數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)及對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響

PAGEPAGE1《校園百家講壇》演講稿數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)及對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響主講盧伯友一引言 “校園百家講壇”很早就邀請我，要我給同學(xué)們講點(diǎn)什么，因?yàn)檫@個(gè)講壇的神圣性和嚴(yán)肅性，我一直沒有敢答應(yīng)下來。今天，站在這個(gè)講壇上，我仍然感到誠惶誠恐的。講什么呢？從哪兒開始呢?我一直思考著這個(gè)問題。國學(xué)大師王國維在《人間詞話》中說過：“詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。入乎其內(nèi)，故能寫之。出乎其外，故能觀之。入乎其內(nèi)，故有生氣。出乎其外，故有高致?！蓖瑢W(xué)們平時(shí)聽課、讀書、做習(xí)題是入乎其內(nèi)，今天聽講座是出乎其外，兩者相互相成。只知入乎其內(nèi)，那是見木不見林，常常會(huì)迷失方向。所以，還要輔助以出乎其外，站出來作高瞻遠(yuǎn)矚。正所謂“風(fēng)聲、雨聲、讀書聲、聲聲入耳；家事、國事、天下事，事事關(guān)心！”整個(gè)人類文明的歷史就像長江的波浪一樣，一浪高過一浪，滾滾向前，科學(xué)巨人們站在時(shí)代的潮頭，以他們的勇氣、智慧和勤勞把人類的文明從一個(gè)高潮推向另一個(gè)高潮。我們認(rèn)為，整個(gè)人類文明可以分為三個(gè)層次：(1)以鋤頭為代表的農(nóng)耕文明；(2)以大機(jī)器流水線作業(yè)為代表的工業(yè)文明;(3)以計(jì)算機(jī)為代表的信息文明。數(shù)學(xué)在這三個(gè)文明中都是深層次的動(dòng)力，其作用一次比一次明顯?；诖嗽?，我今天演講的題目是：數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)及對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響古人講，欲窮千里目，更上一層樓。今天，我們站在歷史的角度，剖析歷史上發(fā)生的三次數(shù)學(xué)危機(jī)及其對數(shù)學(xué)發(fā)展的重要影響，讓同學(xué)們不僅從數(shù)學(xué)自身的思想方法和應(yīng)用的角度，而且從文化和歷史的高度審視數(shù)學(xué)的全貌和美麗。贊美數(shù)學(xué)思想的博大精深，贊美由數(shù)學(xué)文化引出的理性精神，以及在理性精神的指導(dǎo)下，人類文明的蓬勃發(fā)展。二數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)及對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響1畢達(dá)哥拉斯與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)1.1第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)的誕生。小小的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，這場風(fēng)波，對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派產(chǎn)生了沉重的打擊，“數(shù)即萬物”的世界觀被極大的動(dòng)搖了,有理數(shù)的尊崇地位也受到了挑戰(zhàn)，因此也影響到了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，使數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了極度的思想混亂。這場危機(jī)，歷史上稱之為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。1.2第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響是巨大的，它極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。