常用邏輯用語(yǔ) 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第二節(jié)常用邏輯用語(yǔ)課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動(dòng)探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識(shí)1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的________條件，q是p的________條件p是q的__________條件p?q且q

pp是q的__________條件p

q且q?p

p是q的__________條件p?q

p是q的______________條件p

q且q

p

充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.全稱量詞與存在量詞(1)短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫作________，用符號(hào)“______”表示．(2)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作________，用符號(hào)“______”表示．全稱量詞?存在量詞?3．全稱量詞命題與存在量詞命題及其否定

有些命題中省略了量詞，在進(jìn)行否定時(shí)先改寫(xiě)為完整形式，再進(jìn)行否定名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡(jiǎn)記________?x∈M，p(x)否定?x∈M，?p(x)________?x∈M，p(x)?x∈M，?p(x)【常用結(jié)論】1．充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分條件，則A?B；(2)若p是q的充分不必要條件，則A

B；(3)若p是q的必要不充分條件，則B

A；(4)若p是q的充要條件，則A＝B.2．含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”．3．命題p與p的否定的真假性相反．夯

實(shí)

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是存在量詞命題．(

)(2)命題“對(duì)頂角相等”的否定是“對(duì)頂角不相等”．(

)(3)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件．(

)(4)“若p不成立，則q不成立”等價(jià)于“若q成立，則p成立”．(

)××√√2．(教材改編)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：B解析：若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0顯然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x的值也可能為－2.故選B.3．(教材改編)(多選)下列命題為真命題的是(

)A．任意實(shí)數(shù)的平方大于或等于0B．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，二次函數(shù)y＝x2＋a的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．存在整數(shù)x，y，使得2x＋4y＝3D．存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的立方是有理數(shù)答案：ABD

4．(易錯(cuò))下面四個(gè)條件中，使a＞b成立的充分不必要條件是(

)A．a(chǎn)>b＋1

B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2

D．a(chǎn)3>b3答案：A解析：選項(xiàng)A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”為“a＞b”成立的充分不必要條件．故選A.

答案：?x<1，0≤x≤1

課堂互動(dòng)探究案1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．2．理解判定定理與充分條件，性質(zhì)定理與必要條件，數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系．3．理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定．問(wèn)題思考·夯實(shí)技能【問(wèn)題1】充分條件與必要條件的兩個(gè)特征是什么？提示：(1)對(duì)稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”．(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．【問(wèn)題2】如何判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假？提示：(1)全稱量詞命題的真假判斷：要判斷一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x，驗(yàn)證p(x)成立；但要判斷一個(gè)全稱量詞命題是假命題，只需列舉出一個(gè)x∈M，使得p(x)不成立即可．(2)存在量詞命題的真假判斷：要判斷一個(gè)存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x，使得p(x)成立即可；否則這一命題就是假命題．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一

充分條件、必要條件的判斷例1(1)[2023·全國(guó)甲卷]

“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(

)A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件答案：B

(2)[2024·重慶萬(wàn)州模擬]下列四個(gè)條件中，是“x<y”的一個(gè)充分不必要條件的是(

)A．x2<y2

B．xz<yzC．xz2024<yz2024

D．x＋x5<y＋y5答案：C解析：若x2<y2，可能有y<x<0，無(wú)法推出x<y，充分性不成立，故A錯(cuò)誤；若xz<yz，當(dāng)z<0時(shí)，有x>y，此時(shí)x<y不成立，充分性不滿足，故B錯(cuò)誤；由xz2024<yz2024得z≠0且z2024>0，此時(shí)x<y成立，反之若x<y，當(dāng)z＝0時(shí)，xz2024<yz2024不成立，故C正確；設(shè)f(x)＝x＋x5，則f(x)為增函數(shù)，則由x＋x5<y＋y5得f(x)<f(y)，此時(shí)x<y，反之也成立，即x＋x5<y＋y5是x<y成立的充要條件，故D錯(cuò)誤．題后師說(shuō)充分、必要條件的兩種常用判斷方法

