高三物理專題一：曲線運(yùn)動(dòng)

專題一：曲線運(yùn)動(dòng)

這一章是在前邊幾章的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，研究一種更為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)方式：曲線運(yùn)動(dòng)。這也

是運(yùn)動(dòng)學(xué)中更為重要的一部分內(nèi)容，本章的重難點(diǎn)就在于拋體運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)。

【課標(biāo)解讀】

1.本節(jié)知識(shí)點(diǎn)及要求

曲線運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)。.本節(jié)知識(shí)點(diǎn)及要求

2.重點(diǎn)與難點(diǎn)

（1）對(duì)所學(xué)知識(shí)要知道其含義，并能在有關(guān)的問(wèn)題中識(shí)別并直接運(yùn)用，相當(dāng)于課程標(biāo)準(zhǔn)中

的“了解”和“認(rèn)識(shí)，，。

（2）能夠理解所學(xué)知識(shí)的確切含義以及和其他知識(shí)的聯(lián)系，能夠解釋，在實(shí)際問(wèn)題的分析、

綜合、推理、和判斷等過(guò)程中加以運(yùn)用，相當(dāng)于課程標(biāo)準(zhǔn)的“理解”，"應(yīng)用

知識(shí)構(gòu)建：

線速度

勻速M(fèi)l牌運(yùn)動(dòng)

曲找話功曲線正花的速度方向

T2心力.心和速席

運(yùn)務(wù)的八成邈被包'

運(yùn)正的分X、

（近*彳勻速網(wǎng)網(wǎng)運(yùn)動(dòng)

行渾舊癡涼的實(shí)例分析

國(guó)?,運(yùn)動(dòng)

南心現(xiàn)堂‘愜物體的與動(dòng)?痛誦知律

離心運(yùn)動(dòng)面而止翱應(yīng)用&我應(yīng)m

【自主學(xué)習(xí)】

一、曲線運(yùn)動(dòng)

?曲線運(yùn)動(dòng)

1、定義：物體的運(yùn)動(dòng)軌跡不是直線的運(yùn)動(dòng)稱為曲線運(yùn)動(dòng)。

2.物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件

(1)當(dāng)物體所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直線上時(shí)，這個(gè)合力總能產(chǎn)生一個(gè)改變

速度方向的效果，物體就一定做曲線運(yùn)動(dòng)。

(2)當(dāng)物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的合力所產(chǎn)生的加速度的方向與速度方向也不在同一直線上。

(3)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是由其受力條件及初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)共同確定的.

2、曲線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn):質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向，就是通過(guò)該點(diǎn)的曲線的切線方向.質(zhì)點(diǎn)的速度

方向時(shí)刻在改變，所以曲線運(yùn)動(dòng)一定是變速運(yùn)動(dòng)。

物體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)由加速度決定(加速度為零時(shí)物體靜止或做勻速運(yùn)動(dòng)；加速度恒定時(shí)物體做

勻變速運(yùn)動(dòng)；加速度變化時(shí)物體做變加速運(yùn)動(dòng))。

3、曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向

(1)在曲線運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)速度方向，就是通過(guò)這一點(diǎn)的曲線切線的方

向。

(2)曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向時(shí)刻改變，無(wú)論速度的大小變或不變，運(yùn)動(dòng)的速度總是變化的，

故曲線運(yùn)動(dòng)是一種變速運(yùn)動(dòng)。4、曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡:作曲線運(yùn)動(dòng)的物體，其軌跡向合外力所

指向的一方彎曲，若已知物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，可判斷出物體所受合外力的大致方向，如平拋運(yùn)

動(dòng)的軌跡向下彎曲，圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡總是向圓心彎曲等。

?曲線運(yùn)動(dòng)常見(jiàn)的類型：

(1)a=0：勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止。

(2)a恒定：性質(zhì)為勻變速運(yùn)動(dòng)，分為：

①v、a同向，勻加速直線運(yùn)動(dòng)；

②v、a反向，勻減速直線運(yùn)動(dòng)；

③v、a成角度，勻變速曲線運(yùn)動(dòng)(軌跡在v、a之間，和速度v的方向相切，方向逐漸向a

的方向接近，但不可能達(dá)到。)

（3）a變化：性質(zhì)為變加速運(yùn)動(dòng)。如簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，加速度大小、方向都隨時(shí)間變化。

練習(xí)1：一質(zhì)點(diǎn)在某段時(shí)間內(nèi)做曲線運(yùn)動(dòng)，則在這段時(shí)間內(nèi)（）

A.速度一定在不斷地改變,加速度也一定不斷地改變B.速度一定在不斷地改變,加速度可以

不變

C.速度可以不變,加速度一定不斷地改變D,速度可以不變,加速度也可以不變

練習(xí)2下列說(shuō)法正確的是

A、物體在恒力作用下不可能做曲線運(yùn)動(dòng)；B、物體在變力作用下有可能作曲線運(yùn)動(dòng)；

C、作曲線運(yùn)動(dòng)的物體，速度方向與加速度方向不在同一直線上：

D、物體在變力作用下不可能作直線運(yùn)動(dòng)；

練習(xí)3—物體在三個(gè)共點(diǎn)力作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，若突然撤去其中一個(gè)力，其余兩個(gè)力

不變，此物體可能做（）

A、勻加速直線運(yùn)動(dòng)B、勻減速直線運(yùn)動(dòng)C、類似于平拋運(yùn)動(dòng)D、勻速圓周

運(yùn)動(dòng)

練習(xí)4關(guān)于做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，下列說(shuō)法正確的是（）

A.它所受的合力一定不為零

B.有可能處于平衡狀態(tài)

C.速度方向一定時(shí)刻改變

D.受的合外力方向有可能與速度方向在同一條直線上

練習(xí)5質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，它的軌跡如圖所示，由A向C運(yùn)動(dòng)，關(guān)于它通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度v

練習(xí)6某質(zhì)點(diǎn)在恒力廠作用下，尸從A點(diǎn)沿下圖中曲線運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)，到達(dá)8點(diǎn)

后，質(zhì)點(diǎn)受到的力大小仍為F,但方向相反，則它從8點(diǎn)開(kāi)始的運(yùn)動(dòng)軌

跡可能是圖中的哪條曲線？（）<

A.曲線aB.直線AC.曲線cD.三條曲線均有可能7

二、質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)

?合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)

當(dāng)物體實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)較復(fù)雜時(shí)，我們可將其等效為同時(shí)參與幾個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)，前者一一實(shí)

際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)稱作合運(yùn)動(dòng)，后者則稱作物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng).

