2.3.1有理數(shù)的乘方（1） 提分練-2024-2025學年七年級數(shù)學人教版（2024）（含解析）

2.3.1有理數(shù)的乘方（1）（新教材，九大類型分層提分練）類型一、有理數(shù)的乘方的有關(guān)定義1．（23-24·福建龍巖·階段練習）可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了有理數(shù)的乘方，正確理解乘方的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)乘方的意義求解即可．【詳解】解：．故選：B．2．（23-24·全國·假期作業(yè)）的底數(shù)、指數(shù)、結(jié)果分別是（

）A． B． C．2，4，16 D．【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)冪的概念，有理數(shù)的乘方計算，對于式子，其中a叫做底數(shù)，m叫做指數(shù)，據(jù)此結(jié)合有理數(shù)乘方計算法則求解即可．【詳解】解：的底數(shù)是2，指數(shù)是4，其結(jié)果為，故選：D．3．（2024·上?！ｎ}練習）底數(shù)是，指數(shù)是2的冪寫成．【答案】【分析】本題考查了冪的概念，根據(jù)冪的書寫規(guī)則即可求解．注意分數(shù)為底時，需要把底數(shù)加括號．【詳解】解：底數(shù)為，指數(shù)為2，寫成，故答案為：．4．（23-24·全國·假期作業(yè)）把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數(shù)、指數(shù)各是什么．(1)(2)(3)【答案】(1)底數(shù)是，指數(shù)是3(2)底數(shù)是，指數(shù)是4(3)底數(shù)是m，指數(shù)是【分析】本題主要考查了乘方的意義，解題的關(guān)鍵是掌握乘方是一種特殊的乘法運算，冪是乘方的結(jié)果，當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括起來再寫指數(shù)．表示n個a相乘．（1）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可；（2）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可；（3）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可．【詳解】（1）解：，底數(shù)是，指數(shù)是3．（2）解：，底數(shù)是，指數(shù)是4．（3）解：，底數(shù)是m，指數(shù)是．類型二、有理數(shù)的乘方的運算5．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：正確的結(jié)果為（

）A．8052 B． C．4 D．【答案】D【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的乘法，熟練掌握有理數(shù)的乘方是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的乘法解決本題．【詳解】解：．故選：D．6．（23-24八年級下·福建福州·期末）下列各組數(shù)中，相等的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計算，根據(jù)有理數(shù)的乘方計算法則，化簡絕對值的方法計算出每個選項中的兩個數(shù)即可得到答案．【詳解】解：A、與不相等，不符合題意；B、與相等，符合題意；C、與不相等，不符合題意；D、與不相等，不符合題意．

故選：B．7．（23-24七年級下·四川成都·期中）已知a，b滿足，那么．【答案】10【分析】本題考查有理數(shù)的乘方等知識．利用有理數(shù)的乘方求出，的值，再代入計算即可求解．【詳解】解：，，，．故答案為：10．8．（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式【點睛】本題主要考查有理數(shù)乘方運算，掌握有理數(shù)乘方運算的意義是解題的關(guān)鍵．類型三、含乘方的有理數(shù)的混合運算9．（23-24七年級上·湖南常德·期末）計算：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運算，先計算乘方，再計算乘法，最后計算加減即可，掌握運算順序是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選C10．（23-24·全國·假期作業(yè)）計算的結(jié)果是．【答案】36【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算．先算乘方，再算乘除，最后算加減．【詳解】解：，故答案為：36．11．（23-24·黑龍江哈爾濱·期末）計算題：(1)；(2)．【答案】(1)17(2)【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算順序是解題的關(guān)鍵：（1）先去括號，計算乘方，再算乘法，最后進行加減運算；（2）先算乘方，再算乘除，最后進行加減運算．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．12．（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)15(2)0(3)【分析】（1）利用有理數(shù)的混合運算法則即可求解．（2）利用有理數(shù)的混合運算法則即可求解．（3）利用有理數(shù)的混合運算法則即可求解．【詳解】（1）解：原式．（2）原式．（3）原式．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．類型四、有理數(shù)的非負性13．（23-24·上海寶山·期中）若，那么．【答案】【分析】本題考查了平方與絕對值的非負性，有理數(shù)的乘方．解題的關(guān)鍵在于正確的求解．由解出的值，代入求解即可．【詳解】解：由題意知解得∴故答案為：．14．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）已知，且，求的值．