“萬(wàn)有引力定律”高考復(fù)習(xí)研究

“萬(wàn)有引力定律”高考復(fù)習(xí)研究孫海濤2007年3月于克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)考試大綱總述《萬(wàn)有引力定律》部分在高考大綱中，有4個(gè)方面的考點(diǎn)要求：①萬(wàn)有引力定律，能力要求為Ⅱ類；②萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用.人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)（限于圓周運(yùn)動(dòng)），能力要求為Ⅱ類；③宇宙速度，能力要求為Ⅰ類；④航天技術(shù)的發(fā)展和宇航飛行，能力要求為Ⅰ類.近幾年高考對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度稍有減弱，但幾乎每年都有一道題.這道題通常是以選擇題的形式出現(xiàn)，有些省市的考題中會(huì)以計(jì)算論述題的形式出現(xiàn)，但難度一般不大.通常以考查“萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用”、“人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)”這兩個(gè)部分為主.基本規(guī)律總結(jié)開(kāi)普勒定律開(kāi)普勒第一定律：所有的行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的第一個(gè)焦點(diǎn)上.（學(xué)生知道即可）開(kāi)普勒第二定律：行星與太陽(yáng)的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等.（屬于了解性內(nèi)容）開(kāi)普勒第三定律：所有的行星的軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值相等，即.（可直接用于解決行星圍繞恒星運(yùn)動(dòng)的有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)該知道：其中的比例常量k是一個(gè)與恒星質(zhì)量有關(guān)的物理量）萬(wàn)有引力定律內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個(gè)物體間引力的大小跟它們的質(zhì)量乘積成正比，跟它們之間距離的二次方成反比引力的方向在它們的連線上.定律的適用條件：嚴(yán)格說(shuō)只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身大小時(shí)，公式也近似適用，此時(shí)r應(yīng)是兩物體重心之間的距離，對(duì)于質(zhì)量分布均勻的物體來(lái)說(shuō)，r是兩物體的幾何中心.引力常量的測(cè)定：卡文迪許實(shí)驗(yàn)（學(xué)生應(yīng)該對(duì)該實(shí)驗(yàn)的基本思想有所了解.）實(shí)驗(yàn)裝置：輕而堅(jiān)固的T形架，倒掛在石英絲的下端，T形架水平部分的兩端各裝一個(gè)質(zhì)量為m的小球，T形架的豎直部分裝一個(gè)小平面鏡M，能把射來(lái)的光線反射到一根刻度尺上，實(shí)驗(yàn)時(shí)，把兩個(gè)質(zhì)量m’的大球放在圖示位置，它們跟小球的距離相等，由于m受到m’的吸引使T形架受到扭轉(zhuǎn)力矩而轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)石英發(fā)生扭轉(zhuǎn)，產(chǎn)生相反的扭轉(zhuǎn)力矩，阻礙T形架轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)這兩個(gè)扭轉(zhuǎn)力矩產(chǎn)生的效果相抵消時(shí)，T形架停下來(lái)不動(dòng)，此時(shí)石英絲的扭轉(zhuǎn)角度可以從小鏡M的反射光在刻度尺上移動(dòng)的距離求出，再根據(jù)預(yù)先求出的石英絲扭轉(zhuǎn)力矩跟扭轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，算出扭轉(zhuǎn)力矩，進(jìn)而求出m與m’的引力F，確定引力常量的數(shù)值.巧妙之處：將石英絲的微小形變加以放大，從光源發(fā)出的光線照射到平面鏡M上，在平面鏡偏轉(zhuǎn)θ時(shí)，反射光線偏轉(zhuǎn)2θ角，可知發(fā)光點(diǎn)在刻度尺上移動(dòng)的弧長(zhǎng)s=2πR.增大平面鏡到刻度尺的距離R，光點(diǎn)在刻度尺上移動(dòng)的弧長(zhǎng)s相應(yīng)增大.基本方法依據(jù)尋找向心力的來(lái)源，是解決圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本動(dòng)力學(xué)方法.把天體的運(yùn)動(dòng)（如：行星圍繞恒星的運(yùn)動(dòng)、衛(wèi)星圍繞地球的運(yùn)動(dòng)），近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而其運(yùn)動(dòng)所需的向心力由萬(wàn)有引力來(lái)提供.