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考研數(shù)學一(高等數(shù)學)模擬試卷5(共9套)(共268題)考研數(shù)學一(高等數(shù)學)模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題,每題1.0分,共5分。)1、A、40πB、80πC、20πD、60π標準答案:B知識點解析:2、A、I1>I2>I3B、I2>I3>I1C、I1<I2<I3D、I2<I3<I1標準答案:B知識點解析:3、A、

B、

C、

D、

標準答案:A知識點解析:4、A、

B、

C、

D、

標準答案:B知識點解析:5、A、

B、

C、

D、

標準答案:D知識點解析:二、填空題(本題共9題,每題1.0分,共9分。)6、標準答案:知識點解析:7、標準答案:1-sin1知識點解析:8、標準答案:知識點解析:9、標準答案:知識點解析:10、標準答案:知識點解析:11、標準答案:知識點解析:12、標準答案:2πf(0,0)知識點解析:13、標準答案:知識點解析:14、標準答案:知識點解析:三、解答題(本題共24題,每題1.0分,共24分。)15、標準答案:知識點解析:暫無解析16、標準答案:知識點解析:暫無解析17、標準答案:知識點解析:暫無解析18、標準答案:知識點解析:暫無解析19、把二重積分寫成極坐標下的累次積分的形式(先r后θ),其中D由直線x+y=1,x=1,y=1圍成.標準答案:知識點解析:暫無解析20、把寫成極坐標的累次積分,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x}.標準答案:知識點解析:暫無解析21、設f(x)連續(xù),f(0)=1,令F(t)=,求F"(0).標準答案:知識點解析:暫無解析22、標準答案:知識點解析:暫無解析23、設D是由點O(0,0),A(1,2)及B(2,1)為頂點構成的三角形區(qū)域,計算標準答案:知識點解析:暫無解析24、標準答案:知識點解析:暫無解析25、標準答案:知識點解析:暫無解析26、標準答案:知識點解析:暫無解析27、標準答案:知識點解析:暫無解析28、標準答案:知識點解析:暫無解析29、標準答案:知識點解析:暫無解析30、標準答案:知識點解析:暫無解析31、標準答案:知識點解析:暫無解析32、標準答案:知識點解析:暫無解析33、標準答案:知識點解析:暫無解析34、計算其中Ω是由x2+y2=z2與z=a(a>0)所圍成的區(qū)域.標準答案:知識點解析:暫無解析35、標準答案:知識點解析:暫無解析36、標準答案:知識點解析:暫無解析37、標準答案:知識點解析:暫無解析38、標準答案:知識點解析:暫無解析考研數(shù)學一(高等數(shù)學)模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題,每題1.0分,共4分。)1、設當x→0時,有ax2+bx2+cx~∫0ln(1+2x)sintdt,則().A、