【答案】或【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對值，有理數(shù)的加法，熟練掌握其運算規(guī)則，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)，求出的值，再根據(jù)分情況討論計算即可．【詳解】解：，，，，當時，；當時，；故的值為：或．15．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）已知，解答下列問題：(1)由，可得_____，_____．(2)若，求的值．【答案】(1)，(2)2【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對值的定義，有理數(shù)的乘法和加法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方，絕對值的定義，有理數(shù)的乘法和加法．（1）根據(jù)絕對值的定義和有理數(shù)的乘方的定義即可得出答案；（2）由得出，或，，代入計算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，；（2）解：由（1）得，，又∵，異號，∴，或，；或，綜上所述，．類型五、有理數(shù)的乘方的符號問題16．（23-24七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如果n是正整數(shù)，那么的值（

）A．一定是零 B．一定是正偶數(shù) C．一定是正奇數(shù) D．是零或正偶數(shù)【答案】D【分析】分為兩種情況當n是偶數(shù)時，當n是奇數(shù)時，求出即可．【詳解】解：當n是偶數(shù)時，原式，當n是奇數(shù)時，原式，是正偶數(shù)．故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方的應(yīng)用，注意要進行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．17．（23-24七年級上·廣東揭陽·期末）計算：【答案】0【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運算，有理數(shù)的乘方，根據(jù)有理數(shù)的乘方找到規(guī)律，計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：0．類型六、有理數(shù)的乘方有關(guān)規(guī)律問題18．（23-24七年級上·安徽淮北·階段練習）閱讀下列各式：，，，…解答下列問題：(1)猜想：_____．(2)計算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題干閱讀部分信息，再總結(jié)可得答案；（2）利用（1）中規(guī)律結(jié)合乘方的含義把原式化為，再計算即可．【詳解】（1）解：∵，，，…歸納可得：；（2）；【點睛】本題考查的是新定義運算的含義，乘方的含義，理解題意，總結(jié)規(guī)律再運用規(guī)律解題是關(guān)鍵．19．（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）【問題解決】例如：觀察下面式子，根據(jù)規(guī)律填空：（1），，，，…，，．（2），，，，…，．【答案】444444888889【分析】（1）計算末位是5的兩位整數(shù)的平方，將十位上的數(shù)乘比它大1的數(shù)，所得結(jié)果后面添上25即可；（2）結(jié)果中4的個數(shù)比底數(shù)中6的個數(shù)多1，8的個數(shù)等于底數(shù)中的6的個數(shù)﹐最末位數(shù)字都是9．【詳解】（1）計算末位是5的兩位整數(shù)的平方，將十位上的數(shù)乘比它大1的數(shù)，所得結(jié)果后面添上25，如：，即；：，即；：，即；（2）結(jié)果中4的個數(shù)比底數(shù)中6的個數(shù)多1，8的個數(shù)等于底數(shù)中的6的個數(shù)﹐最末位數(shù)字都是9．∴．故答案為：；；．【點睛】本題主要考查有理數(shù)乘方規(guī)律應(yīng)用，找到題中數(shù)字規(guī)律是解題的關(guān)鍵．20．（2022七年級·江蘇·專題練習）閱讀計算：閱讀下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三個問題：(1)驗證：（4×0.25）100＝；4100×0.25100＝．(2)通過上述驗證，歸納得出：（）n＝；（）n＝．(3)請應(yīng)用上述性質(zhì)計算：（﹣0.125）2015×22014×42014．【答案】(1)1，1；(2)ab，anbn，abc，anbncn；(3)﹣0.125【分析】（1）先算括號內(nèi)的，再算乘方；先乘方，再算乘法．（2）根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求出即可；（3）根據(jù)根據(jù)閱讀材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再計算，即可得出答案．【詳解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案為：1，1．（2）解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，故答案為：ab，anbn，abc，anbncn．（3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，主要考查學生的計算能力，理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵．類型七、有理數(shù)的乘方的有關(guān)材料閱讀題21．（2024·河北·三模）在求的值時，小林發(fā)現(xiàn)：從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的6倍，于是她設(shè)：①，然后在①式的兩邊都乘以6，得②，②-①得，即，所以得出答案后，愛動腦筋的小林想：如果把“6”換成字母“”（且），能否求出的值？你的答案是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)的運算，根據(jù)題干給定的方法，設(shè)，進而得到，兩式相減后，進行求解即可．【詳解】解：設(shè)，，得：，，得：，∴故選B．22．（23-24七年級上·江蘇鹽城·階段練習）閱讀理解：根據(jù)乘方的意義，可得：．