?運(yùn)動(dòng)的合成和分解

已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)，叫做運(yùn)動(dòng)的合成；已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)，叫做運(yùn)動(dòng)的分解，這種雙向

的等效操作過(guò)程，是研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的重要萬(wàn)法.1、合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系:等時(shí)性；獨(dú)立

性；等效性。2、運(yùn)動(dòng)的合成與分解的法則:平行四邊形定則3、分解原則:根據(jù)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際

效果分解，物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)。

其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為:

(1)水平方向：ax=O,vx=vO,x=vOto

(2)豎直方向:ay=g,vy=gt,y=gt2/2o

⑶合運(yùn)動(dòng)：a=g,匕=寸匕+">0vt與vO方向夾角為0,tanO=gt/vO,

s與x方向夾角為a,tana=gt/2v0.

平拋運(yùn)動(dòng)中飛行時(shí)間僅由拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)的豎直高度來(lái)決定，即g,與vO無(wú)關(guān)。水

平射程s=vOVg.

?運(yùn)動(dòng)的合成和分解的應(yīng)用

(1)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的合成與分解，就是對(duì)描述運(yùn)動(dòng)的各物理量如位移、速度、加速度等矢量用

平行四邊形定則求和或求差.運(yùn)動(dòng)的合成與分解遵循如下原理：

①獨(dú)立性原理：構(gòu)成一個(gè)合運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)是彼此獨(dú)立、互不相干的，物體的任意一個(gè)分

運(yùn)動(dòng)，都按其自身規(guī)律進(jìn)行，不會(huì)因有其他分運(yùn)動(dòng)的存在而發(fā)生改變.

②等時(shí)性原理：合運(yùn)動(dòng)是同一物體在同一時(shí)間內(nèi)同時(shí)完成幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，對(duì)同一物體同

時(shí)參與的幾個(gè)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行合成才有意義.

③矢量性原理：描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行合成與

分解時(shí)應(yīng)按矢量法則，即平行四邊形定則作上述物理量的運(yùn)算.

(2)合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)可由分運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)決定：兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成仍是勻速直線運(yùn)動(dòng)；

勻速直線運(yùn)動(dòng)與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)為勻變速運(yùn)動(dòng)；兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)是勻

變速運(yùn)動(dòng).

(3)過(guò)河問(wèn)題

若用vl表示水速，v2表示船速，則：

①過(guò)河時(shí)間僅由v2的垂直于岸的分量V，決定，即，與vl無(wú)關(guān)，所以當(dāng)v2,岸時(shí)，過(guò)河所

用時(shí)間最短，最短時(shí)間為也與vl無(wú)關(guān)。

②過(guò)河路程由實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的方向決定。

(4)連帶運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

指物拉繩（桿）或繩（桿）拉物問(wèn)題。由于高中研究的繩都是不可伸長(zhǎng)的，桿都是不可伸長(zhǎng)

和壓縮的，即繩或桿的長(zhǎng)度不會(huì)改變，所以解題原則是：把物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩

（桿）和平行于繩（桿）兩個(gè)分量，根據(jù)沿繩（桿）方向的分速度大小相同求解。

練習(xí)1關(guān)于運(yùn)動(dòng)的合成與分解的說(shuō)法中，正確的是（）

A、合運(yùn)動(dòng)的位移為分運(yùn)動(dòng)的位移的矢量和.B、合運(yùn)動(dòng)的速度一定比其中一個(gè)分速度

大.

C、合運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為分運(yùn)動(dòng)時(shí)間之和.D、合運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與各分運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等.

練習(xí)2關(guān)于運(yùn)動(dòng)的合成，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.合運(yùn)動(dòng)的速度一定比分運(yùn)動(dòng)的速度大B.兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)不一定是勻速直線

運(yùn)動(dòng)

C.兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)不一定是勻變速直線運(yùn)動(dòng)D.合運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)時(shí)間不

一定相等

練習(xí)3一艘小船在200m寬的河中橫渡到對(duì)岸，已知水流速度是2m/s船在靜水中的速度

是4m/s,求：①當(dāng)船頭始終正對(duì)著對(duì)岸時(shí)，小船多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)對(duì)岸，小船實(shí)際運(yùn)行了多遠(yuǎn)？

②如果小船的路徑要與河岸垂直，應(yīng)如何行駛？消耗的時(shí)間是多少？

③如果小船要用最短時(shí)間過(guò)河，應(yīng)如何？船行最短時(shí)間為多少？

練習(xí)4如圖所示，汽車以速度v勻速行駛，當(dāng)汽車到達(dá)p點(diǎn)時(shí)，繩子與水平方向的夾角為

0,此時(shí)物體M的速度大小為多少？

練習(xí)5人在岸上以速度v勻速拉河中的船靠岸，在船靠岸的過(guò)

LMJ

程中，下列說(shuō)法正確的是

A、船勻速靠岸B、船加速靠岸C、船減速靠岸D、以上三種情況

都可能

三、平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

?特點(diǎn)

（1）具有水平方向的初速度

（2）只受重力作用，是加速度為重力加速度g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。

?運(yùn)動(dòng)規(guī)律

平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。建立直角坐標(biāo)系

(一般以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,以初速度V。方向?yàn)閄軸正方向，豎直向下為y軸正方向)。

由兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)處理。

(1)水平方向上：VX=Vo；X=Vot

y=1gt2

(2)豎直方向上：%=gt；.

2.2ta邸=7=gt/v

(3)任意時(shí)刻的速度：v=v￡+4；、0

?有關(guān)公式

①速度公式

水平分速度:vx=vO；豎直分速度:vy=gt.