B、

C、

D、

標準答案:D知識點解析:因為x→0時,ax3+bx2+cx~∫0ln(1+2x)sintdt,得a=0,b=2,選(D).2、設f(x)=∫0sinxsint2dt,g(x)=x3+x4,當x→0時,f(x)是g(x)的().A、等價無窮小B、同階但非等價無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標準答案:B知識點解析:因為,所以正確答案為(B).3、設f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du,g(x)=(1一cost)dt,則當x→0時,f(x)是g(x)的().A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標準答案:A知識點解析:故x→0時,f(x)是g(x)的低階無窮小,應選(A).4、設{an}與{bn}為兩個數(shù)列,下列說法正確的是().A、若{an}與{bn}都發(fā)散,則{anbn}一定發(fā)散B、若{an}與{bn}都無界,則{anbn}一定無界C、若{an}無界且=0D、若an為無窮大,且bn=0,則bn一定是無窮小標準答案:D知識點解析:(A)不對,如an=2+(一1)n,bn=2一(一1)n,顯然{an}與{bn}都發(fā)散,但anbn=3,顯然{anbn}收斂;(B)、(C)都不對,如an=n[1+(一1)n],bn=h[1一(一1)n],顯然{an}與{bn}都無界,但anbn=0,顯然{anbn}有界≠0;正確答案為(D).二、填空題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)5、=___________.標準答案:1知識點解析:6、=___________.標準答案:知識點解析:7、=___________.標準答案:知識點解析:8、=___________.標準答案:知識點解析:9、當x→0時,x—sinxcos2x~cx2,則c=___________,k=___________.標準答案:c=,k=3.知識點解析:10、=___________.標準答案:知識點解析:11、設=∫-∞atetdt,則a=___________.標準答案:2知識點解析:∫-∞atetdt=∫-∞atd(et)=tet|-∞a—∫-∞aetdt=aea—ea,由ea=aea—ea得a=2.三、解答題(本題共18題,每題1.0分,共18分。)12、求.標準答案:知識點解析:暫無解析13、求.標準答案:知識點解析:暫無解析14、設f(x)連續(xù)可導,.標準答案:知識點解析:暫無解析15、設f(x)可導且f"(0)=6,且.標準答案:知識點解析:暫無解析16、設=c(≠0),求n,c的值.標準答案:知識點解析:暫無解析17、已知,求a,b的值.標準答案:知識點解析:暫無解析18、確定a,b,使得x一(a+bcosx)sinx當x→0時為階數(shù)盡可能高的無窮?。畼藴蚀鸢福毫顈=x一(a+bcoax)sinx,y’=1+bsin2x一(a+bcosx)cosx,y"=bsin2z+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x,y"=acosx+4bcos2x,顯然y(0)=0,y"(0)=0,知識點解析:暫無解析19、設,求a,b的值.標準答案:知識點解析:暫無解析20、確定常數(shù)a,b,c,使得=c.標準答案:知識點解析:暫無解析21、設標準答案:知識點解析:暫無解析22、設標準答案:知識點解析:暫無解析23、設標準答案:知識點解析:暫無解析24、設標準答案:知識點解析:暫無解析25、設標準答案:知識點解析:暫無解析26、設f’(x)連續(xù),f(0)=0,f’(0)≠0,F(xiàn)(x)=∫0xtf(t2一x)dt,且當x→0時,F(xiàn)(x)~xn,求n及f’(0).標準答案:知識點解析:暫無解析27、設f(x)在[1,+∞)內(nèi)可導,f’(x)<0且f(k)一∫1nf(x)dx.證明:{an}收斂且0≤≤f(1).標準答案:因為f’(x)<0,所以f(x)單調(diào)減少.又因為an+1一an=f(n+1)一∫nn+1f(x)dx=f(n+1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n,n+1]),所以{an}單調(diào)減少.因為an=∫kk+1[f(k)—f(x)]dx+f(n),而∫kk+1[f(k)—f(x)]dx≥0(k=1,2,…,n一1)且f(x)=a>0,所以存在X>0,當x>X時,f(x)>0.由f(x)單調(diào)遞減得f(x)>0(x∈[1,+∞)),故an≥f(n)>0,所以存在.由an=f(1)+[f(2)一∫12f(x)dx]+…+[f(n)~∫n—1nf(x)dx],由an=f(1)+[f(2)一∫12f(x)dx]+…+[f(n)~∫n—1nf(x)dx],而f(k)一∫k—1kf(x)dx≤0(k=2,3,…,n),所以an≤f(1),從而0≤≤f(1).知識點解析:暫無解析28、設a>0,x1>0,且定義x=存在并求其值.標準答案:因為正數(shù)的算術平均數(shù)不小于幾何平均數(shù),所以有知識點解析:暫無解析29、設a1=1,當,證明:數(shù)列{a}收斂并求其極限.標準答案:令f(x)=>0(x>0),所以數(shù)列{an}單調(diào).又因為a1=1,0≤an+1≤1,所以數(shù)列{an}有界,從而數(shù)列{an}收斂,令知識點解析:暫無解析考研數(shù)學一(高等數(shù)學)模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)1、設f(x)在x=a處可導,且f(a)≠0,則|f(x)|在x=a處().A、可導B、不可導C、不一定可導D、不連續(xù)標準答案:A知識點解析:不妨設f(a)>0,因為f(x)在x=a處可導,所以f(x)在x=a處連續(xù),于是存在δ>0,當|x—a|<δ時,有f(x)>0,于是=f’(a),即|f(x)|在x=a處可導,同理當f(a)<0時,|f(x)|在x=a處也可導,選(A).2、設f(x)在x=a處二階可導,則等于().A、一f"(a)B、f"(a)C、2f"(a)D、f"(a)標準答案:D知識點解析:3、設f(x)在x=0處二階可導,f(0)=0且=2,則().A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0,f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)不是f(x)的極值,(0,f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案:B知識點解析:f"(0)=2>0,故f(0)為f(x)的極小值,選(B).4、設f(x)在x=a處的左右導數(shù)都存在,則f(x)在x=a處().A、一定可導B、一定不可導C、不一定連續(xù)D、連續(xù)標準答案:D知識點解析:因為f(x)在x=a處右可導,所以=f(a),即f(x)在x=a處右連續(xù),同理由f(x)在x=a處左可導,得f(x)在x=a處左連續(xù),故f(x)在x=a處連續(xù),由于左右導數(shù)不一定相等,選(D).5、f(x)g(x)在x0處可導,則下列說法正確的是().A、f(x),g(x)在x0處都可導B、f(x)在x0處可導,g(x)在x0處不可導C、f(x)在x0處不可導,g(x)在x0處可導D、f(x),g(x)在x0處都可能不可導標準答案:D知識點解析:令f(x)=顯然f(x),g(x)在每點都不連續(xù),當然也不可導,但f(x)g(x)≡一1在任何一點都可導,選(D).6、f(x)在x0處可導,則|f(x)|在x0處().A、可導B、不可導C、連續(xù)但不一定可導D、不連續(xù)標準答案:C知識點解析:由f(x)在x0處可導得|f(x)|在x0處連續(xù),但|f(x)|在x0處不一定可導,如f(x)=x在x=0處可導,但|f(x)|=|x|在x=0處不可導,選(C).7、設f(x)為二階可導的奇函數(shù),且x<0時有f"(x)>0,f’(x)<0,則當x>0時有().A、f"(x)<0,f’(x)<0B、f"(x)>0,f’(x)>0C、f"(x)>0,f’(x)<0D、f"(x)<0,f’(x)>0標準答案:A知識點解析:因為f(x)為二階可導的奇函數(shù),所以f(一x)=一f(x),f’(一x)=f’(x),f|(一x)=一f"(x),即f’(x)為偶函數(shù),f"(x)為奇函數(shù),故由x<0時有f"(x)>0,f’(x)<0,得當x>0時有f"(x)<0,f’(x)<0,選(A).二、填空題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)8、設ξ為f(x)=arctanx在[0,a]上使用微分中值定理的中值,則為___________.標準答案:知識點解析:9、設兩曲線y=x2+ax+b與一2y=一1+xy3在點(一1,1)處相切,則a=___________,b=___________。