河北省邢臺(tái)市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)試題含解析

PAGEPAGE17河北省邢臺(tái)市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)試題留意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在|答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是（）A． B． C．10 D．182．已知集合，，若，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．假如雙曲線的離心率為，我們稱該雙曲線為黃金分割雙曲線，簡稱為黃金雙曲線．現(xiàn)有一黃金雙曲線，則該黃金雙曲線C的虛軸長為（）A．2 B．4 C． D．4．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是十種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)．若相鄰兩個(gè)氟原子間的距離為2a，則六氟化硫分子中6個(gè)氟原子構(gòu)成的正八面體的體積是（不計(jì)氟原子的大?。〢． B． C． D．5．在的綻開式中，項(xiàng)的系數(shù)是（）A．280 B．-280 C．560 D．-5606．已知函數(shù)，若，則（）A．-7 B．-3 C．3 D．77．已知，，且，則的最小值是（）A．1 B．2 C． D．8．已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共44題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．旅游是人們?yōu)閷で缶裆系拈_心感受而進(jìn)行的非定居性旅行和巡游過程中所發(fā)生的一切關(guān)系和現(xiàn)象的總和．隨著經(jīng)濟(jì)生活水平的不斷提高，旅游已經(jīng)成為人們生活的一部分．某地旅游部門從2024年到該地旅游的游客中隨機(jī)抽取部分游客進(jìn)行調(diào)查，得到各年齡段游客的人數(shù)和旅游方式如圖所示，則下列結(jié)論不正確的有（）A．估計(jì)2024年到該地旅游的游客選擇自助游的中年人的人數(shù)少于選擇自助游的青年人人數(shù)的一半B．估計(jì)2024年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數(shù)占總游客人數(shù)的13.5%C．估計(jì)2024年到該地旅游的游客選擇自助游的老年人和中年人的人數(shù)之和比選擇自助游的青年人多D．估計(jì)2024年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為25%11．已知函數(shù)，若函數(shù)的三個(gè)相鄰零點(diǎn)分別為，，，且，則的值可能是（）A． B． C．4 D．612．已知三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)全部在球O的表面上，，，三棱柱的側(cè)面積為，則球O的表面積可能是（）A．4π B．8π C．16π D．32π三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．已知函數(shù)則________．14．小華、小明、小李小章去A，B，C三個(gè)工廠參與社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)工廠都有人去，且這四人都在這三個(gè)工廠實(shí)踐，則小華和小李都沒去B工廠的概率是________．15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則________．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），則________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步聚．17.（10分）在①②的前n項(xiàng)和，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并解答．問題：在等差數(shù)列中，，且________．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.（12分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若的面積為，求外接圓面積的最小值．19．（12分）如圖，在多面體中四邊形是正方形，平面，平面，．（1）證明：平面平面．（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．20．（12分）北京冬季奧運(yùn)會(huì)將于2024年2月4日至2024年2月20日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯(lián)合實(shí)行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京、張家口同為主辦城市，也是中國繼北京奧運(yùn)會(huì)、南京青奧會(huì)之后第三次舉辦奧運(yùn)賽事．北京冬奧組委對(duì)報(bào)名參與北京冬奧會(huì)志愿者的人員開展冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行了一次考核．為了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，從中隨機(jī)抽取80名志愿者的考核成果，依據(jù)這80名志愿者的考核成果得到的統(tǒng)計(jì)圖表如下所示．女志愿者考核成果頻率分布表分組頻數(shù)頻率[75,80]20.050[80,85]130.325[85,90]180.450[90,95]am[95,100]b0.075男志愿者考核成果頻率分布直方圖若參與這次考核的志愿者考核成果在[90,100]內(nèi)，則考核等級(jí)為優(yōu)秀．（1）分別求這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù)；（2）若從樣本中考核等級(jí)為優(yōu)秀的志愿者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行學(xué)習(xí)心得共享，記抽到女志愿者的人數(shù)為X，求X的分布列及期望．21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)為橢圓C上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若的面積是，求直線l的方程．22．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)圖象在處的切線方程．（2）證明：．高三入學(xué)數(shù)學(xué)考試參考答案1．B【解析】本題考查復(fù)數(shù)，考查運(yùn)算求解實(shí)力．由題意可得，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部是7，虛部是-11，故復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是．2．A【解析】本題考查集合的運(yùn)算，考查邏輯推理實(shí)力．由題意可得，．因?yàn)?，所以，即?．D【解析】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解實(shí)力．由題意可得，解得，則，故該黃金雙曲線C的虛軸長為．4．B【解析】本題考查化學(xué)分子結(jié)構(gòu)與正八面體的體積，考查空間想象實(shí)力與閱讀理解實(shí)力．如圖，連接，，，連接．因?yàn)?，，所以，，所以平面．因?yàn)?，所以．因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，則，故該正八面體的體積為．5．C【解析】本題考查二項(xiàng)式定理，考查邏輯推理實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力．綻開式中，通項(xiàng)．令，得，則，故項(xiàng)的系數(shù)是560．6．B【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解實(shí)力．設(shè)，則，即，故．7．