新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第13講 三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式（解析版）

第13講三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.角的概念的推廣(1)定義：一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一條射線(xiàn)所形成的圖形稱(chēng)為角，這兩條射線(xiàn)分別稱(chēng)為角的始邊和終邊.(2)分類(lèi)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線(xiàn)角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定義和公式(1)定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角為1弧度的角，記作1rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式α＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算180°＝πrad；eq\f(n,180)＝eq\f(α,π)(n為角度數(shù)，α為弧度數(shù))弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝αr扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr23.任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，P(x，y)是α終邊上的任一點(diǎn)，對(duì)于任意角α來(lái)說(shuō)，設(shè)P(x，y)是α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，r＝eq\r(x2＋y2)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).4.三角函數(shù)線(xiàn)(1)正弦線(xiàn)與余弦線(xiàn)如圖所示，如果過(guò)角α終邊與單位圓的交點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M，eq\o(OM,\s\up6(→))為角α的余弦線(xiàn).類(lèi)似地，eq\o(MP,\s\up6(→))稱(chēng)為角α的正弦線(xiàn).(2)正切線(xiàn)如圖所示，設(shè)角α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)x＝1交于點(diǎn)T，則eq\o(AT,\s\up6(→))可以直觀地表示tanα，因此eq\o(AT,\s\up6(→))稱(chēng)為角α的正切線(xiàn).5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).6.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六七八角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋αeq\f(3π,2)＋αeq\f(3π,2)－α正弦sinα－sinαsinα－sinαcosαcosα－cosα－cosα余弦cosαcosα－cosα－cosαsinα－sinαsinα－sinα正切tanα－tanα－tanαtanα口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限7.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).8.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).9.函數(shù)f(x)＝asinx＋bcosx(a，b為常數(shù))，可以化為f(x)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(x)＝eq\r(a2＋b2)·cos(x－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).10.半角公式(1)Seq\f(α,2)：sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)；(2)Ceq\f(α,2)：coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)；(3)Teq\f(α,2)：taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))(無(wú)理形式)，tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα)；taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)(有理形式).考點(diǎn)和典型例題1、三角函數(shù)的概念【典例1-1】（2022·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)所對(duì)的圓心角為SKIPIF1<0，則母線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A．4 B．8 C．10 D．16【答案】A【詳解】如圖，SKIPIF1<0弧長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0弧長(zhǎng)為SKIPIF1<0，因?yàn)閳A心角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則母線(xiàn)SKIPIF1<0.故選：A.【典例1-2】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角等于SKIPIF1<0的扇形，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以圓錐的體積為SKIPIF1<0，故選：C【典例1-3】（2022·山東濟(jì)南·二模）濟(jì)南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國(guó)務(wù)院列為全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點(diǎn)之一就是窗門(mén)處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對(duì)稱(chēng)圖形.如圖2，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所在圓的圓心都在線(xiàn)段AB上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，設(shè)圓弧AC的圓心為O，半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【典例1-4】（2022·北京房山·二模）已知SKIPIF1<0是第一象限角，且角SKIPIF1<0的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】∵SKIPIF1<0是第一象限角，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵角SKIPIF1<0的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴SKIPIF1<0．故選：D．【典例1-5】（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)三模（理））已知角SKIPIF1<0的終邊上有一點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．不確定【答案】B【詳解】角SKIPIF1<0的終邊上點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B2、同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式【典例2-1】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C【典例2-2】（2022·遼寧葫蘆島·二模）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-3 D．3【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，分子分母同除以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故選：C【典例2-3】（2022·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：B．【典例2-4】（2022·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（理））已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.【典例2-5】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：A3、三角恒等變換的綜合應(yīng)用【典例3-1】（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知角SKIPIF1<0的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】依題意，由三角函數(shù)的定義可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D.【典例3-2】（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：D【典例3-3】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與SKIPIF1<0軸的非負(fù)半軸重合，SKIPIF1<0為角SKIPIF1<0終邊上的一點(diǎn)，將角SKIPIF1<0終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到角SKIPIF1<0的終邊，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