首先，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)讓人們第一次認(rèn)識到了無理數(shù)的存在，無理數(shù)從此誕生了，之后，許多數(shù)學(xué)家正式研究了無理數(shù)，給出了無理數(shù)的嚴(yán)格定義，提出了一個(gè)含有有理數(shù)和無理數(shù)的新的數(shù)類——實(shí)數(shù)，并建立了完整的實(shí)數(shù)理論[5]，為數(shù)學(xué)分析的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。其次，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，當(dāng)時(shí)希臘的數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展到這樣的階段：證明進(jìn)入了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)已經(jīng)由經(jīng)驗(yàn)科學(xué)變?yōu)檠堇[科學(xué)，并由此建立了幾何公理體系。歐氏幾何就是人們?yōu)榱讼埽獬C(jī)，在這時(shí)候應(yīng)運(yùn)而生的。歐幾里得的《幾何原本》（公元前330-前275）的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大的里程碑。這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作。兩千多年來一直是全世界人民學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要教材。《幾何原本》共有23條定義、5條公設(shè)、5條公理、467個(gè)命題，在西方世界，除了《圣經(jīng)》以外沒有其它著作的作用、研究、印行之廣泛能與《幾何原本》相比。自1482年第一個(gè)印刷本出版后，至今已有一千多個(gè)版本。《幾何原本》在明朝末年（1607年）被引入我國，它是由我國科學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合作翻譯的，是我國翻譯的第一部西方數(shù)學(xué)著作。徐光啟曾對這部著作給以高度評價(jià)。他說：“此書有四不必：不必疑，不必揣；不必試，不必改。有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更之不可得。有三至三能：似至晦，實(shí)至明，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實(shí)至易，故能以其易易他物之至難；易生于簡，簡生于明，綜其妙在明而已?！钡谝淮螖?shù)學(xué)危機(jī)極大地促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展,使幾何學(xué)在此后兩千年間成為幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這不能不說是數(shù)學(xué)思想史上的一次巨大革命。1.3第一次數(shù)學(xué)危機(jī)給人類文明留下的珍貴遺產(chǎn)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，誕生了歐幾里得幾何。歐幾里得幾何的影響超過了任何別的書，它一方面是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的理論基礎(chǔ)之一，另一方面它給予人們一套科學(xué)的幾何思想。我們來舉幾個(gè)典型的例子．阿基米德不是通過用重物作實(shí)驗(yàn)，而是按歐幾里得的方式，從“相等的生物在離支點(diǎn)相等距離處處于平衡”這一公設(shè)出發(fā)證明了杠桿定律．牛頓稱著名的三定律為“公理或運(yùn)動(dòng)定律”．從三定律和萬有引力定律出發(fā)，建立了他的力學(xué)體系．他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》具有歐幾里得式的結(jié)構(gòu)．在馬爾薩斯1789年的《人口論》中，我們可以找到另一個(gè)例子．馬爾薩斯接受了歐幾里得的演繹模型．他把下面兩個(gè)公設(shè)作為他的人口學(xué)的出發(fā)點(diǎn)：人需要食品；人需要繁衍后代．他接著從對人口增長和食品供求增長的分析中建立了他的數(shù)學(xué)模型．這個(gè)模型簡潔，有說服力，對各國的人口政策有巨大影響．令人驚奇的是，歐幾里得的模式還推廣到了政治學(xué)．美國的《獨(dú)立宣言》是一個(gè)著名的例子．獨(dú)立宣言是為了證明反抗大英帝國的完全合理性而撰寫的．美國第三任總統(tǒng)杰斐遜(1743一1826)是這個(gè)宣言的主要起草人．他試圖借助歐幾里得的模型使人們對宣言的公正性和合理性深信不疑．