新教材高中數(shù)學第12章復數(shù)1復數(shù)的概念學案蘇教版必修第二冊

復數(shù)的概念

【概念認知】

1.復數(shù)的概念

形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫作復數(shù)，其中i叫作虛數(shù)單位,滿足『=二1；復數(shù)通常用字母

z表示，即2=@+出[,bGR),其中a與b分別叫作復數(shù)z的實部與虛部.

2.復數(shù)的分類

(2)復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系如圖所示.

3.復數(shù)相等的充要條件

在復數(shù)集C={a+bi|a,bWR}中任取兩個數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,deR),我們規(guī)定：a

+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d.

【自我小測】

1.(l+/)i的實部與虛部分別是()

A.1,木B.1+73,0

C.0,1+^3D.0,(1+A/3)i

【解析】選C.(1+#)i可看作0+(1+/)i=a+bi,

所以實部a=0,虛部b=l+，§.

2.如果(x+y)i=x—1,則實數(shù)x,y的值分別為()

A.x=l,y=-1B.x=0,y="1

C.x=l,y=0D.x=0,y=0

【解析】選A.因為(x+y)i=x—1,

[x+y=0,

所以

[x—1=0,

所以x=l,y=—1.

3.若xi—i?=y+2i,x,y￡R,則復數(shù)x+yi=()

A.-2+iB.2+i

C.l-2iD.l+2i

【解析】選B.由F=-1,得xi—i.2=l+xi,

則由題意得l+xi=y+2i,

根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得x=2,y=l,

故x+yi=2+i.

4.下列命題：

①若a￡R,則(a+l)i是純虛數(shù)；

②若(x2-l)+(X2+3X+2)i(xGR)是純虛數(shù)，則x=±1；

③兩個復數(shù)不能比較大小.

其中錯誤命題的序號是.

【解析】當a=-l時，(a+l)i=O,故①錯誤；若(六一1)+&2+3*+27是純虛數(shù),

[x2-l=0,

[X2+3X+2^0,

即x=l,故②錯；兩個復數(shù)當它們都是實數(shù)時，是可以比較大小的，③中忽視了這一特殊

情況，故③錯.

答案：①②③

5.已知x'+ix+6=2i+5x,若x《R,則x=若xGC,貝陵=

【解析】當*￡1^時?，由復數(shù)相等的充要條件得

x~—5x+6=0,

解得x=2；

x=2,

當x￡C時，令乂=@+131.(@,b￡R),

a2—b2—b+6=5a,

則有

,2ab+a=2+5b.

所以x=2或x=3—i.

答案：23—i或2

6.實數(shù)x取什么值時，復數(shù)z=(x?+x—6)+(x2-2x-15)i是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)

純虛數(shù).

【解析】⑴當x°—2x—15=0,

即x=-3或x=5時，復數(shù)z為實數(shù)；

(2)當X2-2X-15#0,

即xW—3且xW5時，復數(shù)z為虛數(shù)；

(3)當x2+x—6=0且X2—2x—IS^O,

即x=2時，復數(shù)z是純虛數(shù).

【基礎全面練】

一、單選題

1.設a,bdR,i是虛數(shù)單位，則“ab=0”是“復數(shù)a+bi為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】選B.a+bi為純虛數(shù)，則a=0,bWO,此時ab=O；反之a(chǎn)b=O不能得出a=0,bWO.

所以“ab=O”是“復數(shù)a+bi為純虛數(shù)”的必要不充分條件.

2.若a,b￡R,且a>b,那么()

A.ai>biB.a+i>b+i

C.ai2>bi2D.bi2>ai2

【解析】選D.虛數(shù)不能比較大小，故A,B錯；

因為i2=-l,a>b,所以ai2<bi2,故C錯D對.

3.如果z=m(m+l)+(m2—l)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()

A.1B.0

C.11D.—1或1

m(m+1)=0,

【解析】選B.由題意知LI。八解得m=0.

向一140,

二、填空題

4.以乖if的虛部為實部，以81+*i的實部為虛部的復數(shù)是.

【解析】mi-y/5的虛部為m，8i2+y/2i=-8+姆i的實部為一8.

答案：器-8i

5.滿足方程一一2x—3+(9/—6y+l)i=0的實數(shù)對(x,y)表示的點的個數(shù)為

X2—2x—3=0,

【解析】由題意知

9y2—6y+l=0,

x=3,

解得I1

共有2個.

答案：2

三、解答題

6.已知復數(shù)z=(m2+3m+2)+(m2—m—6)i,則當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z(l)是實數(shù);(2)

是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù).

