高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第06講 總體離散程度的估計（解析版）

第06講9.2.4總體離散程度的估計課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的含義，會計算方差和標(biāo)準(zhǔn)差。②.掌握求分層隨機抽樣總樣本的平均數(shù)及方差的方法。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法．但僅知道集中趨勢的信息，很多時候還不能使我們做出有效決策．這節(jié)課我們共同來研究總體離散趨勢的有關(guān)知識．知識點1：總體離散程度的估計（1）極差一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差稱為極差.（2）方差與標(biāo)準(zhǔn)差一組數(shù)據(jù)，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差：；標(biāo)準(zhǔn)差：【即學(xué)即練1】（2024·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知五個數(shù)，，，，的平均數(shù)為，則這五個數(shù)的方差為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可知，得，則方差.故選：A.【即學(xué)即練2】（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，解得，故這組數(shù)據(jù)的方差為，故標(biāo)準(zhǔn)差為.故選：D（3）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果總體中所有個體的變量值分別為,,總體平均數(shù)為，則稱為總體方差，為總體標(biāo)準(zhǔn)差．（4）樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果一個樣本中個體的變量值分別為，，，樣本平均數(shù)為，則稱為樣本方差，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．（5）加權(quán)方差如果總體的個變量值中，不同的值共有()個，記為,,，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為()，則總體方差為.題型01計算幾個數(shù)據(jù)的極差，方差，標(biāo)準(zhǔn)差【典例1】（多選）（2023上·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則此組數(shù)據(jù)的（

）A．眾數(shù)為2 B．上四分位數(shù)為4C．極差為3 D．方差為【答案】AD【詳解】由題意可得，所以A正確：對于B，從小到大排列這組數(shù)為，則，故上四分位數(shù)為第4個數(shù)7，故B錯誤.極差為，故C錯誤;對于D：，D正確．故選：AD【典例2】（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中?？计谀┠撑_機床生產(chǎn)一種零件，在10天中每天生產(chǎn)的次品零件數(shù)依次是：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，中位數(shù)是，標(biāo)準(zhǔn)差是.【答案】/【詳解】由題意可知，.將10天中每天生產(chǎn)的次品零件數(shù)從小到大的順序排列是0，0，0，1，1，2，2，2，3，4，所以在10天中每天生產(chǎn)的次品零件數(shù)的中位數(shù)為.標(biāo)準(zhǔn)差為.故答案為：；；.【典例3】（2024上·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）一個樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為2.現(xiàn)樣本加入新數(shù)據(jù)4，5，6，此時樣本容量為10，方差為.【答案】【詳解】設(shè)這個樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以.當(dāng)加入新數(shù)據(jù)4，5，6后，平均數(shù)，方差故答案為：【變式1】（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知一組數(shù)據(jù)1，3，9，5，7，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．【答案】【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的方差為，所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．故答案為：.【變式2】（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)據(jù)15，14，14，a，16的平均數(shù)為15，則其方差為.【答案】/【詳解】因為，所以，所以.故答案為：【變式3】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）將某選手的7個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，5個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為22，現(xiàn)場作的7個分?jǐn)?shù)的莖葉圖，后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示，則5個剩余分?jǐn)?shù)的方差為【答案】【詳解】由題設(shè)7個得分為，易知最低分為，最高分為，所以，即，故剩余的5個得分為，其方差為.故答案為：題型02根據(jù)方差，標(biāo)準(zhǔn)差求參數(shù)【典例1】（2023下·江西贛州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某校舉行校園歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9，8.7，9.3，x，y.已知這5名參賽選手的得分的平均數(shù)為9，方差為0.1，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【答案】D【詳解】因為平均數(shù)為，所以.因為方差為所以，所以，又因為，所以，所以，所以.故選：D.【典例2】（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知如下的兩組數(shù)據(jù)：第一組：10、11、12、15、14、13第二組：12、14、13、15、a、16若兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則實數(shù)的值為.【答案】11或17【詳解】第一組的平均數(shù)，第二組的平均數(shù)，則第一組的方差為，則第二組的方差為，解得或17.故答案為：11或17.【典例3】（2023下·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）已知一組數(shù)據(jù)，，，的平均值為，，刪去一個數(shù)之后，平均值沒有改變，方差比原來大4，則這組數(shù)據(jù)的個數(shù)．【答案】9【詳解】由題意刪去一個數(shù)之后，平均值沒有改變，所以刪除的數(shù)為5，由題意，得，刪除一個數(shù)后的方差為：得，即，故答案為：9【變式1】（2022上·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知樣本的平均數(shù)是9，方差是2，則（