“我們認(rèn)為這些真理是不證自明的…”不僅所有的直角都相等，而且“所有的人生來都平等”．這些自明的真理包括，如果任何一屆政府不服從這些先決條件，那么“人民就有權(quán)更換或廢除它”．宣言主要部分的開頭講，英國國王喬治的政府沒有滿足上述條件．”因此，…我們宣布，這些聯(lián)合起來的殖民地是，而且按正當(dāng)權(quán)力應(yīng)該是，自由的和獨(dú)立的國家．”我們順便指出，杰斐遜愛好文學(xué)、數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和建筑藝術(shù)．相對論的誕生是另一個(gè)光輝的例子．相對論的公理只有兩條：1)相對性原理，任何自然定律對于一切直線運(yùn)動(dòng)的觀測系統(tǒng)都有相同的形式；2)光速不變原理，對于一切慣性系，光在真空中都以確定的速度傳播．愛因斯坦就是在這兩條公理的基礎(chǔ)上建立了他的相對論．關(guān)于建立一個(gè)理論體系，愛因斯坦認(rèn)為科學(xué)家的工作可以分為兩步．第一步是發(fā)現(xiàn)公理，第二步是從公理推出結(jié)論．哪一步更難呢?他認(rèn)為，如果研究人員在學(xué)校里已經(jīng)得到很好的基本理論、推理和數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，那么他在第二步時(shí)，只要“相當(dāng)勤奮和聰明，就一定能成功”．至于第一步，即找出所需要的公理，則具有完全不同的性質(zhì)，這里沒有一般的方法．愛因斯坦說：“科學(xué)家必須在龐雜的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)中間抓住某些可用精密公式來表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理．”第一，它留給我們一個(gè)堅(jiān)強(qiáng)的信念：自然數(shù)是萬物之母，即宇宙規(guī)律的核心是數(shù)學(xué)．這個(gè)信念鼓舞人們將宇宙間一切現(xiàn)象的終極原因找出來，并將它數(shù)量化．第二，它孕育了一種理性精神，這種精神現(xiàn)在已經(jīng)滲透到人類知識的一切領(lǐng)域．第三，它給出一個(gè)樣板一歐幾里得幾何．這個(gè)樣板的光輝照亮了人類文化的每個(gè)角落．但是，令人痛惜的是，羅馬士兵一刀殺死了阿基米德這個(gè)科學(xué)巨人，這就宣布了一個(gè)光輝時(shí)代的結(jié)束．懷特海對此評論道：“阿基米德死于羅馬士兵之手是世界巨變的象征．務(wù)實(shí)的羅馬人取代了愛好理論的希臘人，領(lǐng)導(dǎo)了歐洲．…羅馬人是一個(gè)偉大的民族．但是受到了這樣的批評：講求實(shí)效，而無建樹．他們沒有改進(jìn)祖先的知識，他們的進(jìn)步只限于工程上的技術(shù)細(xì)節(jié)．他們沒有夢想，得不出新觀點(diǎn)，因而不能對自然的力量得到新的控制．”此后是千余年的停滯．2貝克萊與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)2.1第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容公元17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，微積分能提示和解釋許多自然現(xiàn)象，它在自然科學(xué)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中的重要作用引起了人們高度的重視。然而，因?yàn)槲⒎e分才剛剛建立起來，這時(shí)的微積分只有方法，沒有嚴(yán)密的理論作為基礎(chǔ)，許多地方存在漏洞，還不能自圓其說。例如牛頓當(dāng)時(shí)是這樣求函數(shù)y＝xn的導(dǎo)數(shù)的：（x＋△x）n＝xn＋n·xn-1·△x＋[n（n+1）/2]·xn-2·(△x)2＋……＋（△x）n，然后用自變量的增量△x除以函數(shù)的增量△y，△y/△x＝[（x＋△x）n－xn]/△x＝n·xn-1＋[n（n-1）/2]·xn-2·△x＋……＋n·x·（△x）n-2＋（△x）n-1，最后，扔掉其中含有無窮小量△x的項(xiàng)，即得函數(shù)y=xn的導(dǎo)數(shù)為y′=nxn-1。對于牛頓對導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程的論述，哲學(xué)家貝克萊很快發(fā)現(xiàn)了其中的問題，他一針見血的指出：先用△x為除數(shù)除以△y，說明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的項(xiàng)，則又說明△x等于零，這豈不是自相矛盾嗎？