新素養(yǎng)人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)學(xué)案6．1平面向量的概念

第六章

DILIUZHANG平面向量及其應(yīng)用

6.1平面向量的概念

星昌圖麴

考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的相

平面向量的相關(guān)概念數(shù)學(xué)抽象

關(guān)概念

平面向量的幾何表示掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念數(shù)學(xué)抽象

相等向量與共線向量理解兩個(gè)向量相等的含義以及共線向量的概念數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理

，預(yù)習(xí)案，6研讀?導(dǎo)學(xué)?嘗試.

?問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P2—P4的內(nèi)容，思考以下問題：

1.向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？

2.怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？

3.兩個(gè)向量(向量的模)能否比較大??？

4.如何判斷相等向量或共線向量？向量誦與向量函是相鱉i］量嗎?

—1新知初探?

1.向量的概念及表示

(1)概念：既有大小又有方向的量.

(2)有向線段

①定義：具有方向的線段.

②三個(gè)要素：起點(diǎn)、汕、長度.

③表示：在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點(diǎn)、8為終點(diǎn)的有向線段記作曲.

④長度：線段A8的長度也叫做有向線段后的長度,記作曲.

(3)向量的表示

■名師點(diǎn)撥

(1)判斷一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個(gè)因素.

(2)用有向線段表示向量時(shí)，要注意通的方向是由點(diǎn)A指向點(diǎn)點(diǎn)A是向量的起點(diǎn)，點(diǎn)8是向量的

終點(diǎn).

2.向量的有關(guān)概念

(1)向量的模(長度)：向量贏的大小，稱為向最初的長度(或稱模),記作曲.

(2)零向量：長度為止的向量，記作0.

(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量.

3.兩個(gè)向量間的關(guān)系

(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共線向量.若a,6是平行向量，記作a〃尻

規(guī)定：零向量與任意向量平行,即對(duì)任意向量Q,都有0〃a.

(2)相等向量：長度相等且方向相同的向量,若a,b是相等向量，記作a=b.

■名師點(diǎn)撥

(1)平行向量也稱為共線向量，兩個(gè)概念沒有區(qū)別.

(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同.

(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.

＜百莪施惻,

€1判斷(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“x”)

(1)兩個(gè)向量，長度大的向量較大.()

(2)如果兩個(gè)向量共線，那么其方向相同.()

(3)向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù).()

(4)向量就是有向線段.()

(5)向量油與向量函是相等向量.()

(6)兩個(gè)向量平行時(shí)，表示向量的有向線段所在的直線一定平行.()

(7)零向量是最小的向量.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)X

國已知向量。如圖所示，下列說法不正確的是()

M°N

A.也可以用而V表示B.方向是由M指向N

C.起點(diǎn)是MD.終點(diǎn)是M

答案：D

@已知點(diǎn)O固定，且|蘇|=2,則A點(diǎn)構(gòu)成的圖形是()

A.一個(gè)點(diǎn)B.一條直線

C.一個(gè)圓D.不能確定

答案：C

畫如圖，四邊形A2CD和都是平行四邊形，則與應(yīng))相等的向量有

答案：AB,DC

探究案，既②?⑧解惑?探究?突破今

探究點(diǎn)研］

向量的相關(guān)概念

順|巨］給出下列命題：

①若0=虎，則A,B,C,。四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；

②在?中，一定有贏=詼；

③若a=b,b—c,則a=c.

其中所有正確命題的序號(hào)為.

【解析】AB=DC,A,B,C,。四點(diǎn)可能在同一條直線上，故①不正確；在?ABC。中，\AB\=\DC

\,后與詼平行且方向相同，故油=52,故②正確；a=b,則同=|臼，且a與b的方向相同；h=c,則|加

=\c\,且5與c的方向相同，則a與c長度相等且方向相同，故a=c,故③正確.

【笥案】②③

回倒向圖

(1)判斷一個(gè)量是否為向量的兩個(gè)關(guān)鍵條件

①有大?。虎谟蟹较?兩個(gè)條件缺一不可.