T時(shí)刻平拋物體的速度大小和方向：

Vt=Y*>,tana=匕=gt/vO

②位移公式(位置坐標(biāo)):水平分位移：x=vOt；豎直分位移:y=gt2/2

___}

t時(shí)間內(nèi)合位移的大小和方向:1=J,+y2;tanO=X=2叼

由于tana=2tan9,vt的反向延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)為水平位移的中點(diǎn)。

③軌跡方程:平拋物體在任意時(shí)刻的位置坐標(biāo)x和y所滿足的方程，叫軌跡方程，由位移公式

消去t可得：

g2片

y=2vox2或x2=g

練習(xí)1做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，每秒的速度增量總是（）

A.大小相等，方向相同B.大小不等，方向不同C.大小相等，方向不同D.大小不等，方

向相同

練習(xí)2決定一個(gè)平拋運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間的因素（）

A拋出時(shí)的初速度B拋出時(shí)的豎直高度C拋出時(shí)的豎直高度和初速度D物體的質(zhì)量有

關(guān)

練習(xí)2一個(gè)物體以初速度V。水平拋出，經(jīng)時(shí)間t,其豎直方向速度大小與Vo大小相等，那

么t為（）

AVo/gB2V0/gCVo/2gD41V（）/g

練習(xí)3物體以初速度Vo水平拋出，當(dāng)拋出后豎直位移是水平位移的2倍時(shí)，則物體拋出的

時(shí)間是

A1：1B2：1C3：1D4：1

練習(xí)5如圖，以9.8m/s的水平初速度拋出的物體，飛行一段時(shí)間后，垂直地撞在傾角為0

=30°的斜面上，則物體的飛行時(shí)間為多少？

練習(xí)6在傾角為。的斜面頂端A處以速度叫水平拋出一小球，落在斜面上的某一點(diǎn)

B處，設(shè)空氣阻力不計(jì)，求：（1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B處所需的時(shí)間和位移。

（2）從拋出開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球離斜面的距離達(dá)到最大？

練習(xí)7

從某一高度平拋一物體，當(dāng)拋出2s后它的速度方向與水平方向成45°角，落地"產(chǎn)

時(shí)速度方向與水平方向成60°角，求：（g=10m/s2）

（1）拋出時(shí)的速度。（2）落地時(shí)的速度。（3）拋出點(diǎn)距地面的高度。（4）水平射程。

四、實(shí)驗(yàn)：研究平拋運(yùn)動(dòng)

（1）處理平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，要把握手拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，將其分解成兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)，在水平方向利

用勻速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，在豎直方向則利用初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.例如:

①勻變速直線運(yùn)動(dòng)中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度V中.

②任意兩個(gè)連續(xù)相等時(shí)間間隔AT內(nèi)位移差：sn-sI=sHI-sn=As=aAT2

③速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，前1，2,…n個(gè)等時(shí)間間隔內(nèi)位移之比：

si：s2：s3：............：sn=l：4：...：n2

第1,2,...N個(gè)等時(shí)間間隔內(nèi)位移之比：

sI：sII：.......sN=l：3：...：(2n—1)

(2)當(dāng)平拋物體的落點(diǎn)在水平面上時(shí)，物體在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由自由落體分運(yùn)動(dòng)的下落高

度h決定，與初速度vO大小無(wú)關(guān)：t而物體的水平射程則由高度與初速度兩者共同決定。

⑶一個(gè)有用的推論

平拋物體任意時(shí)刻瞬時(shí)時(shí)速度方向的反向延長(zhǎng)線與初速度延長(zhǎng)線的交點(diǎn)到拋出點(diǎn)的距離都

等于水平位移的一半。

練習(xí)1“探究平拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律”實(shí)驗(yàn)中，可以描繪出小球平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡，實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)要

步驟如下：

A.讓小球多次從位置上滾下，在一張印有小方格的紙記下小球碰到鉛筆筆尖

的一系列位置，如右下圖中a、b、c、d所示。

B.按圖安裝好器材，注意，記下平拋初位置。點(diǎn)和過(guò)。點(diǎn)的豎直線。

C.取下白紙以。為原點(diǎn)，以豎直線為y軸建立坐標(biāo)系，用平滑曲線畫平拋運(yùn)動(dòng)物體的軌跡。

⑴完成上述步驟，將正確的答案填在橫線上。

⑵上述實(shí)驗(yàn)步驟的合理順序是。

⑶已知圖中小方格的邊長(zhǎng)1.25cm,則小球

平拋的初速度為vo=(用L、g表示),

其值是(取g=9.8m/s2),小球在b點(diǎn)的速率。

練習(xí)2如圖所示為一小球作平拋運(yùn)動(dòng)的閃光照片的一部分，圖中背景方

格的邊長(zhǎng)均為5cm,g=10fflZs:,那么：

⑴閃光頻率為Hz；

⑵小球運(yùn)動(dòng)的初速度的大小是m/s；

⑶小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為m/s。

五、圓周運(yùn)動(dòng)（下一章知識(shí)難點(diǎn)重點(diǎn)講明）

K當(dāng)堂達(dá)標(biāo)X

1.關(guān)于運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，以下說(shuō)法中正確的是（）

A.曲線運(yùn)動(dòng)一定是變速運(yùn)動(dòng)

B.變速運(yùn)動(dòng)一定是曲線運(yùn)動(dòng)

C.曲線運(yùn)動(dòng)一定是變加速運(yùn)動(dòng)

D.物體加速度大小、速度大小都不變的運(yùn)動(dòng)一定是直線運(yùn)動(dòng)

2.關(guān)于運(yùn)動(dòng)的合成和分解，下列說(shuō)法正確的是（）

A,合運(yùn)動(dòng)的時(shí)間等于兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和

B.勻變速運(yùn)動(dòng)的軌跡可以是直線，也可以是曲線

C.曲線運(yùn)動(dòng)的加速度方向可能與速度在同一直線上

3.關(guān)于從同一高度以不同初速度水平拋出的物體，比較它們落到水平地面上的時(shí)間（不

計(jì)空氣阻力），以下說(shuō)法正確的是（）

A.速度大的時(shí)間長(zhǎng)B.速度小的時(shí)間長(zhǎng)

C.一樣長(zhǎng)D.質(zhì)量大的時(shí)間長(zhǎng)

4.做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，每秒的速度增量總是（）

A.大小相等，方向相同B.大小不等，方向不同

C.大小相等，方向不同D.大小不等，方向相同

5.甲、乙兩物體都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量之比為1：2,轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為1：2,在

相等時(shí)間里甲轉(zhuǎn)過(guò)60。，乙轉(zhuǎn)過(guò)45。，則它們所受外力的合力之比為（）

A.I：4B.2：3C.4：9D.9：16

6.如圖所示，在不計(jì)滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，當(dāng)小車勻速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A

的受力情況是（）

A.繩的拉力大于A的重力

B.繩的拉力等于A的重力

（第10題）

C.繩的拉力小于A的重力

D.繩的拉力先大于A的重力，后變?yōu)樾∮谥亓?/p>

7.如圖所示，有一質(zhì)量為仞的大圓環(huán)，半徑為R,被一輕桿固定后懸掛在。點(diǎn)，有兩

個(gè)質(zhì)量為〃?的小環(huán)（可視為質(zhì)點(diǎn)），同時(shí)從大環(huán)兩側(cè)的對(duì)稱位置由靜止滑下。兩小環(huán)

