10道經(jīng)典球的接切問題及詳解

試題是數(shù)學(xué)的心臟，思維是數(shù)學(xué)的靈魂P(guān)AGE第14頁雙語題庫立體幾何專題球的接切問題1.若三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，則該三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離為A.B.C.1D.答案：D.圖解如下——解決球問題時(shí)，未必將球畫出來，增強(qiáng)我們的空間想象能力.，即.2011-12-6wht2.已知正三棱椎的體積為，外接球球心為，且滿足則正三棱錐的外接球的半徑為A.B.C.D.答案：B，由得出球心O為△ABC的中心，于是錐高為球半徑，故圖2，推出.圖23.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖2所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為．，球心必然在過且垂直于平面ABC的垂線上，如圖，，圓的半徑可以通過正弦定理得到=2，于是球半徑為.故球體積為已知球的直徑SC=4，A,B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，，則棱錐S-ABC的體積為（2011遼寧高科理科12）（A）（B）（C）（D）16.將4個(gè)半徑為1的球裝入正四面體型容器內(nèi)，則此容器的最小高度為.（2011屆馬瑞瑤問題）答案：.提示：分層處理——（1）最上層的小球相當(dāng)于正四面體內(nèi)切球，，而r=1，從而，所以此小球球心到四面體頂點(diǎn)距離為；（2）中間層是上層小球球心到下面三球球心距離為以2r為棱長的正四面體的高；（3）最下層是下層球心到底面距離為r=1.故整個(gè)大正四面體容器的最小高度為3++1=4+.說明：立體幾何的接切問題最終轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體（正方體、長方體、正四面體、正三棱錐）的問題處理，這是不變的規(guī)則.2011-12-6wht再解析7.在四面體中，，，，二面角的余弦值是，則該四面體外接球的表面積是（源自2012屆育才高中部五模理科11題）A.B.C.D.答案：D.方法一：還原到幾何體中——依據(jù)已知條件研究各個(gè)棱長得出SB=，聯(lián)想到正方體的棱間關(guān)系，容易將圖形還原到原幾何體——正方體中.如圖——問題迎刃而解.方法二：若是不能還原到正方體，我們也可以這樣考慮：計(jì)算得出SO1在面ABC內(nèi)的射影到O1的距離為1，即DO1=1，剛好為小圓的半徑，∴SD為球的一條弦，計(jì)算其長度為.從而可求得球的半徑為，下同上.點(diǎn)評(píng)：利用圓的截面性質(zhì)找圓心是必須掌握的能力。．如圖，平面四邊形中，，，將其沿對(duì)角線折成四面體，使平面平面，若四面體頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（源自2012屆育才雙語高三理科最后一卷）A．B．C．D．變式訓(xùn)練：如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為（源自2013年高一期末檢測題T12）A.B.C.D.答案：A.提示：補(bǔ)成長方體得解.9.一個(gè)正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為.答案：.設(shè)外接球半徑為R，在△OO1A中有解得.∴.說明：在本題的解決上學(xué)生不易判定出球心在體外這一事實(shí).2012-9-11wht10．高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為（源自2011年重慶9題） A． B． C．1 D．答案：C.提示：由正方形邊長為1及球半徑為1得出球心到正方形的距離為，而錐高為，∴頂點(diǎn)S在球心O與正方形所在截面圓圓心O連線的中垂面上【不可能在其他位置的原因是】，如圖，這樣問題變得非常簡單——答案與半徑等長.2012-12-17wht再次輸入典型例題1——球的截面例1球面上有三點(diǎn)、、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑．解：∵，，，∴，是以為斜邊的直角三角形．∴的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，∴，得．∴球的表面積為．說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個(gè)量求第三個(gè)量，也可能是抓三個(gè)量之間的其它關(guān)系，求三個(gè)量．【練習(xí)】過球表面上一點(diǎn)引三條長度相等的弦、、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度．由條件可抓住是正四面體，、、、為球上四點(diǎn)，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過點(diǎn)、、的截面圓半徑，所以得．典型例題2——球面距離例2過球面上兩點(diǎn)作球的大圓，可能的個(gè)數(shù)是（）．A．有且只有一個(gè)B．一個(gè)或無窮多個(gè)C．無數(shù)個(gè)D．以上均不正確分析：對(duì)球面上兩點(diǎn)及球心這三點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，可以作一個(gè)大圓；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可作無數(shù)個(gè)大圓，故選B．例3球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為，求這個(gè)球的半徑．分析：利用球的概念性質(zhì)和球面距離的知識(shí)求解．設(shè)球的半徑為，小圓的半徑為，則，∴．如圖所示，設(shè)三點(diǎn)、、，為球心，．又∵，∴是等邊三角形，同樣，、都是等邊三角形，得為等邊三角形，邊長等于球半徑．為的外接圓半徑，，．說明：本題是近年來球這部分所出的最為綜合全面的一道題，除了考查常規(guī)的與多面體綜合外，還考查了球面距離，幾乎涵蓋了球這部分所有的主要知識(shí)點(diǎn)，是一道不可多得的好題．例4、是半徑為的球的球面上兩點(diǎn)，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？分析：、是球面上兩點(diǎn)，球面距離為，轉(zhuǎn)化為球心角，從而，由關(guān)系式，越小，越大，是過、的球的截面圓的半徑，所以為圓的直徑，最?。猓骸咔蛎嫔?、兩點(diǎn)的球面的距離為．∴，∴．當(dāng)成為圓的直徑時(shí)，取最小值，此時(shí)，取最大值，，即球心與過、的截面圓距離最大值為．說明：利用關(guān)系式不僅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半徑與球心到截面的距離之間的變化規(guī)律．此外本題還涉及到球面距離的使用，球面距離直接與兩點(diǎn)的球心角有關(guān)，而球心角又直接與長度發(fā)生聯(lián)系，這是使用或者求球面距離的一條基本線索．典型例題3——其它問題例5．自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)．解：以為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對(duì)角線長是球的直徑．=．說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算．例6．試比較等體積的球與正方體的表面積的大?。治觯菏紫茸ズ们蚺c正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系．解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長為，它們的體積均為，則由，，由得．．．，即．典型例題4——球與幾何體的切、接問題例7一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切．