考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷5（共210題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷5（共9套）（共210題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、曲線y=有()漸近線．A、0條B、1條C、2條D、3條標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因=∞，故X=0是一條鉛直漸近線．又因=0，故y=0為一條水平漸近線．下求斜漸近線．因故y=x+1是其一條斜漸近線．僅(D)入選．2、設(shè)函數(shù)f(x)三階可導(dǎo)，且滿足f″(x)+[f′(x)]2=x，又f′(0)=0，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、點(diǎn)(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)既不是f(x)的極值，點(diǎn)(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：將x=0代入所給方程，得到f″(0)=0．在所給方程兩端對x求導(dǎo)，得到(0)=1—0=1＞0．由，得到=1＞0．由極限的保號性知f″(x)在x=0的左右兩側(cè)異號，故點(diǎn)(0，f(0))為f(x)的拐點(diǎn)．僅(C)入選．3、設(shè)f(x)=又設(shè)f(x)展開的正弦級數(shù)為S(x)=則S(3)=()．A、(e+1)／2B、(e一1)／2C、一(e+1)／2D、一(e一1)／2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因S(x)是以4為周期的奇函數(shù)，故S(3)=S(4－1)=S(－1)=－S(1)．因x=1為f(x)的不連續(xù)的分段點(diǎn)，故S(1)=[f(1+0)+f(1一0)]=(1+e)，所以S(3)=－S(1)=－(1+e)．僅(C)入選．4、已知α1，α2，α3是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的基礎(chǔ)解系還可以表示為()．A、P[α1，α2，α3]的三個(gè)列向量，其中P3×3是可逆陣B、[α1，α2，α3]Q3×3的三個(gè)列向量，其中Q3×3是可逆陣C、α1，α2，α3的一個(gè)等價(jià)向量組D、α1，α2，α3的一個(gè)等秩向量組標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：方法一對于[α1，α2，α3]Q，因α1，α2，α3線性無關(guān)，且Q可逆，故r([α1，α2，α3]Q)=3，[α1，α2，α3]Q的三個(gè)列向量仍然線性無關(guān)．又因Aαi=0(i=1，2，3)，故A[α1，α2，α3]=O，兩邊右乘Q得A[α1，α2，α3]Q=O.Q=O，故[α1，α2，α3]Q的三個(gè)列向量仍是AX=0的解向量，且線性無關(guān)的解向量個(gè)數(shù)為3個(gè)，故它們?nèi)詾榛A(chǔ)解系．僅(B)入選．方法二對于(A)，因P3×3αi不一定是AX=0的解(AP3×3αi≠0)．對于(C)，與α1，α2，α3等價(jià)的向量組，其向量個(gè)數(shù)可以超過3個(gè)(其秩等于3)，且可以線性相關(guān)，還可以是用α1，α2，α3相互線性表出的向量組．對于(D)，因與α1，α2，α3等秩的向量組可能不是AX=0的解向量，且個(gè)數(shù)也可以超過3個(gè)，故(A)、(C)、(D)均不滿足基礎(chǔ)解系的條件，都不能入選．僅(B)入選．5、A是三階可逆矩陣，且各列元素之和均為2，則()．A、A必有特征值1／2B、A－1必有特征值1／2C、A必有特征值－2D、A－1必有特征值－2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：設(shè)A=，則AT=由題設(shè)有A的各列元素之和為2，即由特征值定義可知，2為AT的一個(gè)特征值．又AT與A有相同的特征值，故λ=2也是A的一個(gè)特征值，所以1／λ=1／2為A－1的一個(gè)特征值．僅(B)入選．6、設(shè)A，B，C是三個(gè)隨機(jī)事件，P(ABC)=0，且0＜P(C)＜1，則必有()．A、P(ABC)=P(A)P(B)P?B、P((A+B)｜C)=P(A｜C)+P(B｜C)C、P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P?D、P((A+B))標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：P((A+B)｜C)=P((A+B)C)／P(C)=P(AC+BC)／P(C)=[P(AC)+P(BC)一P(AC.BC)]／P(C)=[P(AC)+P(BC)一P(ABC)]／P(C)=[P(AC)+P(BC)]／P(C)=P(AC)／P(C)+P(BC)／P(C)=P(A｜C)+P(B｜C)．