同時(shí)滑到大環(huán)底部時(shí)，速度都為v,則此時(shí)大環(huán)對(duì)輕桿的拉力大小為（）

A.（2nz+2M）g

B.Mg—2m/，R

C.2,〃（g+//R）+Mg

D.2;M（v2//?—g）+Mg

8.下列各種運(yùn)動(dòng)中，屬于勻變速運(yùn)動(dòng)的有（）

A.勻速直線運(yùn)動(dòng)B.勻速圓周運(yùn)動(dòng)C.平拋運(yùn)動(dòng)D.豎直上拋運(yùn)動(dòng)

9.水滴自高處由靜止開(kāi)始下落，至落地前的過(guò)程中遇到水平方向吹來(lái)的風(fēng)，則（）

A.風(fēng)速越大，水滴下落的時(shí)間越長(zhǎng)

B.風(fēng)速越大，水滴落地時(shí)的瞬時(shí)速度越大

C.水滴著地時(shí)的瞬時(shí)速度與風(fēng)速無(wú)關(guān)

D.水滴下落的時(shí)間與風(fēng)速無(wú)關(guān)

10.在寬度為d的河中，水流速度為也，船在靜水中速度為VI（且q>V2），方向可以

選擇，現(xiàn)讓該船開(kāi)始渡河，則該船（）

A.可能的最短渡河時(shí)間為色

V2

B.可能的最短渡河位移為d

C.只有當(dāng)船頭垂直河岸渡河時(shí)，渡河時(shí)間才和水速無(wú)關(guān)

D.不管船頭與河岸夾角是多少，渡河時(shí)間和水速均無(wú)關(guān)

11.關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，下列說(shuō)法正確的是（）

A.向心力是指向圓心方向的合力，是根據(jù)力的作用效果命名的

B.向心力可以是多個(gè)力的合力，也可以是其中一個(gè)力或一個(gè)力的分力

C.對(duì)穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)，向心力是一個(gè)恒力

D.向心力的效果是改變質(zhì)點(diǎn)的線速度大小

答案ABCACACCDBDBDAB

知識(shí)精解難點(diǎn)之一圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析

一、難點(diǎn)形成的原因

1、對(duì)向心力和向心加速度的定義把握不牢固，解題時(shí)不能靈活的應(yīng)用。

2、圓周運(yùn)動(dòng)線速度與角速度的關(guān)系及速度的合成與分解的綜合知識(shí)應(yīng)用不熟練，只是了

解大概，在解題過(guò)程中不能靈活應(yīng)用；

3、圓周運(yùn)動(dòng)有一些要求思維長(zhǎng)度較長(zhǎng)的題目，受力分析不按照一定的步驟，漏掉重力或

其它力，因?yàn)橐稽c(diǎn)小失誤，導(dǎo)致全盤皆錯(cuò)。

4、圓周運(yùn)動(dòng)的周期性把握不準(zhǔn)。

5、缺少生活經(jīng)驗(yàn)，缺少仔細(xì)觀察事物的經(jīng)歷，很多實(shí)例知道大概卻不能理解本質(zhì)，更不

能把物理知識(shí)與生活實(shí)例很好的聯(lián)系起來(lái)。

二、難點(diǎn)突破

(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)與非勻速圓周運(yùn)動(dòng)

a.圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)方向(即速度方向)在不斷變化。圓周運(yùn)動(dòng)也

不可能是勻變速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榧词故莿蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，其加速度方向也是時(shí)刻變化的。

b.最常見(jiàn)的圓周運(yùn)動(dòng)有：①天體(包括人造天體)在萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng)；②核外電

子在庫(kù)侖力作用下繞原子核的運(yùn)動(dòng);③帶電粒子在垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)的平面里在磁場(chǎng)力作用下的

運(yùn)動(dòng)；④物體在各種外力(重力、彈力、摩擦力、電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力等)作用下的圓周運(yùn)動(dòng)。

c.勻速圓周運(yùn)動(dòng)只是速度方向改變，而速度大小不變。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，它所受

的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圓心。非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力沿

著半徑指向圓心的分力，提供向心力，產(chǎn)生向心加速度；合外力沿切線方向的分力，產(chǎn)生切

向加速度，其效果是改變速度的大小。

例1：如圖3-1所示，兩根輕繩同系一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定在軸

上的A、B兩處，上面繩AC長(zhǎng)L=2m,當(dāng)兩繩都拉直時(shí)，與軸的夾角分別為30°和45°,求

當(dāng)小球隨軸一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)角速度為s=4rad/s時(shí)，上下兩輕繩拉力各為多

少？

【審題】?jī)衫K張緊時(shí)，小球受的力由0逐漸增大時(shí)，3可能出現(xiàn)兩個(gè)臨界值。

【解析】如圖3T所示，當(dāng)BC剛好被拉直，但其拉力”恰為零，設(shè)此時(shí)角速度為3“

AC繩上拉力設(shè)為T”對(duì)小球有：4

(cos30°=mg①\r,

Isin3O。=m(o；LABsin3(m\

要使BC繩有拉力，應(yīng)有3>31,當(dāng)AC繩恰被拉直，但其拉力「恰

為零，設(shè)此時(shí)角速度為32,BC繩拉力為則有

(cos45°=，咫③

T2sin450L?：sin30°④

代入數(shù)據(jù)得：32=3.16rad/s。要使AC繩有拉力，必須3〈32,依題意s=4rad/s>32

故AC繩已無(wú)拉力，AC繩是松馳狀態(tài)，BC繩與桿的夾角。>45°,對(duì)小球有:

T-,cosff=mg

T2cos0=m<o2Lncsin0⑤

而Lcsin30°=Lecsin45o

LBC=V2m⑥

由⑤、⑥可解得

T2=2.3N,7；=0

【總結(jié)】當(dāng)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受合外力一定指向圓心，在圓周的切線方向上和