）A．41 B．71 C．55 D．45【答案】B【詳解】的平均數(shù)是9，，即①；又方差是2，，即②；由①②聯(lián)立，解得：或；故選：B.【變式2】（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，一組數(shù)據(jù)4，2，，，7的方差為3.6，則．【答案】1【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的方差為，得，解得舍去，或.故答案為：1.【變式3】（2022下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，去掉一個數(shù)據(jù)之后，剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒有變，方差變?yōu)?4，則這組數(shù)據(jù)的個數(shù).【答案】8【詳解】因為去掉一個數(shù)據(jù)之后，數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒有變，所以去掉的數(shù)據(jù)為6，去掉6后方差變?yōu)?4，故得到，解得：故答案為：8題型03方差，標(biāo)準(zhǔn)差性質(zhì)【典例1】（2024上·云南保山·高三統(tǒng)考期末）將每個數(shù)均加上9，得到，則兩組數(shù)數(shù)字特征不同的是（

）A．平均數(shù) B．方差C．極差 D．眾數(shù)的個數(shù)【答案】A【詳解】依題意，，的平均數(shù)，因此兩組數(shù)的平均數(shù)不同，A是；，的方差，因此兩組數(shù)的方差相同，B不是；由于數(shù)據(jù)中的最大與最小，同加9后，在數(shù)據(jù)中對應(yīng)的數(shù)仍是最大與最小，因此兩組數(shù)的極差相同，C不是；顯然數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，同加9后，在數(shù)據(jù)中對應(yīng)的數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多，因此兩組數(shù)的眾數(shù)的個數(shù)不變，D不是.故選：A【典例2】（2023上·吉林白城·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)據(jù)，，…，的極差為8，方差為6，則數(shù)據(jù)，，…，的極差和方差分別為（

）A．24，19 B．25，19C．24，54 D．25，54【答案】C【詳解】不妨設(shè)，則，且，所以，所以數(shù)據(jù)，，…，的極差為24．設(shè)，，…，的平均數(shù)為，所以．又?jǐn)?shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，所以數(shù)據(jù)，，…，的方差為．故選：C．【典例3】（多選）（2023上·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一組樣本數(shù)據(jù)為不全相等的個正數(shù)，其中，若由生成一組新的數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)中可能相等的量有（

）A．極差 B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差【答案】BC【詳解】對于A，因為樣本數(shù)據(jù)為不全相等的個正數(shù)，所以極差大于0，所以由生成一組新的的極差是極差的3倍，故A錯誤；對于B，設(shè)為的平均數(shù)，為的平均數(shù)，可得，當(dāng)時，可得，故B正確；對于C，當(dāng)為正奇數(shù)時，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則數(shù)據(jù)的中位數(shù)，當(dāng)時，，故C正確；對于D，為的標(biāo)準(zhǔn)差，因為樣本數(shù)據(jù)為不全相等的個正數(shù)，所以，設(shè)為的標(biāo)準(zhǔn)差，可得，則，，故D錯誤.故選：BC.【典例4】（2023上·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為6，方差為4，若數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為，則．【答案】【詳解】數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為6，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù),數(shù)據(jù)，，，的方差為4，數(shù)據(jù)，，，的方差,.故答案為：.【變式1】（2023上·云南保山·高一校考開學(xué)考試）若一組數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)和方差分別是（

