考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷6（共204題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷6（共9套）（共204題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(χ)＝則()．A、f(χ)在χ＝1連續(xù)，在χ＝－1間斷B、f(χ)在χ＝1間斷，存χ＝－1連續(xù)C、f(χ)在χ＝1，χ＝－1都連續(xù)D、f(χ)在χ＝1，χ＝－1都間斷標準答案：B知識點解析：由＝0，f(－1)＝0，得f(χ)在χ＝－1處連續(xù)．由f(1－0)＝－π，f(1＋0)＝＝π，得χ＝1為f(χ)的跳躍間斷點，選B.2、設(shè)f(χ)連續(xù)，且＝2，則下列結(jié)論正確的是()．A、f(1)是f(χ)的極大值B、f(1)是f(χ)的極小值C、(1，f(1))不是曲線y＝f(χ)的拐點D、f(1)不是f(χ)的極值，但(1，f(1))是曲線y＝f(χ)的拐點標準答案：B知識點解析：因為＝2，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜χ－1｜＜δ時，有＞0，即當(dāng)χ∈(1－δ，1)時，f′(χ)<0；當(dāng)χ∈(1，1＋δ)時，f′(χ)>0，根據(jù)極值的定義，f(1)為f(χ)的極小值，選B．3、設(shè)f(χ)在[a，＋∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)＝A＞0，f′(a)＜0，f〞(χ)≤0(χ＞a)，則f(χ)在[a，＋∞)內(nèi)()．A、無根B、有兩個根C、有無窮多個根D、有且僅有一個根標準答案：D知識點解析：f(χ)＝f(a)＋f′(a)(χ－a)＋(χ－a)2，其中ξ介于a與χ之間．因為f(a)＝A>0，f(χ)＝－∞，所以f(χ)在[a，＋∞)上至少有一個根．由f〞(χ)≤0(χ＞a)f′(χ)單調(diào)不增，所以當(dāng)χ＞a以時，f′(χ)≤f′(a)＜0f(χ)在[a，＋∞)為單調(diào)減函數(shù)，所以根是唯一的．4、下列結(jié)論正確的是()．A、若f(χ)可導(dǎo)且單調(diào)增加，則f′(χ)＞0B、若f(χ)，g(χ)皆可導(dǎo)且f′(χ)＞g′(χ)，則f(χ)＞g(χ)C、若f(χ)，g(χ)皆可導(dǎo)且f(χ)＞g′(χ)，則f′(χ)＞g′(χ)D、若f′(χ)＞0，則f(χ)單調(diào)增加標準答案：D知識點解析：f(χ)＝χ3為單調(diào)增加的函數(shù)，f′(χ)＝3χ3，因為f′(0)＝0，所以f′(χ)≥0，選項不對；令f(χ)＝χ，g(χ)＝2(χ＜1)，顯然f′(χ)＞g′(χ)，但f(χ)＜g(χ)，(B)不對；令f(χ)＝2，g(χ)＝χ(χ＜2)，顯然f(χ)＞g(χ)，但f′(χ)＜g′(χ)，選項C不對；由微分中值定理得f(χ2)－f(χ1)＝f′(ξ)(χ2－χ1)，因為f′(χ)＞0，所以χ2－χ1與f(χ2)－f(χ1)同號，即f(χ)單調(diào)增加，選D．5、設(shè)t＞0，則當(dāng)t→0時，f(t)＝[1－cos(χ2＋y2)]dχdy是t的n階無窮小量，則n為()．A、2B、4C、6D、8標準答案：C知識點解析：因為，所以f(t)~t6，即n＝6，故選C.6、設(shè)y1(χ)，y2(χ)是微分方程y〞＋py′＋qy＝0的解，則由y1(χ)，y2(χ)能構(gòu)成方程通解的充分條件是()．A、y′1y2－y1y′2＝0B、y′1y2－y1y′2≠0C、y′1y2＋y1y′2＝0D、y′1y2＋y1y′2≠0標準答案：B知識點解析：y1(χ)，y2(χ)能構(gòu)成微分方程y〞＋Py′＋qy＝0通解的充分必要條件是不是常數(shù)，即≠0，選B.7、沒線性方程組AX＝kβ1＋β2有解，其中A則k為().A、1B、－1C、2D、－2標準答案：D知識點解析：因為AX＝kβ1＋β2有解，所以，解得k＝－2，選D．8、設(shè)n階矩陣A＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…，γn)，令向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量組(Ⅲ)線性相關(guān)，則().A、向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)都線性相關(guān)B、向量組(Ⅰ)線性相關(guān)C、向量組(Ⅱ)線性相關(guān)D、向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)至少有一個線性相關(guān)標準答案：D知識點解析：當(dāng)向量組(Ⅰ)線性相關(guān)時，r(A)＜n，由r(AB)≤r(A)得r(AB)＜n，即向量組(Ⅲ)線性相關(guān)；同理，當(dāng)向量組(Ⅱ)線性相關(guān)時，r(B)＜n，r(AB)≤r(B)得r(AB)＜n，即向量組(Ⅲ)線性相關(guān)；應(yīng)選D.二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、若當(dāng)χ→0時，(1＋2χ)χ－cosχ~a2，則a＝_______．標準答案：知識點解析：因為當(dāng)χ→0時，(1＋2χ)χ－1＝eχln(1＋2χ)－1~χln(1＋2χ)~2χ2，所以(1＋2χ)χ－cos＝(1＋2χ)χ－1＋1－cosχ~2χ2＋，于是a＝．10、設(shè)f(χ)χ2ln(1＋χ)，則f(50)(0)＝_______．標準答案：知識點解析：．11、＝_______.標準答案：10π知識點解析：12、由方程χ＋2y＋z－2＝0所確定的函數(shù)z＝z(χ，y)在點(1，1，2)處的全微分dz＝_______標準答案：dχ－2dy知識點解析：χ＋2y＋z－2＝0兩邊對χ求偏導(dǎo)得.則.χ＋2y＋z－2＝0兩邊對y求偏導(dǎo)得2＋＝0.則＝－2.于是dz＝dχ－2dy．13、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)在(0，＋∞)上滿足△y＝(＋χsinχ)△χ＋o(△χ)，且，則y(χ)＝_______.標準答案：χ(1－cosχ)知識點解析：由可微的定義，函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)在(0，＋∞)內(nèi)可微且y′＝×χsinχ或y′－＝χsinχ，由一階非齊次線性微分方程的通解公式得y＝＝(－cosχ＋C)χ由得C＝1，所以y＝χ(1－cosχ).14、設(shè)矩陣，矩陣A滿足B-1＝B*A＋A，則A＝_______．標準答案：知識點解析：｜B｜＝＝2，B-1＝B*A＋A兩邊左乘B得E＝2A＋BA，即(B＋2E)＝E，則A＝(B＋2E)-1＝三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、設(shè)f(χ)連續(xù)＝1求．標準答案：由＝1得f(0)＝0，f′(0)＝1..知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(χ)在(－1,1)內(nèi)有f〞(χ)＜0，且＝2.證明在(－1,1)內(nèi)有f(χ)≤3χ標準答案：由＝2，得f(0)＝0再由2＝＝f′(0)－1得f′(0)＝3．由泰勒公式得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋，其中ξ介于0與χ之間，因為f〞(χ)＜0，所以f(χ)≤f(0)＋f′(0)χ＝3χ．知識點解析：暫無解析17、設(shè)4χ．(Ⅰ)用變換×＝t2將原方程化為y關(guān)于t的微分方程；(Ⅱ)求原方程的通解．標準答案：(Ⅰ)，(Ⅱ)特征方程為λ2－λ－6＝0，特征值為λ1＝－2，λ2＝3，方程－6y＝0的通解為y＝C1e2t＋C2e3t．令－6y＝e3t的特解為y0＝Ate3t,代人得A＝，故原方程的通解為y＝．知識點解析：暫無解析18、(a＞0)．標準答案：令(－≤θ≤0，0≤r≤－2asinθ)，則知識點解析：暫無解析19、設(shè)y＝f(χ，t)，而t是由方程G(χ，y，t)＝0確定的χ，y的函數(shù)，其中f(χ，t)，G(χ，y，t)為可微函數(shù)，求．標準答案：由方程組確定兩個一元函數(shù)，其中χ為自變量，y，t為函數(shù)，對χ求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(χ)在[1，＋∞)上連續(xù)，若曲線y＝f(χ)，直線χ＝1，χ＝t(t＞1)與χ軸圍成的平面區(qū)域繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(t)＝[t2f(t)－f(1)]且f(2)＝，求函數(shù)y＝f(χ)的表達式．標準答案：由旋轉(zhuǎn)體的體積公式得V(t)＝π∫1tf2(u)du，由已知條件得，即3∫1tf2(u)du＝t2f(t)－f(1)．等式兩邊對t求導(dǎo)得3f2(t)＝2tf(t)＋t2f′(t)于是有χ2y′＝3y2－2χy，變形得．令＝u，則有χ＝3u(u－1)，分離變量并兩邊積分得＝Cχ3，即y－χ＝Cχ3y由f(2)得C＝－1，故f(χ)＝．知識點解析：暫無解析21、設(shè)A為m×n矩陣，且r(A)＝r(A)r＜n，其中＝(A┇b)．