標準答案:3,3知識點解析:因為兩曲線過點(一1,1),所以b一a=0,又由y=x2+ax+b得,且兩曲線在點(一1,1)處相切,則a一2=1,解得a=b=3.10、設函數(shù)y==___________.標準答案:知識點解析:11、設f(x)在x=1處一階連續(xù)可導,且f’(1)=一2,則=___________。標準答案:1知識點解析:12、設f(x)=x2,則f’(x)=___________.標準答案:2x(1+4x)e8x知識點解析:得f’(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x.13、設f(x)滿足f(x)=f(x+2),f(0)=0,又在(一1,1)內(nèi)f’(x)=|x|,則f()=___________.標準答案:知識點解析:因為在(一1,1)內(nèi)f’(x)=|x|,14、若f(x)=2nx(1一x)n,記Mn==___________.標準答案:知識點解析:三、解答題(本題共19題,每題1.0分,共19分。)15、設y=,求y’.標準答案:知識點解析:暫無解析16、設x=x(t)由sint—.標準答案:知識點解析:暫無解析17、設x3一3xy+y3=3確定y為x的函數(shù),求函數(shù)y=y(x)的極值點.標準答案:x3一3xy+y3=3兩邊對x求導得知識點解析:暫無解析18、設f(x)=求f(x)的極值.標準答案:知識點解析:暫無解析19、求{}的最大項.標準答案:當x∈(0,e)時,f’(x)>0;當x∈(e,+∞)時,f’(x)<0,則x=e為f(x)的最大點,知識點解析:暫無解析20、設f(x)連續(xù),φ(x)=∫01f(xt)dt,且=A,求φ’(x),并討論φ’(x)在x=0處的連續(xù)性.標準答案:知識點解析:暫無解析21、設函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)有定義,且滿足|f(x)一2ex|≤(x一1)2,研究函數(shù)f(x)在x=1處的可導性.標準答案:把x=1代入不等式中,得f(1)=2e.當x≠1時,不等式兩邊同除以|x一1|,得知識點解析:暫無解析22、設f(x)在x=0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導,=2,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的曲率.標準答案:知識點解析:暫無解析23、設f(x)=且f"(0)存在,求a,b,c.標準答案:知識點解析:暫無解析24、設f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導,f(0)=0,f()=1,f(1)=0.證明:(1)存在η∈(,1),使得f(η)=η;(2)對任意的k∈(—∞,+∞),存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1.標準答案:(1)令φ(x)=f(x)—x,φ(x)在[0,1]上連續(xù),>0,φ(1)=一1<0,由零點定理,存在η∈(,1),使得φ(η)=0,即f(η)=η.(2)設F(x)=e-kxφ(x),顯然F(x)在[0,η]上連續(xù),在(0,η)內(nèi)可導,且F(0)=F(η)=0,由羅爾定理,存在ξ∈(0,η),使得F’(ξ)=0,整理得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1.知識點解析:暫無解析25、設f(x)在[0,2]上連續(xù),在(0,2)內(nèi)二階可導,且f(x)dx,證明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)+f"(ξ)=0.標準答案:由羅爾定理,存在x0∈(c,2)(1,2),使得f’(x0)=0.令φ(x)=exf’(x),則φ(1)=φ(x0)=0,由羅爾定理,存在ξ∈(1,x0)(0,2),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且e≠0,所以f’(ξ)+f"(ξ)=0.知識點解析:暫無解析26、設f(x)在[0,1]上可導,f(0)=0,|f’(x)|≤|f(x)|.證明:f(x)=0,x∈[0,1].標準答案:因為f(x)在[0,1]上可導,所以f(x)在[0,1]上連續(xù),從而|f(x)|在[0,1]上連續(xù),故|f(x)|在[0,1]上取到最大值M,即存在x0∈[0,1],使得|f(x0)|=M.當x0=0時,則M=0,所以f(x)≡0,x∈[0,1];當x0≠0時,M=|f(x0)|=|f(x0)一f(0)|=|f’(ξ)|x0≤|f’(ξ)|≤,其中ξ∈(0,x0),故M=0,于是f(x)≡0,x∈[0,1].知識點解析:暫無解析27、設f(x)∈C[a,b],在(a,b)內(nèi)可導,f(a)=f(b)=1.證明:存在ξ,η∈(a,b),使得2e2ξ—η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)].標準答案:令φ(x)=exf(x),由微分中值定理,存在η∈(a,b),使得即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)],或2e2ξ—η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)].知識點解析:暫無解析28、設f(x)二階可導,f(0)=f(1)=0且=一1.證明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ≥8.標準答案:因為f(x)在[0,1]上二階可導,所以f(x)在[0,1]上連續(xù)且f(0)=f(1)=0,=一1,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理知,f(x)在[0,1]取到最小值且最小值在(0,1)內(nèi)達到,即存在c∈(0,1),使得f(c)=一1,再由費馬定理知f’(c)=0,根據(jù)泰勒公式所以存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)≥8.知識點解析:暫無解析29、一質(zhì)點從時間t=0開始直線運動,移動了單位距離使用了單位時間,且初速度和末速度都為零.證明:在運動過程中存在某個時刻點,其加速度絕對值不小于4.標準答案:設運動規(guī)律為S=S(t),顯然S(0)=0,S’(0)=0,S(1)=1,S’(1)=0.由泰勒公式兩式相減,得S"(ξ2)一S"(ξ1)=一8→|S"(ξ2)|+|S"(ξ2)|≥8.當|S"(ξ1)|≥|S"(ξ2)|時,|S"(ξ1)|≥4;當|S"(ξ1)|<|S"(ξ2)|時,|S"(ξ2)|≥4.知識點解析:暫無解析30、設f(x)在[0,1]上二階可導,且|f"(x)|≤1(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),證明:|f’(x)|≤(x∈[0,1]).標準答案:由泰勒公式得知識點解析:暫無解析31、設f(x)在(一1,1)內(nèi)二階連續(xù)可導,且f"(x)≠0.證明:(1)對(一1,1)內(nèi)任一點x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x];(2).標準答案:(1)對任意x∈(一1,1),根據(jù)微分中值定理,得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x],其中0<θ(x)<1.因為f"(x)∈C(一1,1)且f"(x)≠0,所以f"(x)在(一1,1)內(nèi)保號,不妨設f"(x)>0,則f’(x)在(一1,1)內(nèi)單調(diào)增加,又由于x≠0,所以θ(x)是唯一的.(2)由泰勒公式,得f(x)=f(0)+f’(0)x+,其中ξ介于0與x之間,而f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x],所以有知識點解析:暫無解析32、設f(x)在[a,b]上二階可導,且f’(a)=f’(b)=0.證明:存在ξ∈(a,b),使得|f"(ξ)|≥|f(b)一f(a)|.標準答案:由泰勒公式得知識點解析:暫無解析33、f(x)在[_一1,1]上三階連續(xù)可導,且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0.證明:存在ξ∈(一1,1),使得f"’(ξ)=3.標準答案:由泰勒公式得兩式相減得f"’(ξ1)+f"’(ξ2)=6.因為f(x)在[一1,1]上三階連續(xù)可導,所以f"’(z)在[ξ1,ξ2]上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)最值定理,f"’(x)在[ξ1,ξ2]上取到最小值m和最大值M,故2m≤f"’(ξ1)+f"’(ξ2)≤2M,即m≤3≤M.由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,存在ξ∈[ξ1,ξ2](一1,1),使得f"’(ξ)=3.知識點解析:暫無解析考研數(shù)學一(高等數(shù)學)模擬試卷第4套一、選擇題(本題共9題,每題1.0分,共9分。)1、設,則g[f(x)]為A、