即：說(shuō)明：在上述等式中，M表示“中心天體”質(zhì)量，m表示“環(huán)繞天體”的質(zhì)量（如：衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動(dòng)，地球即為“中心天體”，而衛(wèi)星為“環(huán)繞天體”）.Rhr在上述等式中，r為環(huán)繞天體的圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，而r’為中心天體和環(huán)繞天體的中心間距.對(duì)于行星圍繞恒星、衛(wèi)星圍繞行星的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，由于M>>m，故可認(rèn)為r=r’.但對(duì)于“雙星”問(wèn)題，要特別注意r和r’Rhr對(duì)于衛(wèi)星圍繞行星的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，應(yīng)特別注意r＝R＋h，如右圖所示.式中R為中心天體的球體半徑，h為環(huán)繞天體到中心天體球體表面的高度.對(duì)行星圍繞恒星的運(yùn)動(dòng)，一般可認(rèn)為R<<r.上述等式是天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題解題的最基本的依據(jù)，可用于討論、計(jì)算、判斷有關(guān)：中心天體質(zhì)量M，衛(wèi)星運(yùn)行的速度v、角速度、周期T、向心加速度a向等常見(jiàn)問(wèn)題（后面將詳細(xì)討論，此處不贅述）.在一些拓展問(wèn)題中，能否靈活運(yùn)用，也是解決復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵.地球（或某些星球表面），物體所受重力近似等于其受到的萬(wàn)有引力.或者物體距離星球表面一定的高度時(shí)，可認(rèn)為物體受到的萬(wàn)有引力就是其受到的重力.即：在地面附近：，故有：說(shuō)明：上面的關(guān)系式一般有三方面的運(yùn)用：①若已知地球表面的重力加速度g0和地球半徑R，可根據(jù)求解地球質(zhì)量.②根據(jù)可討論有關(guān)星球表面重力加速度的問(wèn)題，星球表面的重力加速度與星球質(zhì)量成正比，與星球半徑的平方成反比.③常用代換式：.在距地面高為h處：，故有：.（要注意到此處為距地面某高度處的重力加速度，不是地球表面的重力加速度.）典型問(wèn)題匯總?cè)f有引力定律的理解：【例題1】設(shè)想人類開(kāi)發(fā)月球，不斷地把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上．假如經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間開(kāi)采后，地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開(kāi)采前的圓軌道運(yùn)動(dòng)，則與開(kāi)采前比較:A．地球與月球間的萬(wàn)有引力將變大 B．地球與月球間的萬(wàn)有引力將變小C．月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變長(zhǎng) D．月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變短解析：據(jù)題意，月球的軌道半徑不變.而長(zhǎng)時(shí)間的開(kāi)采使得地球質(zhì)量不斷增大，月球質(zhì)量不斷減小.注意到保持不變，故將減小.根據(jù)萬(wàn)有引力定律，可判斷地球與月球間的萬(wàn)有引力將變小.故B正確.月球的圓周運(yùn)動(dòng)，地球?qū)ζ涞娜f(wàn)有引力為其提供向心力，即，可得：.所以，由地球質(zhì)量不斷增大，可知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變短，故D正確.答案：B、D.【例題2】在研究宇宙發(fā)展演變的理論中，有一種學(xué)說(shuō)叫做“宇宙膨脹說(shuō)”，這種學(xué)說(shuō)認(rèn)為萬(wàn)有引力常量G在緩慢地減小，根據(jù)這一理論，在很久很久以前，太陽(yáng)系中地球的公轉(zhuǎn)情況與現(xiàn)在相比：A．公轉(zhuǎn)半徑R較大 B．公轉(zhuǎn)周期T較大C．公轉(zhuǎn)速率v較大 D．公轉(zhuǎn)角速度ω較小解析：（先判斷公轉(zhuǎn)半徑的變化情況）地球繞太陽(yáng)的圓周運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)對(duì)其的萬(wàn)有引力為其提供向心力，即.若引力常量在緩慢地減小，使得萬(wàn)有引力不足以提供所需向心力，故公轉(zhuǎn)半徑應(yīng)該增大，A錯(cuò)誤.由，公轉(zhuǎn)周期應(yīng)增大，B錯(cuò)誤.由，公轉(zhuǎn)速度應(yīng)減小，C正確.