）A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5【答案】B【詳解】若一組數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)和方差分別是6，3，故選：B【變式2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．5 B． C．1或5 D．或【答案】C【詳解】由方差的性質(zhì)，得，，…，的方差為，故，解得．由平均數(shù)的性質(zhì)，得，，…，的平均數(shù)為，故，解得或5.故選：C．【變式3】（2023下·江蘇蘇州·高一南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差分別為，【答案】/【詳解】∵一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2,方差是，∴另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，方差為：.故答案為：；【變式4】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為0.01，則數(shù)據(jù)，，，的方差為．【答案】1【詳解】因為數(shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為，故答案為：1.題型04用方差，標(biāo)準(zhǔn)差說明數(shù)據(jù)波動程度【典例1】（2023上·黑龍江雞西·高三密山市第一中學(xué)?？计谀榱肆私饧住⒁覂蓚€工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達標(biāo)，分別從兩廠隨機選取了10個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：）記錄下來并繪制出折線圖：(1)分別計算甲、乙兩廠提供10個輪胎寬度的平均值；(2)輪胎的寬度在內(nèi)，則稱這個輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎.試比較甲、乙兩廠分別提供的10個輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個廠的輪胎相對更好?【答案】(1)195mm；194(2)乙廠的輪胎相對更好【詳解】（1）記甲廠提供的個輪胎寬度的平均值為，乙廠提供的個輪胎寬度的平均值為，，.（2）甲廠個輪胎寬度在內(nèi)的數(shù)據(jù)為，則平均數(shù)為，所以方差；乙廠個輪胎寬度在內(nèi)的數(shù)據(jù)為，則平均數(shù)為，所以方差；因為甲、乙兩廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均值一樣，但乙廠的方差更小，所有乙廠的輪胎相對更好.【典例2】（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谥校┠炒髮W(xué)共有“機器人”興趣團隊1000個，大一、大二、大三、大四分別有100個、200個、300個、400個.為挑選優(yōu)秀團隊，現(xiàn)用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，從以上團隊中抽取20個.(1)應(yīng)從大三團隊中抽取多少個團隊？(2)將20個團隊分為甲、乙兩組，每組10個團隊，進行理論和實踐操作考試（共150分），甲、乙兩組的成績?nèi)缦拢杭祝?25，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140從甲、乙兩組中選一組強化訓(xùn)練，備戰(zhàn)機器人大賽.分別計算兩組成績的平均數(shù)和方差，并分析應(yīng)選擇哪一組參賽，理由是什么？【答案】(1)6(2)，，，，甲組或乙組，理由見解析【詳解】（1）由題意知，大三團隊個數(shù)占總團隊個數(shù)的，則應(yīng)從大三中抽取(個)團隊．（2）甲組成績的平均數(shù)，乙組成績的平均數(shù)，甲組數(shù)據(jù)的方差