B、

C、

D、

標準答案:D知識點解析:暫無解析2、當x→0時,變量是A、無窮小.B、無窮大.C、有界的,但不是無窮小.D、無界的,但不是無窮大.標準答案:D知識點解析:暫無解析3、設數(shù)列xn與yn滿足,則下列斷言正確的是A、若xn發(fā)散,則yn必發(fā)散.B、若xn無界,則yn必無界.C、若xn有界,則yn必為無窮?。瓺、若為無窮小,則yn必為無窮?。畼藴蚀鸢福篋知識點解析:暫無解析4、設f(x)=2x+3x一2,則當x→0時A、f(x)與x是等價無窮?。瓸、f(x)與x是同階但非等價無窮小.C、f(x)是比x較高階的無窮?。瓺、f(x)是比x較低階的無窮?。畼藴蚀鸢福築知識點解析:暫無解析5、設x→0時,etanx一ex是與xn同階的無窮小,則n為A、1B、2C、3D、4標準答案:C知識點解析:暫無解析6、設對任意的x,總有φ(x)≤f(x)≤g(x),且lim[g(x)一φ(x)]=0,則A、存在且一定等于零.B、存在但不一定為零.C、一定不存在.D、不一定存在.標準答案:D知識點解析:暫無解析7、設函數(shù)在(一∞,+∞)內(nèi)連續(xù),且=0,則常數(shù)a,b滿足A、a<0,b<0.B、a>0,b>0.C、a≤0,b>0.D、a≥0,b<0.標準答案:D知識點解析:暫無解析8、設f(x)和φ(x)在(一∞,+∞)上有定義,f(x)為連續(xù)函數(shù),且f(x)≠0,φ(x)有間斷點,則A、φ[f(x)]必有間斷點.B、[φ(x)]2必有間斷點.C、f[φ(x)]必有間斷點.D、必有間斷點.標準答案:D知識點解析:暫無解析9、設函數(shù)f(x)=,討論函數(shù)f(x)的間斷點,其結(jié)論為A、不存在間斷點.B、存在間斷點x=1.C、存在間斷點x=0.D、存在間斷點x=一1.標準答案:B知識點解析:暫無解析二、填空題(本題共6題,每題1.0分,共6分。)10、已知f(x)=sinx,f[φ(x)]=1一x2,則φ(x)=___________的定義域為_____________.標準答案:arcsin(1一x2),知識點解析:暫無解析11、=__________標準答案:知識點解析:暫無解析12、設函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1),則=_____________.標準答案:知識點解析:暫無解析13、=____________標準答案:知識點解析:暫無解析14、=____________標準答案:2知識點解析:暫無解析15、若f(x)=____________在(一∞,+∞)上連續(xù),則a=___________.標準答案:一2知識點解析:暫無解析三、解答題(本題共14題,每題1.0分,共14分。)16、設試求:f[g(x)]和g[f(x)].標準答案:知識點解析:暫無解析17、確定a,b,使得當x→0時,a—cosbx+sin3x與x3為等價無窮?。畼藴蚀鸢福篴=1,b=0知識點解析:暫無解析18、求極限標準答案:知識點解析:暫無解析19、求極限標準答案:知識點解析:暫無解析20、求極限標準答案:e6知識點解析:暫無解析21、已知,求a,b的值.標準答案:a=一1,b=知識點解析:暫無解析22、求極限(其中a,b,c均為非負實數(shù)).標準答案:max{a,b,c}知識點解析:暫無解析23、求極限標準答案:0知識點解析:暫無解析24、已知,試確定常數(shù)a、b,使得當x→0時,f(x)~axb.標準答案:a=2A,b=3知識點解析:暫無解析25、設0<x1<1,xn+1=(n=1,2,…).求證:{xn}收斂,并求其極限.標準答案:0知識點解析:暫無解析26、設0<x1<3,xn+1=(n=1,2,…),證明數(shù)列{xn}的極限存在,并求此極限.標準答案:知識點解析:暫無解析27、求極限.記此極限函數(shù)為f(x),求函數(shù)f(x)的間斷點并指出其類型.標準答案:f(x)=.x=0為f(x)可去間斷點.x=kπ(k=±1,±2,…)為f(x)的第二類間斷點.知識點解析:暫無解析28、討論函數(shù)f(x)=的連續(xù)性,并指出間斷點的類型.標準答案:x=0為可去間斷點,x=1為跳躍間斷點,x=2k(k=±1,±2,…)為無窮間斷點.其余點處處連續(xù).知識點解析:暫無解析29、設f(x)在[0,1]上連續(xù),f(0)=f(1).證明:對自然數(shù)n≥2,必有ξ∈(0,1),使得標準答案:令F(x)=f(x)-f(x+),將[0,1]區(qū)間竹等分,若在以下n一1個區(qū)間,…,的某個端點使F(x)=0,本題結(jié)論已成立;若在以上n一1個區(qū)間端點上均有F(x)≠0,則由f(0)=f(1)可知,在以上n一1個區(qū)間中至少有一個區(qū)間,F(xiàn)(x)在該區(qū)間兩端點異號,由連續(xù)函數(shù)介值定理知,存在ξ,使F(ξ)=0,即f(ξ)=(ξ+).知識點解析:暫無解析考研數(shù)學一(高等數(shù)學)模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題,每題1.0分,共4分。)1、設=r,則().A、|r|<1B、|r|>1C、r=一1D、r=1標準答案:C知識點解析:2、設un=(一1)nln(1+),則().A、

B、

C、

D、

標準答案:B知識點解析:3、設冪級數(shù)(x一2)2n的收斂半徑為().A、2B、4C、D、無法確定標準答案:A知識點解析:因為anxn的收斂半徑為R=4,又因為級數(shù)(x一2)2n的收斂半徑為R=2,選(A).4、設f(x)=(n=0,1,2…;一∞<x<+∞),其中an=2∫01(x)cosnπxdx,則S(一)為().A、