(2)理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

②單位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

跟蹤訓(xùn)練

1.下列說法中正確的是()

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小

C.向量的大小與方向有關(guān)

D.向量的?？梢员容^大小

解析：選D.不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A,B不正確；向量的大小即為向量的模，

指的是有向線段的長度，與方向無關(guān)，故C不正確；向量的模是一個(gè)數(shù)量，可以比較大小.故D正確.

2.下列說法正確的是()

A.向量后〃力就是贏所在的直線平行于而所在的直線

B.長度相等的向量叫做相等向量

C.零向量與任一向量平行

D.共線向量是在一條直線上的向量

解析：選C.向量初〃⑦包含前所在的直線與無所在的直線平行和重合兩種情況，故A錯(cuò)；相等向

量不僅要求長度相等，還要求方向相同，故B錯(cuò)；C顯然正確；共線向量可以是在一條直線上的向量，也

可以是所在直線互相平行的向量，故D錯(cuò).

搽究點(diǎn)囪___________

"的表示

他風(fēng)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格的邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：

⑴昂，使|濡|=4也，點(diǎn)A在點(diǎn)。北偏東45°方向上；

(2)嘉，使瀛|=4,點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向上；

(3)BC,使|反］=6,點(diǎn)C在點(diǎn)8北偏東30°方向上.

【解】(1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)。北偏東45°方向上，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)。的橫向小方格數(shù)與縱向

小方格數(shù)相等.又|昌|=46，小方格的邊長為1,所以點(diǎn)4距點(diǎn)。的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,

于是點(diǎn)A的位置可以確定，畫出向量OA,如圖所示.

(2)由于點(diǎn)8在點(diǎn)A正東方向上，且|前|=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4,縱向

小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)B的位置可以確定，畫出向量施，如圖所示.

(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)8北偏東30°方向上，且|反1=6,依據(jù)勾股定理可得，在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)8的橫

向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3小七5.2,于是點(diǎn)C的位置可以確定，畫出向量比，如圖所示.

0東

出留詞附

用有向線段表示向量的步驟

尉跟蹤訓(xùn)練;已知飛機(jī)從A地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)8地,再從B地按南偏東30°

的方向飛行2000km到達(dá)C地，再從C地按西南方向飛行100Mkm到達(dá)D地.

(1)作出向量荏，BC,CD,DA；

(2)問。地在A地的什么方向？D地距A地多遠(yuǎn)？

解：⑴由題意,作出向量靠，BC,CD,DA,如圖所示.

(2)依題意知，三角形ABC為正三角形，所以AC=2000km.又因?yàn)?AC￡>=45°,C￡>=100072,所

以△ACD為等腰直角三角形，即AO=1OOMkm,ZCAD=45°,所以。地在A地的東南方向，距A

地1000\/2km.

探究點(diǎn)回L

共線向量與相等向量

如圖所示，。是正六邊形A8CQEF的中心，且蘇=mOB^b,在每兩點(diǎn)所確定的向量中.

(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)與a共線的向量有哪些？

【解】(1)與a的長度相等、方向相反的向量有歷，BC,AO,FE.

(2)與a共線的向量有肆，BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AD.

1.［變條件、變問法］本例中若沆=c,其他條件不變，試分別寫出與a,b,c相等的向量.

解：與“相等的向量有祥，DO,蠢;與萬相等的向量有詼，EO,M：與c相等的向量有元)，ED,

AB.

2.［變問法］本例條件不變，與國)共線的向量有哪些？

解：與Q)共線的向量有譯，BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,OA.

題管茴明

共線向量與相等向量的判斷

(1)如果兩個(gè)向量所在的直線平行或重合，那么這兩個(gè)向量是共線向量.

(2)共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量.

(3)非零向量的共線具有傳遞性，即向量a,b,c為非零向量，若a〃乩b//c,則可推出Q〃C.