因此貝克萊嘲弄無窮小是“逝去的量的鬼魂”，他認(rèn)為微積分是依靠雙重的錯(cuò)誤得到了正確的結(jié)果，說微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。確實(shí)，這種在同一問題的討論中，將所謂的無窮小量有時(shí)作為0，有時(shí)又異于0的做法，不得不讓人懷疑。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？貝克萊悖論的出現(xiàn)危及到了微積分的基礎(chǔ)，引起了數(shù)學(xué)界長達(dá)兩個(gè)多世紀(jì)的論戰(zhàn)，從而形成了數(shù)學(xué)發(fā)展史中的第二次危機(jī)。2.2第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)，迫使數(shù)學(xué)家們不得不認(rèn)真對待無窮小量△x，為了克服由此引起思維上的混亂，解決這一危機(jī)，無數(shù)人投入大量的勞動(dòng)。在初期，經(jīng)過歐拉、拉格朗日等人的努力,微積分取得了一些進(jìn)展；從19世紀(jì)開始為徹底解決微積分的基礎(chǔ)問題，柯西、外爾斯特拉斯等人進(jìn)行了微積分理論的嚴(yán)格化工作。微積分內(nèi)在的根本矛盾，就是怎樣用數(shù)學(xué)的和邏輯的方法來表現(xiàn)無窮小，從而表現(xiàn)與無窮小緊密相關(guān)的微積分的本質(zhì)。在解決使無窮小數(shù)學(xué)化的問題上，出現(xiàn)了羅比達(dá)公理：一個(gè)量增加或減少與之相比是無窮小的另一個(gè)量，則可認(rèn)為它保持不變。而柯西采用的ε－δ方法刻畫無窮小，把無窮小定義為以0為極限的變量，沿用到今，無窮小被極限代替了。后來外爾斯特拉斯又把它明確化，給出了極限的嚴(yán)格定義，建立了極限理論，這樣就使微積分建立在極限基礎(chǔ)之上了。極限的ε－δ定義就是用靜態(tài)的ε－δ刻畫動(dòng)態(tài)極限，用有限量來描述無限性過程，它是從有限到無限的橋梁和路標(biāo)，它表現(xiàn)了有限與無限的關(guān)系，使微積分朝科學(xué)化、數(shù)學(xué)化前進(jìn)了一大步。極限理論的建立加速了微積分的發(fā)展，它不僅在數(shù)學(xué)上，而且在認(rèn)識論上也有重大的意義。后來在考查極限理論的基礎(chǔ)中，經(jīng)過代德金、康托爾、海涅、外爾斯特拉斯和巴門赫等人的努力，產(chǎn)生了實(shí)數(shù)理論；在考查實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)時(shí)，康托爾又創(chuàng)立了集合論。這樣有了極限理論、實(shí)數(shù)理論和集合論三大理論后，微積分才算建立在比較穩(wěn)固和完美的基礎(chǔ)之上了，從而結(jié)束了二百多年的紛亂爭論局面，進(jìn)而開辟了下一個(gè)世紀(jì)的函數(shù)論的發(fā)展道路。2.3第二次數(shù)學(xué)危機(jī)給人類文明留下的珍貴遺產(chǎn)微積分誕生之前，人類基本上還處在農(nóng)耕文明時(shí)期．解析幾何的誕生是新時(shí)代到來的序曲，但還不是新時(shí)代的開端．它對舊數(shù)學(xué)作了總結(jié)，使代數(shù)和幾何融為一體，并引出變量的概念．變量，這是一個(gè)全新的概念，它為研究運(yùn)動(dòng)提供了基礎(chǔ)．恩格斯說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)．有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了”．推導(dǎo)出大量的宇宙定律必須等待這樣時(shí)代的到來，準(zhǔn)備好這方面的思想，產(chǎn)生像牛頓、萊布尼茲、拉普拉斯這樣一批能夠開創(chuàng)未來，為科學(xué)活動(dòng)提供方法，指出方向的領(lǐng)袖．但也必須等待創(chuàng)立一個(gè)必不可少的工具一微積分，沒有微積分，推導(dǎo)宇宙定律是不可能的．在17世紀(jì)的天才們開發(fā)的所有知識寶庫中，這一領(lǐng)域是最豐富的，微積分為創(chuàng)立許多新的學(xué)科提供了源泉．微積分是人類智慧的偉大結(jié)晶．它給出一整套的科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強(qiáng)與加深了數(shù)學(xué)的作用．恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了．