由，公轉(zhuǎn)角速度應(yīng)減小，D錯(cuò)誤.答案：C.關(guān)于地球表面重力加速度的討論①地球表面重力加速度隨緯度的變化.如圖所示，地球?qū)ζ浔砻娴娜f(wàn)有引力產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，另一個(gè)分力是物體的重力.由于(為地球半徑)，由公式可見(jiàn)，隨著緯度升高（增大），向心力將減小.另外，由于地球是一個(gè)橢球，其極地半徑小于赤道半徑.根據(jù)萬(wàn)有引力定律：，隨緯度不斷升高，萬(wàn)有引力將不斷增大增大.綜合以上兩個(gè)因素，可知地球表面重力加速度隨緯度的升高而增大. ②地球表面重力加速度隨高度的變化.距地球表面高處物體重力為，可得.即：在同一緯度，物體的重力和重力加速度的數(shù)值，還隨著物體離地面高度的增加而減?。?【例題3】地球赤道上的物體重力加速度為g,物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a,要使赤道上的物體“飄”起來(lái),則地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)為原來(lái)的A.B.C.D.解析：設(shè)地球原來(lái)自轉(zhuǎn)的角速度為，用表示地球?qū)Τ嗟郎系奈矬w的萬(wàn)有引力,表示地面對(duì)物體的支持力，由牛頓第二定律得而物體受到的支持力與物體的重力是一對(duì)平衡力,所以：當(dāng)當(dāng)赤道上的物體“飄”起來(lái)時(shí),只有萬(wàn)有引力提供向心力，設(shè)此時(shí)地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，有：聯(lián)立①、②、③三式可得答案：B除此以外，地球表面的的重力加速度還跟地質(zhì)結(jié)構(gòu)有關(guān).應(yīng)該知道地球表面重力加速度隨緯度的變化得不是很顯著.故在高度變化不大的情況下，可近似認(rèn)為地球表面物體的重力等于其受到萬(wàn)有引力，即：.如前所述，這是一個(gè)很有用的結(jié)論．天體的質(zhì)量與密度的估算天體的質(zhì)量的計(jì)算一般有兩種思路：思路1：根據(jù)環(huán)繞天體圍繞中心天體的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，列式求解.例如：由可得：，若已知日地間距和地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期，即可求出太陽(yáng)的質(zhì)量.（該方法只能計(jì)算出中心天體的質(zhì)量，而無(wú)法得到環(huán)繞天體的質(zhì)量）思路2：根據(jù)某些星體表面，物體所受重力近似等于其受到的萬(wàn)有引力，列式求解.（該方法的前提是“重力近似等于萬(wàn)有引力”，一般用于計(jì)算地球的質(zhì)量.）例如：由可得：，若已知地球表面的重力加速度和地球半徑，就可以求出地球的質(zhì)量.天體密度的計(jì)算：一般說(shuō)來(lái)，在上述天體質(zhì)量估算的前提下.考慮到星球可近似看作球體，其體積可表示為：，故其密度可表示為：.若天體質(zhì)量可表示為，則：，即知道了環(huán)繞天體的軌道半徑、運(yùn)行周期和中心天體的球體半徑，即可求解中心天體的密度（這里需區(qū)分和的含義）.【例題4】下列哪一組數(shù)據(jù)能夠估算出地球的質(zhì)量A.月球繞地球運(yùn)行的周期與月地之間的距離B.地球表面的重力加速度與地球的半徑C.繞地球運(yùn)行衛(wèi)星的周期與線速度D.地球表面衛(wèi)星的周期與地球的密度解析：設(shè)地球的質(zhì)量為，衛(wèi)星的質(zhì)量為，衛(wèi)星的運(yùn)行周期為，軌道半徑為月球環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力為其提供向心力：……①可得：……②可見(jiàn)A正確而：……③由②③知C正確對(duì)地球表面的衛(wèi)星，其軌道半徑等于地球的半徑，……④由于……⑤結(jié)合②④⑤得：可見(jiàn)D錯(cuò)誤地球表面的物體，其重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力由得：可見(jiàn)B正確有關(guān)行星和衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的一般問(wèn)題對(duì)衛(wèi)星圍繞地球或行星圍繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力的基本思路可得：，，，這四個(gè)基本關(guān)系式是用于討論行星和衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的一般問(wèn)題的基本關(guān)系.【例題5】火星有兩顆衛(wèi)星，分別為火衛(wèi)一和火衛(wèi)二，它們的軌道近似為圓，已知火衛(wèi)一的周期為7小時(shí)39分，火衛(wèi)二的周期為30小時(shí)18分，則兩顆衛(wèi)星相比A．火衛(wèi)一距火星表面較近B．火衛(wèi)二的角速度較大C．