答案：D

(2)a<0，b<0的一個(gè)必要條件是(

)A．a(chǎn)＋b<0B．a(chǎn)b>2C．a(chǎn)－b>0D．a(chǎn)2－b2<0答案：A解析：因?yàn)閍<0，b<0，所以a＋b<0，所以a＋b<0是a<0，b<0的一個(gè)必要條件，若a＝－1，b＝－1，不能得到ab>2，a－b>0，a2－b2<0.題型二

充分條件、必要條件的應(yīng)用例2已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為_(kāi)_______．[0，3]

【變式練習(xí)】本例中，若把“x∈P是x∈S的必要條件”改為“x∈P是x∈S的充分不必要條件”，求m的取值范圍．題后師說(shuō)本例涉及參數(shù)問(wèn)題，直接解決較為困難，先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單、熟悉的問(wèn)題來(lái)解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問(wèn)題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來(lái)考慮，這是破解此類問(wèn)題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練2已知p：關(guān)于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有實(shí)數(shù)根，q：m－1≤a≤m＋3.若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析：由題意Δ＝4a2－4(a2＋a－2)＝－4a＋8≥0，解得a≤2.所以{a|m－1≤a≤m＋3}

{a|a≤2}，則m＋3≤2，解得m≤－1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤－1}．題型三

全稱量詞與存在量詞角度一含有量詞命題的否定例3(1)[2024·河北石家莊模擬]已知命題p：?x∈R，tanx<π或ex＋2≥π，則命題p的否定為(

)A．?x∈R，tanx≥π或ex＋2<πB．?x∈R，tanx<π且ex＋2≥πC．?x∈R，tanx<π且ex＋2≥πD．?x∈R，tanx≥π且ex＋2<π答案：D解析：根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系，因?yàn)槊}p：?x∈R，tanx<π或ex＋2≥π是存在量詞命題，所以命題p的否定為?x∈R，tanx≥π且ex＋2<π.(2)已知命題p：?x≥0，ex≥x2＋1，則命題p的否定為(

)A．?x≥0，ex<x2＋1B．?x<0，ex<x2＋1C．?x≥0，ex<x2＋1D．?x<0，ex<x2＋1答案：C解析：已知命題p：?x≥0，ex≥x2＋1，則命題p的否定為：?x≥0，ex<x2＋1.題后師說(shuō)對(duì)一個(gè)全稱量詞命題或存在量詞命題進(jìn)行否定時(shí)，要把命題的兩個(gè)地方進(jìn)行改變，一是量詞符號(hào)要改變，二是結(jié)論要進(jìn)行否定，即“改變量詞，否定結(jié)論”．鞏固訓(xùn)練3(1)[2024·廣東深圳模擬]命題“?a∈N*，2a≥a2”的否定是(

)A．?a∈N*，2a≥a2B．?a∈N*，2a<a2C．?a∈N*，2a<a2D．?a∈N*，2a>a2答案：B解析：“?a∈N*，2a≥a2”是全稱量詞命題，它的否定是存在量詞命題“?a∈N*，2a<a2”．

答案：D

題后師說(shuō)與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題．解決此類問(wèn)題時(shí)，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍．鞏固訓(xùn)練4[2024·山東濟(jì)南歷城二中模擬]已知命題“p：?x∈R，ax2－ax≥1”，若?p是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：(－4，0]

隨堂檢測(cè)1.[2024·海南?？谀M]命題“?x∈(－1，3)，x2－1≤2x”的否定是(

)A．?x∈(－1，3)，x2－1≤2xB．?x∈(－1，3)，x2－1>2xC．?x∈(－1，3)，x2－1>2xD．?x?(－1，3)，x2－1>2x答案：C解析：∵命題“?x∈(－1，3)，x2－1≤2x”是存在量詞命題，∴它的否定是“?x∈(－1，3)，x2－1>2x”．2．[2024·河北石家莊模擬]“a＋1>b－2”是“a>b”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：B3．[