垂直圓周平面的方向上的合外力必然為零。

(2)同軸裝置與皮帶傳動(dòng)裝置

在考查皮帶轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象的問(wèn)題中，要注意以下兩點(diǎn)：

a、同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸上的各點(diǎn)角速度相等；

b、和同一皮帶接觸的各點(diǎn)線速度大小相等，這兩點(diǎn)往往是我們解決皮帶傳動(dòng)的基本方

法。

例2：如圖3-2所示為一皮帶傳動(dòng)裝置，右輪的半徑為r,a是它

邊緣上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪半徑為4r,小輪半徑為2r,

b點(diǎn)在小輪上，到小輪中心距離為r,c點(diǎn)和d點(diǎn)分別位于小輪和---------

大輪的邊緣上，若在傳動(dòng)過(guò)程中，皮帶不打滑，則

A.a點(diǎn)與b點(diǎn)線速度大小相等---------

B.a點(diǎn)與c點(diǎn)角速度大小相等

C.a點(diǎn)與d點(diǎn)向心加速度大小相等圖31

D.a、b、c、d四點(diǎn)，加速度最小的是b點(diǎn)

【審題】分析本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：其一是同一輪軸上的各點(diǎn)角速度相同；其二是皮帶

不打滑時(shí)，與皮帶接觸的各點(diǎn)線速度大小相同。這兩點(diǎn)抓住了，然后再根據(jù)描述圓周運(yùn)動(dòng)的

各物理量之間的關(guān)系就不難得出正確的結(jié)論。

【解析】由圖3-2可知，a點(diǎn)和c點(diǎn)是與皮帶接觸的兩個(gè)點(diǎn)，所以在傳動(dòng)過(guò)程中二者的

線速度大小相等，ERva=vc,又V=G)R,所以war=?2r,即3a=230.而b、c、d

三點(diǎn)在同一輪軸上，它們的角速度相等，則3b=3c=3d=L3a,所以選項(xiàng)B錯(cuò).又Vb=

2

222

Wb?r=—<0^=-?->所以選項(xiàng)A也錯(cuò).向心加速度：aa=war；ab=Wb,r=(-r~)r

222

lol22/I、

=-coar=—aa；M=3C?2r=(—?2r=—war=—aH；ad=,4r=(-coa)

'?4r=3：r=a..所以選項(xiàng)C、D均正確。

【總結(jié)】該題除了同軸角速度相等和同皮帶線速度大小相等的關(guān)系外，在皮帶傳動(dòng)裝置

中，從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)是靜摩擦力作用的結(jié)果.從動(dòng)輪受到的摩擦力帶動(dòng)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)，故輪子受到

的摩擦力方向沿從動(dòng)輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同；主動(dòng)輪靠摩擦力帶動(dòng)皮帶，故主動(dòng)輪所

受摩擦力方向沿輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。是不是

所有

的題目都要是例1這種類型的呢？當(dāng)然

圖3-3

不是，當(dāng)輪與輪之間不是依靠皮帶相連轉(zhuǎn)動(dòng)，而是依靠摩擦力的作用或者是齒輪的嚙合，如

圖3-3所示，同樣符合例1的條件。

（3）向心力的來(lái)源

a.向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，切記在物體的作

用力（重力、彈力、摩擦力等）以外不要再添加一個(gè)向心力。

b.對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，一般可按如下步驟進(jìn)行分析：

①確定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體作為研究對(duì)象。

②明確運(yùn)動(dòng)情況，包括搞清運(yùn)動(dòng)速率v,軌跡半徑R及軌跡圓心0的位置等。只有明確了上

述幾點(diǎn)后，才能知道運(yùn)動(dòng)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所需的向心力大小（mv2/R）和向心力方向（指

向圓心）。

③分析受力情況，對(duì)物體實(shí)際受力情況做出正確的分析，畫出受力圖，確定指向圓心的合外

力F（即提供向心力）。

④選用公式F=mt'=mR3；!=mR（'^）解得結(jié)果。

c.圓周運(yùn)動(dòng)中向心力的特點(diǎn)：

①勻速圓周運(yùn)動(dòng)：由于勻速圓周運(yùn)動(dòng)僅是速度方向變化而速度大小不變，故只存在向心加速

度，物體受到外力的合力就是向心力?？梢?jiàn)，合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且

指向圓心，是物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件。

②變速圓周運(yùn)動(dòng)：速度大小發(fā)生變化，向心加速度和向心力都會(huì)相應(yīng)變化。求物體在某一點(diǎn)

受到的向心力時(shí)，應(yīng)使用該點(diǎn)的瞬時(shí)速度，在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，合外力不僅大小隨時(shí)間改變,

其方向也不沿半徑指向圓心。合外力沿半徑方向的分力（或所有外力沿半徑方向的分力的矢

量和）提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向；合外力沿軌道切線方向的分

力，使物體產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小。

③當(dāng)物體所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R時(shí)，物體做離心運(yùn)動(dòng)。

例3：如圖3-4所示，半徑為R的半球形碗內(nèi)，有一個(gè)具有一定質(zhì)量的物體A,,

A與碗壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為u,當(dāng)碗繞豎直軸00勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體A剛好能!

緊貼在碗口附近隨碗一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)而不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，求碗轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度.J

【審題】物體A隨碗一起轉(zhuǎn)動(dòng)而不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則物體做勻速圓周運(yùn)\

動(dòng)的角速度3就等于碗轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3。物體A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心\

力方向指向球心0,故此向心力不是由重力而是由碗壁對(duì)物體的彈力提供，此

時(shí)物體所受的摩擦力與重力平衡。

【解析】物體A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力：Fn-mco'R圖3_

而摩擦力與重力平衡，則有："Fn=mg

即：工=整

由以上兩式可得：mG）-R=^~

即碗勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為：0=

【總結(jié)】分析受力時(shí)一定要明確向心力的來(lái)源，即搞清楚什么力充當(dāng)向心力.本題還考

查了摩擦力的有關(guān)知識(shí)：水平方向的彈力為提供摩擦力的正壓力，若在剛好緊貼碗口的基礎(chǔ)

上，角速度再大，此后摩擦力為靜摩擦力，摩擦力大小不變，正壓力變大。

例4：如圖3-5所示，在電機(jī)距軸0為r處固定一質(zhì)量為m的鐵塊.電機(jī)啟動(dòng)后，/〒

鐵塊以角速度3繞軸0勻速轉(zhuǎn)動(dòng).則電機(jī)對(duì)地面的最大壓力和最小壓力之差為/mH

【審題】鐵塊在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力是重力mg與輪對(duì)它的弋冷

力F的合力.由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知：當(dāng)m轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)F最大，當(dāng)m轉(zhuǎn)到最/

