∠ABE＝∠BES，∠SED＝∠CED，∴∠BED＝∠BES+∠SED＝∠ABE+∠CDE＝2α+180°﹣2β，∵AB∥TH，AB∥CD，∴∠ABG＝∠THB，∠FDH＝∠DHT，∴∠GHD＝∠THD﹣∠THB＝β﹣α，∵∠BED比∠BHD大60°，∴2α+180°﹣2β﹣（β﹣α）＝60°，∴β﹣α＝40°，∴∠BHD＝40°，∴∠BED＝100°；（3）如答圖3所示，過(guò)點(diǎn)E作EQ∥DN．設(shè)∠CDN＝∠EDN＝α，∠EBM＝∠KBM＝β，由（2）易知∠DEB＝∠CDE+∠ABE，∴2α+180°﹣2β＝100°，∴β﹣α＝40°，∴∠DEB＝∠CDE+∠EDN+180°﹣（∠EBM+∠PBM）＝α+180°﹣β﹣∠PBM，∴∠PBM＝80°﹣（β﹣α）＝40°．26．如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)G，∠BCD＝90°．（1）求證：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖②，線段AG上有一點(diǎn)P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過(guò)點(diǎn)C作CH∥AG．若在直線AG上有一點(diǎn)M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解答過(guò)程；（2）5或．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠GAD∴∠BAG＝∠BGA；（2）解：有兩種情況：①當(dāng)M在BP的下方時(shí)，如圖，設(shè)∠ABC＝4x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，∵AG∥CH，∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x，∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；②當(dāng)M在BP的上方時(shí)，如圖，同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x，∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．綜上，的值是5或．27．已知AB∥CD，P是截線MN上的一點(diǎn)，MN與CD、AB分別交于E、F．（1）若∠EFB＝50°，∠EDP＝35°，求∠MPD的度數(shù)；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，問(wèn)：是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出定值；若不是，說(shuō)明其范圍；（3）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，則的值為；②當(dāng)點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CDP與∠ABP的n等分線交于Q，其中∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，設(shè)∠DPB＝α，求∠Q的度數(shù)（直接用含n，α的代數(shù)式表示，不需說(shuō)明理由）.【答案】（1）15°；（2）；（3）．【解答】解：（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB，CD之間時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB．∵AB∥CD，∴PG∥CD．∵∠EFB＝50°，∠EDP＝35°∴∠EPG＝∠EFB＝50°，∠DPG＝∠EPD＝35°．∴∠MPD＝∠EPG﹣∠DPG＝50°﹣35°＝15°．當(dāng)點(diǎn)P在CD的上方時(shí)，可得∠MPD＝85°，綜上所述，∠MPD為15°或85°；（2）．由（1）可知PG∥CD．∴∠DPG＝∠CDP，∠BPG＝∠ABP．∴∠DPB＝∠DPG+∠BPG＝∠CDP+∠ABP．同理可得∠Q＝∠CDQ+∠ABQ．又∵DQ，BQ分別平分∠CDP與∠ABP，∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP．∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ＝（∠CDP+∠ABP）＝∠DPB．∴．（3）①．如圖，過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB．過(guò)點(diǎn)Q作QH∥AB．∵AB∥CD，∴PG∥CD，QH∥CD．∴∠DPG＝∠CDP，∠BPG＝∠ABP．∴∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG＝∠ABP﹣∠CDP．同理可得∠BQD＝∠ABQ﹣∠CDQ．又∵DQ，BQ分別平分∠CDP與∠ABP，∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP．∴∠BDQ＝∠ABQ﹣∠CDQ＝（∠ABP﹣∠CDP）＝∠DPB．∴．②∠BQD＝．分三種情況討論：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，可得∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，∠BQD＝∠ABQ﹣∠CDQ．∵，．∴．∴．（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，可得∠DPB＝∠ABP+∠CDP，∠BQD＝∠ABQ+∠CDQ．∵，．∴．∴．（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P在線段EF的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，可得∠DPB＝∠ABP+∠CDP，∠BQD＝∠ABQ+∠CDQ．∵，．∴．∴綜上所述，．28．“一帶一路”讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見(jiàn)在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝60°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案為：60；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)