僅(B)入選．7、已知隨機(jī)變量X的概率分布P(X=K)=ae－λ，其中λ＞0，k=1，2，…，則E(X)為()．A、λB、λeλC、λ／(eλ一1)D、λeλ／(eλ一1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因所給的分布與泊松分布僅差k=0這一項(xiàng)，添加這一項(xiàng)得到1=ae－λ一ae－λ=a.1一ae－λ=a(1一e－λ)，故a=，于是僅(D)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)f(x)=若f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，則a=__________，b=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：01知識點(diǎn)解析：f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，故f(0—0)=f(0+0)，即(bx+a)=a．由(ex一1一ax)=1—1=0，得到a=0．又f′－(0)=(ex一1一ax)′=ex一a=1一a，f′+(0)=(bx+a)′=b，由f′－(0)=f′+(0)得到1一a=b，故b=1．9、設(shè)冪級數(shù)anxn的收斂半徑為3，則冪級數(shù)nan(x一1)n+1的收斂區(qū)間為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2＜x＜4知識點(diǎn)解析：已知冪級數(shù)anxn的收斂半徑為3，凡冪級數(shù)含其系數(shù)an為因子系數(shù)，其他因子可為n的冪函數(shù)，且與該冪級數(shù)的收斂中心及n的起始值無關(guān)，符合上述條件的新的冪級數(shù)的收斂半徑相同．例如級數(shù)nan(x一1)n－k等收斂半徑都是相同的，但不能確定這些冪級數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)處的斂散性．利用上述結(jié)論即得新級數(shù)的收斂半徑，因而可直接得出其收斂區(qū)間．由上述分析易知，冪級數(shù)nan(x－1)n+1的收斂半徑也為3，因而得到｜x－1｜＜3，即一2＜x＜4為所求的收斂區(qū)間，但不能判定其在X=－2及x=4處的斂散性．10、設(shè)z=f(u，v)dv]du，其中f(u，v)是連續(xù)函數(shù)，則dz=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[f(xy2，v)dv](y2dx+2xydy)知識點(diǎn)解析：方法一利用一階全微分形式不變性求之：方法二先求偏導(dǎo)數(shù)：f(xy2，v)dv].y2，f(xy2，v)dv].(2xy)，故dz=f(xy2，v)dv](y2dx+2xydy)．11、=___________，其中L為x2+2y2=1的正向．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：12、A是n階矩陣，AX=b有唯一解，則二次型f(x1，x2，…，xn)=XT(ATA)X的正慣指數(shù)p=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：n知識點(diǎn)解析：因Ax=b有唯一解，故Ax=0只有零解，則任意X≠0，必不是AX=0的解，即Ax≠0，從而對任意X≠0有f=XT(ATA)X=(AX)TAX＞0，即二次型f為正定二次型，故f的正慣性指數(shù)為n．13、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)．如果二階行列式Y(jié)=的方差D(Y)=，則σ2=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／(2)知識點(diǎn)解析：利用方差的性質(zhì)及方差的計(jì)算公式D(X)=E(X2)一[E(X)]2求之．由于Xi相互獨(dú)立，X1X4與X2X3也相互獨(dú)立，且Xi～N(0，σ2)．依題意知1／4=D(Y)=D(X1X4一X2X3)=D(X1X4)+D(X2X3)，其中D(XiXj)=E(XiXj)2一[E(XiXj)]2=E()一[E(Xi)E(Xj)]2(因E(Xi)=E(Xj)=0)=E()=[D(Xi)+E(Xi)2][D(Xj)+E(Xj)2]=D(Xi)D(Xj)=(σ2).(σ2)(i≠j)=σ4，則1／4=D(Y)=D(X1X4)+D(X2X3)=σ4+σ4=2σ4，故σ4=1／8，σ2=1／．