，乙組數(shù)據(jù)的方差，選甲組理由：甲、乙兩組平均數(shù)相差不大，但，由此可以估計甲組比乙組成績穩(wěn)定；選乙組理由：，在比賽中，估計獲勝的可能性大．【典例3】（2023下·四川南充·高三四川省南充市高坪中學(xué)校考開學(xué)考試）某果園試種了兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和.（單位/kg）60504060708070305090（單位/kg）40605080805060208070(1)分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；(2)求，，，；(3)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果分析選種哪個品種更合適，并說明理由.【答案】(1)A品種極差為，中位數(shù)為60；B品種極差為，中位數(shù)為60(2)，，，(3)應(yīng)該選種品種桃樹，理由見解析【詳解】（1）這10棵A品種桃樹的產(chǎn)量從小到大分別為，這10棵A品種桃樹產(chǎn)量的極差為，中位數(shù)為，這10棵B品種桃樹產(chǎn)量從小到大分別為20，40，，這10棵B品種桃樹產(chǎn)量的極差為，中位數(shù)為.（2），，（3）由第一問可知這兩個品種極差和中位數(shù)都相等，由第二問可知，，則品種桃樹平均產(chǎn)量高，波動小，所以應(yīng)該選種品種桃樹.【變式1】（2023下·山西呂梁·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某果園試種了，兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記，兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和.（單位）55505060708080808590（單位）45606080755580807095(1)求，，，；(2)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果分析選種哪個品種更合適？并說明理由.【答案】(1)，，，(2)選擇品種，理由見解析【詳解】（1），，，.（2）由可得，兩個品種平均產(chǎn)量相等，又，則品種產(chǎn)量較穩(wěn)定，故選擇品種.【變式2】（2023·高一單元測試）某賽季甲、乙兩名運動員在若干場比賽中的得分情況如下：甲：18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48．求：(1)分別計算甲、乙兩人每場得分的平均數(shù)；(2)計算甲、乙兩人每場得分的中位數(shù)；(3)計算甲、乙兩人得分的標(biāo)準(zhǔn)差，并回答誰的成績比較穩(wěn)定．【答案】(1)甲每場得分的平均數(shù)為26，乙每場得分的平均數(shù)為26；(2)甲每場得分的中位數(shù)為，乙每場得分的中位數(shù)為26；(3)甲的得分的標(biāo)準(zhǔn)差4.97；乙的得分的標(biāo)準(zhǔn)差為12.05；甲的成績穩(wěn)定.【詳解】（1）設(shè)甲運動員的各場比賽得分的平均數(shù)為，乙運動員的各場比賽得分的平均數(shù)為，因為甲運動員的12場比賽得分依次為18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；所以，因為乙運動員的11場比賽得分依次為8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48，所以，所以甲每場得分的平均數(shù)為26，乙每場得分的平均數(shù)為26；（2）由中位數(shù)定義可得甲每場得分的中位數(shù)為，乙每場得分的中位數(shù)為26；（3）設(shè)甲運動員的各場比賽得分的標(biāo)準(zhǔn)差為，乙運動員的各場比賽得分的標(biāo)準(zhǔn)差為，因為，，，，因為甲運動員的各場比賽得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙運動員的各場比賽得分的標(biāo)準(zhǔn)差，所以甲運動員的成績比乙運動員的成績穩(wěn)定.【變式3】（2022上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在一個文藝比賽中,由10名專業(yè)評審、10名媒體評審和10名大眾評審各組成一個評委小組,給參賽選手打分.打分均采用100分制,下面是三組評委對選手小明的打分:小組A85918793888497949586小組B84879296899592919490小組C95899596979392908994(1)選擇一個可以度量每一組評委打分相似性的量,并對每組評委的打分計算度量值;(2)你能依據(jù)(1)的度量值判斷小組A,B與C中哪一個更象是由專業(yè)人士組成的嗎？(3)已知選手小華專業(yè)評審得分的平均數(shù)和方差分別為,,媒體評審得分的平均數(shù)和方差分別為,,大眾評審得分的平均數(shù)和方差分別為,,將這30名評審的平均分作為最終得分,求該選手最終的得分和方差.【答案】(1)答案見解析(2)C組(3)90分;160【詳解】（1）（1）可以用方差來度量每一組評委打分的相似性,方差越小,相似程度越高.小組的平均數(shù),小組的方差,小組B的平均數(shù),小組B的方差,小組C的平均數(shù),小組C的方差.（2）由于專業(yè)評委給分更符合專業(yè)規(guī)則,相似程度應(yīng)該高,即方差小,因而C組評委更像是專業(yè)人士組成的.（3）小華的得分分.方差,,.題型05估計總體的方差，標(biāo)準(zhǔn)差【典例1】（2023上·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）某學(xué)校高一高二年級共1000人，其中高一年級400人，現(xiàn)按照年級進行分層隨機抽樣調(diào)查學(xué)生身高，得到高一、高二兩個年級的樣本平均數(shù)分別為，和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為3，4，則總體方差（

）A．18.5 B．19.2 C．19.4 D．20【答案】B【詳解】總體樣本平均數(shù)，.故選：B.【典例2】（2023上·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）坐位體前屈是中小學(xué)體質(zhì)健康測試項目，主要測試學(xué)生軀干、腰、髖等部位關(guān)節(jié)韌帶和肌肉的伸展性、彈性及身體柔韌性，在對某高中2000名高二年級學(xué)生的坐位體前屈成績的調(diào)查中，采用按學(xué)生性別比例分配的分層隨機抽樣抽取100人，已知這2000名高二年級學(xué)生中男生有1200人，且抽取的樣本中男生的平均數(shù)和方差分別為和13.36，女生的平均數(shù)和方差分別為和17.56．(1)求樣本中男生和女生應(yīng)分別抽取多少人；(2)求抽取的總樣本的平均數(shù)，并估計高二年級全體學(xué)生的坐位體前屈成績的方差.（參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：．記總樣本的平均數(shù)為，樣本方差為，則）【答案】(1)60；40(2)平均數(shù)為，16．【詳解】（1）設(shè)在男生?女生中分別抽取m名和n名，則，解得．（2）記抽取的總樣本的平均數(shù)為，可得，所以抽取的總樣本的平均數(shù)為．男生樣本的平均數(shù)為，樣本方差為；女生樣本的平均數(shù)為，樣本方差為；記總樣本的樣本方差為，則所以估計高三年級全體學(xué)生的坐位體前屈成績的方差為16．【典例3】（2023上·湖北黃石·高二黃石二中?？茧A段練習(xí)）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；(3)已知落在的平均成績是61，方差是7，落在的平均成績?yōu)?0，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.【答案】(1)(2)(3)，【詳解】（1）利用每組小矩形的面積之和為1可得，，解得.（2）成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為，由，得，故第75百分位數(shù)為84；（3）由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，故；由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為.【變式1】（2023上·四川成都·高二統(tǒng)考期中）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，某校甲、乙兩個班共70人（甲班40人，乙班30人）參加了共產(chǎn)主義青年團知識競賽，甲班的平均成績?yōu)?7分，方差為123，乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為130，則甲、乙兩班全部同學(xué)的成績的方差為（