(Ⅰ)證明方程組AX＝b有且僅有，n－r＋1個線性無關(guān)解；(Ⅱ)若，有三個線性無關(guān)解，求a，b的值及方程組的通解．標準答案：(Ⅰ)令ξ1，ξ2，…ξn，的基礎(chǔ)解系，η0為AX＝b的特解，顯然β0＝η0，β1＝ξ1＋η0，…，βn-r＝ξn-r＋η0為AX＝b的一組解，令k0β0＋k1β1＋…＋kn-rβn-r＝0，即k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＋(k0＋k1＋…＋kn-r)η0＝0上式左乘A得(k0＋k1＋…＋kn-r)b＝0，因為b≠0時，k0＋k1＋…＋kn-r＝0，于是k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，因為ξ1，ξ2，…，ξn-r為AX＝0的基礎(chǔ)解系，所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0，于是k0＝0，故β0，β1，…βn-r線性無關(guān).若γ0，γ1，…γn-r+1為AX＝b的線性無關(guān)解，則ξ1＝γ1－γ0，…，ξn-r+1＝γn-r+1－γ0為AX＝0的解，令k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-r+1ξn-r+1＝0，則k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-r+1ξn-r+1－(k1＋k2＋…＋kn-r+1)γ0＝0.因為γ0，γ1，…，γn-r+1線性無關(guān)，所以k1＝2＝…＋kn-r+1＝0，即ξ1，ξ2，…ξn-r+1為AX＝0的線性無關(guān)解，矛盾，故方程組AX＝b恰有n－r＋1個線性無關(guān)解.(Ⅱ)令化為AX＝β.因為AX＝β有三個非零解，所以AX＝0有兩個非零解，故4－r(A)≥2，r(A)≤2，又因為r(A)≥2，所以r(A)＝r(A)＝2知識點解析：暫無解析22、設(shè)二次型f(χ1，χ2，χ3)＝5χ12＋aχ22＋332－2χ1χ2＋6χ1χ3－62χ3的矩陣合同于(Ⅰ)求常數(shù)a的值；(Ⅱ)用正交變換法化二次型廠(χ1，χ2，χ3)為標準形．標準答案：(1)令，則f(χ1，χ2，χ3)＝XTAx．因為A與合同，所以r(A)＝2＜3，故｜A｜＝0．由｜A｜＝＝3(2a－10)＝0得a＝5，A＝．(Ⅱ)由｜λE－A｜＝＝λ(λ－4)(λ－9)＝0得λ1＝0，λ2＝4，λ3＝9由(OE－A)X＝0得ξ1；由(4E－A)X＝0得ξ2＝；由(9E－A)X＝0得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=則()．A、f(x)在x=1連續(xù)，在x=－1間斷B、f(x)在x=1間斷，在x=－1連續(xù)C、f(x)在x=1，x=－1都連續(xù)D、f(x)在x=1，x=－1都間斷標準答案：B知識點解析：由=0，f(－1)=0，得f(x)在x=－1處連續(xù)．得x=1為f(x)的跳躍間斷點，選(B)．2、設(shè)f(x)連續(xù)，且=2，則下列結(jié)論正確的是()．A、f(1)是f(x)的極大值B、f(1)是f(x)的極小值C、(1，f(1))不是曲線y=f(x)的拐點D、f(1)不是f(x)的極值，但(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點標準答案：B知識點解析：因為=2，所以由極限的保號性，存在ξ>0，當(dāng)0<｜x－1｜<δ時，有>0，即當(dāng)x∈(1－δ，1)時，fˊ(x)<0；當(dāng)x∈(1，1+δ)時，fˊ(x)>0．根據(jù)極值的定義，f(1)為f(x)的極小值，選(B)．3、設(shè)f(x)在[a，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=A>0，fˊ(a)<0，fˊˊ(x)≤0(x>a)，則f(x)在[a，+∞)內(nèi)()．A、無根B、有兩個根C、有無窮多個根D、有且僅有一個根標準答案：D知識點解析：f(x)=f(a)+fˊ(a)(x—a)+(x—a)2，其中ξ介于a與x之間．因為f(a)=A>0，f(x)=—∞，所以f(x)在[a，+∞)上至少有一個根．由fˊˊ(x)≤0(x>a)fˊ(x)單調(diào)不增，所以當(dāng)x>a時，fˊ(x)≤fˊ(a)<0f(x)在[a，+∞)為單調(diào)減函數(shù)，所以根是唯一的，選(D)．4、下列結(jié)論正確的是()．A、若f(x)可導(dǎo)且單調(diào)增加，則fˊ(x)>0B、若f(x)，g(x)皆可導(dǎo)且fˊ(x)>gˊ(x)，則f(x)>g(x)C、若f(x)，g(x)皆可導(dǎo)且f(x)>g(x)，則fˊ(x)>gˊ(x)D、若fˊ(x)>0，則f(x)單調(diào)增加標準答案：D知識點解析：f(x)=x3為單調(diào)增加的函數(shù)，fˊ(x)=3x2，因為fˊ(0)=0，所以fˊ(x)≥0，(A)不對；令f(x)=x，g(x)=2(x<1)，顯然fˊ(x)>gˊ(x)，但f(x)g(x)，但fˊ(x)2)—f(x1)—fˊ(ξ)(x2－x1)，因為fˊ(x)>0，所以x2－x1與f(x2)－f(x1)同號，即f(x)單調(diào)增加，選(D)．5、設(shè)t>0，則當(dāng)t→0時，f(t)=[1－cos(x2+y2)]dxdy是t的n階無窮小量，則n為()．A、2B、4C、6D、8標準答案：C知識點解析：6、設(shè)y1(x)，y2(x)是微分方程yˊˊ+pyˊ+qy=0的解，則由y1(x)，y2(x)能構(gòu)成方程通解的充分條件是()．A、yˊ1y2－y1yˊ2=0B、yˊ1y2－y1yˊ2≠0C、yˊ1y2+y1yˊ2=0D、yˊ1y2+y1yˊ2≠0標準答案：B知識點解析：y1(x)，y2(x)能構(gòu)成微分方程yˊˊ+pyˊ+qy=0通解的充分必要條件是不是常數(shù)，即≠0，選(B)．7、設(shè)A為三階矩陣，為非齊次線性方程組AX=的解，則()A、當(dāng)t≠2時，r(A)=1B、當(dāng)t≠2時，r(A)=2C、當(dāng)t=2時，r(A)=1D、當(dāng)t=2時，r(A)=2．標準答案：A知識點解析：方法一：為AX=0的兩個線性無關(guān)的解，從而3—r(A)≥2,r(A)≤1，又由A≠0得，r(A)≥1，即r(A)=1，選(A)．方法二：當(dāng)t≠2時，B為可逆矩陣，從而r(AB)=r(A)=1，選(A)．8、設(shè)n階矩陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，令向量組(I)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量組(Ⅲ)線性相關(guān)，則()．A、向量組(I)與向量組(Ⅱ)都線性相關(guān)B、向量組(I)線性相關(guān)C、向量組(Ⅱ)線性相關(guān)D、向量組(I)與(Ⅱ)至少有一個線性相關(guān)標準答案：D知識點解析：當(dāng)向量組(Ⅰ)線性相關(guān)時，r(A)二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)為單調(diào)函數(shù)，且g(x)為其反函數(shù)，又設(shè)f(1)=2，fˊ(1)=，fˊˊ(1)=1．則gˊˊ(2)=__________．標準答案：3知識點解析：gˊ(y)=gˊˊ(y)=則gˊˊ(2)=10、設(shè)f(x)=，則f(x)dx=_________．標準答案：+1－ln2知識點解析：當(dāng)0≤x<1時，f(x)=；當(dāng)x=1時，f(x)=0；當(dāng)x>1時，f(x)=，所以f(x)=則11、已知函數(shù)z=u(x，y)，且=0，若z=z(x，y)滿足方程十z=0，則a=________，b=________．標準答案：a=1，b=1知識點解析：12、dy=_________．標準答案：知識點解析：改變積分次序，得于是又由得13、arcsindx=_________．標準答案：知識點解析：14、設(shè)A=且｜A｜=3，B=，則=________．標準答案：知識點解析：因為B=AE12(2)E13，所以｜B｜=｜A｜｜E12(2)｜｜E13｜=－3，又因為B*=｜B｜B－1，所以B*=－3E13－1E12－1(2)A－1=－3E13E12(－2)A－1，故B*A=－3E13E12(－2)=－3E13三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、證明：當(dāng)x<1且x≠0時，標準答案：當(dāng)x＜0時，令f(x)=x+ln(1－x)－xln(1－x)，顯然f(0)=0，因為所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)減少，所以當(dāng)x＜0時，f(x)＞f(0)=0，即x+ln(1－x)－xln(1－x)＞0，于是當(dāng)0＜x＜1時，令f(x)=x+ln(1－x)－xln(1－x)，且f(0)=0，因為所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，于是f(x)＞f(0)=0，故．知識點解析：暫無解析16、計算標準答案：令x=tant，則知識點解析：暫無解析17、設(shè)fˊˊ(x)∈C[a，b]，證明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b－a)ffˊˊ(ξ)．