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：用換底法和等價(jià)無窮小代換求之，也可用重要極限和洛必達(dá)法則求之．15、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f′(x)≤0．證明函數(shù)F(x)=f(t)dt在(a，b)內(nèi)也有F′(x)≤0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(t)在[a，b]上連續(xù)，故f(t)dt在區(qū)間[a，b]內(nèi)可導(dǎo)，于是F′(x)=f(t)dt]．由定積分中值定理得f(t)dt=f(ξ)(x一a)，其中ξ在[a，x]上，于是由于f′(x)≤0，故f(x)單調(diào)下降，所以f(x)≤f(ξ)．又a＜x，故F′(x)≤0．知識點(diǎn)解析：為證F′(x)≤0，必須利用f′(x)≤0的條件，為此必須要去掉積分號．對F(x)求導(dǎo)后，如還剩有積分號，這時(shí)常用積分中值定理去掉．16、(I)試證明：當(dāng)0＜x＜π時(shí)，－sinx(Ⅱ)求級數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)令f(x)=sinx，將其在(0，π)展成余弦級數(shù)．因bn=0，(Ⅱ)在式①中令x=0，得到知識點(diǎn)解析：注意到待證等式左邊為余弦級數(shù)，右邊為正弦函數(shù)，這表明應(yīng)將函數(shù)f(x)=sinx在(0，π)上展成余弦級數(shù)．于是待證的問題就轉(zhuǎn)化為大家熟悉的傅里葉級數(shù)展開的問題．這里要注意不要習(xí)慣地總是從等式左邊證到右邊，如果本題這樣去證，困難就很大了．17、設(shè)f(x)和g(x)在[a，b]上連續(xù)，試證至少有一點(diǎn)c∈(a，b)，使f(c)g(x)dx=g(c)f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由上述證題思路易知，應(yīng)設(shè)輔助函數(shù)F(x)=g(t)dt．由f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，可知F′(x)存在，且F′(x)=f(x)4f(t)dt，x∈[a，b]，①又F(a)=F(b)=0，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)c∈(a，b)，使F′(c)=0．由式①即得f(c)f(x)dx．知識點(diǎn)解析：將定積分中值等式中的中值c改為變量x，得到f(x)f(t)dt，并將f(x)視為f(x)=(f(t)dt)′，將g(x)視為g(x)=－(g(t)dt)′，將待證等式化為18、設(shè)函數(shù)f(r)(r＞0)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并設(shè)u=f()滿足div(gradu)=．求u的一般表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：gradu=，則為方便計(jì)，令r=，則即r2f″(r)+2rf′(r)=r3，亦即[r2f′(r)]′=r3．解之得r2f′(r)=+c2．故u=f(r)=+c2．知識點(diǎn)解析：先求出div(gradu)建立關(guān)于u的微分方程，然后求解．19、設(shè)A=(1)將A表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；(2)將A表示成一個(gè)主對角元為1的下三角矩陣R和一個(gè)上三角矩陣S的乘積．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)用初等矩陣表示上述變換關(guān)系，得到E12(－2)E2(－)E21(一3)A=E，則A=[E21(一3)]－1[E2(－)]－1[E12(－2)]－1E=E21(3)E2(－5)E12(2)E=(2)其中R=為主對角元為1的下三角矩陣，S=為上三角矩陣．知識點(diǎn)解析：先將A用初等行變換化成單位矩陣，然后將其行變換用初等矩陣表示，于是若干個(gè)初等矩陣左乘A等于單位矩陣．再求出這些初等矩陣的逆矩陣(它們?nèi)匀皇浅醯染仃?，即可得到用初等矩陣的乘積表示的矩陣A．20、已知四元齊次線性方程組(i)的解全是四元方程(ii)x1+x2+x3=0的解．(1)求a的值；(2)求齊次方程組(i)的通解；(3)求齊次方程(ii)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因方程組(i)的解全是方程(ii)的解，故方程組(i)與方程組(iii)同解，且其系數(shù)矩陣有相同的秩，因而a≠0．這是因?yàn)椋喝鏰=0，則r(A)=1，r(B)=2．當(dāng)a≠0時(shí)，易求得r(A)=3．這是因?yàn)锳中有子行列式對B進(jìn)行初等行變換，得到故當(dāng)2a－1=即a=1／2時(shí)，r(B)=3．