）A．74 B．129 C．136 D．138【答案】D【詳解】設(shè)甲班平均成績?yōu)?，方差為，乙班平均成績?yōu)?，方差為，總體平均成績?yōu)?，方差為，由題知，則由總樣本方差公式，可得甲，乙兩班全部同學(xué)的成績的方差為.故選：D【變式2】（2024上·云南昆明·高二?？计谀┠硨W(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人．有人為了獲得該校全體高中學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標(biāo)值（單位：），計算得男生樣本的均值為170，方差為17，女生樣本的均值為160，方差為30．(1)根據(jù)以上信息，能夠計算出總樣本的均值和方差嗎？為什么？(2)如果已知男、女樣本量按比例分配，你能計算出總樣本的均值和方差各為多少吧？【答案】(1)不能，因為題目沒有給出男、女生的樣本量(2)均值為166，方差為46.2【詳解】（1）不能，因為題目沒有給出男、女生的樣本量．（2）總體樣本的均值為，總體樣本的方差為．【變式3】（2023上·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者．某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽；從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；(3)已知落在的平均成績是51，方差是7，落在的平均成績?yōu)?3，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差．【答案】(1)0.030(2)84(3)兩組市民成績的總平均數(shù)是59，總方差是37【詳解】（1）由每組小矩形的面積之和為1，則，解得．（2）結(jié)合（1）可得，成績落在內(nèi)的頻率為，成績落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為，則，解得，故第75百分位數(shù)為84．（3）由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，故兩組成績的總平均數(shù)為，設(shè)成績在中10人的分?jǐn)?shù)分別為，，，…，；成績在中20人的分?jǐn)?shù)分別為，，，…，，則由題意可得，，，即，，所以，所以兩組市民成績的總平均數(shù)是59，總方差是37．題型06計算評率分布直方圖中的方程，標(biāo)準(zhǔn)差【典例1】（2024上·重慶·高二重慶八中?？计谀橛佣鹃L跑比賽，重慶八中對全體高二學(xué)生舉行了一次關(guān)于冬季長跑相關(guān)知識的測試，統(tǒng)計人員從高二學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生的成績作為樣本進行統(tǒng)計，測試滿分為100分，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間內(nèi)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這100名學(xué)生的平均成績；(2)若在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為74和26，在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為89和106，據(jù)此估計在內(nèi)的所有學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差．【答案】(1)69.5分(2)平均數(shù)80，方差112【詳解】（1）由圖表可知，這100名學(xué)生的平均成績?yōu)榉郑?）在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為74和26，區(qū)間的學(xué)生頻率為，在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為89和106，區(qū)間的學(xué)生頻率為，所以在內(nèi)的所有學(xué)生測試成績的平均數(shù)為，方差為【典例2】（2023上·遼寧沈陽·高一遼寧實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）某次考試后，年級組抽取了100名同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成績，繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算參數(shù)的值，并估算這100名同學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)，結(jié)果保留至百分位；(2)已知這100名同學(xué)中，成績位于內(nèi)的同學(xué)成績方差為12，成績位于內(nèi)的同學(xué)成績方差為10，為了分析學(xué)優(yōu)生的成績分布情況，請估算成績在80分及以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)和方差．【答案】(1)，平均數(shù)為76.50分，中位數(shù)為77.14分(2)平均數(shù)87.5分，方差30.25．【詳解】（1）依題意，，得，各組的頻率依次為，平均數(shù)為分，中位數(shù)為分．（2）分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，所以成績在80分及以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為分，方差為.【典例3】（2023上·四川成都·高二?？计谥校┠硨W(xué)校為了了解高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，對高二年級的200名學(xué)生進行了一次測試。已知參加此次測試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，，····，，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.(1)求的值，并估計此次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的平均值；(2)試估計這200名學(xué)生的分?jǐn)?shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學(xué)的成績是否進入到了范圍內(nèi)?（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，；(2)，得分為52分的同學(xué)的成績沒有進入到內(nèi)，得分為94分的同學(xué)的成績進入到了內(nèi).【詳解】（1）因為，所以.此次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的平均值估計值為：.（2），所以，所以，，所以得分為52分的同學(xué)的成績沒有進入到了內(nèi)，得分為94分的同學(xué)的成績進入到了內(nèi).【變式1】（2023上·重慶·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）某單位舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有100人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計年齡落在區(qū)間內(nèi)的人的年齡的平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)若這100人的原始數(shù)據(jù)中第三組的年齡的平均數(shù)與方差分別為33和2，第四組的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1.①據(jù)此計算這100人中30~45歲所有人的年齡的平均數(shù)與方差.②將所得平均數(shù)與（1）中平均數(shù)的估計值作比較，解釋其有差異的原因.【答案】(1)35.8(2)①平均數(shù)為36，方差為15；②答案見解析【詳解】（1）平均數(shù)；（2）①設(shè)這100人中30~45歲所有人的年齡的平均數(shù)與方差分別為、則，②，其有差異的原因為（1）中平均數(shù)是取數(shù)據(jù)的中間值作為樣本數(shù)據(jù)的代表值估算的，而所得平均數(shù)是以具體的數(shù)據(jù)計算而得，因此不相等.【變式2】（2023上·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）年入冬以來，為進一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆發(fā)，地區(qū)規(guī)定居民出行或者出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)個居民一周的口罩使用個數(shù)統(tǒng)計如下表所示，其中每周的口罩使用個數(shù)在以上（含）的有人．口罩使用數(shù)量頻率

