布朗運(yùn)動(dòng)及其應(yīng)用

隨機(jī)過(guò)程在金融領(lǐng)域的作用1240410114王穎淺談布朗運(yùn)動(dòng)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用懸浮微粒永不停息地做無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象叫做布朗運(yùn)動(dòng)例如，在顯微鏡下觀察懸浮在水中的藤黃粉、花粉微粒，或在無(wú)風(fēng)情形觀察空氣中的煙粒、塵埃時(shí)都會(huì)看到這種運(yùn)動(dòng)。溫度越高，運(yùn)動(dòng)越激烈。它是1827年植物學(xué)家R.布朗首先發(fā)現(xiàn)的。作布朗運(yùn)動(dòng)的粒子非常微小，直徑約1~10微米，在周?chē)后w或氣體分子的碰撞下，產(chǎn)生一種漲落不定的凈作用力，導(dǎo)致微粒的布朗運(yùn)動(dòng)。如果布朗粒子相互碰撞的機(jī)會(huì)很少，可以看成是巨大分子組成的理想氣體，則在重力場(chǎng)中達(dá)到熱平衡后，其數(shù)密度按高度的分布應(yīng)遵循玻耳茲曼分布。J.B.佩蘭的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了這一點(diǎn)，并由此相當(dāng)精確地測(cè)定了阿伏伽德羅常量及一系列與微粒有關(guān)的數(shù)據(jù)。1905年A.愛(ài)因斯坦根據(jù)擴(kuò)散方程建立了布朗運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)理論。布朗運(yùn)動(dòng)的發(fā)現(xiàn)、實(shí)驗(yàn)研究和理論分析間接地證實(shí)了分子的無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，對(duì)于氣體動(dòng)理論的建立以及確認(rèn)物質(zhì)結(jié)構(gòu)的原子性具有重要意義，并且推動(dòng)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)特別是漲落理論的發(fā)展。由于布朗運(yùn)動(dòng)代表一種隨機(jī)漲落現(xiàn)象，它的理論對(duì)于儀表測(cè)量精度限制的研究以及高倍放大電訊電路中背景噪聲的研究等有廣泛應(yīng)用。這是1826年英國(guó)植物學(xué)家布朗（1773-1858）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時(shí)發(fā)現(xiàn)的。后來(lái)把懸浮微粒的這種運(yùn)動(dòng)叫做布朗運(yùn)動(dòng)。不只是花粉和小炭粒，對(duì)于液體中各種不同的懸浮微粒，都可以觀察到布朗運(yùn)動(dòng)。布朗的發(fā)現(xiàn)是一個(gè)新奇的現(xiàn)象，它的原因是什么？人們是迷惑不解的。在布朗之后，這一問(wèn)題一再被提出，為此有許多學(xué)者進(jìn)行過(guò)長(zhǎng)期的研究。一些早期的研究者簡(jiǎn)單地把它歸結(jié)為熱或電等外界因素引起的。最早隱約指向合理解釋的是維納(1826——1896)，1863年他提出布朗運(yùn)動(dòng)起源于分子的振動(dòng)，他還公布了首次對(duì)微粒速度與粒度關(guān)系的觀察結(jié)果。不過(guò)他的分子模型還不是現(xiàn)代的模型，他看到的實(shí)際上是微粒的位移，并不是振動(dòng)。到了70——80年代，一些學(xué)者明確地把布朗運(yùn)動(dòng)歸結(jié)為液體分子撞擊微粒的結(jié)果，這些學(xué)者有卡蓬內(nèi)爾、德?tīng)査骱吞萑鸢?，還有耐格里。植物學(xué)家耐格里(1879)從真菌、細(xì)菌等通過(guò)空氣傳播的現(xiàn)象，認(rèn)為這些微粒即使在靜止的空氣中也可以不沉。聯(lián)系到物理學(xué)中氣體分子以很高速度向各方向運(yùn)動(dòng)的結(jié)論，他推測(cè)在陽(yáng)光下看到的飛舞的塵埃是氣體分子從各方向撞擊的結(jié)果。他說(shuō)：“這些微小塵埃就象彈性球一樣被擲來(lái)擲去，結(jié)果如同分子本身一樣能保持長(zhǎng)久的懸浮?！辈贿^(guò)耐格里又放棄了這一可能達(dá)到正確解釋的途徑，他計(jì)算了單個(gè)氣體分子和塵埃微粒發(fā)生彈性碰撞時(shí)微粒的速度，結(jié)果要比實(shí)際觀察到的小許多數(shù)量級(jí)，于是他認(rèn)為由于氣體分子運(yùn)動(dòng)的無(wú)規(guī)則性，它們共同作用的結(jié)果不能使微粒達(dá)到觀察速度值，而在液體中則由于介質(zhì)和微粒的摩擦阻力和分子間的粘附力，分子運(yùn)動(dòng)的設(shè)想不能成為合適的解釋。無(wú)規(guī)則行走（randomwalk）\o"查看圖片"定義：無(wú)規(guī)則行走就是隨機(jī)游走。其概念接近于布朗運(yùn)動(dòng)，是布朗運(yùn)動(dòng)的理想數(shù)學(xué)狀態(tài)。核心概念：任何無(wú)規(guī)則行走者所帶的守恒量都各自對(duì)應(yīng)著一個(gè)擴(kuò)散運(yùn)輸定律。就這樣，布朗運(yùn)動(dòng)自發(fā)現(xiàn)之后，經(jīng)過(guò)多半個(gè)世紀(jì)的研究，人們逐漸接近對(duì)它的正確認(rèn)識(shí)。到本世紀(jì)初，先是愛(ài)因斯坦和斯莫盧霍夫斯基的理論，然后是貝蘭和斯維德伯格的實(shí)驗(yàn)使這一重大的科學(xué)問(wèn)題得到圓滿地解決，并首次測(cè)定了阿伏加德羅常數(shù)，這也就是為分子的真實(shí)存在提供了一個(gè)直觀的、令人信服的證據(jù)，這對(duì)基礎(chǔ)科學(xué)和哲學(xué)有著巨大的意義。從這以后，科學(xué)上關(guān)于原子和分子真實(shí)性的爭(zhēng)論即告終結(jié)。正如原先原子論的主要反對(duì)者奧斯特瓦爾德所說(shuō)：“布朗運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力學(xué)假說(shuō)的一致，已經(jīng)被貝蘭十分圓滿地證實(shí)了，這就使那怕最挑剔的科學(xué)家也得承認(rèn)這是充滿空間的物質(zhì)的原子構(gòu)成的一個(gè)實(shí)驗(yàn)證據(jù)”。