2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)綜合檢測(cè)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修5

PAGE綜合檢測(cè)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列命題正確的是()A．若ac＞bc?a＞b B．若a2＞b2?a＞bC．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)?a＜b D．若eq\r(a)＜eq\r(b)?a3＜b3解析：選項(xiàng)A，當(dāng)c＜0時(shí)，ac＞bc?a＞b，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，令a＝－2，b＝0，a2＞b2?a＞b，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，令a＝1，b＝－1，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)?a＜b，故C錯(cuò)誤．答案：D2．在△ABC中，已知a＝eq\r(2)，b＝2，B＝45°，則角A＝()A．30°或150° B．60°或120°C．60° D．30°解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，sinA＝eq\f(a,b)sinB＝eq\f(\r(2),2)sin45°＝eq\f(1,2)，又因?yàn)閎＞a，故A＝30°.答案：D3．已知等比數(shù)列{an}滿意a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,8)解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，由題可知q≠1，則a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴eq\f(1,16)×q6＝4(eq\f(1,4)×q3－1)，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝eq\f(1,2).故選C.答案：C4．若a＞b，則下列各式正確的是()A．a(chǎn)·lgx＞b·lgx B．a(chǎn)x2＞bx2C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)·2x＞b·2x解析：已知a＞b，選項(xiàng)A，由已知不等式兩邊同乘lgx得到，由不等式的性質(zhì)可知，當(dāng)lgx＞0時(shí)，a·lgx＞b·lgx；當(dāng)lgx＝0時(shí)，a·lgx＝b·lgx；當(dāng)lgx＜0時(shí)，a·lgx＜b·lgx．故該選項(xiàng)不正確．選項(xiàng)B，由已知不等式兩邊同乘x2得到，由不等式的性質(zhì)可知，當(dāng)x2＞0時(shí)，ax2＞bx2；當(dāng)x2＝0時(shí)，ax2＝bx2.故該選項(xiàng)不正確．選項(xiàng)C，由已知不等式兩邊平方得到，由不等式的性質(zhì)可知，當(dāng)a＞b＞0時(shí)，a2＞b2；當(dāng)a＞0＞b且|a|＜|b|時(shí)，a2＜b2.故該選項(xiàng)不正確．選項(xiàng)D，由已知不等式兩邊同乘2x得到，且2x＞0，所以a·2x＞b·2x.故該選項(xiàng)正確．答案：D5．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100項(xiàng)和為()A.eq\f(100,101) B．eq\f(99,101)C.eq\f(99,100) D.eq\f(101,100)解析：由S5＝5a3及S5＝15得a3＝3，∴d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝1，a1＝1，∴an＝n，eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100項(xiàng)和T100＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,100)－eq\f(1,101)＝1－eq\f(1,101)＝eq\f(100,101)，故選A.答案：A6．已知△ABC的面積為5eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，AB＝5，則BC＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(6)C．3eq\r(2) D.eq\r(13)解析：因?yàn)锳＝eq\f(π,6)，AB＝5，△ABC的面積為5eq\r(3)＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(1,2)×5×AC×eq\f(1,2)，所以解得：AC＝4eq\r(3)，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cosA)＝eq\r(25＋48－2×5×4\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(13).答案：D7．設(shè)集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立}，則下列關(guān)系式中成立的是()A．PQ B．QPC．P＝Q D．P∩Q＝?解析：當(dāng)m＝0時(shí)，－4＜0對(duì)隨意實(shí)數(shù)x∈R恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，由mx2＋4mx－4＜0對(duì)隨意實(shí)數(shù)x∈R恒成立可得．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝16m2＋16m＜0，))解得－1＜m＜0，綜上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，所以PQ.答案：A8．已知an＝eq\f(3,2n－101)(n∈N*)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn＞0的n的最小值為()A．99 B．100C．101 D．102解析：由通項(xiàng)公式得a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝a50＋a51＝0，a101＝eq\f(3,101)＞0，故選C.答案：C9.如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)A，B分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為()A．20eq\r(6)海里 B．40eq\r(6)海里C．20(1＋eq\r(3))海里 D．40海里解析：連接AB，由題意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin30°)＝eq\f(40,sin45°)，所以AD＝20eq\r(2)，在Rt△BCD中，因?yàn)椤螧DC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝eq\r(2)CD＝40eq\r(2).在△ABD中，由余弦定理得AB＝eq\r(800＋3200－2×20\r(2)×40\r(2)×cos60°)＝20eq\r(6).答案：A10．△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若直線bx＋(a－c)y＋1＝0與直線(a－b)x－(a＋c)y＋1＝0垂直，則角C的大小為()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析：由已知條件得b(a－b)－(a－c)(a＋c)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2).又0＜C＜π，所以C＝eq\f(π,3).答案：B11．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤0，,x≤2，,y≥\f(1,2)，))則2x＋eq\f(1,y)的最小值為()A.eq\r(2) B．eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)解析：由約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤0，,x≤2，,y≥\f(1,2)))可知，x，y∈(0，＋∞)，∵y≤x，∴2x＋eq\f(1,y)≥2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2).(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)等號(hào)成立)，即2x＋eq\f(1,y)的最小值為2eq\r(2)，故選C.答案：C12．已知數(shù)列{an}滿意an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝eq\f(π,2)，若函數(shù)f(x)＝sin2x＋2cos2eq\f(x,2)，記yn＝f(an)，則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為()A．0 B．－9C．9 D．1解析：由已知可得，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，f(x)＝sin2x＋cosx＋1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin2x－cosx＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為9.