高點(diǎn)時(shí)F最小。

【解析】設(shè)鐵塊在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，電機(jī)對(duì)其作用力分別為R和%,且

都指向軸心，根據(jù)牛頓第二定律有：圖34

在最高點(diǎn)：mg+Fi=i1132r①

2

在最低點(diǎn)：F2—mg=mwr②

電機(jī)對(duì)地面的最大壓力和最小壓力分別出現(xiàn)在鐵塊m位于最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)，且壓力差的大

小為：

AFN=F2+FI③

由①②③式可解得：AFs=2m3、

【總結(jié)】

(1)若m在最高點(diǎn)時(shí)突然與電機(jī)脫離，它將如何運(yùn)動(dòng)？

(2)當(dāng)角速度3為何值時(shí)，鐵塊在最高點(diǎn)與電機(jī)恰無(wú)作用力？

(3)本題也可認(rèn)為是一電動(dòng)打夯機(jī)的原理示意圖。若電機(jī)的質(zhì)量為M,則3多大時(shí)，電機(jī)

可以“跳”起來(lái)?此情況下，對(duì)地面的最大壓力是多少？

解：(1)做初速度沿圓周切線方向，只受重力的平拋運(yùn)動(dòng)。

(2)電機(jī)對(duì)鐵塊無(wú)作用力時(shí);重力提供鐵塊的向心力，則

mg=m3,2r

(3)鐵塊在最高點(diǎn)時(shí)，鐵塊與電動(dòng)機(jī)的相互做用力大小為R,則

2

Fi+mg=mw2r

Fi—Mg

即當(dāng)a?當(dāng)、(加土r遮時(shí),電動(dòng)機(jī)可以跳起來(lái)，當(dāng)3k、(M+心時(shí),鐵塊在最低點(diǎn)時(shí)

電機(jī)對(duì)地面壓力最大，則

F2-mg=n1322r

FN=F2+Mg

解得電機(jī)對(duì)地面的最大壓力為F、=2(M+m)g

(4)圓周運(yùn)動(dòng)的周期性

利用圓周運(yùn)動(dòng)的周期性把另一種運(yùn)動(dòng)(例如勻速直線運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng))聯(lián)系起來(lái)。圓周

運(yùn)動(dòng)是一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，而另一個(gè)運(yùn)動(dòng)通常也是獨(dú)立的，分別明確兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，注意用時(shí)

間相等來(lái)聯(lián)系。

在這類問(wèn)題中，要注意尋找兩種運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，往往是通過(guò)時(shí)間相等來(lái)建

立聯(lián)系的。同時(shí)，要注意圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性，因此往往有多個(gè)答案。?乎

例5：如圖3-6所示，半徑為R的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其正

圖3-6

上方h處沿OB方向水平拋出一個(gè)小球，要使球與盤只碰一次，且落點(diǎn)為B,則小球的初速

度丫=,圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3=。

【審題】小球做的是平拋運(yùn)動(dòng)，在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)，圓盤做了一定角度的

圓周運(yùn)動(dòng)。

【解析】①小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上：

h=-gt2

2

則運(yùn)動(dòng)時(shí)間

又因?yàn)樗轿灰茷镽

所以球的速度

②在時(shí)間t內(nèi)，盤轉(zhuǎn)過(guò)的角度?=n?2n,又因?yàn)椤?3t

則轉(zhuǎn)盤角速度：

【總結(jié)】上題中涉及圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)這兩種不同的運(yùn)動(dòng)，這兩種不同運(yùn)動(dòng)規(guī)律在解

決同一問(wèn)題時(shí)，常常用“時(shí)間”這一物理量把兩種運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。

例6：如圖3-7所示，小球Q在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時(shí)，P]]

有另一小球P在距圓周最高點(diǎn)為h處開(kāi)始自由下落.要使兩球在圓周最高點(diǎn)相碰，則QI?

?h

球的角速度3應(yīng)滿足什么條件？

【審題】下落的小球P做的是自由落體運(yùn)動(dòng)，小球Q做的是圓周運(yùn)動(dòng)，若要想碰，

必須滿足時(shí)間相等這個(gè)條件。(olX

【解析】設(shè)P球自由落體到圓周最高點(diǎn)的時(shí)間為t,由自由落體可得

igt2=h圖3-7

Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的時(shí)間也是t,但做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T,有

t=(4n+l)—(n=0,1,2,3...)

4

兩式聯(lián)立再由T=@得(4n+l)@=，伊

0)CD\g

所以3二巴(4n+l)(n=0,1,2,3)

2

【總結(jié)】由于圓周運(yùn)動(dòng)每個(gè)周期會(huì)重復(fù)經(jīng)過(guò)同一個(gè)位置，故具有重復(fù)性。在做這類題目

時(shí)，應(yīng)該考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性。

（5）豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題：

（1）如上圖3-8所示，沒(méi)有物體支撐的小球，在繩和軌道的約束下，在豎直平面做圓周運(yùn)

動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況：

2

①臨界條件：繩子或軌道對(duì)小球沒(méi)有力的做用：mg=mL=>v臨界=J而。

②能過(guò)最高點(diǎn)的條件：V》歷，當(dāng)v>瘋時(shí)，繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力。

③不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：vVv臨弊（實(shí)際上球還沒(méi)到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道）

（2）如圖3-9球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕質(zhì)桿對(duì)球產(chǎn)生的彈力情況：

①當(dāng)v=0時(shí)，F(xiàn)N=mg（F、為支持力）。

②當(dāng)0<v<J而時(shí)，R隨v增大而減小，且mg>F、>0,3為支持力。

③當(dāng)v=J^時(shí)，R=0。

圖3-9

④當(dāng)v>J而時(shí)，R為拉力，F(xiàn)、隨v的增大而增大

如圖所示3-10的小球在軌道的最高點(diǎn)時(shí)，如果V》而此時(shí)將脫離

,777777V77777

軌道做平拋運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檐壍缹?duì)小球不能產(chǎn)生拉力。圖3-10

例7：半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖3T1所示。頂部有

一小物體甲，今給它一個(gè)水平初速度%=質(zhì)，則物體甲將（）

A.沿球面下滑至M點(diǎn)

B.先沿球面下滑至某點(diǎn)N,然后便離開(kāi)球面作斜下拋運(yùn)動(dòng)

C.按半徑大于R的新的圓弧軌道作圓周運(yùn)動(dòng)

D.立即離開(kāi)半圓球作平拋運(yùn)動(dòng)

【審題】物體在初始位置受豎直向下的重力，因?yàn)樗?，球面支持力為?