【解析】(1)當而一m—6=0,

即m=3或m=-2時，z為實數(shù).

⑵當而一m—6W0,即mW—2且mW3時,z是虛數(shù).

fm'+3m+2=0,

⑶當即m=-l時，z是純虛數(shù).

【綜合突破練】

一、選擇題

1.已知關于x的方程x'+(m+2i)x+2+2i=0(m6R)有實根n,且z=m+ni,則復數(shù)z=

)

A.3+iB.3-i

C.13—iD.—3+i

【解析】選B,由題意，知n"+(m+2i)n+2+2i=0,

即n2+mn+2+(2n+2)i=0,

[n2+mn+2=0,

所以一Q八

〔2n+2=0,

m=3,

解得所以z=3—i.

,n=-1,

2.已知復數(shù)z=x+yi(x,y￡R)，則()

A.z2^0

B.z的虛部是yi

C.若z=l+2i,則x=Ly=2

D.z為實數(shù)時，x+y=O

【解析】選C.對于A選項，Wz=i,則z2=-l〈0,A選項錯誤；對于B選項，復數(shù)z的虛

部為y,B選項錯誤；對于C選項，若z=l+2i,則x=l,y=2,C選項正確；對于D選項,

z為實數(shù)時，y=0,D選項錯誤.

3.已知復數(shù)zi=m+(4—m2)i(m￡R),Z2=2cos0+(入+3sin0)i(X,8WR),并且zi

=Z2,則人的取值范圍為()

99

A.-7W入B.77■〈入W7

9

C.—1WAW1D.一

【解析】選D.由Z1=Z2,

fm=2cos0,

得《消去m,

(4—nf=X+3sin。，

9

得X=4sin0-3sin8=4sin

16,

9

由于一lWsin9Wl,故一二W入W7.

4.(多選)對于復數(shù)2=@+員(ab￡R),下列結(jié)論錯誤的是()

A.若a=0,則a+bi為純虛數(shù)

B.若a-bi=3+2i,則a=3,b=2

C.若b=0,則a+bi為實數(shù)

1).z為虛數(shù)時，bWO

【解析】選AB.因為z=a+bi(a,beR),

當a=0且bWO時復數(shù)為純虛數(shù)，故A錯誤；

當b=0時，復數(shù)為實數(shù)，故C正確；

z為虛數(shù)時，bWO,故D正確；

fa=3,[a=3,

對于B：a-bi=3+2i,則彳即故B錯誤.

-b=2,b=-2,

圈【加固訓練】

(多選題)已知i為虛數(shù)單位，下列命題中正確的是()

A.若x,yeC,則x+yi=3—2i的充要條件是x=3,y=-2

B.(a'+DiSeR)是純虛數(shù)

C.若實數(shù)a與ai對應，則實數(shù)集與純虛集一一對應

D.當m=4時，復數(shù)lg(m‘'一2m—7)+(m'+5n1+6)i是純虛數(shù)

【解析】選BD.取x=-2i,y=-3i,則x+yi=3—2i,但不滿足x=3,y=-2,故A錯

誤；

VaeR,/+1>0恒成立，所以(a,+l)i是純虛數(shù)，故B正確；若a=0,則ai不是純虛數(shù),

故C錯誤；m=4時，復數(shù)lg(m,—Zm—7)+(m°+5m+6)i=42i是純虛數(shù)，故D正確.

二、填空題

22

5.log2(x—3x—2)+ilog2(x+2x+l)>l,則實數(shù)x的值是.

【思路導引】復數(shù)值大于1,則復數(shù)必為實數(shù)，即虛部為0,實部大于1.

22

【解析】因為log2(x—3x—2)+ilog2(x+2x+l)>l,

logo(x"—3x-2)>1,x"—3x—2>2,

所以2即2

,log2(x"+2x+l)=0.[x+2x+l=l,

解得x——2.

答案：一2

6.復數(shù)z=cos仔+9)+isin,且°e—今y，若z是實數(shù)，則0的

值為；若z為純虛數(shù)，則。的值為—

【解析】z=cos仔+0)

+isin=-sin9+icos9.

當z是實數(shù)時，cos9=0,因為0e

nf-sin0=0,

所以9=±彳；當z為純虛數(shù)時n

乙[cos9W0,

又0G-y,y,所以0=0.

答案：±20

三、解答題

7.已知集合乂={5+3)+(9—1)-8},集合N={3i,(a-l)+(b+2)i),且MCNM,

MCNW。，求整數(shù)a,b的值.

【解析】若MCN=