人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊學案3：4 2 1 第1課時 等差數(shù)列的概念及通項公式

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊PAGEPAGE14.2.1第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式新課程標準學業(yè)水平要求1.通過生活中的實例，理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義．2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系，并解決相應的問題．3．體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關系．1.借助教材實例理解等差數(shù)列、等差中項的概念．(數(shù)學抽象)2．借助教材實例了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系．(數(shù)學抽象)3．會求等差數(shù)列的通項公式，并能利用等差數(shù)列的通項公式解決相關的問題．(數(shù)學運算)4．能利用等差數(shù)列的通項公式解決相關的實際問題．(數(shù)學運算、數(shù)學建模)〖自主預習〗導思1.什么是等差數(shù)列？2．等差數(shù)列的通項公式是什么？3．什么是等差中項？1.等差數(shù)列的定義(1)條件：①從第項起．②每一項與它的的差都等于常數(shù)．(2)結論：這個數(shù)列是等差數(shù)列．(3)相關概念：這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的，常用表示．〖思考〗(1)為什么強調“從第2項起”？(2)如何理解“每一項與前一項的差”？2．等差中項(1)前提：三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列．(2)結論：叫做a與b的等差中項．(3)滿足的關系式：2A＝．〖思考〗等式“2A＝a＋b”有哪些等價形式？3．等差數(shù)列的通項公式遞推公式通項公式＝d(n∈N*)an＝(n∈N*)〖思考〗1．怎樣從函數(shù)角度認識等差數(shù)列？2．由等差數(shù)列的通項公式可以看出，要求an，需要哪幾個條件？〖基礎小測〗1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”).(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)等差數(shù)列{an}的單調性與公差d有關．()(3)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，可以求出數(shù)列中的任意一項．()(4)若三個數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．()2．已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝4，公差d＝－2，則通項公式an＝()A．4－2nB．2n－4C．6－2nD．2n－63．等差數(shù)列－6，－3，0，3，…的公差d＝________．4．在△ABC中，三內角A，B，C成等差數(shù)列，則B等于________．〖合作學習〗類型一等差中項的應用(數(shù)學運算)〖典例〗1．若5，x，y，z，21成等差數(shù)列，則x＋y＋z的值為()A．26 B．29 C．39 D．522．設x是a與b的等差中項，x2是a2與－b2的等差中項，則a，b的關系是()A.a＝－b B．a＝3bC.a＝－b或a＝3b D．a＝b＝03．若m和2n的等差中項為4，2m和n的等差中項為5，則m和n的等差中項為________．〖解題策略〗等差中項的應用方法三數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的條件是b＝eq\f(a＋c,2)(或2b＝a＋c)，可用來解決等差數(shù)列的判定或有關等差中項的計算問題．如若證{an}為等差數(shù)列，可證2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*).〖跟蹤訓練〗在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．類型二等差數(shù)列的通項公式及其應用(數(shù)學運算)〖典例〗(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通項公式an；(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a3＝eq\f(5,4)，a7＝－eq\f(7,4)，求a15的值．〖解題策略〗基本量法求通項公式根據(jù)已知量和未知量之間的關系，列出方程求解的思想方法，稱為方程思想．等差數(shù)列{an}中的每一項均可用a1和d表示，這里的a1和d就稱為基本量．有關等差數(shù)列的問題，如果條件與結論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關a1，d的關系列方程組求解，但是要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量．〖跟蹤訓練〗1．已知在等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5等于()A．15 B．22 C．7 D．292．(1)求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項；(2)判斷－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項，如果是，是第幾項？類型三等差數(shù)列的判定與證明(數(shù)學運算、邏輯推理)〖典例〗已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說明理由；(2)求an.〖變式探究〗將典例中的條件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”換為“a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”試判斷數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列．〖解題策略〗等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列；(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列；(3)通項公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．但如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法．〖跟蹤訓練〗1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，記bn＝eq\f(1,an－2).求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．2．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．〖課堂達標〗1．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝()A．－1 B．0 C．1 D．62．等差數(shù)列{an}的首項為70，公差為－9，則這個數(shù)列中絕對值最小的一項為()A．a11 B．a10 C．a9 D．a83．已知數(shù)列{an}，對任意的n∈N*，點Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上，則{an}為()A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為1的等差數(shù)列C．公差為－2的等差數(shù)列 D．非等差數(shù)列4．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a，b的等差中項為________．5．三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，則這三個數(shù)為________．