又因?yàn)槲矬w在豎直方向向下運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)速率將逐漸增大，若假設(shè)物體能夠沿球面或某一

大于R的新的圓弧做圓周運(yùn)動(dòng)，則所需的向心力應(yīng)不斷增大。而重力沿半徑方向的分力逐漸

減少，對(duì)以上兩種情況又不能提供其他相應(yīng)的指向圓心的力的作用，故不能提供不斷增大的

向心力，所以不能維持圓周運(yùn)動(dòng)。

【解析】物體應(yīng)該立即離開(kāi)半圓球做平拋運(yùn)動(dòng)，故選D。

【總結(jié)】當(dāng)物體到達(dá)最高點(diǎn)，速度等于歷時(shí)，半圓對(duì)物體的支持力等于零，所以接

下來(lái)物體的運(yùn)動(dòng)不會(huì)沿著半圓面，而是做平拋運(yùn)動(dòng)。

（6）圓周運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用

a.定量分析火車轉(zhuǎn)彎的最佳情況。

①受力分析：如圖所示3-12火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓

心，成為使火車拐彎的向心力。

②動(dòng)力學(xué)方程：根據(jù)牛頓第二定律得

mgtan0=m—

圖3-12

其中r是轉(zhuǎn)彎處軌道的半徑，％是使內(nèi)外軌均不受側(cè)向力的最佳速度。

③分析結(jié)論：解上述方程可知

=rgtan0

可見(jiàn)，最佳情況是由打、r、?共同決定的。

當(dāng)火車實(shí)際速度為v時(shí)，可有三種可能，

當(dāng)v=%時(shí)，內(nèi)外軌均不受側(cè)向擠壓的力；

當(dāng)v>%時(shí)，外軌受到側(cè)向擠壓的力（這時(shí)向心力增大，外軌提供一部分力）；

當(dāng)v<%時(shí)，內(nèi)軌受到側(cè)向擠壓的力（這時(shí)向心力減少，內(nèi)軌抵消一部分力）。

還有一些實(shí)例和這一模型相同，如自行車轉(zhuǎn)彎，高速公路上汽車轉(zhuǎn)彎等等

我們討論的火車轉(zhuǎn)彎問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是物體在水平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從力的角度看其特點(diǎn)

是：合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在豎直方向，因此物體除了重力外，至

少再受到一個(gè)力，才有可能使物體產(chǎn)生在水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.

實(shí)際在修筑鐵路時(shí),要根據(jù)轉(zhuǎn)彎處的半徑r和規(guī)定的行駛速度v。,適當(dāng)選擇內(nèi)外軌的高度差,

使轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力完全由重力G和支持力R的合力來(lái)提供，如上圖3-12所示.必須注

意，雖然內(nèi)外軌有一定的高度差，但火車仍在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，因此向心力是沿水平方

向的，而不是沿"斜面"向上，F(xiàn)=Gtg0=mgtg0,故mgtgQ=m型。

r

b.汽車過(guò)拱橋

汽車靜止在橋頂與通過(guò)橋頂是否同種狀態(tài)？不是的，汽車靜止在橋頂、或通過(guò)橋頂，雖

然都受到重力和支持力。但前者這兩個(gè)力的合力為零，后者合力不為零。

汽車過(guò)拱橋橋頂?shù)南蛐牧θ绾萎a(chǎn)生？方向如何？汽車在橋頂受到重力和支持力，如圖

A3-13所示，向心力由二者的合力提供，方向豎直向下。

圖3-13

運(yùn)動(dòng)有什么特點(diǎn)？①動(dòng)力學(xué)方程:

由牛頓第二定律

G—F1=m—

92

VV

解得F,=G—m—=irg-m—

rr

②汽車處于失重狀態(tài)

汽車具有豎直向下的加速度，G<mg,對(duì)橋的壓力小于重力.這也是為什么橋一般做

成拱形的原因.

③汽車在橋頂運(yùn)動(dòng)的最大速度為

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程可知，當(dāng)汽車行駛速度越大，汽車和橋面的壓力越小，當(dāng)汽車的速度為

加時(shí)，壓力為零，這是汽車保持在橋頂運(yùn)動(dòng)的最大速度，超過(guò)這個(gè)速度，汽車將飛出橋

頂，做平拋運(yùn)動(dòng)。

另：

c.人騎自行車轉(zhuǎn)彎

由于速度較大，人、車要向圓心處傾斜，與豎直方向成。角，如圖3-14

所示，人、車的重力mg與地面的作用力F的合力作為向心力.地面的作用

力是地面對(duì)人、車的支持力F、與地面的摩擦力的合力，實(shí)際上仍是地面的

摩擦力作為向心力。

由圖知，F(xiàn)in^mgtan4>=m--

圖3-14

2.圓錐擺

擺線張力與擺球重力的合力提供擺球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.如圖3-15所

示,質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線連接著，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).細(xì)

線與豎直方向夾角為a,試分析其角速度3的大小。

對(duì)小球而言，只受兩個(gè)力：重力mg和線的拉力T.這兩個(gè)力的合力mgtana

提供向心力，半徑r=Lsina,所以由F=mr32得，mgtana=mLsina?w2

mg

整理得

可見(jiàn)，角速度越大，角a也越大。圖3-15

3.雜技節(jié)目“水流星”

表演時(shí).，用一根繩子兩端各拴一個(gè)盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面內(nèi)

做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)杯口朝下，但水不會(huì)流下，如圖所示，這是為什么？

圖3-16

分析：以杯中之水為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知：F,=—,此時(shí)重

l；mr

力G與FN的合力充當(dāng)了向心力即F向=6+&

v2

故：G+R=m—

r

由上式可知V減小，F(xiàn)減小，當(dāng)時(shí)=0時(shí)，V有最小值為病

討論：

①當(dāng)mg=m上,即時(shí),水恰能過(guò)最高點(diǎn)不灑出，這就是水能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件;

②當(dāng)即v<J7時(shí)，水不能過(guò)最高點(diǎn)而不灑出；

r

③當(dāng)即v>病時(shí)，水能過(guò)最高點(diǎn)不灑出，這時(shí)水的重力和杯對(duì)水的壓力提供

r

向心力。

例8：繩系著裝有水的水桶，在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，水的質(zhì)量m=0.5kg,繩長(zhǎng)L=60cm,

