江西省贛州市八校2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

贛州市八校協(xié)作體20202021學(xué)年第二學(xué)期期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷一?選擇題（每小題5分，共60分．）1.已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由已知可得：.A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；B：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；C：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；D：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)符合題意.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個(gè)平面向量互相垂直這一性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2.已知向量滿足，，則A.4 B.3 C.2 D.0【答案】B【解析】【詳解】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.詳解：因?yàn)樗赃xB.點(diǎn)睛：向量加減乘：3.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以..則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬綜合基礎(chǔ)題.4.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為（）A.1升 B.升 C.升 D.升【答案】B【解析】【分析】設(shè)出竹子自上而下各節(jié)的容積且為等差數(shù)列，根據(jù)上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)求出的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出第5節(jié)的容積．【詳解】解：設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：，，，，且為等差數(shù)列，根據(jù)題意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，則．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題．5.在中，若，則的形狀是（）A.銳角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】用正弦定理化邊為角，再由三角函數(shù)同角關(guān)系變形可得．【詳解】∵，由正弦定理得，顯然，∴，∴，三角形為等腰三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵．6.已知等比數(shù)列中，，則的值為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，.故選：A7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，與的等差中項(xiàng)為9，則（）A.729 B.332 C.181 D.96【答案】D【解析】【分析】正項(xiàng)等比數(shù)列的公比設(shè)為q，，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，解方程可得公比q，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得所求值.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，則，由，可得，即，即，①與的等差中項(xiàng)為9，可得，即，②由①②可得，解得或（舍），則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量計(jì)算，涉及到等差中項(xiàng)的概念，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.8.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則角B的大小是（）A.45° B.60° C.90° D.135°【答案】A【解析】【分析】由利用余弦定理可得，結(jié)合的范圍，即可得的值．【詳解】中，，可得：，由余弦定理可得：，，，故選：A.9.在中，若，則角等于（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理得：，即，解得：,因?yàn)?，由大角?duì)大邊得：A=.故選：B10.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，延長(zhǎng)至，使，連接、則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由圖象知，所以有，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式，可求出，選B.考點(diǎn)：1.兩角差的正切公式；2.同角三角函數(shù)關(guān)系式.11.已知，點(diǎn)滿足且，則等于（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由于，以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，所以，則.故選：D12.已知的內(nèi)角A，B，C滿足，的面積S滿足，記a，b，c分別為A，B，C所對(duì)的邊，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換公式得到，確定，根據(jù)面積范圍得到，得到，再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】，則，即，故，，即，，整理得到.設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得：，，故，即，，故，即，，則，對(duì)選項(xiàng)A：，即，但不一定正確；對(duì)選項(xiàng)B：，即，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，不一定正確；對(duì)選項(xiàng)D：，不一定正確；故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了三角恒等變換，三角形面積公式，正弦定理，以此考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用三角恒等變換公式將條件轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.二?填空題（每小題5分，共20分．）13.已知向量，若，則m=____.【答案】1【解析】分析】求出的坐標(biāo)，由向量共線時(shí)坐標(biāo)的關(guān)系可列出關(guān)于的方程，從而可求出的值.【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，解得.故答案為:114.等差數(shù)列中，，，則滿足不等式的正整數(shù)的最大值是______.【答案】59【解析】【分析】計(jì)算得到，解不等式得到答案.【詳解】由得，即，又，解得，故正整數(shù)的最大值為59.故答案：59.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15.已知在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，則________________.【答案】2【解析】【分析】把，代入已知等式，可將邊之間的關(guān)系全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，中，，可得，又由正弦定理可得，所以，代入可得.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用正弦定理的邊角互化和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16.數(shù)列滿足，，實(shí)數(shù)為常數(shù)，①數(shù)列有可能為常數(shù)列；②時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；③若，則；④時(shí)，數(shù)列遞減；則以上判斷正確的有______（填寫序號(hào)即可）【答案】①②③④【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，①數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，，可解出；②時(shí)，取倒數(shù)可以證明；③，表示出，解出的范圍可得；④時(shí)，表示出，則且單調(diào)遞增，所以遞減.【詳解】對(duì)于①：時(shí)，，又因?yàn)?，所以?shù)列為常數(shù)列，①正確．對(duì)于②：時(shí)，兩邊取倒數(shù)，得，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以②正確.對(duì)于③：令，，再令，，，即，解得，，所以③正確．對(duì)于④，令，，歸納猜想，于是，所以④正確．綜上，①②③④都正確．故答案為：①②③④.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差數(shù)列的證明和單調(diào)性的判斷，同時(shí)涉及不等式求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析問題的能力，屬于中檔題.三?解答題（17題10分，其他每小題12分，共70分．）17.已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．（1）若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；（2）若＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】（1）a＋b＝2；（2）(5，－3)．【解析】【分析】（1）利用平面向量共線定理，結(jié)合平面向量共線坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平面向量共線坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以∥．所以2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2．（2）因?yàn)椋?，所以(a－1，b－1)＝2(2，－2)．所以解得所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)．18.已知．（1）求與夾角的余弦值；（2）若，求實(shí)數(shù)λ的值．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先求出，，，然后利用夾角公式進(jìn)行求解即可；（2）利用向量的垂直公式進(jìn)行求解即可【小問1詳解】因?yàn)?，所以，，，設(shè)與的夾角為，所以【小問2詳解】因?yàn)?，又，所以，解?9.已知向量，且.（1）求及；（2）若，求的最大值和最小值.【答案】（1）（2）；【解析】詳解】試題分析：(Ⅰ)由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得：，.(Ⅱ)首先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得；.試題解析：（1）（2）由（1）知：20.已知數(shù)列與，若且對(duì)任意正整數(shù)滿足數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1),;(2).【解析】【分析】（1）由已知可得數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求an；把a(bǔ)n代入Sn=n2+an．利用SnSn1=bn（n≥2）求通項(xiàng)公式；

（2）首先求出T1，當(dāng)n≥2時(shí)，由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【詳解】（1）由題意知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列又因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對(duì)不成立所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式:（2）時(shí)，時(shí)，所以仍然適合上式綜上，【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，是中檔題．21.在中，分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，．（1）求；（2）若，且其外接圓的半徑，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得的值，由此求得，（2）利用正弦定理求得，結(jié)合余弦定理求得，從而求得三角形的面積.【詳解】（1），即，．根據(jù)正弦定理得，，且，．，．（2）由（1）知，由正弦定理得．由余弦定理得，，，．22.已知數(shù)列中，；（1）求，；（2）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分別令和，即可求得和的值；（2）由化簡(jiǎn)可