標準答案：令F(x)=∫axf(t)dt，則Fˊ(x)=f(x)，且Fˊˊˊ(x)∈C[a，b]．由泰勒公式得知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在R上可微且f(0)=0，又fˊ(1nx)=求∫f(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)一階連續(xù)可微，且對x∈(0，+∞)滿足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3，又f(1)=0，求f(x)．標準答案：令u=xt，則原方程變換為∫0xf(u)du=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3兩邊對x求導(dǎo)得f(x)=2f(x)+f(x)+xfˊ(x)+3x2，整理得fˊ(x)+f(x)=－3x．此微分方程的通解為f(x)=．由f(1)=0，得C=,所以f(x)=.知識點解析：暫無解析20、一個容器的內(nèi)表面?zhèn)让嬗汕€x=(0≤x≤2)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，外表面由曲線x=在點(2，)的切線位于點(2，)與x軸交點之間的部分繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，此容器材質(zhì)的密度為μ．求此容器自身的質(zhì)量M及其內(nèi)表面的面積S．標準答案：知識點解析：暫無解析21、位于上半平面的上凹曲線y=y(x)過點(0，2)，在該點處的切線水平，曲線上任一點(x，y)處的曲率與及1+yˊ2之積成反比，比例系數(shù)k=，求y=y(x)．標準答案：根據(jù)題意得知識點解析：暫無解析設(shè)A是n階矩陣，證明：22、r(A)=1的充分必要條件是存在n維非零列向量α，β，使得A=αβT；標準答案：若r(A)=1，則A為非零矩陣且A的任意兩行成比例，即反之，若A=αβT，其中α，β都是n維非零列向量，則r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，又因為α，β為非零列向量，所以A為非零矩陣，從而r(A)≥1，于是r(A)=1．知識點解析：暫無解析23、r(A)=1且tr(A)≠0，證明A可相似對角化．標準答案：因為r(A)=1，所以存在非零列向量口α，β，使得A=αβT，顯然tr(A)=(α，β)，因為tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．令A(yù)X=λX，因為A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2－kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩陣A的特征值為λ=0或λ=k．因為λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(0E－A)=r(A)=1，得A一定可以對角化．知識點解析：暫無解析24、設(shè)A=，B為三階非零矩陣,為BX=0的解向量，且AX=α3有解．(Ⅰ)求常數(shù)a，b的值；(Ⅱ)求BX=0的通解．標準答案：由B為三階非零矩陣得r(B)≥1，從而BX=0的基礎(chǔ)解系最多有兩個線性無關(guān)的解向量，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(χ)＝sinχf(χ)有()A、兩個可去間斷點B、兩個無窮間斷點C、一個可去間斷點，一個跳躍間斷點D、一個可去間斷點，一個無窮間斷點標準答案：C知識點解析：故χ＝0為f(χ)的可去間斷點，χ＝1跳躍間斷點，選C．2、設(shè)f(χ)＝，f(χ)()A、處處可導(dǎo)B、在點χ＝－1點處可導(dǎo)C、在點χ＝0處可導(dǎo)D、在點χ＝1處可導(dǎo)標準答案：B知識點解析：因此f(χ)在點χ＝－1處可導(dǎo)，故選B．3、設(shè)f(χ)為微分方程y′χy＝g(χ)滿足y(0)＝1的解，其中g(shù)(χ)＝∫0χsin[(χ－t)2]dt，則有()A、在點χ＝0處f(χ)取極大值B、在點χ＝0處f(χ)取極小值C、點(0，f(0))為曲線y＝f(χ)的拐點D、點χ＝0不是f(χ)的極值點，點(0，f(0))也不是曲線y＝f(χ)的拐點標準答案：B知識點解析：由題意知，y′(0)＝0，y〞－y＋χy′＋g′(χ)，y〞(0)＝1＋g′(0)，又g(χ)∫0χsin(u2)du，g′(χ)＝sin(χ2)，g′(0)＝0，所以y〞(0)＝1＞0，故選B．4、設(shè)F(χ，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且F(χ0，y0)＝0，F(xiàn)′χ(χ0，y0)＝0，F(xiàn)′y(χ0，y0)＞0．若一元函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)是由方程F(χ，y)＝0所確定的在點(χ0，y0)附近的隱函數(shù)，則χ0是函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)的極小值點的一個充分條件是()A、F〞χχ(χ0，y0)＞0B、F〞χχ(χ0，y0)＜0C、F〞yy(χ0，y0)＞0D、F〞yy(χ0，y0)＜0標準答案：B知識點解析：由F′y(χ0，y0)＞0知，當(dāng)F〞χχ(χ0，y0)＜0時，＞0，y＝y(tǒng)(χ)在χ＝χ0處取極小值．5、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)在[0，＋∞)可導(dǎo)，在χ∈(0，＋∞)處的增量滿足△y(1＋△y)＝＋α，當(dāng)△χ→0時a是△χ的等價無窮小．又y(0)＝1，則y(χ)＝()A、1＋χB、(1＋χ)[ln(1＋χ)＋1]C、D、ln(1＋χ)＋1標準答案：B知識點解析：由△y(1＋△y)＝，△χ→0，得y′＝＋1．這是一階線性微分方程，其通解為：Y＝(1＋χ)[∫dχ＋C]＝(1＋χ)[ln(χ＋1)＋C]由y(0)＝1，得C＝1，所以y＝(1＋χ)[ln(1＋χ)＋1]，故應(yīng)選B．6、設(shè)平面區(qū)域D1＝((χ，y)｜0≤χ≤1，1－χ≤y≤1)，D2＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，1－≤y≤1}，二重積分I1＝則I1，I2，I3的大小關(guān)系為()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I2＜I3＜I1D、I1＜I3＜I2標準答案：B知識點解析：由于D1D2，記D3＝D2－D1＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，1－≤y＜1－χ)，當(dāng)(χ，y)∈D3時，χ＋y<1，從而有l(wèi)n(χ＋y)＜0，所以I2－I1＝ln(χ＋y)dσ＜0，即有I2＜I1，而當(dāng)(χ，y)≠D2且(0，1)≠(0，1)，(1，0)時，ln(χ＋y)＞in，所以I2＞I3．綜上可知I3＜I2＜I1，應(yīng)選B．7、已知A＝，B是3階非零矩陣，且AB＝0，則()A、a＝1時，B的秩必為1B、a＝1時，B的秩必為2C、a＝－3時，B的秩必為1D、a＝－3時，B的秩必為2標準答案：C知識點解析：本題考查秩的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．由AB＝0，得r(A)＋r(B)≤3．若a＝1，則r(A)＝1，從而r(B)≤2．又B是3階非零矩陣，即r(B)≥1，故r(B)＝1或r(B)＝2．若a＝－3，則r(A)＝2，從而r(B)≤1．又r(B)≥1，所以，r(B)＝1，故應(yīng)選C．8、下列矩陣中，正定矩陣是()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：本題考查具體數(shù)字矩陣正定的判定，屬于基礎(chǔ)題．選項A中a33＝－3＜0，選項B中二階順序主子式＝0，選項C中｜A｜＝0，均不是正定矩陣，選項D中三個順序主子式△1＝2，△2＝6，△3＝5，均大于零，故應(yīng)選D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、∫χnlnχdχ＝_______．標準答案：＋C．知識點解析：10、曲線y＝－χ＋的拐點是_______．標準答案：(4，一3)．知識點解析：因為y〞(4)＝0，y″′(4)≠0，y(4)＝－3．所以拐點為(4，－3)．11、設(shè)f，g為連續(xù)可微函數(shù)，u＝f(χ，χy)，v＝g(χ＋χy)，則＝_______．標準答案：(f′1＋f′2)(1＋y)g′．知識點解析：12、＝_______標準答案：知識點解析：13、＝_______．標準答案：知識點解析：＝E13，而E132＝E，故E1320＝E，E1319＝E13用E13右乘A＝等于將A的一、三兩列對換，故EAE13＝三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設(shè)f(χ)在χ＝0處二階可導(dǎo)，又＝A，(Ⅰ)求f′(0)與f〞(0)；(Ⅱ)求標準答案：則f(0)，f′(0)＝0，f〞(0)＝A知識點解析：暫無解析15、設(shè)z＝f(χ，3χ－y)，χ＝g(y，z)＋φ()，其中f，g，5φ在其定義域內(nèi)可微，求．