問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時(shí)的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺(tái))的體積等于球的體積，列式求解．解：如圖作軸截面，設(shè)球未取出時(shí)水面高，球取出后，水面高∵，，則以為底面直徑的圓錐容積為，球取出后水面下降到，水體積為．又，則，解得．例8．設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面積之比及體積之比．分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的．解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個(gè)球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個(gè)球的半徑為正四面體中心到頂點(diǎn)的距離．設(shè)，正四面體的一個(gè)面的面積為．依題意得，又即．所以．．說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑．例9．把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離．分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長為兩球半徑之和2．解：四球心組成棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高．而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，且三個(gè)球心到桌面的距離都為1，故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為．例10．如圖1所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最?。治觯捍祟}的關(guān)鍵在于作截面，一個(gè)球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對(duì)角面，而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上，故仍需作正方體的對(duì)角面，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和棱長間的關(guān)系即可．解：如圖2，球心和在上，過，分別作的垂線交于．圖2則由得．圖2，．（1）設(shè)兩球體積之和為，則==當(dāng)時(shí)，有最小值．當(dāng)時(shí)，體積之和有最小值．作業(yè)1.正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切．求球的表面積與體積．解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑．是正三棱錐的高，即．是邊中點(diǎn)，在上，的邊長為，∴．∴可以得到．由等體積法，∴得：，∴．∴．說明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點(diǎn)來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法．2.求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系．解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓．設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；，，∴，，，∴．3在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和．求球的表面積．分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑．解：如圖為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，，且若、分別為兩截面圓的圓心，則，．設(shè)球的半徑為．∵，∴同理，∴設(shè)，則．在中，；在中，，∴，解得，∴，∴∴．∴球的表面積為．巧解外接球問題摘要：外接球有關(guān)計(jì)算問題在近年高考試題中屢見不鮮，本文就長方體、正方體及棱錐的外接球有關(guān)問題，給出了特殊解法。關(guān)鍵詞：巧解外接球問題《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了基本要求：“在立體幾何初步部分，學(xué)生將先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間圖形；再以長方體為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；……。”由此可見，長方體模型是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，掌握長方體模型，對(duì)于學(xué)生理解立體幾何的有關(guān)問題起著非常重要的作用。有關(guān)外接球的立體幾何問題是近年各省高考試題的難點(diǎn)之一，這與學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力有關(guān)，本文通過近年來部分高考試題中外接球的問題談幾種解法。一、直接法1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1（2006年廣東高考題）若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.解析：要求球的表面積，只要知道球的半徑即可.因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對(duì)角線長，再計(jì)算半徑.故表面積為.例2一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為，則該球的體積為.解析：要求球的體積，還是先得求出球的半徑，而球的直徑正好是正方體的體對(duì)角線，因此，由正方體表面積可求出棱長，從而求出正方體的體對(duì)角線是所以球的半徑為.故該球的體積為.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3（2007年天津高考題）一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為，則此球的表面積為.解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L方體內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑。長方體體對(duì)角線長為，故球的表面積為.例4、（2006年全國卷I）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（）.A.B.C.D.解析：正四棱柱也是長方體。由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為2，因此，長方體的長、寬、高分別為2，2，4，于是等同于例3，故選C.二、構(gòu)造法1、構(gòu)造正方體例5（2008年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長方體，且側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如圖1，則，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，故所求表面積是.(如圖1)圖2圖2圖1圖1例6（2003年全國卷）一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A.B.C.D.解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形，再計(jì)算球的半徑.在此，由于所有棱長都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體，再尋找棱