火衛(wèi)一的運(yùn)動(dòng)速度較大D．火衛(wèi)二的向心加速度較大解析：由題可知火衛(wèi)一的周期小于火衛(wèi)二的周期，由可知火衛(wèi)一的軌道半徑應(yīng)小于火衛(wèi)二的軌道半徑，故A正確.根據(jù)、、可知C正確，B、D錯(cuò)誤.答案：A、C【例題6】2003年8月29日，火星、地球和太陽(yáng)三點(diǎn)處于同一線上，出現(xiàn)“火星沖日”的天文奇觀．這是6萬(wàn)年來(lái)火星距地球最近的一次，與地球之間的距離只有5576萬(wàn)千米，為人類研究火星提供了最佳時(shí)機(jī)．圖為美國(guó)宇航局最新公布的“火星沖日”虛擬圖，則：A．2003年8月29日，火星的線速度大于地球的線速度B．2003年8月29日，火星的加速度大于地球的加速度C．2004年8月29日，必將產(chǎn)生下一個(gè)“火星沖日”D．下一個(gè)“火星沖日”必在2004年8月29日之后的某天發(fā)生解析：地球和火星都是太陽(yáng)的行星，它們圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)都可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由火星和地球的位置關(guān)系可知火星的公轉(zhuǎn)半徑大于地球的公轉(zhuǎn)半徑.由、可知A、B錯(cuò)誤.由可知火星的角速度應(yīng)小于地球的，故經(jīng)過(guò)一年時(shí)間地球運(yùn)轉(zhuǎn)一周，火星還未運(yùn)轉(zhuǎn)一周，故C錯(cuò)誤，D正確.答案：D.關(guān)于地球同步衛(wèi)星我們把相對(duì)地面靜止的衛(wèi)星稱為同步衛(wèi)星.所以，同步衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)必須跟地球的自傳同步.這就決定了它的特點(diǎn)：①該衛(wèi)星的運(yùn)行周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同（h）；②衛(wèi)星軌道嚴(yán)格處于地球赤道平面內(nèi)；③該衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與地球相同.根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的關(guān)系式可知，不同的人造地球同步衛(wèi)星的軌道、線速度、角速度、周期和加速度等均是相同的．不一定相同的是衛(wèi)星的質(zhì)量和衛(wèi)星所受的萬(wàn)有引力．（可以計(jì)算得出：人造地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為，它離地面的高度約為,運(yùn)行的線速度約為,向心加速度約為.）同步衛(wèi)星一般用于通信衛(wèi)星、廣播衛(wèi)星、氣象衛(wèi)星、預(yù)警衛(wèi)星等，一顆這樣的衛(wèi)星可以覆蓋地球大約40％的面積.若在此軌道上均勻分布3顆衛(wèi)星，即可實(shí)現(xiàn)全球通信或預(yù)警．但是，為了衛(wèi)星之間不互相千擾，大約30左右才能放置1顆，這樣地球的同步衛(wèi)星只能有120顆．宇宙空間位置也是一種資源.【例題7】關(guān)于“亞洲一號(hào)”地球同步通訊衛(wèi)星，下述說(shuō)法正確的是:A.已知它的質(zhì)量是1.24t,若將它的質(zhì)量增為2.84t,其同步軌道半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍B.它的運(yùn)行速度為7.9km/sC.它可以繞過(guò)北京的正上方，所以我國(guó)能利用其進(jìn)行電視轉(zhuǎn)播D.它距地面的高度約為地球半徑的5倍,所以衛(wèi)星的向心加速度約為其下方地面上物體的重力加速度的解析:同步衛(wèi)星的軌道半徑是一定的，與其質(zhì)量的大小無(wú)關(guān)．所以A項(xiàng)錯(cuò)誤．因?yàn)樵诘孛娓浇@地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的速度近似等于7.9km/s，而衛(wèi)星的線速度隨軌道半徑的增大而減小，所以同步衛(wèi)星的線速度一定小于7.9km/s,實(shí)際計(jì)算表明它的線速度只有3.07km/s.所以B項(xiàng)錯(cuò)誤．因同步衛(wèi)星的軌道在赤道的正上方，北京在赤道以北，所以同步軌道不可能過(guò)北京的正上方．所以C項(xiàng)錯(cuò)誤．同步衛(wèi)星的向心加速度，物體在地面上的重力加速度，依題意，所以.D選項(xiàng)正確.答案：D.地球極地衛(wèi)星由于這種衛(wèi)星的運(yùn)行軌道平面與赤道平面垂直，無(wú)論它的軌道半徑多大，其總是相對(duì)于地球表面運(yùn)動(dòng)，所以地球極地衛(wèi)星對(duì)地面有著較大的覆蓋面積.多用于氣象衛(wèi)星、偵察衛(wèi)星等.【例題8】我國(guó)自行研制的“風(fēng)云一號(hào)”、“風(fēng)云二號(hào)”氣象衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是不同的.