小學(xué)奧數(shù)專題：黑白染色問題

專題:黑白染色問題下圖是一套房子的平面圖,圖中的方格代表房間,每個房間都有通向任何一個鄰室的門.有人想從某個房間開始,依次不重復(fù)地走遍每一個房間,他的想法能實現(xiàn)嗎?展覽會有36個展室(如圖),每兩相鄰展室之間均有門相通.能不能從入口進去,不重復(fù)地參觀完全部展室后,從出口出來呢?圖中的16個點表示16個城市,兩個點之間的連線表示這兩個城市有公路相通.問能否找到一條不重復(fù)地走遍這16座城市的路線?下圖是由4個小方格組成的“L”形硬紙片,用若干個這種紙片無重疊地拼成一個4n的長方形,試證明:n一定是偶數(shù).5.中國象棋盤上最多能放幾只馬互不相“吃”(“馬”走“日”字,另不考慮“別馬腿”的情況).6.能否用一個田字和15個41矩形覆蓋88棋盤?7.能否用1個田字和15個T字紙片,拼成一個88的正方形棋盤?8.在88棋盤上,馬能否從左下角的方格出發(fā),不重地走遍棋盤,最后回到起點?若能請找出一條路,若不能,請說明理由.9.下面三個圖形都是從44的正方形分別剪去兩個11的小方格得到的,問可否把它們分別剪成12的七個小矩形?(1)(2)(3)10.把三行七列的21個小格組成的矩形染色,每個小格染上紅、藍兩種色中的一種.求證:總可以找到4個同色小方格,處于某個矩形的4個角上(如圖)1123紅紅紅紅11.17個科學(xué)家互相通信,在他們的通信中共討論3個問題,而任意兩個科學(xué)家之間僅討論1個問題.證明:至少有3個科學(xué)家,他們彼此通信討論的是同一個問題.12.用一批124的長方體木塊,能不能把一個容積為666的正方體木箱充塞填滿?說明理由.13.在平面上有一個2727的方格棋盤,在棋盤的正中間擺好81枚棋子,它們被罷成一個99的正方形.按下面的規(guī)則進行游戲:每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過相鄰的棋子,放進緊挨著這枚棋子的空格中,并把越過的這格棋子取出來.問:是否存在一種走法,使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子?14.1212的超極棋盤上,一匹超級馬每步跳至34矩形的另一角(如圖).問能否從任一點出發(fā)遍歷每一格恰一次,再回到出發(fā)點(這種情況又稱馬有“回路”)?O因為一開始時,81枚棋子擺成一個99的正方形,顯然三個部分的棋子數(shù)是相同的,從而每走一步,三部分中的棋子數(shù)的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盤上恰好剩下一枚棋子,則兩部分上的棋子數(shù)為偶數(shù),而另一部分上的棋子數(shù)為奇數(shù).這種結(jié)果是不可能出現(xiàn)的.14.用兩種方法對超級棋盤染色.首先,將棋盤黑白相間染色,則馬每跳一步,它所在的方格就要改變一次顏色.不妨設(shè)第奇數(shù)步跳入白格.其次,將棋盤的第3,4,5及8,9,10這六行染成黑色,其余六行染成白色.在此種染色方式下,馬從白格一定跳入黑格.又因黑白格總數(shù)相同,馬要遍歷每一格恰一次又回到出發(fā)點,因此,馬從黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨設(shè)馬第奇數(shù)步