1.3 探索三角形全等的條件 -第4課時(shí) -2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)課件

1.3探索三角形全等的條件第4課時(shí)利用斜邊和直角邊判定直角三角形全等思考工人師傅常常利用角尺平分一個(gè)角，如圖1－19，在∠AOB

的兩邊OA、OB上分別任取OC＝OD，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)C、D重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn)M的射線OM

就是∠AOB

的平分線，請(qǐng)你說(shuō)明這樣畫角平分線的道理.由OC＝OD，MC＝MD，OM＝OM，可知△OCM≌△ODM，于是∠COM＝∠DOM，即OM平分∠AOB.從木工師傅的畫法中，你能找到用直尺和圓規(guī)作角平分線的方法嗎?按下列作法，用直尺和圓規(guī)作∠AOB

的平分線作法圖形討論如圖1－20，PC＝PD，QC＝QD，PQ、CD相交于點(diǎn)E.(1)根據(jù)以上條件，你能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論?(1)△PCQ≌△PDQ(SSS)，△PCE≌△PDE(SAS)，

△CQE≌△DQE(SAS)，∠PEC＝∠PED＝90°，∠PCD＝∠PDC，PQ平分∠CPD

等.(2)你能證明PQ⊥CD

嗎?由此，你能找到用直尺和圓規(guī)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法嗎?能.證明：在△PCQ和△PDQ中，PC＝PD(已知)，

QC＝QD(已知)，

PQ＝PQ(公共邊).∴△PCQ≌△PDQ(SSS)·∴∠CPE＝∠DPE(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).在△PCE

和△PDE中，

PE＝PE(公共邊)，

∠CPE＝∠DPE(已證)，

PC＝PD(已知)，∴△PCE≌△PDE(SAS).∴∠PEC＝∠PED(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).又∵∠PEC＋∠PED＝180°(平角的定義)，∴∠PEC＝∠PED＝90°，即PQ⊥CD(垂直的定義).按下列作法，用直尺和圓規(guī)經(jīng)過直線AB

外一點(diǎn)P

作AB

的垂線.作法圖形思考如果點(diǎn)P在直線AB

上，如何用直尺和圓規(guī)經(jīng)過點(diǎn)P作AB

的垂線?作法：(1)以點(diǎn)P

為圓心,適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，使它與AB

交于點(diǎn)C，D.

練習(xí)1.(1)用直尺和圓規(guī)把圖①中的∠MON

四等分；解：作法：如圖所示，①作∠MON的平分線OA.②作∠MOA

的平分線OB.③作∠NOA

的平分線OC.則OA，OB，OC四等分∠MON.(2)用直尺和圓規(guī)在圖②中過點(diǎn)B作BC

的垂線，并指出所作圖中∠ABC的余角.①如圖所示，反向延長(zhǎng)射線BC，以點(diǎn)B

為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧交直線BC

于點(diǎn)D，E.

2.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)直角三角形，使它的兩條直角邊分別等于a、b.解：作法：如圖所示，(1)作線段AB＝b.(2)延長(zhǎng)線段BA，過點(diǎn)A作AD⊥AB.(3)在射線AD上截取AC＝a，連接BC.Rt△ABC

即為所求作的三角形.討論兩個(gè)直角三角形，有一對(duì)內(nèi)角(直角)相等，判定兩個(gè)直角三角形全等，還需要幾個(gè)條件?可以是哪些條件?直角三角形是特殊的三角形，可以用符號(hào)“Rt△”表示.判定兩個(gè)直角三角形全等，有沒有特殊的方法?這兩個(gè)直角三角形全等嗎?操作按下列作法，用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC，使∠C＝90°，CB＝a，AB＝c.作法圖形1.作∠PCQ＝90°.2.在射線CP上截取CB＝a.3.以點(diǎn)B

為圓心，c的長(zhǎng)為半徑作弧交

射線CQ

于點(diǎn)A.4.連接AB.Rt△ABC

就是所求作的三角形.你作的直角三角形與其他同學(xué)作的直角三角形能完全重合嗎?討論如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，怎樣證明△ABC≌△A′B′C′?把兩個(gè)直角三角形拼在一起像本節(jié)例7那樣，可以證得∠B＝∠B′.在△ABC和△A′B′C′中，由∠B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′，AB＝A′B′，可以證明△ABC≌△A′B′C′(AAS).于是，我們得到如下定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).如圖，在Rt△ABC

和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).

書寫格式例8已知：如圖1－22，AD、BC

相交于點(diǎn)O，AD＝BC.

∠C＝∠D

＝90°.求證：AO＝BO，CO＝DO.分析：要證AO＝BO、CO＝DO，只要證△AOC≌△BOD.由于∠C＝∠D＝90°，∠AOC＝∠BOD，于是只要證AC＝BD，所以就要證△ABC≌△BAD.證明：在Rt△ABC和Rt△BAD

中，∠C＝∠D＝90°，BC＝AD(已知)，

AB＝BA(公共邊)，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴AC＝BD

(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).在△AOC

和△BOD中，∠C＝∠D(已知)，∠AOC

＝∠BOD(對(duì)頂角相等).AC＝BD(已證)，∴△AOC≌△BOD(AAS).∴AO＝BO，CO＝DO

(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).練4已知：如圖，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別是點(diǎn)C、D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別是點(diǎn)E、F.

求證：CE＝DF.證明：∵AC⊥BC，AD⊥BD(已知)，∴∠ACB＝∠BDA＝90°.在Rt△ABC

和Rt△BAD

中，AB＝BA(公共邊)，BC＝AD(已知)，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴∠CBE＝∠DAF(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∵CE⊥AB，DF⊥AB(已知)，∴∠CEB＝∠DFA＝90°.在△BCE

和△ADF

中，∠CEB＝∠DFA(已證)，∠CBE＝∠DAF(已證)，BC＝AD(已知)，∴△BCE≌△ADF(AAS).∴CE＝DF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).練習(xí)1.如圖，方格紙中有點(diǎn)A、B、C、D、E、F，以其中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫出所有的直角三角形，并找出其中全等的直角三角形.解：畫直角三角形如圖所示，全等的直角三角形有：△ABC≌△BDE≌△BFE≌△BFC≌△CEB≌△CEF；△ABF≌△DBF；△DCF≌△AEF.2.如圖，AC⊥CB，AD⊥DB，要證明△ABC≌△ABD，還需要什么條件?解：∠CAB＝∠DAB

或∠ABC＝∠ABD

或BC＝BD或AC＝AD.(答案不唯一)3.已知：如圖，AD＝BC，CA⊥AB，AC⊥CD.求證：AD∥BC.證明：∵CA⊥AB，AC⊥CD(已知)，∴∠BAC＝∠DCA

＝90°(垂直的定義).在Rt△ABC和Rt△CDA

中，

BC＝DA(已知)，

AC＝CA(公共邊)，∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).∴∠ACB＝∠CAD(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).本課小