C【解析】本題考查基本不等式，考查運(yùn)算求解實(shí)力．由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．8．D【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查邏輯推理實(shí)力．令，得．設(shè)，則．由，得；由，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即．9．AC【解析】本題考查平面對(duì)量，考查運(yùn)算求解實(shí)力．由，得，則A正確，B錯(cuò)誤；由，得，即，則C正確，D錯(cuò)誤．10．ACD【解析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表，考查數(shù)據(jù)處理實(shí)力．設(shè)2024年到該地旅游的游客總?cè)藬?shù)為a，由題意可知游客中老年人、中年人、青年人的人數(shù)分別為0.2a，0.35a，0.45a，其中選擇自助游的老年人、中年人、青年人的人數(shù)分別為0.04a，0.0875a，0.135a．因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；2024年到該地旅游的游客選擇自助游的青年人的人數(shù)與總游客人數(shù)的比值為，則B正確；因?yàn)椋訡錯(cuò)誤；2024年到該地旅游的游客選擇自助游的比率為，則D錯(cuò)誤．11．AD【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．由，得，則．當(dāng)時(shí)，，，則，，從而，，故；當(dāng)時(shí)，，則，，從而，，故．綜上，或．12．CD【解析】本題考查簡潔幾何體及其外接球，考查空間想象實(shí)力．設(shè)三棱柱的高為h，．因?yàn)?，所以，則該三棱柱的側(cè)面積為，故．設(shè)的外接圓半徑為r，則．設(shè)球O的半徑為R，則，故球O的表面積為．13．【解析】本題考查分段函數(shù)求值，考查運(yùn)算求解實(shí)力．由題意可得，則．14．【解析】本題考查古典概型，考查運(yùn)算求解實(shí)力．由題意可知總的安排狀況有種，其中滿意條件的狀況有種，故所求概率．15．1022【解析】本題考查等比數(shù)列，考查運(yùn)算求解實(shí)力．因?yàn)?，所以，所以，即．因?yàn)椋?，則是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故．16．【解析】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想與運(yùn)算求解實(shí)力．由題意可知直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F，設(shè)其傾斜角為，則．如圖，直線是拋物線C的準(zhǔn)線，作，，，則，，故，．因?yàn)?，所以，則．17．解：選①（1）設(shè)的公差為d．由題意可得． 2分因?yàn)椋裕?4分則． 5分選②（1）設(shè)的公差為d．因?yàn)?，所以，則． 2分因?yàn)?，所以，所以?4分當(dāng)時(shí)，滿意上式，故． 5分選③（1）設(shè)的公差為d．因?yàn)?，所以，即?2分因?yàn)?，所以?4分則． 5分（2）由（1）可得，則． 7分故 10分評(píng)分細(xì)則：（1）在第一問中，若選擇條件②解答，沒有考慮，扣1分；（2）在其次問中，也可以由，得到；（3）若用其他解法，參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按步驟給分．18．解：（1）因?yàn)椋裕?1分所以，即． 3分因?yàn)?，所以，所以?4分因?yàn)?，所以?5分（2）由（1）可知，則． 6分因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以． 7分由余弦定理可得，則． 8分設(shè)外接圓的半徑為r，則，即， 10分故外接圓的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立． 11分即當(dāng)時(shí)，外接圓面積的最小值為． 12分評(píng)分細(xì)則：（1）在第一問中，也可以通過把角化為邊，得到，再由余弦定理得到，從而求出角A；（2）在其次問中，沒有寫出取等條件，只要計(jì)算正確，不予扣分；（3）若用其他解法，參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按步驟給分．19．（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以?1分因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2分因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以?3分因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?4分因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面平面?分（2）解：由題意可知，，兩兩垂直，則以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，從而，． 7分設(shè)平面的法向量為，則，令，得． 9分平面的一個(gè)法向量為． 10分故，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為． 12分評(píng)分細(xì)則：（1）在第一問中，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，通過證明平面和平面的法向量平行，從而得到平面平面；（2）在其次問中，也可以先找出平面和平面所成的銳二面角，再通過余弦定理求出；（3）若用其他解法，參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按步驟給分．20．解：（1）由女志愿者考核成果的頻率分布表可知被抽取的女志愿者的人數(shù)為． 1分因?yàn)椋?2分所以這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的女志愿者人數(shù)為． 3分因?yàn)楸怀槿〉闹驹刚呷藬?shù)是80，所以被抽取的男志愿者人數(shù)是． 4分由男志愿者考核成果頻率分布直方圖可知男志愿者這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的頻率為， 5分則這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)為． 6分（2）由題意可知X的可能取值為0，1，2，3． 7分，， 8分， 9分X的分布列為X0123P故． 12分評(píng)分細(xì)則：（1）在第一問中，也可以先求出被抽取的女志愿者的人數(shù)，再求出的值，即考核等級(jí)為優(yōu)秀的女志愿者的人數(shù)；（2）在其次問中，沒有分別求出X對(duì)應(yīng)取值的概率，干脆寫出X的分布列，扣1分；（3）若用其他解法，參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按步驟給分．21．解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意可得， 1分解得，． 3分故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 4分（2）因?yàn)樵跈E圓C上，所以，解得．①當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，，則的面積為．因?yàn)榈拿娣e是，所以直線l的斜率為0不符合題意． 6分②當(dāng)直線l的斜率不為0或斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，．聯(lián)立整理得．則，． 7分故． 8分因?yàn)辄c(diǎn)P到直線l的距離，所以． 9分因?yàn)榈拿娣e是，所以，整理得，解得，即． 11分故直線l的方程為，即． 12分評(píng)分細(xì)則：（1）在第一問中，可以先依據(jù)，求出c的值，從而求出的值，再把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，從而求出a，b的值，最終得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在其次問中，沒有考慮直線l的斜率為0的狀況，扣1分；（3）在其次問中，也可