此時(shí)方程組(i)與方程組(iii)同解．(2)由A→及基礎(chǔ)解系的簡便求法，即得方程組(i)的基礎(chǔ)解系為α=[一1／2，一1／2，1，1]T，其通解為kα，k為任意實(shí)數(shù)．(3)注意到方程(ii)為四元方程，即x1+x2+x3+0x4=0．由即可寫出其基礎(chǔ)解系為β1=[一1，1，0，0]T，β2=[一1，0，1，0]T，β3=[0，0，0，1]T，其通解為k1β1+k2β2+k3β3，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：由題設(shè)可作出與方程組(i)同解的方程組，即將方程組(i)與方程(ii)聯(lián)立得方程組(iii)．再利用同解的必要條件：方程組(i)與方程組(iii)的系數(shù)矩陣的秩必相等．由此確定a，再用基礎(chǔ)解系的簡便求法，即可分別求得方程組(i)與方程(ii)的基礎(chǔ)解系，寫出其通解．21、設(shè)某種器件使用壽命(單位：小時(shí))服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其平均使用壽命為20小時(shí)．在使用中當(dāng)一個(gè)器件損壞后立即更換另一個(gè)新的器件，如此連續(xù)下去．已知每個(gè)器件進(jìn)價(jià)為a元，試求在年計(jì)劃中應(yīng)為此器件做多少預(yù)算，才可以有95％的把握保證一年夠用(假定一年按2000個(gè)工作小時(shí)計(jì)算)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)年計(jì)劃購進(jìn)n個(gè)此種器件，則預(yù)算應(yīng)為na元．每個(gè)器件使用壽命為Xi(1≤i≤n)，則Xi相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布．依題意知λ=1／20，E(Xi)=1／λ，D(Xi)=1／λ2，且n應(yīng)使P(Xi≥2000)≥0．95，即P(0≤Xi＜2000)≤0．05．由于n相當(dāng)大，且根據(jù)獨(dú)立分布的中心極限定理，得到解得n≥118，故年計(jì)劃預(yù)算最少為118a元．知識點(diǎn)解析：求解與隨機(jī)變量之和的概率有關(guān)的問題時(shí)，常利用其分布律進(jìn)行，但隨機(jī)變量個(gè)數(shù)較多時(shí)，可利用中心極限定理近似計(jì)算．22、設(shè)X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是來自X的一個(gè)樣本，試求參數(shù)p的極大似然估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1，x2，…，xn是相應(yīng)于樣本X1，X2，…，Xn的一個(gè)樣本值，X的分布律為P(X=x)=px(1－p)1－x(x=0，1)，故似然函數(shù)為L(p)=(1－p)1－xi(可以看成在對應(yīng)樣本觀測值處的聯(lián)合分布律)，故解得p的極大似然估計(jì)量為知識點(diǎn)解析：求極大似然估計(jì)的關(guān)鍵是要正確寫出似然函數(shù)．對離散型隨機(jī)變量，其似然函數(shù)可以說就是在對應(yīng)樣本觀測值處的聯(lián)合分布律．考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(x)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，F(xiàn)(x)＝∫0xf(t)dt，則下列命題中錯(cuò)誤的是()。A、若f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)B、若f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)C、若f(x)以T為周期且是偶函數(shù)，則F(x)以T為周期且是奇函數(shù)D、若f(x)以T為周期且是奇函數(shù)，則F(x)以T為周期且是偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：[解題思路]利用∫0xf(t)dt的性質(zhì)判定。解利用∫0xf(t)dt的性質(zhì)知，(A)、(B)均正確，而(C)錯(cuò)誤。例如，f(x)≡1是以T為周期的偶函數(shù)，但F(x)＝∫0x1dt＝x不是周期函數(shù)，但(D)是正確的。我們知道，若f(x)是以T為周期，則其原函數(shù)F(x)＝∫0xf(t)dt也是以T為周期的充要條件是∫0Tf(x)dx＝0。當(dāng)f(x)以T為周期且是奇函數(shù)時(shí)，有，因而F(x)＝∫0xf(t)dt以T為周期且是偶函數(shù)，僅(C)入選。