B、

C、

D、

標準答案:C知識點解析:對函數(shù)f(x)進行偶延拓,使f(x)在(一1,1)上為偶函數(shù),再進行周期為2的周期延拓,然后把區(qū)間延拓和周期延拓后的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),傅里葉級數(shù)的和函數(shù)為S(x),則,選(C).二、填空題(本題共4題,每題1.0分,共4分。)5、已知f(x)=,則f(n)(3)=___________.標準答案:知識點解析:6、=___________.標準答案:3e知識點解析:7、=___________.標準答案:2(1—ln2)知識點解析:8、級數(shù)條件收斂,則p的取值范圍是___________.標準答案:知識點解析:三、解答題(本題共22題,每題1.0分,共22分。)9、設S:x2+y2+z2=a2,計算(x2+4y2+9z2)dS.標準答案:知識點解析:暫無解析10、計算曲面積分(|x|≤1)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的曲面,取外側(cè).標準答案:曲面∑:z=1一x2一y2(z≥0),補充曲面∑0:z=0(x2+y2≤1),取下側(cè),由高斯公式得知識點解析:暫無解析11、計算曲線積分∮Lxyzdz,其中C:,從z軸正向看,C為逆時針方向.標準答案:知識點解析:暫無解析12、計算∮Lyzdx+3xzdy一xydz,其中L:,從z軸正向著,L是逆時針方向.標準答案:設由L所圍成的平面為∑,接右手準則,∑取上側(cè),知識點解析:暫無解析13、設空間曲線C由立體0≤z≤1,0≤y≤1,0≤2≤1的表面與平面x+y+z=所截而成,計算|∮C(z2—y2)dx+(x2一z2)dy+(y2—x2)dz|.標準答案:取平面x+y+z=上被折線C所圍的上側(cè)部分為S,其法向量的方向余弦為cosα=cosβ=cosγ=,由斯托克斯公式得知識點解析:暫無解析14、計算I=,其中L是繞原點旋轉(zhuǎn)一周的正向光滑閉曲線.標準答案:令P(x,y)=令Lr:x2+y2=r2,其中r>0,Lr在L內(nèi),方向取逆時針,由格林公式得知識點解析:暫無解析15、設函數(shù)f(x,y)在D:x2+y2≤1有連續(xù)的偏導數(shù),且在L:x2+y2=1上有f(x,y)≡0.證明:f(0,0)=,其中Dr:r2≤x2+y2≤1.標準答案:=∫02π[f(cosθ,sinθ)一f(rcosθ,rsinθ)]dθ=一∫02πf(rcosθ,rsinθ)dθ,再根據(jù)積分中值定理得I=一2πf(rcosξ,rsinξ),其中ξ是介于0與2π之間的值.故原式=一f(rcosξ,rsinξ)=f(0,0).知識點解析:暫無解析16、設L是不經(jīng)過點(2,0),(—2,0)的分段光滑簡單正向閉曲線,就L的不同情形計算.標準答案:I==I1+I2顯然曲線積分I1,I2都滿足柯西一黎曼條件.(1)當(2,0),(一2,0)都在L所圍成的區(qū)域之外時,I1=I2=0,因此I=0;(2)當(2,0),(一2,0)都在L所圍成的區(qū)域之內(nèi)時,分別以這兩個點為中心以r1,r2為半徑的圓C1,C2,使它們都在L內(nèi),則I1==一2π,同理I2=一2π,因此I=一4π;(3)當(2,0),(一2,0)有一個點在L圍成的區(qū)域內(nèi),一個點在L圍成的區(qū)域外時,I=一2π.知識點解析:暫無解析17、設函數(shù)u(x,y),v(x,y)在D:x2+y2≤1上一階連續(xù)可偏導,又f(x,y)=v(x,y)i+u(x,y)j,g(x,y)=,且在區(qū)域D的邊界上有u(x,y)=1,v(x,y)=y,求.標準答案:=∫02π(一sin2θ+sinθcosθ)dθ=一π(其中L為單位圓周的正向).知識點解析:暫無解析18、設曲線L的長度為l,且=M.證明:|∫LPdx+Qdy|≤Ml.標準答案:Pdx+Qdy={P,Q).{dx,dy},因為|a.b|≤|a||b|,知識點解析:暫無解析19、討論級數(shù)的斂散性標準答案:知識點解析:暫無解析20、設一定收斂.標準答案:取ξ0=1,存在自然數(shù)N,當N>N時,|an一0|<1,從而0≤an<1,當n>N時,有0≤an2<an<1.由收斂.知識點解析:暫無解析21、設0≤an<(一1)nan2中,哪個級數(shù)一定收斂?標準答案:知識點解析:暫無解析22、若正項級數(shù)收斂.標準答案:知識點解析:暫無解析23、標準答案:知識點解析:暫無解析24、設an=一∫01x2(1—x)ndx,討論級數(shù)an的斂散性,若收斂求其和.標準答案:知識點解析:暫無解析25、設{nan}收斂,且收斂.標準答案:令S=a1,a2,…,an,S’=(a1一a0)+2(a2—a1)+…+(n+1)(an+1一aan),則S’n+1=(n+1)an+1—Sn—a0,因為(an—an—1)收斂且數(shù)列{nan}收斂,所以收斂.知識點解析:暫無解析26、設an>0(n=1,2,…)且{an}n=1∞單調(diào)減少,又級數(shù)的斂散性。標準答案:知識點解析:暫無解析27、證明:(1)設an>0,R{nan}有界,則級數(shù)收斂;(2)若收斂.標準答案:(1)因為{nan}有界,所以存在M>0,使得0<nan≤M,知識點解析:暫無解析28、標準答案:知識點解析:暫無解析29、設{un},{cn}為正項數(shù)列,證明:(1)若對一切正整數(shù)n滿足cnun一cn+1un≤0,且也發(fā)散;(2)若對一切正整數(shù)n滿足也收斂.標準答案:顯然為正項級數(shù).(1)因為對所有n滿足cnun一cn+1un+1≤0,于是cnun≤cn+1un+1→cnun≥…≥c1u1>0,知識點解析:暫無解析30、對常數(shù)p,討論冪級數(shù)的收斂域.標準答案:知識點解析:暫無解析考研數(shù)學一(高等數(shù)學)模擬試卷第6套一、選擇題(本題共2題,每題1.0分,共2分。)1、sinx2dx為().A、等于0B、大于0C、小于0D、不能確定標準答案:B知識點解析:2、若由曲線y=,曲線上某點處的切線以及x=1,x=3圍成的平面區(qū)域的面積最小,則該切線是().A、