(1)求的值，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完善上面的頻率分布直方圖；（只畫圖，不要過程）(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的分位數(shù)和中位數(shù)；（四舍五入，精確到）(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計地區(qū)居民一周口罩使用個數(shù)的平均數(shù)以及方差．（每組數(shù)據(jù)用每組中點值代替）【答案】(1)，；頻率分布直方圖見解析(2)分位數(shù)為個，中位數(shù)為個(3)平均數(shù)為個，方差為．【詳解】（1）由每周的口罩使用個數(shù)在以上（含）的有人得：，解得：，，則頻率分布直方圖如下：

（2），，分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得：，即估計分位數(shù)為個；，，中位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得：，即估計中位數(shù)為個.（3）由頻率分布直方圖得一周內(nèi)使用口罩的平均數(shù)為：（個），方差為，則所求平均數(shù)估計為個，方差估計為．【變式3】（2023下·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）泉州，作為古代海上絲綢之路的起點，具有深厚的歷史文化底蘊，是全國同時擁有聯(lián)合國三大類非遺項目的唯一城市.為高效統(tǒng)籌整合優(yōu)質(zhì)文旅資源，文旅局在“五一”假期精心策劃文旅活動，使得來泉旅游人數(shù)突破了萬人次.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解來泉游客的旅游體驗滿意度，用問卷的方式隨機調(diào)查了名來泉旅游的游客，被抽到的游客根據(jù)旅游體驗給出滿意度分值（滿分分），該興趣小組將收集到的數(shù)據(jù)分成五段：，，，，，處理后繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求圖中的值并估計名游客滿意度分值的中位數(shù)（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(2)已知在的平均數(shù)為，方差為，在的平均數(shù)為，方差為，試求被調(diào)查的名游客的滿意度分值的平均數(shù)及方差.【答案】(1)，(2)平均數(shù)為71，方差為510【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：，解得

由頻率分布直方圖，

因此，中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，

可以估計名游客滿意度分值的中位數(shù)為（2）把在的平均數(shù)記為，方差記為；在的平均數(shù)記為，方差記為；在的平均數(shù)記為，方差記為

由題得，，，，，在的頻率為，在的頻率為則

由

可得

即被調(diào)查的名游客的滿意度分值的方差為A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知五個數(shù)，，，，的平均數(shù)為，則這五個數(shù)的方差為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)求出的值，再利用公式計算方差即可.【詳解】由題可知，得，則方差.故選：A.2．（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）若一組數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)和方差分別是（