求：

①最高點(diǎn)水不流出的最小速率。

②水在最高點(diǎn)速率v=3m/s時(shí)，水對(duì)桶底的壓力。

【審題】當(dāng)v產(chǎn)南時(shí)，水恰好不流出，要求水對(duì)桶底的壓力和判斷是否能通過(guò)最高

點(diǎn)，也要和這個(gè)速度v比較，v>Vo時(shí)，有壓力；V=V0時(shí)，恰好無(wú)壓力；VWVQ時(shí)，不能到達(dá)

最高點(diǎn)。

【解析】①水在最高點(diǎn)不流出的條件是重力不大于水做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力即mg

mv

<L,

則最小速度v0=J/=2.42m/s。

②當(dāng)水在最高點(diǎn)的速率大于V。時(shí)，只靠重力提供向心力已不足，此時(shí)水桶底對(duì)水有一向下

的壓力，設(shè)為F,由牛頓第二定律

V2

F+mg=m工■得：F=2.6N。

由牛頓第三定律知，水對(duì)水桶的作用力F'=-F=-2.6N,即方向豎直向上。

【總結(jié)】當(dāng)速度大于臨界速率時(shí)，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因

此桶底對(duì)水產(chǎn)生向下的壓力。

例2：汽車質(zhì)量m為1.5X10'kg,以不變的速率先后駛過(guò)凹

圖3-17

形路面和凸形路面，路面圓弧半徑均為15m,如圖3T7所示.如果路面承受的最大壓力不

得超過(guò)2X105N,汽車允許的最大速率是多少？汽車以此速率駛過(guò)路面的最小壓力是多少？

【審題】首先要確定汽車在何位置時(shí)對(duì)路面的壓力最大，汽車經(jīng)過(guò)凹形路面時(shí)，向心加

速度方向向上，汽車處于超重狀態(tài)；經(jīng)過(guò)凸形路面時(shí)，向心加速度向下，汽車處于失重狀態(tài),

所以汽車經(jīng)過(guò)凹形路面最低點(diǎn)時(shí)，汽車對(duì)路面的壓力最大。

【解析】當(dāng)汽車經(jīng)過(guò)凹形路面最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)路面支持力為鼠，受力情況如圖3-18所示,

由牛頓第二定律，

V2

有FM—mg=m—

R

要求FMW2X105N

解得允許的最大速率VM=7.07m/s

由上面分析知，汽車經(jīng)過(guò)凸形路面頂點(diǎn)時(shí)對(duì)路面壓力最小，設(shè)為F、z,如圖3T9所示，由牛

頓第二定律有

、_mVm

mg—FM=———

R

解得FN2=1X10'5NO

【總結(jié)】汽車過(guò)拱橋時(shí)，一定要按照實(shí)際情況受力分析，沿加速度方向列式。

(7)離心運(yùn)動(dòng)

離心現(xiàn)象條件分析

①做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，由于本身具有慣性，總是想沿著切線方向運(yùn)動(dòng)，只是由于向心力作用，

使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運(yùn)動(dòng)，如圖3-20中B所示。

②當(dāng)產(chǎn)生向心力的合外力消失，F(xiàn)=0,物體便沿所在位置的切線方向飛出去，如圖3-20中

A所示。

③當(dāng)提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于應(yīng)當(dāng)具有的向心力，，即合外力不足以提

供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運(yùn)動(dòng)，如圖3-20所示。

.viF=0A

…奔A"~~c

V2//AF-mr(^2

C

圖3-20

在實(shí)際中，有一些利用離心運(yùn)動(dòng)的機(jī)械，這些機(jī)械叫做離心機(jī)械。離心機(jī)械的種類很多，

應(yīng)用也很廣。例如，離心干燥（脫水）器，離心分離器，離心水泵。

例9：一把雨傘邊緣的半徑為r,且高出水平地面h.當(dāng)雨傘以角速度3旋轉(zhuǎn)時(shí)，雨滴自邊

緣甩出落在地面上成一個(gè)大圓周.這個(gè)大圓的半徑為_(kāi)_____。

【審題】想象著實(shí)際情況，當(dāng)以一定速度旋轉(zhuǎn)雨傘時(shí)，雨滴甩/,

形成一個(gè)大圓。—尸廠\

【解析】雨滴離開(kāi)雨傘的速度為v0=3rI）

雨滴做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=—'―'

*8圖3-21

雨滴的水平位移為s=vot=3rj[—2h

雨滴落在地上形成的大圓的半徑為

【總結(jié)】通過(guò)題目的分析，雨滴從傘邊緣沿切線方向，以一定的初速度飛出，豎直方向

上是自由落體運(yùn)動(dòng)，雨滴做的是平拋運(yùn)動(dòng)，把示意圖畫出來(lái)，通過(guò)示意圖就可以求出大圓半

徑。

（8）難點(diǎn)突破⑧一一圓周運(yùn)動(dòng)的功和能

應(yīng)用圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，由于較多知識(shí)交織在一起，所以分析問(wèn)題

時(shí)利用能量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的特點(diǎn)作為解題的切入點(diǎn)，可能大大降低難度。

例9：使一小球沿半徑為R的圓形軌道從最低點(diǎn)上升，那么需給它最小速度為多大時(shí)，才能

使它達(dá)到軌道的最高點(diǎn)？

【審題】小球到達(dá)最高點(diǎn)A時(shí)的速度V"不能為零，否則小球早在到達(dá)A點(diǎn)之前就離開(kāi)

了圓形軌道。要使小球到達(dá)A點(diǎn)（自然不脫離圓形軌道），則小球在A點(diǎn)的速度必須滿足

Mg+N產(chǎn)m?,式中，N.為圓形軌道對(duì)小球的彈力。上式表示小球在A點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)所需要

R

的向心力由軌道對(duì)它的彈力和它本身的重力共同提供。當(dāng)NA=O時(shí)，VA最小，上底.這就

是說(shuō)，要使小球到達(dá)A點(diǎn),則應(yīng)該使小球在A點(diǎn)具有的速度VA2J或。

【解析】以小球?yàn)檠芯繉?duì)象。小球在軌道最高點(diǎn)時(shí)，受重力和軌道給的彈力。

小球在圓形軌道最高點(diǎn)A時(shí)滿足方程

吸

mg+NA=m—（1）

根據(jù)機(jī)械能守恒，小球在圓形軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度滿足方程

1,1,

-mv；+mg2R=-mVe（2）

解（1）,（2）方程組得

[R

VB=5gR+盍小

當(dāng)NA