高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4.5 兩角和與差的正弦、余弦和正切題組訓(xùn)練 理 蘇教版

第5講兩角和與差的正弦、余弦和正切基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．(·鄭州模擬)計算cos42°cos18°－cos48°sin18°的結(jié)果等于________．解析原式＝sin48°cos18°－cos48°sin18°＝sin(48°－18°)＝sin30°＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)2．(·湖南師大附中模擬)計算：eq\f(tan12°－\r(3),4cos212°－2sin12°)＝________.解析原式＝eq\f(\f(sin12°,cos12°)－\r(3),22cos212°－1sin12°)＝eq\f(sin12°－\r(3)cos12°,2sin12°cos12°cos24°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin12°－\f(\r(3),2)cos12°)),sin24°cos24°)＝eq\f(2sin12°－60°,\f(1,2)sin48°)＝－4.答案－43．(·湖州模擬)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,3)，則cos(π＋2α)的值為________．解析由題意，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(1,3).所以cos(π＋2α)＝－cos2α＝－(2cos2α－1)＝1－2cos2α＝eq\f(7,9).答案eq\f(7,9)4．(·山東省實驗中學(xué)診斷)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,5)，則sin2x＝________.解析因為sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1，所以sin2x＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2－1＝eq\f(18,25)－1＝－eq\f(7,25).答案－eq\f(7,25)5．(·成都模擬)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，且cosα＝－eq\f(4,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))等于________．解析因α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，且cosα＝－eq\f(4,5)，所以sinα＜0，即sinα＝－eq\f(3,5)，所以tanα＝eq\f(3,4).所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝eq\f(1－\f(3,4),1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).答案eq\f(1,7)6．(·金華十校模擬)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,2)，且eq\f(π,2)＜α＜π，則eq\f(sin2α－2cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))等于________．解析eq\f(sin2α－2cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(2sinαcosα－2cos2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝2eq\r(2)cosα，由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,2)，得eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝－eq\f(1,2)，解得tanα＝－3，因為eq\f(π,2)＜α＜π，所以解得cosα＝－eq\r(\f(1,tan2α＋1))＝－eq\f(\r(10),10)，所以原式＝2eq\r(2)cosα＝2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝－eq\f(2\r(5),5).答案－eq\f(2\r(5),5)7．(·南京模擬)設(shè)f(x)＝eq\f(1＋cos2x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)))＋sinx＋a2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值為eq\r(2)＋3，則常數(shù)a＝________.解析f(x)＝eq\f(1＋2cos2x－1,2cosx)＋sinx＋a2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝cosx＋sinx＋a2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋a2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝(eq\r(2)＋a2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).依題意有eq\r(2)＋a2＝eq\r(2)＋3，∴a＝±eq\r(3).答案±eq\r(3)8．(·廣州模擬)已知cos4α－sin4α＝eq\f(2,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝______.解析∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝eq\f(2,3)，∴cos2α＝eq\f(2,3)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝eq\r(1－cos22α)＝eq\f(\r(5),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)cos2α－eq\f(\r(3),2)sin2α＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(2－\r(15),6).答案eq\f(2－\r(15),6)二、解答題9．(·浙江大學(xué)附屬中學(xué)一模)已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，求f(2α)的值．解(1)f(x)＝eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx－cosx＝eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).∴f(x)的最小正周期為2π.(2)由(1)知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)－\f(π,6)))＝sinα＝eq\f(3,5)，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(24,25)，cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1＝eq\f(7,25)，∴f(2α)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)sin2α－eq\f(1,2)cos2α＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(24,25)－eq\f(1,2)×eq\f(7,25)＝eq\f(24\r(3)－7,50).10．(·蘇北三市模擬)已知函數(shù)f(x)＝－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25π,6)))的值．(2)設(shè)α∈(0，π)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),2)，求sinα的值．解f(x)＝－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝－eq\r(3)×eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝－eq\f(\r(3),2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25π,6)))＝－eq\f(\r(3),2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25π,3)＋\f(π,3)))＝0.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝－eq\f(\r(3),2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),2)，∴0＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,4)＜eq\f(1,2)，又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，∴α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3))).∴α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(15),4)，∴sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)－\f(π,3)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1＋3\r(5),8).能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.解析因為α＋eq\f(π,4)＋β－eq\f(π,4)＝α＋β，所以α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))＝eq\f(3,22).答案eq\f(3,22)2．(·濰坊模擬)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，滿足tan(α＋β)＝4tanβ，則tanα的最大值是________．解析由tan(α＋β)＝4tanβ，得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝4tanβ，解得tanα＝eq\f(3tanβ,1＋4tan2β)，因為β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以tanβ＞0.所以tanα＝eq\f(3,\f(1,tanβ)＋4tanβ)≤eq\f(3,2\r(\f(1,tanβ)·4tanβ))＝eq\f(3,4)，當且僅當eq\f(1,tanβ)＝4tanβ，即tan2β＝eq\f(1,4)，tanβ＝eq\f(1,2)時取等號，所以tanα的最大值是eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)3．(·永康模擬)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，則tan2α＝________.解析由已知，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝3cosα，即eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(5,2)cosα，所以tanα＝eq\f(5\r(3),3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(5\r(3),3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)))2)＝－eq\f(5\r(3),11).答案－eq\f(5\r(3),11)二、解答題4．(·廣東卷)已知函數(shù)f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期為10π.(1)求ω的值；(2)設(shè)α，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co