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))則z＝x－2y的最小值為_(kāi)_______．解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，由z＝x－2y得y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)z，作直線y＝eq\f(1,2)x并平移，視察可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,4)時(shí)，zmin＝3－2×4＝－5.答案：－514．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是________．解析：因?yàn)閘n(a＋b)＝0，所以a＋b＝1所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為4.答案：415．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2016＝________.解析：∵數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1·an＝2n①，∴n＝1時(shí)，a2＝2，n≥2時(shí)，an·an－1＝2n－1②.∵①÷②得eq\f(an＋1,an－1)＝2，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，∴S2016＝eq\f(1－21008,1－2)＋eq\f(2×1－21008,1－2)＝3×21008－3.答案：3×21008－316．有一道解三角形的題，因?yàn)榧垙埰茡p，在劃?rùn)M線的地方有一個(gè)已知條件看不清，詳細(xì)如下：在△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知角B＝45°，a＝eq\r(3)，________.求角A.若已知正確答案為A＝60°，且必需運(yùn)用全部條件才能解得，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合要求的已知條件．解析：在△ABC中，若已知B＝45°，a＝eq\r(3)，A＝60°，則C＝180°－45°－60°＝75°.由正弦定理得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝eq\f(\r(3)×sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，所以已知條件可填A(yù)B＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，另外，若填C＝75°則未運(yùn)用全部條件，若填A(yù)C的長(zhǎng)度，求出A＝60°或120°，不合題意．答案：AB＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿意eq\r(3)acosC－csinA＝0.(1)求角C的大?。?2)已知b＝4，△ABC的面積為6eq\r(3)，求邊長(zhǎng)c的值．解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得：eq\r(3)sinAcosC－sinCsinA＝0.因?yàn)?＜A＜π，所以sinA＞0，從而eq\r(3)cosC＝sinC，又cosC≠0，所以tanC＝eq\r(3).所以C＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)×4a×sineq\f(π,3)＝6eq\r(3)，得a＝6，由余弦定理得：c2＝62＋42－2×6×4coseq\f(π,3)＝28，所以c＝2eq\r(7).18．(12分)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．解析：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝a.①當(dāng)a∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②當(dāng)a∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1.法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,a＜－1，,g－1≥0，))解得－3≤a≤1.19．(12分)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))的前n項(xiàng)和．解析：(1)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2,3，由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝eq\f(1,2)，從而a1＝eq\f(3,2)，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2)n＋1.(2)設(shè)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))的前n項(xiàng)和為Sn，由(1)知eq\f(an,2n)＝eq\f(n＋2,2n＋1)，Sn＝eq\f(3,22)＋eq\f(4,23)＋…＋eq\f(n＋1,2n)＋eq\f(n＋2,2n＋1)，eq\f(1,2)Sn＝eq\f(3,23)＋eq\f(4,24)＋…＋eq\f(n＋1,2n＋1)＋eq\f(n＋2,2n＋2)，兩式相減得eq\f(1,2)Sn＝eq\f(3,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,23)＋…＋\f(1,2n＋1)))－eq\f(n＋2,2n＋2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))－eq\f(n＋2,2n＋2).所以Sn＝2－eq\f(n＋4,2n＋1).20．(12分)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同時(shí)滿意：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f(n)．(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解析：(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素，∴Δ＝a2－4a＝0，∴a＝0或a＝4.當(dāng)a＝4時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2－4x＋4在(0,2)上遞減，故存在0＜x1＜x2，使f(x1)＞f(x2)成立；而當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2在(0，＋∞)上遞增，不合題意．故a＝4，f(x)＝x2－4x＋4.(2)由(1)知，Sn＝n2－4n＋4.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋4)－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝2n－5，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1不適合上式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－5，n≥2.))21．(12分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＜0，S2015＝0.(1)求Sn的最小值及此時(shí)n的值；(2)求n的取值集合，使其滿意an≥Sn.解析：(1)設(shè)公差為d，則由S2015＝0?2015a1＋eq\f(2015×2014,2)d＝0?a1＋1007d＝0，d＝－eq\f(1,1007)a1，a1＋an＝eq\f(2015－n,1007)a1，所以Sn＝eq\f(n,2)(a1＋an)＝eq\f(n,2)·eq\f(2015－n,1007)a1＝eq\f(a1,2014)(2015n－n2)．因?yàn)閍1＜0，n∈N*，所以當(dāng)n＝1007或1008時(shí)，Sn取最小值504a1.(2)an＝eq\f(1008－n,1007)a1，Sn≤an?eq\f(a1,2014)(2015n－n2)≤eq\f(1008－n,1007)a1.因?yàn)閍1＜0，所以n2－2017n＋2016≤0，即(n－1)(n－2016)≤0，解得1≤n≤2016.故所求n的取值集合為{n|1≤n≤2016，n∈N*}．22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，sinAsinB＝cos2eq\f(C,2).(1)求角B的大??；(2)若等差數(shù)列{an}的公差不為零，且a1cos2B＝1，a2，a4，a8是等比數(shù)列，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,anan＋1)))的前n項(xiàng)和Sn.并證明：eq\f(1,2)≤Sn＜1.解析：(1)由a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，得a2－b2－c2＝－eq\r(3)bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2).∵0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,6)