“一號(hào)”是極地圓形軌道衛(wèi)星.其軌道平面與赤道平面垂直，周期是12h；“二號(hào)”是地球同步衛(wèi)星.兩顆衛(wèi)星相比_____離地面較高；____觀察范圍較大；____運(yùn)行速度較大.若某天上午8點(diǎn)“風(fēng)云一號(hào)”正好通過(guò)某城市的上空，那么下一次它通過(guò)該城市上空的時(shí)刻將是_____.解析：根據(jù)公式知，高度越大，周期越大，則“風(fēng)云二號(hào)”氣象衛(wèi)星離地面較高；根據(jù)運(yùn)行軌道的特點(diǎn)知，“風(fēng)云一號(hào)”觀察范圍較大；根據(jù)公式知，高度越小，速度越大，則“風(fēng)云一號(hào)”運(yùn)行速度較大，由于“風(fēng)云一號(hào)”衛(wèi)星的周期是12h，每天能對(duì)同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測(cè)（晝夜各一次），在這種軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星通過(guò)任意緯度的地方時(shí)時(shí)間保持不變.則下一次它通過(guò)該城市上空的時(shí)刻將是第二天上午8點(diǎn)(這時(shí)“風(fēng)云一號(hào)”已經(jīng)圍繞地球轉(zhuǎn)了兩圈).答案：“風(fēng)云二號(hào)”，“風(fēng)云一號(hào)”，“風(fēng)云一號(hào)”，第二天上午8點(diǎn).【例題9】偵察衛(wèi)星在通過(guò)地球兩極上的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下來(lái)，衛(wèi)星在通過(guò)赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)是多少？設(shè)地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T.解析：如果偵察衛(wèi)星的周期是小時(shí)，則每天能對(duì)同一緯度的地方進(jìn)行n次觀測(cè).設(shè)偵察衛(wèi)星運(yùn)行周期為T1，則有：……①某質(zhì)量為物體處在地面上時(shí)有：……②在日照條件下經(jīng)過(guò)赤道上空的次數(shù)：……………③所以每次攝像機(jī)拍攝的赤道弧長(zhǎng)為:……………④由以上①～④式可得：宇宙速度的計(jì)算與理解第一宇宙速度：有兩種計(jì)算思路：思路1：對(duì)地球表面的近地衛(wèi)星，其發(fā)射速度等于在軌道上的運(yùn)行速度，該衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)行時(shí)，地球?qū)ζ涞娜f(wàn)有引力提供向心力，有：，可得：.思路2：對(duì)近地衛(wèi)星可認(rèn)為，其重力近似等于所受萬(wàn)有引力，有：，可得：；第一宇宙速度（環(huán)繞速度）約為，這個(gè)速度可理解為所有人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度（越高的衛(wèi)星，由于需要的發(fā)射能量約大，發(fā)射越困難，故發(fā)射的速度越大），也是所有人造衛(wèi)星的最大運(yùn)行速度第二宇宙速度（脫離速度）：約為——掙脫地球引力的最小發(fā)射速度.第三宇宙速度(逃逸速度):約為——使物體掙脫太陽(yáng)束縛的最小發(fā)射速度.【例題10】若取地球的第一宇宙速度為8km/s，某行星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的6倍，半徑是地球的1.5倍，這顆行星的第一宇宙速度約為：A.2km/sB.4km/sC.16km/sD.32km/s解析：由得，可知第一宇宙速度.設(shè)地球的質(zhì)量和半徑分別為和，行星的質(zhì)量和半徑分別為和這顆行星的第一宇宙速度為答案：C.雙星問(wèn)題宇宙中往往會(huì)有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星，（其他星體對(duì)它們的影響忽略不計(jì)），圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做同周期的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這種結(jié)構(gòu)叫做雙星.雙星結(jié)構(gòu)具有以下三個(gè)特點(diǎn)：①雙星和該固定點(diǎn)總保持三點(diǎn)共線；②雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度必定相同，因此周期也必然相同.③由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬(wàn)有引力提供的，因此大小必然相等.【例題11】?jī)煽每康煤芙奶祗w稱為雙星，它們都繞兩者連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而不至于由于萬(wàn)有引力而吸引到一起，以下說(shuō)法中正確的是：A.