［注意］對(duì)于共線向量所在直線的位置關(guān)系的判斷，要注意直線平行或重合兩種情況.

跟蹤訓(xùn)練

1.已知向量法與向量脛共線，下列關(guān)于向量公的說法中，正確的為()

A.向量公與向量油一定同向

B.向量衣■，向量誦，向量的一定共線

C,向量流與向量比一定相等

D.以上說法都不正確

解析：選B.根據(jù)共線向量的定義，可知矗，BC,公這三個(gè)向量一定為共線向量，故選B.

2.如圖，四邊形A8CD和8CEQ都是平行四邊形，在每兩點(diǎn)所確定的向量中：

(1)寫出與BC相等的向量；

(2)寫出與反:共線的向量.

解：(1)因?yàn)樗倪呅蜛8CD和8CEZ)都是平行四邊形，所以BCHAOHDE,BC=AD=DE,所以病=病

=垃:.故與病相等的向量為Q),DE.

(2)與反:共線的向量共有7個(gè)，分別是冠)，DE,DA,ED,AE,EA,CB.

測(cè)評(píng)家，檢虢每⑥'驗(yàn)證?反饋?達(dá)標(biāo)

1.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E,尸分別是AB,CO的中點(diǎn)，圖中與靠平行*__F__C的向量的個(gè)

數(shù)為()///

A.1B.2~B

C.3D.4

解析：選C.圖中與能平行的向量為施，F(xiàn)D,元:共3個(gè).

2.下列結(jié)論中正確的是()

①若a〃力且|。|=步|,則a=Z＞；

②若a=b,則且|a|=|b|；

③若a與力方向相同且|a|=|b|,則a=6；

④若則。與方向相反且|a|WM

A.①③B.②③

C.③④D.②④

解析：選B.兩個(gè)向量相等需同向等長，反之也成立，故①錯(cuò)誤，a,b可能反向；②③正確；④兩向

量不相等，可能是不同向或者長度不相等或者不同向且長度不相等.

3.已知。是正方形A8CD對(duì)角線的交點(diǎn)，在以0,A,B,C,。這5點(diǎn)中任意一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一點(diǎn)

為終點(diǎn)的所有向量中，寫出：

(1)與比相等的向量；

(2)與協(xié)長度相等的向量；

(3)與殖共線的向量.

解：畫出圖形，如圖所示.

⑴易知8c〃皿BC=AD,

所以與就1相等的向量為好).

(2)由。是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)知OB=OQ=OA=OC,

所以與加長度相等的向量為防，OC,CO,OA,AO,OD,DO.

(3)與晶共線的向量為Q),BC,CB.

＞應(yīng)用素，強(qiáng)化?培優(yōu)?通關(guān)?

@s??IA基

礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

①單位向量都共線；

②長度相等的向量都相等：

③共線的單位向量必相等；

④與非零向量a共線的單位向量是R

A.3B.2

C.1D.0

解析：選D.根據(jù)單位向量的定義，可知①②③明顯是錯(cuò)誤的；對(duì)于④，與非零向量。共線的單位向量

是奇或一言故④也是錯(cuò)誤的.

2.下列說法正確的是（）

A.若a與匕平行，力與c平行，則a與c一定平行

B.終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量不共線

C.若⑷＞向，則a＞b

D.單位向量的長度為1

解析：選D.A中，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，若5=0,則a與c不一定平行.B中，兩向量終點(diǎn)相

同，若夾角是0°或180°,則共線.C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比較大小.

3.如圖，在正六邊形ABCQEF中，點(diǎn)。為其中心，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.eq=OCB.eq//DE

C.|Ab|=|BE|D.eq=FC

解析：選D.由題圖可知，|由）|=|巾，但病、危的方向不同，故病中元?，故選D.