如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正是在這里．”有了微積分，人類才有能力把握運(yùn)動(dòng)和過程．有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會(huì)．航天飛機(jī)，宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果．?dāng)?shù)學(xué)一下子走到了前臺(tái)．?dāng)?shù)學(xué)在人類社會(huì)的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明顯多了．1642年1月8日，伽利略在宗教的迫害下，默默辭世．同年12月25日，一個(gè)孱弱的沒有了父親的早產(chǎn)兒誕生了，他就是牛頓．牛頓接過伽利略的事業(yè)繼續(xù)前進(jìn)．當(dāng)初伽利略用數(shù)學(xué)化的語言描述自然界時(shí)，總是將運(yùn)動(dòng)限制在地球表面或附近．他的同時(shí)代人開卜勒得到了關(guān)于天體運(yùn)動(dòng)的三個(gè)數(shù)學(xué)定律．在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個(gè)公式來描述太陽對行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用．這就是說，伽利略和牛頓建立的這些定律描述了從最小的塵埃到最遙遠(yuǎn)的天體的運(yùn)動(dòng)行為．宇宙中沒有哪一個(gè)角落不在這些定律所包含的范圍內(nèi)．這是人類認(rèn)識史上的一次空前飛躍，不僅具有偉大的科學(xué)意義，而且具有深遠(yuǎn)的社會(huì)影響．它強(qiáng)有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué)．在伽利略規(guī)劃的指導(dǎo)下，借助微積分的工具在尋求自然規(guī)律方面所取得的成功遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了天文學(xué)的領(lǐng)域．人們把聲音當(dāng)作空氣分子的運(yùn)動(dòng)而進(jìn)行研究，獲得了著名的數(shù)學(xué)定律．胡克研究了物體的振動(dòng)．波意耳、馬略特、伽利略、托里拆利和帕斯卡測出了液體、氣體的壓力和密度．范．海爾蒙特利用天平測量物質(zhì)，邁出了近代化學(xué)中重要的一步．黑爾斯開始用定量的方法研究生理學(xué)．哈維利用定量的方法證明了流出心臟的血液在回到心臟前將在全身周流．定量研究也推廣到了植物學(xué)．所有這些僅僅是一場空前巨大的、席卷近代世界的科學(xué)運(yùn)動(dòng)的開端．到18世紀(jì)中葉，伽利略和牛頓研究自然的定量方法的無限優(yōu)越性，已經(jīng)完全確立了．著名哲學(xué)家康德說，自然科學(xué)的發(fā)展取決于其方法與內(nèi)容和數(shù)學(xué)結(jié)合的程度，數(shù)學(xué)成為打開知識大門的金鑰匙，成為科學(xué)的皇后．1)理性精神是獲取真理的最高源泉；2)數(shù)學(xué)推理是一切思維中最純粹、最深刻、最有效的手段；3)每一個(gè)領(lǐng)域都應(yīng)該探求相應(yīng)的自然和數(shù)學(xué)規(guī)律．特別是哲學(xué)、宗教、政治經(jīng)濟(jì)、倫理和美學(xué)中的概念和結(jié)論都要重新定義，否則它們將與那個(gè)領(lǐng)域里的規(guī)律不相符合．3羅素與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)3.1第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容在前兩次數(shù)學(xué)危機(jī)解決后不到30年即19世紀(jì)70年代,德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論,集合論是數(shù)學(xué)上最具革命性的理論,初衷是為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。1900年，在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家會(huì)議上，法國大數(shù)學(xué)家龐加萊興奮的宣布：“我們可以說，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到了絕對的嚴(yán)格。”