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比與其質(zhì)量成反比B.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比與其質(zhì)量成反比C.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與其質(zhì)量成正比D.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與其質(zhì)量成反比解析：兩子星繞連線上的某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等，角速度也相等．故A錯(cuò)誤.由得線速度與兩子星圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是成正比的．因?yàn)閮勺有菆A周運(yùn)動(dòng)的向心力由兩子星間的萬(wàn)有引力提供，向心力大小相等，由,可知,所以它們的軌道半徑與它們的質(zhì)量是成反比的．而線速度又與軌道半徑成正比，所以線速度與它們的質(zhì)量也是成反比的．故B、D正確選項(xiàng),C錯(cuò)誤.答案：B、D.【例題12】?jī)蓚€(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng).現(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R，其運(yùn)動(dòng)周期為T，求兩星的總質(zhì)量.解析：設(shè)兩星質(zhì)量分別為M1和M2，都繞連線上O點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1和星球2到O的距離分別為l1和l2.由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律及幾何關(guān)系可得對(duì)：故有：對(duì)：故有：所以兩星的總質(zhì)量為：疑難易錯(cuò)辨析不分地點(diǎn)，不明研究對(duì)象，隨意列式求解帶來(lái)錯(cuò)解【例題13】神舟五號(hào)載人飛船在繞地球飛行的第5圈進(jìn)行變軌，由原來(lái)的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨萮=342km的圓形軌道。已知地球半徑R=6.37×103km，地面處的重力加速度g=10m/s2。試導(dǎo)出飛船在上述圓軌道上運(yùn)行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后計(jì)算周期辨析：本題難度不大，基本思路應(yīng)該是：由飛船在圓周軌道上運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力列式得到：，再由常用代換式進(jìn)行代換得到：即可.但是有不少學(xué)生在解題時(shí)，很容易寫(xiě)出的錯(cuò)誤關(guān)系式.等式的左面寫(xiě)的是地球表面的重力，右面卻是物體處于衛(wèi)星軌道所在高空的萬(wàn)有引力.從而造成錯(cuò)誤.不注意區(qū)分衛(wèi)星離地高度和軌道半徑，帶來(lái)錯(cuò)解【例題14】已知萬(wàn)有引力常量G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球的運(yùn)轉(zhuǎn)周期T1，地球的自轉(zhuǎn)周期T2，地球表面的重力加速度g.某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：同步衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，由得請(qǐng)判斷上面的結(jié)果是否正確，并說(shuō)明理由.如不正確，請(qǐng)給出正確的解法和結(jié)果.辨析：題目中的錯(cuò)解就是因?yàn)閷⑼叫l(wèi)星的高度h當(dāng)成了軌道半徑或星體的球心間距，造成了錯(cuò)解.正確的解法應(yīng)是：同步衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，由得.所以在解答這類問(wèn)題列式時(shí)，要特別注意到衛(wèi)星的高度h和軌道半徑、星體的球心間距的差別.不注意區(qū)分星體球心間距與軌道半徑帶來(lái)錯(cuò)解（尤其是在解答雙星問(wèn)題時(shí)）【例題15】我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星。某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬(wàn)有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動(dòng).由天文觀察測(cè)得其運(yùn)動(dòng)周期為T，S1到C點(diǎn)的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為:A.B.C.D.