標準答案：dz＝f′1dχ＋f′2(3dχ－dy)，dχ＝g′1dy＋g′2dz＋φ′變形為：知識點解析：暫無解析16、已知＝3χ＋y＋1，＝χ＋2y＋3，u(0，0)＝1，求u(χ，y)及u(χ，y)的極值，并問此極值是極大值還是極小值?標準答案：由＝2χ＋y＋1，得u(χ，y)＝χ2＋χy＋χ＋φ(y)，再由＝χ＋2y＋3，得χ＋φ′(y)＝χ＋2y＋3，得φ′(y)＝2y＋3，φ(y)＝y(tǒng)2＋3y＋C．于是，u(χ，y)＝χ2＋χy＋χ＋y2＋3y＋C．又u(0，0)＝1，所以u(χ，y)＝χ2＋χy＋χ＋y2＋3y＋1．再由AC－B2＞0，且A＞0所以是u(χ，y)的極小值．知識點解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)f(χ)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f′(χ)＞0，若極限存在，證明：(Ⅰ)在(a，b)內(nèi)f(χ)＞0；(Ⅱ)在(a，b)內(nèi)存在一點ξ，使；(Ⅲ)在(a，b)內(nèi)存在與(Ⅱ)中ξ相異的點η，使f′(η)(b2－a2)＝∫abf(χ)dχ．標準答案：(Ⅰ)因為存在，故(2χ－a)＝0，由f(χ)在[a，b]上連續(xù)，從而f(a)＝0．又由f′(χ)＞0知f(χ)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加，故f(χ)＞0．(Ⅱ)設(shè)F(χ)＝χ2，g(χ)＝∫aχf(t)dt(a≤χ≤b)，則g′(χ)＝f(χ)＞0，故F(χ)，g(χ)滿足柯西中值定理的條件，于是在(a，b)內(nèi)存在一點ξ，使(Ⅲ)因f(ξ)＝f(ξ)－0＝f(ξ)－f(a)，在[a，ξ]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在(a，ξ)內(nèi)存在一點η，使f(ξ)＝f′(η)(ξ－a)，從而由(Ⅱ)的結(jié)論得即有f′(η)(b－a)＝f(χ)dχ．知識點解析：暫無解析18、計算二重積χ｜y－eχ｜dσ，其中積分區(qū)域D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤2e)．標準答案：如圖，將D分成D1、D2兩部分，D1，D2除邊界無公共部分．知識點解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(χ)在[0，＋∞)上可導(dǎo)，f(0)＝0且存在反函數(shù)，其反函數(shù)為g(χ)．若∫0f(χ)g(t)dt＋∫1χf(t)dt＝χeχ－eχ＋1，求f(χ)．標準答案：將∫0f(χ)g(t)dt＋∫0χf(t)dt＝χeχ－eχ＋1兩邊對χ求導(dǎo)數(shù)，得：f′(χ)g(f(χ))＋f(χ)＝χeχ．即：f′(χ)＋f(χ)＝χeχ，即：[χf(χ)]′＝χeχ，兩邊積分得：χf(χ)＝∫χeχdχ＝χeχ－eχ＋C，即因為f(χ)在＝0處連續(xù)，所以f(0)＝＝0，所以C＝1所以知識點解析：暫無解析20、設(shè)直線L是曲線y＝eχ過點(1，0)的切線，記L與曲線y＝eχ以及χ軸圍成的向χ軸負向無限伸展的圖形為D．(Ⅰ)求D的面積；(Ⅱ)求D繞χ軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積V．標準答案：(Ⅰ)設(shè)切點為P(χ0，y0)，于是曲線y＝eχ在點P處的切線方程為：y－y0＝(χ－χ0)，將點(1，0)和y0＝代入切線方程得：χ0＝2，y0＝e2．于是切線方程為：y＝e2(χ－1)．D的面積：其中nydy為反常積分，ylny＝0．(Ⅱ)由旋轉(zhuǎn)體體積的套筒法公式有：知識點解析：暫無解析21、設(shè)三維向量已知向量組α1，α2，α3與β1，β2，β3是等價的．(Ⅰ)求a，b，c；(Ⅱ)求向量組α1，α2，α3的一個極大無關(guān)組，并將β1用α1，α2，α3線性表示．標準答案：(Ⅰ)由于向量組α1，α2，α3與β1，β2，β3等價，可知向量β1，β2，β3都能由向量組α1，α2，α3線性表示，也即線性方程組(α1，α2，α3)χ＝βi，i＝1，2，3有解．為此，對增廣矩陣(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行變換，可知a＝1，b＝2，c＝－2(Ⅱ)α1，α2為α1，α2，α3的一個極大無關(guān)組，且β1＝(1－k)α1－kα2＋kα3，k為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析22、設(shè)矩陣A＝有一個特征值是3．(Ⅰ)求y的值；(Ⅱ)求正交矩陣P，使(AP)TAP為對角矩陣；(Ⅲ)判斷矩陣A2是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論．標準答案：(Ⅰ)3是A的特征值，故｜3E－A｜＝8(3－y－1)＝0，解出y＝2．A2的特征值為λ1＝λ2＝λ3＝1，λ4＝9．當(dāng)λ＝1時，(E－A2)χ＝0的基礎(chǔ)解系為ξ1＝(1，0，0，0)T，ξ2＝(0，1，0，0)T，ξ3＝(0，0，－1，1)T當(dāng)λ＝9時，(gE－A2)χ＝0的基礎(chǔ)解系為ξ4＝(0，0，1，1)T．對ξ1，ξ2，ξ3，ξ4進行單位化：η1＝＝(1，0，0，0)T，η2＝＝(0，1，0，0)T，η3＝＝(0，0，－1，1)T，η4＝＝(0，0，1，1)T，令P＝(η1，η2，η3，η4)＝，則P為正交矩陣，且pTA2p＝(AP)TALP＝A＝(Ⅲ)(A2)T＝A2，所以A2是對稱矩陣．由于A2的特征值1，1，1，9全大于零，所以A2為正定矩陣．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)＝1，而＝()A、∞B、0C、6D、－6標準答案：D知識點解析：2、設(shè)α是實數(shù)，f(χ)＝f(χ)在點χ＝1處可導(dǎo)，則α的取值范圍()A、α＜－1B、－1≤α＜0C、0≤α＜1D、a≥1標準答案：A知識點解析：由導(dǎo)數(shù)定義知：f′+(1)＝當(dāng)a＋1＜0，即a＜－1時，(χ－1)-(α＋1)為無窮小，sin為有界變量，故當(dāng)α＜－1時，f′+(1)＝0，f′-(1)＝0，故f′(1)＝0．3、在下列微分方程中，以y＝(c1＋χ)e-χ＋c2e2χ(c1，c2是任意常數(shù))為通解的是()A、y〞＋y′－2y＝5e-χB、y〞＋y′－2y＝3e-χC、y〞－y′－2y＝－5e-χD、y〞－y′－2y＝－3e-χ標準答案：D知識點解析：y＝(c1＋χ)e-χ＋c2e2χ＝c1e-χ＋c2e2χ＋χe-χ．從而由齊次微分方程的解結(jié)構(gòu)可得λ1＝－1，λ2＝2，y*＝χe-χ，即y〞－y′－2y＝0，再將y*代入上式可得D項正確．4、設(shè)F(χ)＝∫0χ(2t－χ)f(t)dt，f(χ)可導(dǎo)，且f′(χ)＞0，則()A、F(0)是極大值B、F(0)是極小值C、F(0)不是極值，但點(0，F(xiàn)(0))是拐點D、F(0)不是極值，(0，F(xiàn)(0))也不是拐點標準答案：C知識點解析：F(χ)＝∫0χ｜2tf(t)dt－χ∫0χf(t)dt，F(xiàn)′(χ)－2χf(χ)－∫0χf(t)dt－χf(χ)，F(xiàn)〞(χ)＝2(f(χ)＋χf′(χ))－f(χ)－f(χ)－χf′(χ)＝χf′(χ)，F(xiàn)〞(0)＝0，由f′(χ)＞0知，當(dāng)χ＜0時，F(xiàn)〞(χ)＜0；當(dāng)χ＞0時，F(xiàn)〞(χ)＞0．因而點(0，F(xiàn)(0))為曲線拐點，當(dāng)χ＜0時，F(xiàn)′(χ)單調(diào)減少，因而F′(χ)>F′(0)＝0，當(dāng)χ＞0時，F(xiàn)′(χ)單調(diào)增加，因而F′(χ)>F′(0)＝0，從而推知F(χ)在(－∞，＋∞)內(nèi)單調(diào)增加，故F(0)不是極值．5、設(shè)f(χ)在(－∞，＋∞)內(nèi)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()A、sinf′(χ)B、∫0χf(t)sintdtC、∫0χsintdtD、∫0χ[sint＋f(t)]dt標準答案：B知識點解析：f(t)為奇函數(shù)∫0χf(t)dt為偶函數(shù)，f(t)為偶函數(shù)∫0χ(f)dt為奇函數(shù)，奇函數(shù)與奇函數(shù)的積為偶函數(shù)．從而可得得B正確．6、設(shè)IC＝dχdy，C＝1，2，3，其中D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤r2}，D2＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤2r2}，D3＝{(χ，y)｜｜χ≤r，｜y｜≤r}，則下列結(jié)論中正確的是()A、I1＜I2＜I3B、I2＜I3＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I2＜I1標準答案：C知識點解析：積分區(qū)域的由小到大依次為D1，D3，D2，而被積函數(shù)均為，從而I1＜I3＜I2．