4.設(shè)。是△A8C的外心，則Z3,BO,詼?zhǔn)牵ǎ?/p>

A.相等向量B.模相等的向量

C.平行向量D.起點(diǎn)相同的向量

解析：選B.因?yàn)槿切蔚耐庑氖侨切瓮饨訄A的圓心，所以點(diǎn)。到三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離相等，

所以公，BO,4是模相等的向量.

5.若。是任一非零向量，5是單位向量，下列各式：①|(zhì)a|＞步|；②Q〃乩③⑷＞0；④向=±1；⑤jj=b，

其中正確的有（）

A.①④⑤B.③

C.①??⑤D.②③⑤

解析：選B.①同＞步|不正確，a是任一非零向量，模長是任意的，故不正確；②不一定有a〃6,故不

正確；③向量的模長是非負(fù)數(shù)，而向量a是非零向量，故|a|＞0正確；④網(wǎng)=1,故④不正確：⑤尚是與a

同向的單位向量，不一定與6同向，故不正確.

6.如圖，已知正方形ABC￡＞的邊長為2,。為其中心，則|蘇尸.

解析：因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線長為2吸，所以|蘇|=，1

答案:啦

7.如果在一個(gè)邊長為5的正△4BC中，一個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的有向線段為元）（其中。在邊BC上運(yùn)動(dòng)），

則向量由）長度的最小值為.

解析：根據(jù)題意，在正△A8C中，有向線段的長度最小時(shí)，4。應(yīng)與邊8c垂直，有向線段長

度的最小值為正△ABC的高，為^

較案.生叵

口KC?2

8.已知A,B,C是不共線的三點(diǎn)，向量小與向量場是平行向量，與慶:是共線向量，則，〃=.

解析：因?yàn)锳,B,C不共線，

所以后與反?不共線.

又機(jī)與贏，反;都共線，

所以m=0.

答案：0

9.在平行四邊形ABC。中，E,尸分別為邊40,8c的中點(diǎn)，如圖.,~//匕

（1）在每兩點(diǎn)所確定的向量中，寫出與向量危共線的向量；

（2）求證：BE=FD.R--------F-----c

解：（1）由共線向量滿足的條件得與向量元共線的向量有：&,BC,CB,BF,FB,ED,DE,AE,EA,

AD,DA.

（2）證明：在?A8C。中，AD^BC.

又E,F分別為A。，8c的中點(diǎn)，

所以ED穗BF,

所以四邊形BFDE是平行四邊形，

所以BE^FD,

所以牖=歷.

10.已知在四邊形ABC。中，AB//CD,求助與正分別滿足什么條件時(shí)，四邊形ABCQ滿足下列情

況.

（1）四邊形ABCD是等腰梯形；

（2）四邊形ABCD是平行四邊形.

解：⑴而|=|的，且病與反:不平行.

因?yàn)榉āㄔ?，所以四邊形ABC。為梯形或平行四邊形.若四邊形A8C￡＞為等腰梯形，則|由）|=|的，

同時(shí)兩向量不平行.

（2）由）=就（或〃反7）.

若屐）=詼，即四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，此時(shí)四邊形A2C。為平行四邊形.

[B能力提升]

11.在菱形A8C。中，/D4B=120°,則以下說法錯(cuò)誤的是（）

A.與B相等的向量只有一個(gè)（不含法）

B.與矗的模相等的向量有9個(gè)（不含油）

C.曲的模恰為反模的小倍

D.史與及不共線

解析：選D.兩向量相等要求長度（模）相等，方向相同.兩向量共線只要求方向相同或相反.。中無，

而所在直線平行，向量方向相同，故共線.

12.如圖，等腰梯形A8C。中，對(duì)角線AC與80交于點(diǎn)P,點(diǎn)￡尸分別在腰A。，4------我

8c上，EF過點(diǎn)P,KEF//AB,則（）/\

A.eq=BCB.eq=fib7\

C.eq=PFD.eq=PFg----------

解析：選D.由平面幾何知識(shí)知，國）與正方向不同，故Q）手?。粏⑴c而方向不同，故啟手左b；能與

際的模相等而方向相反，故