辨析：S1和S2的質(zhì)量分別為M1和M2，S1繞C點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，S2對(duì)其的萬(wàn)有引力提供向心力，有，可得：.應(yīng)選D選項(xiàng).但是，有的學(xué)生不注意兩星體間的距離和轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的區(qū)別，就會(huì)帶來(lái)B或C的錯(cuò)解.不注意區(qū)分星體半徑和軌道半徑帶來(lái)的錯(cuò)解，尤其是在星體密度的估算中【例題16】2003年10月16日北京時(shí)間6時(shí)34分，中國(guó)首位航天員楊利偉乘坐“神舟”五號(hào)飛船在內(nèi)蒙古中部地區(qū)成功著陸，中國(guó)首次載人航天飛行任務(wù)獲得圓滿成功。中國(guó)由此成為世界上繼俄、美之后第三個(gè)有能力將航天員送上太空的國(guó)家。據(jù)報(bào)道，中國(guó)首位航天員楊利偉乘坐的“神舟”五號(hào)載人飛船，于北京時(shí)間十月十五日九時(shí)，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長(zhǎng)征二號(hào)F”型運(yùn)載火箭發(fā)射升空。此后，飛船按照預(yù)定軌道環(huán)繞地球十四圈，在太空飛行約二十一小時(shí)，若其運(yùn)動(dòng)可近似認(rèn)為是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，飛船距地面高度約為340千米，已知萬(wàn)有引力常量為G=6.67×10－11牛·米2/千克2，地球半徑約為6400千米，且地球可視為均勻球體，則試根據(jù)以上條件估算地球的密度。（結(jié)果保留1位有效數(shù)字）辨析：設(shè)地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，地球密度為ρ；飛船距地面高度為h，運(yùn)行周期為T，飛船質(zhì)量為m.據(jù)題意題s=5400s飛船沿軌道運(yùn)行時(shí)有…①而…②由①②兩式得：…③代入數(shù)據(jù)解得但是，有的同學(xué)在得到③式后，又想當(dāng)然地將式子進(jìn)一步簡(jiǎn)化成，再代入數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果帶來(lái)錯(cuò)解.這就是不注意區(qū)分星體半徑和軌道半徑造成的.不注意區(qū)分連續(xù)物還是衛(wèi)星群帶來(lái)錯(cuò)解【例題17】土星的外層有一個(gè)環(huán)，為了判斷它是土星的一部分，即土星的“連續(xù)群”，還是土星的“衛(wèi)星群”，可以通過(guò)測(cè)量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系來(lái)判斷：A.若v∝R，則該層是土星的連續(xù)群B.若v2∝R，則該層是土星的衛(wèi)星群C.若，則該層是土星的連續(xù)群D.若，則該層是土星的衛(wèi)星群辨析：本題考察連續(xù)物與分離物的特點(diǎn)與規(guī)律⑴該環(huán)若是土星的連續(xù)群，則它與土星有共同的自轉(zhuǎn)角速度，，因此v∝R⑵該環(huán)若是土星的衛(wèi)星群，由萬(wàn)有引力定律得：故A、D正確但是，如果在學(xué)習(xí)過(guò)程中只是死記硬背了一些公式(例如：、)，而不去注意理解公式的條件和每個(gè)字母符號(hào)的含義，就會(huì)在運(yùn)用中出現(xiàn)錯(cuò)解.不注意區(qū)別赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體、近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星，帶來(lái)的錯(cuò)解【例題18】同步衛(wèi)星離地心距離為,運(yùn)行速率為,加速度為，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為，第一宇宙速度為，地球的半徑為，則下列比值正確的是：A.B.C.D.辨析：注意到同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體有共同的角速度，根據(jù)公式，可知，即A正確；考慮到和都是衛(wèi)星的運(yùn)行速度，而，即，故D正確.如果沒(méi)有將赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體、近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星區(qū)分得很清楚，就會(huì)因混淆以上各個(gè)物理量而出現(xiàn)錯(cuò)解.下面通過(guò)列表幫助同學(xué)們來(lái)區(qū)分它們：半徑R周期T向心力F關(guān)系式備注赤道上的物體即為地球半徑與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即24h此處的萬(wàn)有引力與重力之差離地高度近似為0，與地面有相對(duì)運(yùn)動(dòng)近地