7、設(shè)向量組α，β，γ線性無關(guān)，向量組α，β，δ線性相關(guān)，則()A、α不可由β，γ，δ線性表示B、δ可由α，β，γ線性表示C、β不可由α，γ，δ線性表示D、δ不可由α，β，γ線性表示標準答案：B知識點解析：α，β，γ線性無關(guān)r(α，β，γ)＝3；α，β，δ線性相關(guān)r(α，β，δ)＜3，從而δ可由α，β線性表示，則δ可由α，β，γ線性表示．8、以下矩陣可相似對角化的個數(shù)為()A、2個B、3個C、4個D、5個標準答案：C知識點解析：(1)有3個不同的特征值，可對角化；(2)的特征值為1，1，3，λ＝1為二重根，但其只有一個特征向量，從而不能對角化；(3)的秩為1，從而特征根為6，0，0，λ＝0為二重根，其有兩個特征向量，從而可對角化；(4)為實對稱矩陣，則可對角化；(5)A2×2｜A｜＜0，顯然有兩個不同的特征值，也可對角化；綜上所述，可對角化的矩陣有4個．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、[ln(n＋1)＋ln(n＋2)＋…＋ln(n＋n)－lnn]}_______．標準答案：2ln2－1．知識點解析：10、當(dāng)χ→0時，χ－(a＋bcosχ)sinχ為χ3的高階無窮小，其中a，b為常數(shù)，則(a，b)＝_______．標準答案：知識點解析：由題意知運用洛必達法則，＝0，從而1－a－b＝0，①對上式繼續(xù)運用洛必達法則，得＝0，所以a－4b＝0②由①②解得a＝，b＝－．11、設(shè)y＝，則y(n)＝_______．標準答案：知識點解析：12、＝_______．標準答案：知識點解析：13、當(dāng)u＞0時，f(u)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(1)＝0．z＝f(eχ－ey)滿足＝1，則f(u)＝_______．標準答案：lnu．知識點解析：令u＝eχ－ey，則＝eχf′(u)－eyf′(u)＝uf′(u)＝1，uf′(u)＝1．當(dāng)u＞0時，得f(u)＝lnu＋C．由于f(1)＝0，所以f(u)＝lnu．14、設(shè)A＝，B＝A-1,則B的伴隨矩陣B*的所有元素之和等于_______．標準答案：知識點解析：B*＝｜B｜B-1＝｜B｜A＝故B*的所有元素之和為．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析16、已知，在它的定義域上連續(xù)，求常數(shù)a和b．標準答案：因為f(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以－＝b；f(χ)在χ＝1處連續(xù)，所以＝a＋b．解之得：a＝π，b＝－．知識點解析：暫無解析17、求由曲線χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)，y＝0所圍圖形(Ⅰ)繞χ軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積；(Ⅱ)繞直線y＝2a旋轉(zhuǎn)所成立體的體積．標準答案：(Ⅰ)由已知的體積公式，得V＝∫02ππa2(1－cost)2χ′(t)dt＝∫02ππa3(1－cost)3dt＝5π2a3．(Ⅱ)V＝8π2a3－π∫02π(2a－y)2χ′(t)dt＝8π2a3－π∫02πa3(1＋cost)2(1－cost)dt＝7π2a3．知識點解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1．試證：對任意實數(shù)λ，存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．標準答案：記F(χ)＝[f(χ)－χ]e-λχ，則F(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)＝0．此外，由于＞0，F(xiàn)(1)＝[f(1)－1-]e-λ＝－e-λ＜0，所以由連續(xù)函數(shù)零點定理知，存在η∈(，1)，使得F(η)＝0，于是F(χ)在[0，η]上滿足羅爾定理條件，所以至少存在一點ξ∈(0，η)(0，1)，使得F′(ξ)＝0，即f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1．知識點解析：暫無解析19、設(shè)z＝z(χ，y)由方程χ2＋2y－z＝ez所確定，求標準答案：將χ2＋2y－z＝ez兩邊分別對χ，y求偏導(dǎo)數(shù)得將對y求偏導(dǎo)數(shù)，其中z應(yīng)看作χ，y的函數(shù)，有知識點解析：暫無解析20、計算I＝｜cosχ｜.max{χ，y}dχdy，其中D＝{χ，y｜0≤χ≤π，0≤y≤π)．標準答案：把積分區(qū)域選好，共分為4個區(qū)域，這樣分別在這四個區(qū)域上積分，就去掉了絕對值符號和最值符號：所以，I1＋I2＋I3＋I4＝＋π－2．知識點解析：暫無解析21、求微分方程χy〞＋2y′＝χ滿足初始條件y(1)＝1，y′(1)＝的特解．標準答案：令p＝y(tǒng)′，則有y〞＝，原方程化為χ＋2p＝χ，再化為＝1，解得：p＝，于是，再分離變量積分得通解，y＝由y(1)＝1，y′(1)＝得解得C1＝，C2＝1．所以滿足初始條件y(1)＝1，y′(1)＝的特解為y*＝＋1．知識點解析：暫無解析22、已知下列非齊次線性方程組：(Ⅰ)求解方程組(a)．(Ⅱ)當(dāng)方程組(b)中的參數(shù)a，b，c為何值時，方程組(a)與(b)同解．標準答案：(Ⅰ)對(a)中的增廣矩陣作初等行變換，取χ4為自由變量，令χ4＝1，代入(a)所對應(yīng)的齊次線性方程組，求得χ3＝－2，χ2＝－5，χ1＝6，故(a)所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為ξ＝(6，－5，－2，1)T．令χ4＝0，代人(Ⅰ)中，得χ3＝－1，χ2＝－4，χ1＝6，故(Ⅰ)的特解為η＝(6，－4，－1，0)T．所以方程組(a)的通解為χ＝kξ＋η其中k為任意常數(shù)．(Ⅱ)方程組(a)與(b)同解，則ξ＝(6，－5，－2，1)T滿足方程組(b)所對應(yīng)的齊次線性方程組，即此時，當(dāng)a＝1，b＝4，c＝4時，有r(B)＝3，且η＝(6，－4，－1，0)T滿足方程組(b)，可以作為方程組(b)的特解．所以方程組(b)的通解也為χ＝kξ＋η，其中k為任意常數(shù)，所以當(dāng)a＝1，b＝4，c＝4時，方程組(a)與(b)同解．知識點解析：暫無解析23、已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的矩陣A(aij)滿足a11＋a22＋a33＝－6，仙＝C，其中(Ⅰ)用正交變換將二次型化為標準形，并寫出所用的正交變換和所得標準形；(Ⅱ)求出該二次型．標準答案：(Ⅰ)記α1＝(1，0，－1)T，α2＝(1，2，1)T，則B＝(α1，α2)，C＝(0，－12α2)．由題設(shè)AB＝C知A(α1，α2)＝(0，－12α2)，即Aα1＝0，Aα2＝－12α，所以λ1＝0，λ2＝12是矩陣A的特征值，α1，α2是A的分別屬于特征值λ1＝0，λ2＝－12的特征向量．設(shè)λ3是第三個特征值，利用題設(shè)λ1＋λ2＋λ3＝a11＋a22＋a33＝－6，所以λ3＝6．設(shè)λ3＝6對應(yīng)的特征向量為α3＝(χ1，χ2，χ3)T，由于λ3≠λ2，λ3≠λ1，所以α3與α1，α2均正交，即解得(χ1，χ2，χ3)T＝t(1，－1，1)T，取α3＝(1，－1，1)T，將α1，α2，α3單位化得3個兩兩正交的單位向量組記U＝(η1，η2，η3)，則U為正交矩陣，且UTAU＝作正交變換χ＝Uy，即得二次型的標準形為：－12y22＋6y32．(Ⅱ)由(Ⅰ)的(*)推得：故所求的二次型為：f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ＝－6χ22－12χ1χ2－12χ2χ3．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)f(χ)在χ＝a處可導(dǎo)，則()A、3a2f′(a)＋2f(a)B、C、3a2f′(a)－f(a)D、標準答案：D知識點解析：2、設(shè)f(χ)在χ＝0處連續(xù)，且＝1，則()A、f(0)是f(χ)的極大值B、f(0)是f(χ)的極小值C、(0，f(0))是曲線y＝f(χ)的拐點D、f(0)不是f(χ)的極值，(0，f(0))也不是曲線y＝f(χ)的拐點標準答案：C知識點解析：即(0，f(0))為拐點．3、設(shè)f(χ，y)＝．則f(χ，y)在點(0，0)處()A、不存在B、連續(xù)C、可微D、不連續(xù)標準答案：C知識點解析：f′χ(0，0)＝＝0，同理f′y(0，0)＝0，故偏導(dǎo)不連續(xù)．顯然有(χ，y)＝0＝f(O，0)，所以f(χ，y)在(0，0)連續(xù)．故A，B，D皆排除了。知f(χ，y)在(0，0)點可微．4、積分I＝dχ的值()A、小于0B、大于0C、等于0D、發(fā)散標準答案：A知識點解析：這是無界函數(shù)的反常積分．僅A入選．5、用定積分表示曲線(χ2＋y2)2＝χ2－y2所圍成的平面區(qū)域的面積A為()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：令χ＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入(χ2＋y2)2＝χ2－y2可得ρ2＝cos2θ，再根據(jù)對稱性，只需計算第一象限部分，即0＜θ＜cos2θdθ從而A＝2cos2θdθ6、y〞－2y′＝χe2χ的特解形式為()A、y*＝(aχ＋b)e2χB、y*＝aχe2χC、y*＝aχ2e2χD、y*＝(aχ2＋bχ)e2χ標準答案：D知識點解析：λ*－2λ＝00，2．