然而，正當(dāng)人們?yōu)榧险摰恼Q生而歡欣鼓舞之時(shí),一串串?dāng)?shù)學(xué)悖論卻冒了出來，又?jǐn)嚨脭?shù)學(xué)家心里忐忑不安,其中英國數(shù)學(xué)家羅素1902年提出的悖論影響最大,“羅素悖論”的內(nèi)容是這樣的：設(shè)集合B是一切不以自身為元素的集合所組成的集合，問：B是否屬于B？若B屬于B，則B是B的元素，于是B不屬于自身，即B不屬于B；反之，若B不屬于B，則B不是B的元素，于是B屬于自己，即B屬于B。這樣，利用集合的概念，羅素導(dǎo)出了——集合B不屬于B當(dāng)且僅當(dāng)集合B屬于B時(shí)成立的悖論。之后，羅素本人還提出了羅素悖論的通俗版本，即理發(fā)師悖論。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只為村子里不給自己刮胡子的人刮胡子。那么現(xiàn)在的問題是，理發(fā)師的胡子應(yīng)該由誰來刮？。如果他自己給自己刮胡子，那么他就是村子里給自己刮胡子的人，根據(jù)他的原則，他就不應(yīng)給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子，那么他就是村子里不給自己刮胡子的人，那么又按他的原則他就該為自己刮胡子。同樣有產(chǎn)生了這樣的悖論：理發(fā)師給自己刮胡子當(dāng)且僅當(dāng)理發(fā)師不給自己刮胡子。這就是歷史上著名的羅素悖論。羅素悖論的出現(xiàn)，動(dòng)搖了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界，導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。3.2第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響羅素悖論的出現(xiàn)，動(dòng)搖了本來作為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)——集合論，自然引起人們對數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)有效性的懷疑。羅素悖論的高明之處，還在于它只是用了集合的概念本身，而并不涉及其它概念而得出來的，使人們更是無從下手解決。羅素悖論導(dǎo)致的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，使數(shù)學(xué)家們面臨著極大的困難。數(shù)學(xué)家弗雷格在他剛要出版的《論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》卷二末尾就寫道：“對一位科學(xué)家來說，沒有一件比下列事實(shí)更令人掃興：當(dāng)他工作剛剛完成的時(shí)候，它的一塊基石崩塌下來了。在本書的印刷快要完成時(shí)，羅素先生給我的一封信就使我陷入這種境地?！笨梢姷谌螖?shù)學(xué)危機(jī)使人們面臨多么尷尬的境地。然而科學(xué)面前沒有人會(huì)回避，數(shù)學(xué)家們立即投入到了消除悖論的工作中，值得慶幸的是，產(chǎn)生羅素悖論的根源很快被找到了，原來康托爾提出集合論時(shí)對“集合”的概念沒有做必要的限制，以至于可以構(gòu)造“一切集合的集體”這種過大的集合而產(chǎn)生了悖論。為了從根本上消除集合論中出現(xiàn)的各種悖論，特別是羅素悖論，許多數(shù)學(xué)家進(jìn)行了不懈的努力。如以羅素為主要代表的邏輯主義學(xué)派，提出了類型論以及后來的曲折理論、限制大小理論、非類理論和分支理論，這些理論都對消除悖論起到了一定的作用；而最重要的是德國數(shù)學(xué)家策梅羅提出的集合論的公理化，策梅羅認(rèn)為，適當(dāng)?shù)墓眢w系可以限制集合的概念，從邏輯上保證集合的純粹性，他從“集合”、“屬于”兩個(gè)基本概念出發(fā)，引入了八條公理：（1）外延公理：兩個(gè)集合相等的充要條件是它們含有相同的元素。（2）空集公理：存在不含任何元素的集合；這是一條絕對存在公理，它指出空集是絕對存在的。（3）無序公理：已知兩個(gè)集合，則存在僅以這兩個(gè)集合為元素的集合；（4）并集公理：一個(gè)集合的元素的元素構(gòu)成一個(gè)集合。（5）冪集公理：一個(gè)集合的所有子集構(gòu)成一個(gè)集合。（6）無窮公理：歸納集合石存在的。（7）分離公理：任何一個(gè)集合A和一個(gè)公式，則A中所有滿足公式的元素構(gòu)成一個(gè)集合。（8）選擇公理：在有限或無窮個(gè)兩兩不相交的非空集合中，可以各自選一個(gè)元素構(gòu)成一個(gè)集合。從上述公理出發(fā)，策梅羅重新建立起康托爾的基數(shù)理論。并且他還證明了，在上述系統(tǒng)中羅素悖論能夠排除。這是因?yàn)椋鶕?jù)上述公理