B、

C、

D、

標準答案:A知識點解析:當t∈(0,2)時,S’(t)<0;當t∈(2,3)時,S’(t)>0,則當t=2時,S(t)取最小值,此時切線方程為y=,選(A).二、填空題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)3、設函數(shù)y=y(x)滿足△y=△x+o(△x),且y(1)=1,則∫01y(x)dx=___________.標準答案:知識點解析:4、設,則a=___________。標準答案:ln2知識點解析:5、=___________.標準答案:知識點解析:6、設連續(xù)非負函數(shù)f(x)滿足f(x)f(一x)=1,則=___________.標準答案:1知識點解析:7、I(x)=在區(qū)間[一1,1]上的最大值為___________.標準答案:ln3知識點解析:故I(x)在[一1,1]上的最大值為ln3.8、設f(x)的一個原函數(shù)為=___________.標準答案:—1知識點解析:9、y=上的平均值為___________.標準答案:知識點解析:三、解答題(本題共17題,每題1.0分,共17分。)10、設f(x)在[a,b]上連續(xù)可導,證明:標準答案:因為f(x)在[a,b]上連續(xù),所以|f(x)|在[a,b]上連續(xù),令|f(c)|=|f(x)|.根據(jù)積分中值定理,∫abf(x)dx=f(ξ),其中ξ∈[a,b].由積分基本定理,f(c)=f(ξ)+∫ξcf’(x)dx,取絕對值得|f(c)|≤|f(ξ)|+|∫ξcf’(x)dx|≤|f(ξ)|+∫ab|f’(x)|dx,即知識點解析:暫無解析11、設f(x)在[0,1]上二階可導,且f(x)<0.證明:∫01f(x2)dx≤f().標準答案:知識點解析:暫無解析12、設f(x)在區(qū)間[a,b]上二階可導且f"(x)≥0.證明:標準答案:知識點解析:暫無解析13、設f(x)∈C[0,1],f(x)>0.證明積分不等式:ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx.標準答案:令g(t)=lnt(t>0),g"(t)=一<0,再令x0=∫01f(x)dx,則有g(t)≤g(x0)+g’(x0)(t一x0)→g[f(x)]≤g(x0)+g’(x0)[f(x)一x0],兩邊積分,得∫01lnf(x)dx≤ln∫01f(x)dx.知識點解析:暫無解析14、設直線y=ax與拋物線y=x2所圍成的圖形面積為S1,它們與直線x=1所圍成的圖形面積為S2,且a<1.(1)確定a,使S1+S2達到最小,并求出最小值;(2)求該最小值所對應的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.標準答案:(1)直線y=ax與拋物線y=x2的交點為(0,0),(a,a2).知識點解析:暫無解析15、求曲線y=3一|x2一1|與x軸圍成的封閉區(qū)域繞直線y=3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.標準答案:顯然所給的函數(shù)為偶函數(shù),只研究曲線的右半部分繞y=3旋轉(zhuǎn)所成的體積.當x≥0時,y=[0,1],dV1=π{32一[3一(x2+2)]2}dx=π(2x2一x4+8)dx,V1=∫01dV1=π∫01(2x2一x4+8)dx=[1,2],dV2=π{32一[3一(4一x2)]2)dx=π(2x2一x4+8)dx,V2=∫12dV2=π∫12(2x2一x4+8)dx=知識點解析:暫無解析16、求橢圓=1所圍成的公共部分的面積.標準答案:根據(jù)對稱性,所求面積為第一象限圍成面積的4倍,先求第一象限的面積.知識點解析:暫無解析17、設點A(1,0,0),B(0,1,1),線段AB繞x軸一周所得旋轉(zhuǎn)曲面為S.(1)求旋轉(zhuǎn)曲面的方程;(2)求曲面S介于平面z=0與z=1之間的體積.標準答案:(1).對任意的M(x,y,z)∈S,過M垂直于z軸的截口為圓,其與直線AB及z軸的交點為M0(x0,y0,z),T(0,0,z),由|MT|=|M0T|,得x2+y2=x02+y02,因為M0在直線AB上,所以有,從而代入x2+y2=x02+y02中得曲面方程為S:x2+y2=(1一z)2+z2,即S:x2+y2=2z2一2z+1.(2)對任意的z∈[0,1],垂直于z軸的截口圓面積為A(z)=π(x2+y2)=π(2z2一2z+1)于是V=∫01A(z)dz=.知識點解析:暫無解析18、計算I=標準答案:知識點解析:暫無解析19、計算標準答案:知識點解析:暫無解析20、計算定積分標準答案:知識點解析:暫無解析21、證明:,其中a>0為常數(shù).標準答案:知識點解析:暫無解析22、證明:當x≥0時,f(x)=∫0x(t一t2)sin2ndt的最大值不超過.標準答案:當x>0時,令f’(x)=(x—x2)sin2nx=0得x=1,x=kπ(k=1,2,…),當0<x<1時,f’(x)>0;當x>1時,f’(x)≤0(除x=kπ(k=1,2,…)外f’(x)<0),于是x=1為f(x)的最大值點,f(x)的最大值為f(1).因為當x≥0時,sinx≤x,所以當x∈[0,1]時,(x—x2)sin2nx≤(x—x2)x2n=x2n+1一x2n+2,于是f(x)≤f(1)=∫01(x—x2)sin2nxdx≤∫01(x2n+1一x2n+2)dx=.知識點解析:暫無解析23、設f(x)在[a,b]上連續(xù),且對任意的t∈[0,1]及任意的x1,x2∈[a,b]滿足:f[tx1+(1一t)x2]≤tf(x1)+(1一t)f(x2).證明:標準答案:知識點解析:暫無解析24、設f(x)∈C[a,b],在(a,b)內(nèi)二階可導,且f"(x)≥0,φ(x)是區(qū)間[a,b]上的非負連續(xù)函數(shù),且∫abφ(x)dx=1.證明:∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].標準答案:因為f"(x)≥0,所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0).取x0=∫abxφ(x)dx,因為φ(x)≥0,所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x),又∫abφ(x)dx=1,于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b.把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)中,再由φ(x)≥0,得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)一x0φ(x)],上述不等式兩邊再在區(qū)間[a,b]上積分,得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx].知識點解析:暫無解析25、令f(x)=x—[x],求極限標準答案:因為[c+m]=[x]+m(其中m為整數(shù)),所以f(x)=x—[x]是以1為周期的函數(shù),又[x]≤x,故f(x)≥0,且f(x)在[0,1]上的表達式為f(x)=,對充分大的x,存在自然數(shù)n,使得n≤x<n+1,則∫0nf(x)dx≤∫0xf(x)dx≤∫0n+1f(x)dx,知識點解析:暫無解析26、為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,抓起污泥提出井口,設井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗盛污泥2000N,提升速度為3m/s,在提升過程中,污泥以20N/s的速度從抓斗中漏掉.現(xiàn)將抓斗從井底提升到井口,問克服重力做功多少?標準答案:設拉力對空斗所做的功為W1,則W1=400×30=12000(J).設拉力對繩所做的功為W2,任取[x,x+dx][0,30],dW2=50(30一x)dx,則W2=∫030dW2=22500(J).設拉力對污泥做功為W3,任取[t,t+dt][0,10],dW3=(2000—20t)×3dt,則W3=∫010dW3=57000(J),拉力克服重力所做的功為W=W1+W2+W3=91500(J)。知識點解析:暫無解析考研數(shù)學一(高等數(shù)學)模擬試卷第7套一、選擇題(本題共5題,每題1.0分,共5分。)1、設f(x)==0,則()。