請你試一試，完成以下題目：(1)；(2)歸納、概括：；(3)如果，，運用以上的結(jié)論，計算：．【答案】(1)(2)(3)100【分析】此題主要考查了有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的乘法，正確得出運算規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）直接利用已知計算得出答案；（2）利用（1）中所求進而得出答案；（3）利用（2）中所求，將原式變形進而得出答案．【詳解】（1）解：；（2）歸納、概括：；（3）如果，，運用以上的結(jié)論，計算：23．（19-20七年級上·湖北孝感·期末）閱讀材料：求的值．解：設(shè)將等式兩邊同時乘以2，得將下式減去上式，得即請你仿照此法計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是明確題意，運用題目中的解題方法，運用類比的數(shù)學思想解答問題．（1）設(shè)，將等式兩邊同時乘以3，然后按照材料中的方法進行計算，即可得到答案；（2）設(shè)，將等式兩邊同時乘以5，然后按照材料中的方法進行計算，即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)材料，設(shè)①，將等式兩邊同時乘以3，則②，由，得：，，；（2）根據(jù)材料，設(shè)③，將等式兩邊同時乘以④，由，得：，,．類型八、有理數(shù)的乘方的有關(guān)應(yīng)用24．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）如圖，當你把一張紙對折1次時可以得到2層，對折2次時可以得到4層，對折3次時可以得到8層，繼續(xù)對折下去（最多折7次）．(1)你能發(fā)現(xiàn)層數(shù)與折紙次數(shù)之間的關(guān)系嗎？(2)如果每層紙的厚度是0.05毫米，求對折7次時紙的總厚度．【答案】(1)層數(shù)(2)6.4毫米【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，通過例舉尋找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）由于把紙對折1次時，可以得到2層；當對折2次時，可以得到4-2層；當對折3次時，可以得到8-23層，由此即可得到層數(shù)5和折紙的次數(shù)之間的關(guān)系；（2）利用（1）的結(jié)論代入其中計算即可求解．【詳解】（1）解：∵對折1次，層數(shù)，對折2次，層數(shù)，對折3次，層數(shù)，∴對折n次，層數(shù)；（2）解：（毫米），答：對折7次時紙的總厚度的總厚度為6.4毫米．25．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）拉面是把一根較粗的面條先對折成2根再拉開，然后將兩端捏緊，再對折成4根再拉開，…，一直重復這個流程，面條的數(shù)量會不斷增多，也會不斷變細．(1)將這個流程重復7次后，面條的數(shù)量會變成多少根？(2)若剛開始時的面條的橫截面積為，則將這個流程重復8次后，平均每一根面條橫截面積是多少？（每一次拉開的長度都與第一根面條的長度相同且粗細均勻）【答案】(1)128(2)【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，能夠從題中歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式計算即可得出答案；（2）根據(jù)題意列式計算即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：（根）∴這個流程重復7次后，面條的數(shù)量會變成128根．（2）解：將這個流程重復8次后，面條的數(shù)量是．∵每一次拉開的長度都與第一根面條的長度相同且粗細均勻，∴8次后，平均每一根面條橫截面積．類型九、有理數(shù)的乘方的有關(guān)新定義問題26．（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運算*，規(guī)定運算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則．【答案】8【分析】根據(jù)定義，得，解得即可．本題考查了新定義計算，正確理解定義的運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)定義，得，故答案為：8．27．（2024·河南南陽·一模）數(shù)學小組定義一個新運算“”如下：時，；時，．則當時，代數(shù)式的值為．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的運算，有理數(shù)大小比較，理解題中給出的定義做出正確的計算是解題關(guān)鍵．原式利用題中的新定義計算即可求出值．【詳解】根據(jù)題意得，當時，∵∴．故答案為：．28．（2024七年級下·全國·專題練習）如果，那么為的“勞格數(shù)”，記為．由定義可知：與表示、兩個量之間的同一關(guān)系．(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：，______；(2)“勞格數(shù)”有如下運算性質(zhì)：若、為正數(shù)，則，；根據(jù)運算性質(zhì)，填空：________．（a為正數(shù)）(3)若，分別計算；．【答案】(1)1，(2)3(3)0.6020，0.699．【分析】本題考查新定義，有理數(shù)的運算；理解題意，將新定義轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方與積的乘方運算是解題的關(guān)鍵．（1），，則有；，，則有；（2）根據(jù)，進行求解即可；（3）由題意得：，．【詳解】（1）由題意得：，，；由題意得：，，；故答案為：1，；（2）∵，，∴故答案為3；（3），，．29．（2024七年級下·浙江·專題練習）閱讀下列材料，并解決后面的問題．材料：一般地，個相同的因數(shù)相乘：記為．如，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即．一般地，若且，，則叫做以為底的對數(shù)，記為（即．如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即．問題：(1)計算以下各對數(shù)的值：；；．