）A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5【答案】B【分析】根據(jù)平均數(shù)以及方差的性質(zhì)及可求解.【詳解】若一組數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)和方差分別是6，3，故選：B3．（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃┮唤M數(shù)據(jù)包括47、48、51、54、55，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為（

）A． B． C．10 D．50【答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得.【詳解】依題意這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以方差為，則標(biāo)準(zhǔn)差為.故選：A4．（2024上·四川成都·高二?？计谀┮阎?、乙兩位同學(xué)在一次射擊練習(xí)中各射靶10次，射中環(huán)數(shù)頻率分布如圖所示：

令，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的均值；，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的方差，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)頻率分布圖分別計算，，比較大小可得.【詳解】由圖可知，，，所以，.故選：D.5．（2024上·廣東廣州·高二廣東實驗中學(xué)校聯(lián)考期末）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．9【答案】C【分析】根據(jù)題意算出極差，進而得到該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，列式求出，進而利用百分位數(shù)的定義得出答案.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，則極差為，故該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，數(shù)據(jù)共6個，故中位數(shù)為，解得，因為，所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個數(shù)6，故選：C.6．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，中國代表團共獲得201枚金牌，111枚銀牌，71枚銅牌，共383枚獎牌的歷史最好成績.某個項目的比賽的六個裁判為某運動員的打分分別為95，95，95，93，94，94，評分規(guī)則為去掉六個原始分的一個最高分和一個最低分，剩下四個有效分的平均分為該選手的最后得分，設(shè)這六個原始分的中位數(shù)為，方差為，四個有效分的中位數(shù)為，方差為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】可求出六個原始分和四個有效分的中位數(shù)，再根據(jù)方差的定義判斷方差的大?。驹斀狻咳菀浊蟪鲞@六個原始分95，95，95，93，94，94的中位數(shù)為，方差為；四個有效分95，95，94，94的中位數(shù)為，方差為；根據(jù)方差的定義知四個有效分的波動性變小，所以．故選：D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)實數(shù)，滿足，若數(shù)據(jù)1，3，4，，，的平均數(shù)和第50百分位數(shù)相等，則數(shù)據(jù)，，的方差為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題可得，即，繼而按方差公式計算即可；得到后，也可以設(shè)，按方差公式計算即可.【詳解】解法一：數(shù)據(jù)1，3，4，，，的第50百分位數(shù)為，所以，化簡得，此時，，即，，，這組數(shù)據(jù)的平均值為，方差．故選：B．解法二：數(shù)據(jù)1，3，4，，，的第50百分位數(shù)為，所以，化簡得，此時，，即，，，不妨設(shè)，此時這組數(shù)據(jù)為5，6，8，容易求出這組數(shù)據(jù)的方差為．故選：B．8．（2024上·北京順義·高三統(tǒng)考期末）地鐵某換乘站設(shè)有編號為的五個安全出口．若同時開放其中的兩個安全出口，疏散1000名乘客所需的時間如下：安全出口編號疏散乘客時間120220160140200用表示安全出口的疏散效率（疏散時間越短，疏散效率越高），給出下列四個說法：①；②；③；④．其中，正確說法的個數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)題意，列方程組，根據(jù)方程組解的值，判斷正確的說法.【詳解】設(shè)每個出口每秒可疏散的人數(shù)為（），由題意，可得方程組：，可得：.因為，所以，所以①正確；因為，所以，所以②正確；因為，所以，所以③正確；因為，所以，所以④錯誤.故選：B二、多選題9．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）一組數(shù)據(jù)滿足，若去掉后組成一組新數(shù)據(jù).則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比（

）A．極差變小 B．平均數(shù)變大 C．方差變小 D．第25百分位數(shù)變小【答案】AC【分析】根據(jù)極差，平均數(shù)，方差與百分位數(shù)的定義計算出去掉前后的相關(guān)數(shù)據(jù)，比較后得到答案.【詳解】由于，故，，……，，，A選項，原來的極差為，去掉后，極差為，極差變小，A正確；B選項，原來的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，平均數(shù)不變，B錯誤；C選項，原來的方差為，去掉后的方差為，方差變小，C正確；D選項，，從小到大排列，選第3個數(shù)作為第25百分位數(shù)，即，，故從小到大排列，選擇第3個數(shù)作為第25百分位數(shù)，即，由于，第25百分位數(shù)變大，D錯誤.故選：AC10．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大3，則（

