新高考一輪復習核心考點講與練考點12 等式與不等式原卷版

考點12等式與不等式（核心考點講與練）一、等式與不等式的性質(zhì)1.兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）?a<b（a∈R，b>0）.))2.等式的性質(zhì)(1)對稱性：若a＝b，則b＝a.(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c.(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd.3.不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).二、均值不等式及其應用1.均值不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)均值不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.兩個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p)(簡記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(s2,4)(簡記：和定積最大).三、從函數(shù)的觀點看一元二次方程和一元二次不等式1.一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三個“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}?{x|b<x<a}4.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(f(x),g(x))>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.1.比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比較法之一作差法的主要步驟為作差——變形——判斷正負.2.判斷不等式是否成立，主要有利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗證兩種方法，特別是對于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗證的方法更簡單.3.均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用均值不等式的切入點.4.對于均值不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，例如：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)等，同時還要注意不等式成立的條件和等號成立的條件.5.“三個二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)；一般可把a＜0的情況轉(zhuǎn)化為a＞0時的情形.6.在解決不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)對于一切x∈R恒成立問題時，當二次項系數(shù)含有字母時，需要對二次項系數(shù)a進行討論，并研究當a＝0時是否滿足題意.7.含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問題，常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理；二是先分離出參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單.不等式的性質(zhì)1.（2021新疆烏魯木齊市第四中學檢測）下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不等式的解法2.（2021陜西省西安中學檢測）不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0基本不等式以及應用3.（2021遼寧省葫蘆島市模擬）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的最小值為（）A．12B．SKIPIF1<0C．15D．SKIPIF1<04.（2021吉林省實驗中學檢測）若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取最小值，則SKIPIF1<0等于（）A.3 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.41.（2020?新全國1山東）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.（2019（新課標Ⅱ））若a>b，則A.ln(a?b)>0 B.3a<3bC.a3?b3>0 D.│a│>│b│3.（2020?江蘇卷）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是_______．一、單選題1.（2022·廣東·模擬預測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.13 B.19 C.21 D.272.（2022·福建寧德·模擬預測）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.SKIPIF1<0 B.8 C.SKIPIF1<0 D.103.（2022·重慶·一模）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0二、多選題4.（2022·全國·模擬預測）已知實數(shù)x，y滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（）A.xy的最大值為SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0的最小值為1 D.SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<05.（2022·廣東汕頭·一模）已知正實數(shù)a，b滿足SKIPIF1<0，則以下不等式正確的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<06.（2022·江蘇泰州·一模）下列函數(shù)中最小值為6的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0三、填空題7.（2