從而y*＝(aχ＋b)χe2χ．7、設(shè)A，B是n階可逆矩陣，滿足AB＝A＋B．則下面命題中正確的個數(shù)是()①｜A＋B｜＝｜A｜｜B｜②(AB)-1＝B-1A-1③(A－E)χ＝0只有零解④B－E不可逆A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：A，B可逆，A＋B＝AB①｜A＋B｜＝｜AB｜＝｜A｜｜B｜；②(AB)-1＝B-1A-1；③A＋B＝ABA＝AB－B＝(A－E)BA－E可逆(A－E)χ＝只有零解；④A＋B＝ABB＝AB－A＝A(B－E)B－E可逆．8、設(shè)A＝，B是三階非零矩陣，且AB＝0，則()A、當(dāng)k＝1時，r(B)＝1B、當(dāng)k＝－3時，r(B)＝1C、當(dāng)k＝1時，r(B)＝2D、當(dāng)k＝－2時，r(B)＝2標準答案：B知識點解析：A＝，AB＝0r(A)＋r(B)≤3；B≠0r(B)＞0，從而r(A)＜3｜A｜＝0k＝1或k＝－3．當(dāng)k＝1時，r(A)＝1，r(B)≤2；當(dāng)k＝－3時，r(A)＝2，r(B)＝1．從而選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)由微分方程χ2y′＋y＋χ2＝0及y(1)＝0確定，則曲線y＝y(tǒng)(χ)的斜漸近線方程為_______．標準答案：y＝－χ．知識點解析：解微分方程可得y＝(1－χ)從而斜漸近線為y＝－χ．10、設(shè)函數(shù)f(χ，y)在點(0，0)處可微，且f′χ(0，0)＝1，f′y(0，0)＝－1，則極限＝_______．標準答案：1．知識點解析：由極限四則運算得，原極限為1．11、方程2χ＝χ2＋1有且僅有_______個根．標準答案：3．知識點解析：令F(χ)＝2χ－χ2－1，F(xiàn)(0)＝0，F(xiàn)(1)＝0F(2)＝－1＜0，F(xiàn)(5)＞0．F(χ)＝0至少有三個根，F(xiàn)′(χ)＝2χln2－2χ，F(xiàn)〞(χ)＝2χIn22－2，F(xiàn)″′(χ)＝2χIn32≠0，由羅爾定理推論逆否命題知F(χ)＝0最多有三個根．綜上所述，F(xiàn)(χ)＝0有且僅有三個根．12、已知三階矩陣A＝，記它的伴隨矩陣為A*，則三階行列式＝_______．標準答案：－58．知識點解析：13、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)由確定則y＝y(tǒng)(χ)在任意點處的曲率ρ＝_______．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)14、設(shè)f(χ)三階可導(dǎo)，且f″′(a)≠0，f(χ)＝f(a)＋f′(a)(χ－a)＋(χ－a)2(0＜θ＜1)，求．標準答案：又f″′(a)≠0，所以知識點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)f(χ)連續(xù)，＝a(a為常數(shù))，又F(χ)＝∫0χf(χy)dy，求F′(χ)并討論F′(χ)的連續(xù)性．標準答案：當(dāng)χ≠0時，F(xiàn)′(χ)＝當(dāng)χ＝0時，易知χ＝0是F′(χ)的分段點，先討論F′(χ)在χ＝0的連續(xù)性，由于所以F′(χ)在χ＝0處連續(xù)．當(dāng)χ≠0時，因為f(χ)連續(xù)，所以變上限積分∫0χf(t)dt也是連續(xù)的，于是F′(χ)是連續(xù)的．綜上：F′(χ)在(－∞，＋∞)上是連續(xù)的．知識點解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(χ)＝πl(wèi)nχ－χsinnχdχ,其中n為正整數(shù)，試討論方程f(χ)＝0根的個數(shù)．標準答案：設(shè)a＝sinnχdχ，由奇偶函數(shù)的定積分性質(zhì)得當(dāng)n為奇數(shù)時，a＝0，f(χ)＝πl(wèi)nχ，方程f(χ)＝0即lnχ＝0，此時方程f(χ)＝0有唯一實根；當(dāng)n為偶數(shù)時，a＝，此時f(χ)＝πl(wèi)nχ－aχ．由于f′(χ)＝－a，所以且＝－∞，所以f(χ)在點χ＝處取最大值．fmax＝π[πl(wèi)n－1]，當(dāng)n＝2，4時，fmax＝π[πl(wèi)n－1]＜0方程f(χ)＝0沒有實根．當(dāng)n＝6，8，…時，fmax＝π[πl(wèi)n－1]＞0方程f(χ)＝0有兩個根．知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)是區(qū)間[0，＋∞)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且f(0)＝1，對任意的t∈[0，＋∞)，直線χ＝0，χ＝t，曲線y＝f(χ)以及χ軸圍成的曲邊梯形繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周形成一旋轉(zhuǎn)體．若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的兩倍，求函數(shù)f(χ)的表達式．標準答案：旋轉(zhuǎn)體體積V(t)＝π∫0ty2dχ，旋轉(zhuǎn)體的的側(cè)面積S(t)＝∫0t2πf(χ)dχ．由題設(shè)得2π∫0tydχ＝2π∫0ty2dχ，兩邊求導(dǎo)得y＝y(tǒng)2，所以＝y(tǒng)，從而1＋(y′)2＝y(tǒng)2．由于f(χ)是區(qū)間[0，＋∞)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且f(0)＝1，所以y′＝因此方程的通解為y＋＝Ceχ，又f(0)＝1，可得C＝1，所以所求函數(shù)表達式為f(χ)＝知識點解析：暫無解析18、設(shè)二元函數(shù)u＝u(χ，y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并滿足方程＝0，且u(χ，2χ)＝χ，u′χ(χ，2χ)＝χ2，求u〞χχ(χ，2χ)，u〞χy(χ，2χ)，u〞yy(χ，2χ)．標準答案：u(χ，2χ)＝χ兩邊對χ求導(dǎo)，得u′χ(χ，2χ)＋u′y(χ，2χ)×2＝1，(1)又u′χ(χ，2χ)＝χ2，(2)代人(1)式得u′y(χ，2χ)＝(1－χ2)．(3)(2)式兩端對χ求導(dǎo)，得u〞χχ(χ，2χ)＋u〞χy(χ，2χ)×2＝2χ，(4)(3)式兩端對χ求導(dǎo)得u′yχ(χ，2χ)＋u′yy(χ，2χ)×2＝－χ(5)又＝0，(6)由(4)、(5)、(6)式可得u〞χχ(χ，2χ)＝u〞yy(χ，2χ)＝知識點解析：暫無解析19、求二元函數(shù)f(χ，y)＝e-χy在區(qū)域D＝{(χ，y)｜χ2＋4y2≤1}上的最大值和最小值．標準答案：首先由于f′χ(χ，y)＝－ye-χyy，f′y(χ，y)＝－χe-χy，所以在D的內(nèi)部f(χ，y)有唯一的駐點(0，0)，且f(0，0)＝11．其次在D的邊界χ2＋4y2＝1上，作Lagrange函數(shù)L(χ，y，λ)＝e-χy＋λ(χ2＋4y2－1)，比較函數(shù)值可得f(χ，y)在D上的最大值為最小值為知識點解析：暫無解析20、設(shè)A是n(n＞1)階方陣，ξ1，ξ2，…，ξn是n維列向量，已知Aξ1＝ξ2，Aξ2＝ξ2…，Aξn-1＝ξn，Aξn＝0，且ξn≠0．(Ⅰ)證明ξ1，ξ2，…，n線性無關(guān)；(Ⅱ)求Aχ＝0的通解；(Ⅲ)求出A的全部特征值和特征向量，并證明A不可對角化．標準答案：(Ⅰ)設(shè)k1ξ1＋k2ξ2＋…＋knξn＝0，依次在等式兩邊左乘A，A2，…，An-2，An-1，分別得k1ξ2＋k2ξ3＋…＋kn-1ξn＝0，k1ξ3＋k2ξ4＋…＋kn-1ξn＝0，……k1ξn-1＋k2ξn＝0k1ξn＝0，因為ξn≠0，故k1＝0，并依次回代得k2＝…αkn-1＝kn＝0，所以ξ1，ξ2，…，ξn線性無關(guān)．(Ⅱ)由題意知又因為ξ1，ξ2，…，ξn線性無關(guān)，故r(A)＝n－1，所以Aχ＝0的基礎(chǔ)解系中只有一個解向量，而Aξn＝0，ξn≠0，因此ξn為Aχ＝0的一個基礎(chǔ)解系，所以Aχ＝0的通解為kξn，k為任意常數(shù)．(Ⅲ)記P＝(ξ1，ξ2，…，ξn)，則P可逆，且由此可得A的特征值λ1＝λ2…λn＝0，其特征向量為kξn(k≠0)，從而A的屬于特征值0的線性無關(guān)的特征向量僅有一個，故A不可對角化．知識點解析：暫無解析21、設(shè)A為n階方陣，證明：r(A＋E)＋r(A－E)＝n的充要條件是A2＝E．標準答案：本題主要考查矩陣秩的性質(zhì)、特征向量的求法及矩陣的相似對角化，是一道有難度的綜合題．先證充分性：由A2＝E，得(A＋E)(A－E)＝0，從而r(A＋E)＋r(A－E)≤n，又r(A＋E)＋r(A－E)＝r(A＋E)＋r(E－A)≥r(2E)＝n．所以r(A＋E)＋r(A－E)＝n．再證必要性：設(shè)r(A＋E)＝r，則齊次線性方程組(－E－A)χ＝0有n－r個線性無關(guān)的解，設(shè)為α1，…，αn-r，即α1，…，αn-r是矩陣A屬于特征值－1的n－r個線性無關(guān)的特征向量．由r(A＋E)＋(A—E)＝n，知r(A－E)＝n－r，則齊次線性方程組(E－A)χ＝0有r個線性無關(guān)的解，設(shè)為αn-r+1，…，αn，即αn-r+1，αn，…，αn是矩陣A屬于特征值1的r個線性無關(guān)的特征向量．