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家彭加勒在1913年總結(jié)性地說(shuō)道：“貝蘭對(duì)原子數(shù)目的光輝測(cè)定完成了原子論的勝利”?！盎瘜W(xué)家的原子論現(xiàn)在是一個(gè)真實(shí)存在“。布朗運(yùn)動(dòng)代表了一種隨機(jī)漲落現(xiàn)象，它的理論在其他領(lǐng)域也有重要應(yīng)用。如對(duì)測(cè)量?jī)x器的精度限度的研究；高倍放大電訊電路中的背景噪聲的研究等布朗運(yùn)動(dòng)與分子熱運(yùn)動(dòng)不一樣，與溫度和粒子個(gè)數(shù)有關(guān)，溫度越高，布朗運(yùn)動(dòng)越劇烈，粒子越少，分子熱運(yùn)動(dòng)越劇烈。分子永不停息地做無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)：分子永不停息地做無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。布朗運(yùn)動(dòng)、擴(kuò)散現(xiàn)象都說(shuō)明了任何物質(zhì)的分子，不論在什么狀態(tài)下，都在做永不停息的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。分子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)與物質(zhì)的溫度有關(guān)，溫度越高，分子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)越劇烈。將布朗運(yùn)動(dòng)與股票價(jià)格行為聯(lián)系在一起，進(jìn)而建立起維納過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是本世紀(jì)的一項(xiàng)具有重要意義的金融創(chuàng)新，在現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)中占有重要地位。迄今，普遍的觀點(diǎn)仍認(rèn)為，股票市場(chǎng)是隨機(jī)波動(dòng)的，隨機(jī)波動(dòng)是股票市場(chǎng)最根本的特性，是股票市場(chǎng)的常態(tài)。布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)是現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論的核心假設(shè)。現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論認(rèn)為證券期貨價(jià)格具有隨機(jī)性特征。這里的所謂隨機(jī)性，是指數(shù)據(jù)的無(wú)記憶ofvelocityinliquidduetofrictionandadhesionbetweenparticlesandmediummolecular,molecularmotionassumptioncannotbetheappropriateinterpretation.Irregularrandom(walk)
Definition:therandomwalkisarandomwalk.TheconceptisclosetotheBrownmovement,whichistheidealstateofBrown'smotion.Thecoreconcept:theconservedquantitiesofanyirregularwalkersarecorrespondingtoadiffusivetransportlaw.ItisimportanttoestablishthemathematicalmodeloftheWienerprocess,whichisanimportantfinancialinnovationinmodernfinancialmathematics.Sofar,thestockmarketisthemostfundamentalcharacteristicofthestockmarket.Brown'shypothesisisthecoreofmoderncapitalmarkettheory.Themoderncapitalmarkettheoryholdsthatstockfuturespriceisrandom,whichmeansthatthedataisnonmemory,thatis,thepredictionofthepastdataisnotthebasisofthefuturedata.Themathematicaldefinitionoftherandomphenomenonisnotdeterministic.Randomprocess.Stochasticprocessistheprobabilitymodelbasedonprobabilityspace,isconsideredthedynamicsofprobabilitytheory,namely,itisthestudyoftherandomphenomenawithtimeevolution.Sotherandombehaviorisakindofstatisticalrulesofbehavior.ThepricebehaviormodelsareusuallyexpressedinthefamousWienerprocess.WeassumethattheWienerprocessthestockpricefollowingthegeneralistempting,thatistosay,ithastheexpecteddriftrateandvariancerate.TheWienerprocessindicatesthatonlythevaluesofvariablesassociatedwithfutureprojections,pasthistoryvariablesandvariablesfromthepasttothepresentandthefutureevolutionofthewaythestockpriceforecastisnotrelevant.TheMaldivesKopfandthenatureoftheweakmarketefficiency(theweakformofmarketefficiency)isconsistent,thatistosay,astockpricealreadycontainsalltheinformation,includingallthepastrecordsofprices.Butwhenpeoplebegantostudythefinancialmarketbyusingfractaltheory,founditsoperationdoesnotfollowtheBrowncampaignbuttomoregeneralfractionalBrownmotion.Brownmovementthroughoutthefinancialfield,inthemodernfinancialfieldoccupiesanimportantposition.Brownreferstoarandomwalkwithoutcorrelation,meetthestatisticalselfsimilaritycharacteristicswithrandomfractal,butthefunctionoftime(trajectories)selfaffinefunctionisavailable.Said:(as)(0)XttisthestandardBrownmotion,theneachofthefollowingisthestandardBrownrandomfunction1,(21).)(/)fromXtcXtc(c>0isaconstant,t=0),2(2))()(XtXthhX)(H>0isaconstant,t=0),13(3))(0)(0)(0)tXttXttThemotionofparticlesisverymuchintheformoftranslationanditstransfer.Itisobviousthattheparticlesarenotrelatedtoeachother.Evenwhentheparticlesareclosetoeachother,theparticlemotionisnotaffectedbytheparticlesize.BachLeighYeinFrancein1900,thespeculationtheory,thestockpriceisalsoseenasarandommovement,theresultingequationisverysimilartothedescriptionoftheBrownparticlemotion,buttheresultingstockpricemaybenegative,apparentlyinconsistentwiththeactual,BachLeighYeso-called"Brownmovement",inotherwords,heputthestockpricechanges,theidealfortheBrownmovementbeforethestudy,itrepresentsthemeaningof"norules",aslongastheeconomyTheresearchofcontroltheory.AbsorbedbyfounderWeinerin1923ontheBrowncampaignmadeastrictmathematicaldefinition,accordingtothisdefinition,theBrownmovementisakindofindependentincrementprocess,soitisaMarkovprocess,themathematicalcommunityisoftentheBrowncampaigncalledWeiner.Markowiz(1952):thetheoryofportfolioselection;RobertsOsborne(1959)andthestockmarketresearchintotheconceptofrandomwalkandthenumberoftheBrownmovement;SamuelsonandFama(1970)oftheeffectivemarkettheory(EMH);FischerBlackAnd(Black-Scholesmodel);Ross(1976)ofthearbitragepricingtheory.Inthiscentury,aftermorethanhalfacenturyofresearch,peoplegraduallygetclosetoit.Inthebeginningofthiscentury,thetheoryofSmoluchowskiandEinstein,andBergSiWeide'sexperiments,madethisimportantscientificproblemsolving.Thisistherealexistenceofmolecules.Thisisadirectandconvincingevidence,whichistheendofthedebateonthenatureofatomsandmolecules."TheBrownmovementandthedynamichypothesisareconsistent,andthismakesthemostdiscerningscientisthavetoadmitthatthisisamatterofspace,"saidPengJiale,amathematicianandphysicist,whoconcludedin1913that"theatomicnumberofatomsisareal"andthatthetheoryisappliedinotherfieldsaswellasthebackgroundnoiseinthecircuit.StudyontheBrownmovementandthethermalmotionofthemoleculesarenotthesame,isrelatedtothetemperatureandparticlenumber,thehigherthetemperature,theBrownparticlemovementisfiercer,thelessintensemolecularthermalmotionofmolecules.Neverceasetodoirregularmotion:molecularneverceasetodorandommovements.Brownmotion,diffusionphenomenonthemoleculesofanymaterial,nomatterinwhatstate,noregularexercisearenever-ending.Molecularirregularmovementandmaterialsrelatedtothetemperature,thehigherthetemperature,therandommotionofmoleculesShaoxings