A、a>0,b>0B、a<0,b<0C、a≥0,b<0D、a≤0,b>0標準答案:C知識點解析:因為f(x)=f(x)=0,所以b<0,選(C).2、設α~β(x→a),則等于().A、eB、e2C、1D、標準答案:D知識點解析:3、設函數(shù)f(x)連續(xù),且f’(0)>0,則存在δ>0使得().A、對任意的x∈(0,δ)有f(x)>f(0)B、對任意的x∈(0,δ)有f(x)<f(0)C、當x∈(0,δ)時,f(x)為單調(diào)增函數(shù)D、當x∈(0,δ)時,f(x)是單調(diào)減函數(shù)標準答案:A知識點解析:因為f’(0)>0,所以>0,根據(jù)極限的保號性,存在δ>0,當x∈(0,δ)時,有>,即f(x)>f(0),選(A).4、設f(x)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"+py’+qy=sin2x+2e2的滿足初始條件f(0)=f’(0)=0的特解,則當x→0時,().A、不存在B、等于0C、等于1D、其他標準答案:C知識點解析:5、下列命題正確的是().A、若|f(x)|在x=a處連續(xù),則f(x)在x=a處連續(xù)B、若f(x)在x=a處連續(xù),則|f(x)|在x=a處連續(xù)C、若f(x)在x=a處連續(xù),則f(x)在x=a的一個鄰域內(nèi)連續(xù)D、若[f(a+h)一f(a—h)]=0,則f(x)在x=a處連續(xù)標準答案:B知識點解析:令f(x)=顯然|f(x)|≡1處處連續(xù),然而f(x)處處間斷,(A)不對;令f(x)=顯然f(x)在x=0處連續(xù),但在任意x=a≠0處函數(shù)f(x)都是間斷的,故(C)不對;令f(x)=[f(0+h)一f(0一h)]=0,但f(x)在x=0處不連續(xù),(D)不對;若f(x)在x=a處連續(xù),則=f(a),又0≤||f(x)|—|f(a)||≤|f(x)—f(a)|,根據(jù)夾逼定理,|f(x)|=|f(a)|,選(B).二、填空題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)6、=___________.標準答案:知識點解析:7、設f’(x)連續(xù),f(0)=0,f’(0)=1,則=___________.標準答案:0知識點解析:8、設f(x)一階連續(xù)可導,且f(0)=0,f’(0)≠0,則=___________.標準答案:1知識點解析:9、設f(x)連續(xù),且=2,則=___________.標準答案:1知識點解析:10、=___________.標準答案:2知識點解析:11、設f(x)在x=0處連續(xù),且=—1,則曲線y=f(x)在(2,f(2))處的切線方程為___________.標準答案:y—(x—2)知識點解析:12、設f(x)=在x=0處連續(xù),則a=___________,b==___________.標準答案:a=一1,b=1知識點解析:因為f(x)在x=0處連續(xù),所以a+4b=3=2b+1,解得a=一1,b=1.三、解答題(本題共16題,每題1.0分,共16分。)13、設f(x)在[0,2]上連續(xù),且f(0)=0,f(1)=1.證明:(1)存在c∈(0,1),使得f(c)=1—2c;(2)存在ξ∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).標準答案:(1)令φ(x)=f(x)一1+2x,φ(0)=一1,φ(1)=2,因為φ(0)φ(1)<0,所以存在c∈(0,1),使得φ(c)=0,于是f(c)=1—2c.(2)因為f(x)∈C[0,2],所以f(x)在[0,2]上取到最小值m和最大值M,于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).知識點解析:暫無解析14、設=A,證明:數(shù)列{an}有界.標準答案:取ε0=1,因為=A,根據(jù)極限定義,存在N>0,當n>N時,有|an一A|<1,所以|an|≤|A|+1.取M=max{|a1|,|a2|,…,|aN|,|A|+1},則對一切的n,有|an|≤M.知識點解析:暫無解析15、設f(x)在[0,1]上有定義,且exf(x)與e-f(x)在[0,1]上單調(diào)增加.證明:f(x)在[0,1]上連續(xù).標準答案:對任意的x0∈[0,1],因為exf(x)與e-f(x)在[0,1]上單調(diào)增加,所以當x<x0,有f(x0),令x→x0-,由夾逼定理得f(x0一0)=f(x0);當x>x0時,有f(x0)≤f(x)≤f(x0),令x→x0+,由夾逼定理得f(x0+0)=f(x0),故f(x0—0)=f(x0+0)=f(x0),即f(x)在x=x0處連續(xù),由x0的任意性得f(x)在[0,1]上連續(xù).知識點解析:暫無解析16、設f(x)在[a,+∞)上連續(xù),f(a)<0,而存在且大于零.證明:f(x)在(a,+∞)內(nèi)至少有一個零點.標準答案:令=k>0,所以存在x0>0,當x≥X0時,有|f(x)一k|≤>0,特別地,f(X0)>0,因為f(x)在[a,X0]上連續(xù),且f(a)f(X0)<0,所以存在ξ∈(a,X0),使得f(ξ)=0.知識點解析:暫無解析17、f(x)=,求fx)的間斷點并分類.標準答案:x=k(k=0,一1,一2,…)及x=1為f(x)的間斷點.知識點解析:暫無解析18、求f(x)=的間斷點并判斷其類型.標準答案:f(x)的間斷點為x=0,一1,一2,…及x=1.知識點解析:暫無解析19、設f(x)=,求f(x)的間斷點并指出其類型.標準答案:首先f(x)=,其次f(x)的間斷點為x=kπ(k=0,±1,…),因為=e,所以x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點中的可去間斷點,x=kπ(k=±1,…)為函數(shù)f(x)的第二類間斷點.知識點解析:暫無解析20、求函數(shù)y=ln(x+)的反函數(shù).標準答案:知識點解析:暫無解析21、求極限標準答案:知識點解析:暫無解析22、求極限標準答案:知識點解析:暫無解析23、證明:標準答案:知識點解析:暫無解析24、設f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+…+anln(1+nx),其中a1,a2,…,an為常數(shù),且對一切x有|f(x)|≤|ex一1|.證明:|a1+2a2+…+nan|≤1.標準答案:知識點解析:暫無解析25、求極限標準答案:知識點解析:暫無解析26、設函數(shù)f(x)可導且0≤f’(x)≤(k>0),對任意的x0,作xn+1=f(xn)(n=0,1,2,…),證明:存在且滿足方程f(x)=x.標準答案:xn+1—xn=f(xn)一f(xn—1)=f’(ξn)(xn一xn—1),因為f’(x)≥0,所以xn+1一xn與xn一xn—1同號,故{xn}單調(diào).根據(jù)f(x)的可導性得f(x)處處連續(xù),等式xn+1=f(xn)兩邊令n→∞,得,原命題得證.知識點解析:暫無解析27、設f(x)在[a,+∞)上連續(xù),且存在.證明:f(x)在[a,+∞)上有界.標準答案:設=A,取ε0=1,根據(jù)極限的定義,存在X0>0,當x>X0時,|f(x)一A|<1,從而有|f(x)|<|A|+1.又因為f(x)在[a,X0]上連續(xù),根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界的性質(zhì),存在k>0,當x∈[a,X0],有|f(x)|≤k.取M=max{|A|+1,k},對一切的x∈[a,+∞),有|f(x)|<M.知識點解析:暫無解析28、設f(x)在[a,b]上連續(xù),任取xi∈[a,b](i=1,2,…,n),任取ki>0(i=1,2,…,n),證明:存在ξ∈[a,b],使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ).標準答案:因為f(x)在[a,b]上連續(xù),所以f(x)在[a,b]上取到最小值m和最大值M,顯然有m≤f(xi)≤M(i=1,2,…,n),注意到ki>0(i=1,2,…,n),所以有kim≤kif(xi)≤ki/m(i=1,2,…,n),同向不等式相加,得(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M,即k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ).知識點解析:暫無解析考研數(shù)學一(高等數(shù)學)模擬試卷第8套一、選擇題(本題共7題,每題1.0分,共7分。)1、設f(x)可導,且F(x)=f(x)(1+|sinx|)在x=0處可導,則().A、f(0)=0B、f’(0)=0C、f(0)=f’(0)D、f(0)=一f’(0)標準答案:A知識點解析:F(0)=f(0),因為F(x)在x=0處可導,所以F’—(0)=F’+(0),于是f(0)=0,故應選(A).2、設f(x)連續(xù),且F(x)=f(t)dt,則F’(x)=().A、