設(shè)P＝(α1，αn-r，αn-r+1，…，an)，由不同特征值的特征向量線性無關(guān)，知P可逆，且知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列函數(shù)中在點x=0處可導(dǎo)的是A、①，②．B、②，③．C、③，④．D、①，③．標準答案：B知識點解析：按定義分析，即分析的存在性，并要逐一分析．因此選D．2、設(shè)f(x)在(—∞，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)且f"(x)＞0，則x＞0，h1＞0，h2＞0，有A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：這是比較三個數(shù)的大小問題．已知f"(x)＞0→f’(x)單調(diào)上升，于是設(shè)法轉(zhuǎn)化為比較導(dǎo)數(shù)值．這是可以辦到的，只要對上述兩個改變量之比用拉格朗日中值定理：由f’(x)在(—∞，+∞)單調(diào)上升升→f’(ξ)＜f’(x)＜f’(η)．因此選B．3、設(shè)f(x)=，g(x)在z=0連續(xù)且滿足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，則F’(0)=________A、4e．B、4．C、2．D、2e．標準答案：A知識點解析：由g(x)在x=0連續(xù)及g(x)=1+2x+D(x)(x→0)=故應(yīng)選A．4、則F(x)=∫0xdt，則F(x)=在[0，2]上A、有界，不可積．B、可積，有間斷點．C、連續(xù)，有不可導(dǎo)點．D、可導(dǎo)．標準答案：C知識點解析：先求出分段函數(shù)f(x)的變限積分：當(dāng)0≤x≤1時，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)dt=∫0xπcosπtdt=sinx；當(dāng)1＜x≤2時，→F(x)在點x=1處不可導(dǎo)．故應(yīng)選C．5、設(shè)函數(shù)F(x，y)在(x0，y0)某鄰域有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0，y0)=F’x(x0，y0)=0，F(xiàn)’y(0，y0)＞0，F(xiàn)"xx(x0，y0)＜0．由方程F(x，y)=0在x0的某鄰域確定的隱A、y(x)以x=x0為極大值點．B、y(x)以x=x0為極小值點．C、y(x)在x=x0不取極值．D、(x0，y(x0))是曲線y=f(x)的拐點．標準答案：B知識點解析：按隱函數(shù)求導(dǎo)法，y’(x)滿足令x=x0，相應(yīng)地y=y0由F’x(x0，y0)=0，F(xiàn)’x(x0，y0)≠0得y’(x0)=0．將上式再對x求導(dǎo)并注意y=y(x)即得因此x=x0是y=y(x)的極小值點．故選B．6、設(shè)Ii=，i=l，2，3，其中D1={(x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}，則下列關(guān)于I1，I2，I3大小關(guān)系正確的是A、I1＜I2＜I3．B、I2＜I3＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I2＜I1．標準答案：C知識點解析：D1，D2均是以原點為圓心，半徑分別為R，的圓，D3是正方形，邊長2R，如圖所示，因為，又被積函數(shù)f(x，y)=連續(xù)，且恒正，則I1＜I3＜I2．故應(yīng)選C．7、已知η1，η2，η3，η4是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列向量組中也是Ax=0基礎(chǔ)解系的是A、η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1．B、η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4+η1．C、η1+η2，η2+η3，η3—η4，η4—η1．D、η1，η2，η3，η4的等價向量組．標準答案：A知識點解析：等價向量組不能保證向量個數(shù)相同，因而不能保證線性無關(guān)，例如向量組η1，η2，η3，η4，η1+η2與向量組η1，η2，η3，η4等價，但前者線性相關(guān)，因而不能是基礎(chǔ)解系．故(D)不正確，(B)、(C)均線性相關(guān)，因此不能是基礎(chǔ)解系．故(B)與(C)也不正確．注意到：(η1+η2)一(η2—η3)一(η3—η4)一(η4+η1)=0，(η1+η2)一(η2+η3)+(η3—η4)+(η4—η1)=0，唯有(A)，η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1是Ax=0的解，又由(η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1)=(η1，η2，η3，η4)，且=2≠0，知η1+η2，η2—η3，η3—η4，η4—η1線性無關(guān)，且向量個數(shù)與η1，η2，η3，η4相同．所以(A)也是Ax=0的基礎(chǔ)解系．故選A．8、設(shè)n維向量α1，α2，…，αs的秩為r，則下列命題正確的是A、α1，α2，…，αs中任何r一1個向量必線性無關(guān)．B、α1，α2，…，αs中任何r個向量必線性無關(guān)．C、如果s＞n，則αs必可由α1，α2，…，αs—1線性表示．D、如果r=n，則任何n維向量必可由α1，α2，…，αs線性表示．標準答案：D知識點解析：r(α1，α2，…，αs)=rα1，α2，…，αs中一定存在r個向量線性無關(guān)，而任意r+1個向量必線性相關(guān)．當(dāng)向量組的秩為r時，向量組中既可以有r一1個向量線性相關(guān)，也可以有r個向量線性相關(guān)，故(A)、(B)均錯誤．例如向量α1，α2，α3，α4分別為(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(3，0，0，0)，其秩為3，其中α1，α4線性相關(guān)，α1，α2，α4也線性相關(guān)．該例說明，4維向量可以有2個向量線性相關(guān)，也可以有3個向量線性相關(guān)．但肯定有3個向量線性無關(guān)．當(dāng)s＞n時，表明α1，α2，…，αs必線性相關(guān)，此時有αi可以由α1，αi—1，…，αi+1線性表示，但αs不一定能由α1，…，αs—1線性表示．故(C)不正確．若r(α1，α2，…，αs)=n，則對任何凡維向量β必有r(α1，α2，…，αs，β)=n．故(D)正確．因此應(yīng)選D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、已知f(x)=在點x=0處連續(xù)，則a=________．標準答案：一3．知識點解析：a，f(x)在點x=0處左連續(xù)，要使f(x)在點x=0處連續(xù)故a=一3．10、反常積分=________．標準答案：知識點解析：令x=tanθ作換元，則x：0→+∞對應(yīng)θ：，利用1+x2=1+tan2θ=，就有11、函數(shù)f(x)=(x∈[0，1])的值域區(qū)間是________．標準答案：知識點解析：f(x)在[0，1]連續(xù)且可導(dǎo)，又→f(x)在[0，1]單調(diào)上升，且最小值為f(0)=0，最大值為12、設(shè)I(a)==________．標準答案：知識點解析：I(a)是二重積分的一個累次積分，可寫為13、已知A是3階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，如果矩陣A的特征值是1，2，3，那么矩陣(A*)*的最大特征值是________．標準答案：18知識點解析：因為(A*)*=｜A｜n—22A，又｜A｜=∏λi=6，所以(A*)*=6A，從而(A*)*的特征值為6，12，18，顯然其最大特征值為18．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設(shè)x＞0時，F(xiàn)(x)=，其中函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上連續(xù)且單調(diào)增加，試證：F(x)在(0，+∞)也單調(diào)增加．標準答案：自然的想法是求F’(x)．由于F(x)中的第一項變限積分中被積函數(shù)除依賴于積分變量t外，還依賴于x，所以要通過變量替換把積分化為只有積分限含有x的變限積分，然后再求導(dǎo)．于是，令u=，則代入即得F’(x)＞0(x＞0，x≠1)，此外還有F’(1)=0．因此，F(xiàn)(x)在(0，+∞)單調(diào)增加．知識點解析：暫無解析15、(Ⅰ)求不定積分J=，(Ⅱ)設(shè)心臟線的極坐標方程為r=a(1+cosθ)(a＞0)，求它繞極軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積A．標準答案：(Ⅰ)先分解并湊微，即知識點解析：暫無解析16、(Ⅰ)設(shè)f(x)=4x3+3x2—6x求f(x)的極值點；(Ⅱ)設(shè)有x=，它的反函數(shù)是y=y(x)，求y=y(x)的拐點．標準答案：(Ⅰ)先求f’(x)=12x2+6x一6=6(2x一1)(x+1)．