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁〖自主預習〗1.等差數(shù)列的定義(1)①2．②前一項 同一個(3)公差 d〖思考〗(1)〖提示〗：①第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合；②定義中包括首項這一基本量，且必須從第2項起保證使數(shù)列中各項均與其前面一項作差．(2)〖提示〗：它的含義也有兩個：其一是強調作差的順序，即后面的項減前面的項；其二是強調這兩項必須相鄰．2．等差中項(2)A(3)a＋b〖思考〗〖提示〗：2A＝a＋b?A－a＝b－A?A＝eq\f(a＋b,2).3．等差數(shù)列的通項公式an＋1－an a1＋(n－1)d〖思考〗1．〖提示〗：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；(2)這些點的橫坐標每增加1，函數(shù)值增加d.2．〖提示〗：只要求出等差數(shù)列的首項a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．〖基礎小測〗1．〖提示〗：(1)×若這些常數(shù)都相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不全相等，則這個數(shù)列就不是等差數(shù)列．(2)√當d>0時為遞增數(shù)列；d＝0時為常數(shù)列；d<0時為遞減數(shù)列．(3)√只需將項數(shù)n代入即可求出數(shù)列中的任意一項．(4)√若a，b，c滿足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c為等差數(shù)列．2．〖解析〗an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.〖答案〗C3．〖解析〗(－3)－(－6)＝3，故d＝3.〖答案〗34．〖解析〗因為三內角A，B，C成等差數(shù)列，所以2B＝A＋C，又因為A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.〖答案〗60°〖合作學習〗類型一等差中項的應用(數(shù)學運算)〖典例〗1．〖解析〗因為5，x，y，z，21成等差數(shù)列，所以y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項．所以5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝2y＝26，所以x＋y＋z＝39.〖答案〗C2．〖解析〗由等差中項的定義知：x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，所以eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.〖答案〗C3．〖解析〗由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6，所以m和n的等差中項為eq\f(m＋n,2)＝3.〖答案〗3〖跟蹤訓練〗〖解〗因為－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，所以b是－1與7的等差中項，所以b＝eq\f(－1＋7,2)＝3.又a是－1與3的等差中項，所以a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3與7的等差中項，所以c＝eq\f(3＋7,2)＝5.所以該數(shù)列為－1，1，3，5，7.類型二等差數(shù)列的通項公式及其應用(數(shù)學運算)〖典例〗〖解〗(1)因為a4＝7，a10＝25，則得所以an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，所以通項公式an＝3n－5(n∈N*).(2)方法一：由得解得a1＝eq\f(11,4)，d＝－eq\f(3,4)，所以a15＝a1＋(15－1)d＝eq\f(11,4)＋14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).方法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－eq\f(7,4)＝eq\f(5,4)＋4d，解得d＝－eq\f(3,4)，所以a15＝a3＋(15－3)d＝eq\f(5,4)＋12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).〖跟蹤訓練〗1．〖解析〗設{an}的首項為a1，公差為d，根據(jù)題意得解得a1＝47，d＝－8，所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.〖答案〗A2．〖解〗設等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得這個數(shù)列的通項公式為an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由題意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是這個數(shù)列的第100項．類型三等差數(shù)列的判定與證明(數(shù)學運算、邏輯推理)〖典例〗〖解〗(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，理由如下：因為a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項為eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差為d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列．(2)由(1)可知eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，所以an＝eq\f(2,n).〖變式探究〗〖解〗當n≥2時，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝eq\f(3,2)，但a2－a1＝1≠eq\f(3,2)，故數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．〖跟蹤訓練〗〖證明〗(定義法)因為bn＋1＝eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)＝eq\f(an,2（an－2）)，所以bn＋1－bn＝eq\f(an,2（an－2）)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2（an－2）)＝eq\f(1,2)，為常數(shù)(n∈N*).又b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，所以數(shù)列{bn}是首項為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．(等差中項法)因為bn＝eq\f(1,an－2)，所以bn＋1＝eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)＝eq\f(an,2（an－2）).所以bn＋2＝eq\f(an＋1,2（an＋1－2）)＝eq\f(4－\f(4,an),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)－2)))＝eq\f(an－1,an－2).所以bn＋bn＋2－2bn＋1＝eq\f(1,an－2)＋eq\f(an－1,an－2)－2×eq\f(an,2（an－2）)＝0.所以bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N*)，所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．〖跟蹤訓練〗〖解〗(1)由an＋1＝3an＋3n，兩邊同時除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(an,3n)＋eq\