(2)通過觀察（1），請直接寫出、、之間滿足的等量關(guān)系是．(3)請你求出的值：【答案】(1)2，4，6(2)(3)5【分析】此題考查定義新運算，掌握運算的方法，找出計算的規(guī)律解決問題．（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；（2）認真觀察，不難找到規(guī)律：，；（3）利用（2）得出結(jié)論：，進一步計算得出答案即可．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：∵，，，；∴；（3）解：；，．∴．一、單選題1．（23-24七年級上·安徽淮北·階段練習）某同學設(shè)計了一個算式：，若要使得該算式值最大，你應(yīng)在“□”里填入（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，掌握相關(guān)運算法則成為解題的關(guān)鍵．分別將代入計算，然后比較即可解答．【詳解】解：當填入“”時，；當填入“”時，；當填入“”時，；當填入“”時，；顯然A選項結(jié)果最大．故選：A．2．（23-24七年級上·陜西西安·期末）按如圖所示的運算程序，能使運算輸出的結(jié)果為1的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】此題考查了代數(shù)式求值，以及有理數(shù)的混合運算，把各自的值代入運算程序中計算，使其結(jié)果為1即可，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、把，輸入，，則，故A不符合題意；B、把，輸入，，則，故B不符合題意；C、把，輸入，，則，故C不符合題意；D、把，輸入，，則，故D符合題意；故選：．3．（22-23七年級上·浙江臺州·期末）數(shù)學活動課上，丁老師組織同學們玩搶答游戲，每答對一題可以拿走糖果箱中的糖果，再加一顆糖果．已知糖果箱中約有130顆糖果，若答對題后恰好剩下2顆糖果，且每位同學得到的糖果數(shù)都為整數(shù)，則為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的運算，根據(jù)題意計算出每位同學拿走的和剩下的，理解“每位同學得到的糖果數(shù)都為整數(shù)”，列式計算是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：第一位同學可以拿走顆，還剩顆，第二位同學可以拿走顆，還剩顆，第三位同學可以拿走顆，每位同學得到的糖果數(shù)都為整數(shù)，所以該同學拿走17顆，還剩顆，第四位同學可以拿走顆，還剩顆，第五位同學可以拿走顆，還剩顆，∴，故選：C．4．（23-24七年級上·河南安陽·期末）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”．當時有位父親為了準確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細到粗（右細左粗），滿七進一，那么孩子已經(jīng)出生了（

）A．132天 B．72天 C．60天 D．42天【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，根據(jù)“滿七進一”可知最左邊的每個結(jié)表示，中間的每個結(jié)表示7，最右邊每個結(jié)表示1，由此可解．【詳解】解：孩子已經(jīng)出生天數(shù)為：（天），故選B．5．（23-24七年級上·湖南長沙·期末）現(xiàn)有一列數(shù)：（n為正整數(shù)），規(guī)定，若，則n的值為（）A．2021 B．2023 C．2024 D．2025【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)的運算，根據(jù)題意，得到，利用裂項法，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，，，……，，∴，∴，故選：D．二、填空題6．（23-24七年級上·湖北襄陽·期中）定義一種新運算：，則．【答案】5【分析】本題考查的是自定義運算，理解自定義運算的運算法則是解本題的關(guān)鍵，根據(jù)自定義運算列式為，再計算即可.【詳解】解：∵，∴；故答案為：7．（23-24七年級上·吉林長春·階段練習）已知a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，，則．【答案】1【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．根據(jù)、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，可以求得和的值，從而可以求得所求式子的值．【詳解】解：、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，，，，故答案為：18．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）定義一種新運算“”，當時，；當時，．例如：，，求．【答案】【分析】本題考查新定義，有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．根據(jù)當時，，可以計算出所求式子的值．【詳解】解：由題意可得，，故答案為：．9．（23-24八年級下·四川成都·期中）對于任意非零實數(shù)a，b，定義運算“”如下：，則．【答案】【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，實數(shù)的運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．利用定義的新運算進行計算，即可解答．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．10．（23-24八年級上·寧夏固原·期末）由奇數(shù)1，3，5，…，2023組成的和式：，化簡后的結(jié)果為．【答案】【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，根據(jù)分母的特點裂項求解是關(guān)鍵．根據(jù)分母的特點分析，將乘法轉(zhuǎn)化為減法。再抵消計算即可．【詳解】解：，，，……，故答案為：．三、解答題11．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）用簡便方法計算：(1)(2)【答案】(