衛(wèi)星即為地球半徑可求得T=85min此處的萬(wàn)有引力離地高度近似為0，與地面有相對(duì)運(yùn)動(dòng)同步

衛(wèi)星可求得距地面高度h≈36000km，約為地球半徑的5.6倍與地球自周期相同，

即24h此處的萬(wàn)有引力軌道面與赤道面重合，在赤道上空，與地面保持相對(duì)靜止拓展問(wèn)題探究天體運(yùn)動(dòng)與拋體【例題19】宇航員在月球上做自由落體實(shí)驗(yàn)，將某物體由距月球表面高h(yuǎn)處釋放，經(jīng)時(shí)間t后落到月球表面（設(shè)月球半徑為R）．據(jù)上述信息推斷，飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所必須具有的速率為BA． B． C． D．解析：設(shè)月球表面的重力加速度為對(duì)物體在月球表面下落的運(yùn)動(dòng)有：………………①飛船近月球表面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)：………………②由①②兩式可得：答案：應(yīng)選B.“兩星相會(huì)”問(wèn)題【例題20】2002年四月下旬，天空中出現(xiàn)了水星、金星、火星、木星、土星近乎直線排列的“五星連珠”的奇觀，這種現(xiàn)象的概率大約是幾百年一次.假設(shè)火星和木星繞太陽(yáng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期分別是T1和T2，而且火星離太陽(yáng)較近，它們繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道基本上在同一平面內(nèi)，若某一時(shí)刻火星和木星都在太陽(yáng)的同一側(cè)，三者在一條直線上排列，那么再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)的時(shí)間將第二次出現(xiàn)這種現(xiàn)象: A． B． C． D． 解析：設(shè)火星和木星的角速度分別為：和，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，應(yīng)有：和，再一次發(fā)生火星、木星相會(huì)：，所以：. 答案：應(yīng)選D.天體能量問(wèn)題【例題21】“借助引力”技術(shù)開(kāi)發(fā)之前，行星探測(cè)飛船只能飛至金星、火星和木星，因?yàn)楝F(xiàn)代火箭技術(shù)其實(shí)相當(dāng)有限，不能提供足夠的能量，使行星探測(cè)飛船直接飛往更遙遠(yuǎn)的星體．但如“借助引力”，可使行星探測(cè)飛船“免費(fèi)”飛往更遙遠(yuǎn)的星體．如圖為美國(guó)航空航天局設(shè)計(jì)的“卡西尼”飛船的星際航程計(jì)劃的一部分圖形．當(dāng)飛船接近木星時(shí)，會(huì)從木星的引力中獲取動(dòng)量，當(dāng)飛行離開(kāi)木星后，也會(huì)從木星的引力中獲取搏動(dòng)量，從而可飛抵遙遠(yuǎn)的土星．由此可知以下說(shuō)法不正確的是A．飛船由于木星的引力提供能量，機(jī)械能大大增加B．木星會(huì)因?yàn)槭ツ芰慷壽E發(fā)生較大改變C．飛船受到太陽(yáng)的引力一直比受到木星的引力大D．飛船飛過(guò)木星前后速度方向會(huì)發(fā)生改變解析：應(yīng)該知道，天體運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能應(yīng)該包括動(dòng)能和引力勢(shì)能.由機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量定理可知ACD是正確的．B錯(cuò)誤答案：應(yīng)選B.衛(wèi)星“變軌”問(wèn)題【例題22】發(fā)射地球同步衛(wèi)星要利用“霍曼軌道”，霍曼軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)即同步高度36000km,如圖所示，發(fā)射衛(wèi)星時(shí)先把它發(fā)射到高度為1400km①近地點(diǎn)②遠(yuǎn)地點(diǎn)③霍曼軌道上任一點(diǎn)④停泊軌道上任一點(diǎn)A．①③B．①②C．③④D．②③解析：根據(jù)能量關(guān)系可知，衛(wèi)星在同步軌道上的能量最大，而在停泊軌道上的能量最小，所謂加速，實(shí)際是使衛(wèi)星的能量增加的過(guò)程.從能量關(guān)系了解好“變軌”道理，不難得出正確選項(xiàng)應(yīng)該為B.中子星【例題23】中子星是恒星演變到最后的一種存在形式．(1)有一密度均勻的星球，以角速度繞自身的幾何對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)．若維持其表面物質(zhì)不因快速旋轉(zhuǎn)而被甩掉的力只有萬(wàn)有引力，那么該星球的密度至少要多大?(2)蟹狀星云中有一顆中子星，它每秒轉(zhuǎn)30周，以此數(shù)據(jù)估算這顆中子星的最小密度．(3)若此中子星的質(zhì)量約等于太陽(yáng)的質(zhì)量(2×1030kg)，試問(wèn)它的最大可能半徑是多大解析：（1）對(duì)該中子星“赤道”上的某一質(zhì)