B、

C、

D、

標準答案:A知識點解析:F’(x)=f(lnx).(lnx)’一,應選(A).3、設f(x)=|x3一1|g(x),其中g(x)連續(xù),則g(1)=0是f(x)在x=1處可導的().A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標準答案:C知識點解析:因為f’—(1)=f’+(1)=0,所以f(x)在x=1處可導.設f(x)在x=1處可導,因為f’—(1)=f’+(1)=0,所以g(1)=0,故g(1)=0為f(x)在x=1處可導,應選(C).4、設f(x)=,其中g(x)為有界函數(shù),則f(x)在x=0處().A、極限不存在B、極限存在,但不連續(xù)C、連續(xù),但不可導D、可導標準答案:D知識點解析:因為f’+(0)=f’—(0)=0,所以f(x)在x=0處可導,應選(D).5、設f(x)連續(xù),且=一2,則().A、f(x)在x=0處不可導B、f(x)在x=0處可導且f’(0)≠0C、f(x)在x=0處取極小值D、f(x)在x=0處取極大值標準答案:D知識點解析:由==一2得f(0)=1,由極限的保號性,存在δ>0,當0<|x|<δ時,<0,即f(x)<1=f(0),故x=0為f(x)的極大點,應選(D).6、設f(x)二階連續(xù)可導,且=2,則().A、x=1為f(x)的極大點B、x=1為f(x)的極小點C、(1,f(1))為y=f(x)的拐點D、x=1不是f(x)的極值點,(1,f(1))也不是y=f(x)的拐點標準答案:C知識點解析:當x∈(1一δ,1)時,f"(x)>0;當x∈(1,1+δ)時,f"(x)<0,則(0,f(0))為曲線y=f(x)的拐點,應選(C).7、設f(x)二階連續(xù)可導,f’(0)=0,且=一1,則().A、x=0為f(x)的極大點B、x=0為f(x)的極小點C、(0,f(0))為y=f(x)的拐點D、x=0不是f(x)的極值點,(0,f(0))也不是y=f(x)的拐點.標準答案:A知識點解析:因為注意到x3=o(x),所以當0<|x|<δ時,f"(x)<0,從而f’(x)在(一δ,δ)內(nèi)單調(diào)遞減,再由f’(0)=0得故x=0為f(x)的極大點,應選(A).二、填空題(本題共3題,每題1.0分,共3分。)8、設f(x)一階可導,且f(0)=f’(0)=1,則=___________.標準答案:2知識點解析:9、設f(x)為偶函數(shù),且f’(—1)=2,則=___________.標準答案:—8知識點解析:因為f(x)為偶函數(shù),所以f’(x)為奇函數(shù),于是f’(1)=—2,10、設f(x)在x=a處可導,則=___________.標準答案:10f(a)f’(a)知識點解析:因為f(x)在x=a處可導,所以f(x)在x=a處連續(xù),=2f(a)×sf’(a)=10f(a)f’(a).三、解答題(本題共17題,每題1.0分,共17分。)11、設f(x)=g(a+bx)一g(a—bx),其中g’(a)存在,求f’(0)。標準答案:知識點解析:暫無解析12、設f’(x)=|x一a|g(x),其中g(x)連續(xù),討論f’(a)的存在性.標準答案:當g(a)=0時,由f’—(a)=f’+(a)=0得f(x)在x=a處可導且f’(a)=0;當g(a)≠0時,由f’—(a)≠f’+(a)得f(x)在x=a處不可導.知識點解析:暫無解析13、設y=,求y’.標準答案:知識點解析:暫無解析14、求下列函數(shù)的導數(shù):(1)(3)y=x(sinx)cosx.標準答案:知識點解析:暫無解析15、設y=,求y’.標準答案:知識點解析:暫無解析16、設y=,求y’.標準答案:知識點解析:暫無解析17、(1)由方程sin(xy)+ln(y—x)=x確定函數(shù)y=y(x),求.(2)設函數(shù)y=y(x)由2xy=x+y,確定,求dy|x=0.(3)設y=y(x)由In(x2+y)=x3y+sinx確定,求.(4)設由e—y+x(y—x)=1+x確定y=y(x),求y"(0).(5)設y=y(x)由.標準答案:(1)x=0代入sin(xy)+ln(y—x)=x得y=1,(4)x=0時,y=0.e—y+x(y—x)=1+x兩邊關于x求導得一e—yy’+y—x+x(y’一1)=1,則y’(0)=一1;一e—yy’+y—x+x(y’一1)=1兩邊關于x求導得e—y(y’)2一e—yy"+2(y’一1)+xy"=0,代入得y"(0)=一3.(5)x=0時,y=1.知識點解析:暫無解析18、設f(x)可導且f’(0)≠0,且.標準答案:知識點解析:暫無解析19、設y=ln(2+3—x),求dy|x=0.標準答案:知識點解析:暫無解析20、設y=y(x)由方程ey+6xy+x2一1=0確定,求y"(0).標準答案:將x=0代入得y=0,將x=0,y=0,y’(0)=0代入得y"(0)=一2.知識點解析:暫無解析21、設f(x)=,求f(n)(x).標準答案:知識點解析:暫無解析22、設y=x2lnx,求y(n).標準答案:y(n)=Cn0x(lnx)(n)+Cn12x.(lnx)(n—1)+Cn22.(lnx)n—2知識點解析:暫無解析23、求xf(x—t)dt.標準答案:知識點解析:暫無解析24、設f(x)=x(x一1)(x+2)(x一3)…(x+100),求f’(0).標準答案:由f’(x)=(x一1)(x+2)…(x+100)+x(x+2)…(x+100)+…x(x一1)…(x一99)得f’(0)=(一1).2.(一3).….100=100!.知識點解析:暫無解析25、求y=f(x)=的漸近線.標準答案:得y=x+3為

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