）A．甲組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為23 B．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同C．乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24.5 D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同【答案】BD【分析】根據(jù)已知平均數(shù)的關(guān)系求得，再由極差、中位數(shù)、方差求法判斷各項正誤即可.【詳解】由題設(shè)，，所以，甲組數(shù)據(jù)中，故第70百分位數(shù)為24，A錯；甲乙組數(shù)據(jù)的極差都為5，B對；乙組數(shù)據(jù)從小到大為，故其中位數(shù)為，C錯；由上易知：甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲的方差為，乙的方差為，故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，D對.故選：BD三、填空題11．（2024上·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知樣本數(shù)據(jù)為1，a，b，7，9，且a、b是方程的兩根，則這組樣本數(shù)據(jù)的方差是.【答案】8【分析】由求出，利用方差公式即可求.【詳解】由可得或，因為a、b是方程的兩根，不妨設(shè)，，所以樣本平均數(shù)為，故樣本方差為：.故答案為：812．（2024上·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）農(nóng)科院作物所為了解某種農(nóng)作物的幼苗質(zhì)量，分別從該農(nóng)作物在甲、乙兩個不同環(huán)境下培育的幼苗中各隨機抽取了15株幼苗進行檢測，量出它們的高度如下圖（單位：）:

記該樣本中甲、乙兩種環(huán)境下幼苗高度的中位數(shù)分別為a，b，則；若以樣本估計總體，記甲、乙兩種環(huán)境下幼苗高度的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則（用“<，>或=”連接）．【答案】【分析】空根據(jù)題意分別求出甲乙環(huán)境下的個高度數(shù)據(jù)，從而求出中位數(shù)，即可求解；空利用標(biāo)準(zhǔn)差公式分別求出，從而求解.【詳解】對空：由題意得甲環(huán)境的幼苗高度為：，其中位數(shù)，乙環(huán)境的幼苗高度為：，其中位數(shù)，所以；對空：甲環(huán)境下的幼苗平均高度為：，所以甲環(huán)境下的幼苗平均高度為：所以所以.故答案為：；.四、解答題13．（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考期末）某地區(qū)為了解在鄉(xiāng)村振興過程中鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟的發(fā)展情況，隨機調(diào)查了100個鄉(xiāng)村，得到這些鄉(xiāng)村今年先對于去年集體經(jīng)濟產(chǎn)值增長率W的頻數(shù)分布表.分組鄉(xiāng)村數(shù)61030401031(1)估計這個地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟產(chǎn)值增長率不低于40%的鄉(xiāng)村比例；(2)求這個地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.（精確到0.01）【答案】(1)(2)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別為，.【分析】（1）利用頻率分布表中數(shù)據(jù)計算并估計得解.（2）利用頻率分布表中數(shù)據(jù)計算平均數(shù)及方差即得.【詳解】（1）根據(jù)集體經(jīng)濟產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表，得所調(diào)查的100個鄉(xiāng)村中，集體經(jīng)濟產(chǎn)值增長率不低于的鄉(xiāng)村頻率為，用樣本頻率分布估計總體分布，得這個地區(qū)集體經(jīng)濟產(chǎn)值增長率不低于的鄉(xiāng)村比例為.（2），，.所以這個地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別為，.14．（2024上·重慶·高二重慶八中?？计谀橛佣鹃L跑比賽，重慶八中對全體高二學(xué)生舉行了一次關(guān)于冬季長跑相關(guān)知識的測試，統(tǒng)計人員從高二學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生的成績作為樣本進行統(tǒng)計，測試滿分為100分，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間內(nèi)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這100名學(xué)生的平均成績；(2)若在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為74和26，在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為89和106，據(jù)此估計在內(nèi)的所有學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差．【答案】(1)69.5分(2)平均數(shù)80，方差112【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接求平均數(shù)即可；（2）利用平均數(shù)和方差公式直接計算求解即可.【詳解】（1）由圖表可知，這100名學(xué)生的平均成績?yōu)榉郑?）在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為74和26，區(qū)間的學(xué)生頻率為，在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為89和106，區(qū)間的學(xué)生頻率為，所以在內(nèi)的所有學(xué)生測試成績的平均數(shù)為，方差為B能力提升1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）為了學(xué)習(xí)、宣傳和踐行黨的二十大精神，某班組織全班學(xué)生