由在定義域中考察y=y(x)：知識點解析：暫無解析17、設(shè)半徑為1的球正好有一半沉入水中，球的比重為1，現(xiàn)將球從水中取出，要做多少功?(假設(shè)在球從水中取出的過程中水面的高度不變．)標準答案：把球的質(zhì)量集中到球心．球從水中取出做功問題可以看成質(zhì)量為的質(zhì)點向上移動距離為1時變力所做的功．問題歸結(jié)為求出變力，即求球在提起過程中受到的重力與浮力的合力．因球的比重為1，所以球受的重力=球的體積，球受的浮力=沉在水中部分的體積，它們的合力=球露出水面部分的體積．當(dāng)球心向上移動距離h時(0＜h＜1)，球露出水面部分的體積為知識點解析：暫無解析18、設(shè)u=u(x，t)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并滿足其中a＞0為常數(shù)．(Ⅰ)作自變量替換ξ=x一at，η=x+at，導(dǎo)出u作為ξ，η的函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)所滿足的方程．(Ⅱ)求u(x，t)．標準答案：即=h(ξ)，h(ξ)是連續(xù)可微的任意函數(shù).再對ξ積分一次，并注意到積分常數(shù)可依賴η，于是得u=f(ξ)+g(η)其中f(ξ)和g(η)是二次連續(xù)可微的V函數(shù)．回到變量x，t得u(x，t)=f(x一at)+g(x+at)．知識點解析：暫無解析19、計算二重積分，其中積分區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1}．標準答案：被積函數(shù)分塊表示：記知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)二次可導(dǎo)，且f(x)在[0，1]上的最大值M=2，最小值m=0，求證：若f(x)的最大值點或最小值點至少有一個是區(qū)間(0，1)內(nèi)的點，則在(0，1)內(nèi)必存在兩點ξ與η，使得｜f’(ξ)｜＞2，｜f"(η)｜＞4成立．標準答案：由題設(shè)知，存在x1，x2∈[0，1]，使得f(x1)=M=2，f(x2)=m=0．由拉格朗日中值定理知，在x1與x2之間存在一點ξ，使得因f(x1)一f(x2)=2—0=2，又｜x2一x1｜＜1，故為了確定起見，我們可設(shè)f(x)在[0，1]上的最大值M在(0，1)內(nèi)的點x1處取得，而f(x)在[0，1]上的最小值m在[0，1]上的某點x2≠x1取得.因x1∈(0，1)，又f(x1)==2，故f’(x1)=0．將f(x2)在x=x1展開成一階泰勒公式，得f(x2)=f(x1)+f’(x1)(x2一x1)+f"(η)(x2一x1)2，其中η在x1與x2之間，故η∈(0，1)．將函數(shù)值f(x2)=0，f(x1)=2，f’(x1)=0代入上式若m=f(x2)且x2∈(0，1)，可類似證明．知識點解析：暫無解析21、設(shè)A是n階反對稱矩陣，(Ⅰ)證明：A可逆的必要條件是n為偶數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時，A*是對稱矩陣；(Ⅱ)舉一個4階不可逆的反對稱矩陣的例子；(Ⅲ)證明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．標準答案：(Ⅰ)按反對稱矩陣定義：AT=一A，那么｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(—1)n｜A｜，即[1—(—1)n]｜A｜=0．若n=2k+1，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要條件是n為偶數(shù)．因AT=一A，由(A*)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(一A)*．又因(kA)*=kn—1A*，故當(dāng)n=2k+1時，有(A*)T=(—1)2kA*=A*，即A*是對稱矩陣．(Ⅱ)例如，A=是4階反對稱矩陣，且不可逆．(Ⅲ)若λ是A的特征值，有fλE—AJ=0，那么｜—λE—A｜=｜(一λE—A)T｜=｜—λE—AT｜=｜—λE+A｜=｜一(λE—A)｜=(一1)n｜λE—A｜=0，所以一λ是A的特征值．知識點解析：暫無解析22、已知A=．求A的特征值與特征向量，并指出A可以相似對角化的條件．標準答案：由矩陣A的特征多項式得到A的特征值是λ1=1一a，λ2=0，λ3=a+1．由[(1一a)E—A]x=0，得到屬于λ1=1一a的特征向量是α1=k1(1，0，1)T，k1≠0．由[(aE一A)x=0，得到屬于λ2=a的特征向量是α2=k2(1，1—2a，1)T，k2≠0．由[(a+1)E一A]x=0，得到屬于λ3=a+1的特征向量α3=k3(2一a，一4a，a+2)T，k3≠0．如果λ1，λ2，λ3互不相同，即1一a≠a，1一a≠a+1，a≠a+1，即a≠且a≠0，則矩陣A有3個不同的特征值，A可以相似對角化．若，此時A只有一個線性無關(guān)的特征向量，故A不能相似對角化．若a=0，即λ1=λ3=1，此時A只有一個線性無關(guān)的特征向量，故A不能相似對角化．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=若f(x)在x=0處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，則k為()．A、3B、4C、5D、6標準答案：C知識點解析：因為f(x)在x=0處可導(dǎo)，所以k－2=3，即k=5，選(C)．2、y=的漸近線的條數(shù)為()．A、2B、3C、4D、5標準答案：C知識點解析：由為兩條水平漸近線；由得x=－1與x=0為鉛直漸近線；由得曲線沒有斜漸近線，故曲線共有4條漸近線，選(C)．3、設(shè)函數(shù)f(x)是連續(xù)且單調(diào)增加的奇函數(shù)，φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，則φ(x)是()．A、單調(diào)增加的奇函數(shù)B、單調(diào)減少的奇函數(shù)C、單調(diào)增加的偶函數(shù)D、單調(diào)減少的偶函數(shù)標準答案：B知識點解析：因為所以φ(x)為奇函數(shù)；又φˊ(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)，當(dāng)x＞0時，φˊ(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)=x［f(ξ)－f(x)］≤0(0≤ξ≤x)，當(dāng)x≤0時，φˊ(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)=x［f(ξ)－f(x)］≤0(x≤ξ≤0)，所以φ(x)為單調(diào)減少的奇函數(shù)，選(B)．4、設(shè)函數(shù)f(x)具有一階導(dǎo)數(shù)，下述結(jié)論中正確的是()．A、若f(x)只有一個零點，則fˊ(x)必至少有兩個零點B、若fˊ(x)至少有一個零點，則f(x)必至少有兩個零點C、若f(x)沒有零點，則fˊ(x)至少有一個零點D、若fˊ(x)沒有零點，則f(x)至多有一個零點標準答案：D知識點解析：若f(x)至少有兩個零點，根據(jù)羅爾定理，fˊ(x)至少有一個零點，故若fˊ(x)沒有零點，則f(x)至多一個零點，選(D)．5、設(shè)f(x，y)在(0，0)處連續(xù)，且=4，則()．A、f(x，y)在(0，0)處不可偏導(dǎo)B、f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)但不可微C、fˊx(0，0)=fˊy(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)處可微分D、fˊx(0，0)=fˊy(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)處可微分標準答案：D知識點解析：由=4得f(0，0）=0，因為－1～x2+y2，所以=4，從而=4+α，其中α為當(dāng)(x，y)→(0，0)時的無窮小，于是△f=f(x，y)－f(0，0)=0×x+0×y+o()，故f(x，y)在(0，0)處可微，且fˊx(0，0)=fˊy(0，0)=0，選(D)．6、設(shè)函數(shù)y=f(x)的增量函數(shù)△y=f(x+△x)－f(x)=+v(△x)，且f(0)=π，則f(－1)為()．A、B、πeπC、D、πe－π標準答案：C知識點解析：由△y=+o(△x)得y=f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且yˊ=或者yˊ－y=0，則y=f(x)=，因為f(0)=π，所以C=π，于是f(x)=πearctanx，故f(－1)=，選(C)．7、設(shè)A為m×n矩陣，且r(A)=mA、A的任意m階子式都不等于零B、A的任意m個列向量線性無關(guān)C、方程組AX=b一定有無數(shù)個解D、矩陣A經(jīng)過初等行變換化為(EmO)標準答案：C知識點解析：因為A與都是m行，所以r(A)=r()=m8、設(shè)α，β為四維非零的正交向量，且A=αβT．則A的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)為()．A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：