2、設(shè)，則()。A、F(x)≡0B、F(x)＝π／2C、F(x)＝arctanxD、F(x)＝2arctanx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：[解題思路]雖然可直接積分，但不易化成所選的結(jié)果，通過變量代換t＝1／u將后一個(gè)積分化成反常積分求之。3、微分方程y"－y’＝ex＋1的一個(gè)特解具有的形式為()。A、Aex＋BB、Axex＋BC、Aex＋BxD、Axex＋Bx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：[解題思路]視ex＋1為兩個(gè)非齊次項(xiàng)f1(x)＝ex，f2(x)＝1＝e0x，于是需考察0與1是否為特征方程的根，據(jù)此分別寫出y1*與y2*的形式。解原方程對應(yīng)的齊次方程為y"－y’＝0，它的特征方程為r2－r＝0，解得r1＝1，r2＝0。對于非齊次項(xiàng)ex，因λ＝1是特征方程的根，故原方程的特解應(yīng)為y1*＝Axex。對于非齊次項(xiàng)1＝e0x，λ＝0也是特征方程的根，原方程特解應(yīng)為y2*＝Bx，故僅(D)成立。4、若α1，α2，α3，β1，β2都是四維列向量，且四階行列式｜α1，α2，α3，β1｜＝m，｜β2，α1，α2，α3｜＝n，則四階行列式｜α3，α2，α1，β1＋β2｜等于()。A、m＋nB、－(m＋n)C、n－mD、m－n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：[解題思路]利用行列式性質(zhì)將所給行列式分解為已知其值的行列式的代數(shù)和。解｜α3，α2，α1，β1＋β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1＋β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜－｜α1，α2，α3，β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜＋｜β2，α2，α3，α1｜＝－m－｜β2，α1，α3，α2｜＝－m＋｜β2，α1，α2，α3｜＝－m＋n＝n－m。僅(C)入選。5、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)向量組是()。A、α1＋α2，α2＋α3，α3－α1B、α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3C、α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1D、α1＋α2＋α3，2α1－3α2＋22α3，3α1＋5α2－5α3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：[解題思路]用線性無關(guān)向量組線性表示的向量組的線性相關(guān)性的判定常用下述矩陣表示法：設(shè)向量組(Ⅱ)：β1，…，βr能由線性無關(guān)向量組(Ⅰ)：α1，…，αs線性表示為或[β1，…，βr]＝[α1，…，αs][gij]s×r＝[α1，…，αs]G，則向量組(Ⅱ)線性無關(guān)的充要條件是秩(K)＝r(或秩(G)＝r)。當(dāng)r＝s時(shí)，歸結(jié)為計(jì)算行列式｜K｜或｜G｜。如它們不等于0，則向量組(Ⅱ)線性無關(guān)；如等于零，向量組(Ⅱ)線性相關(guān)。(參閱《考研數(shù)學(xué)一?？碱}型解題方法技巧歸納(第二版)》P310)解一對于(A)，令β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，β3＝α3－β1，則[α1＋α2，α2＋α3，β3＝α3－β1]＝[α1，α2，α3]＝[α1，α2，α3]G1，而故向量組α1＋α2，α2＋α3，α3－α1線性相關(guān)。對于(B)，令β1＝α1＋α2，β2＝α2＋α3，β3＝α1＋2α2＋α3，則[α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3]＝[α1，α2，α3]＝[α1，α2，α3]G2，而故向量組α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3線性相關(guān)。對于(C)，令β1＝α1＋2α2，β2＝2α2＋3α3，β3＝3α3＋α1，則[α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1]＝[α1，α2，α3]＝[α1，α2，α3]G3，而故向量組α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1線性相關(guān)。對于(D)，令β1＝α1＋α2＋α3，β2＝2α1－3α2＋22α3，β3＝3α1＋5α2－5α3，則[α1＋α2＋α3，2α1－3α2＋22α3，3α1＋5α2－5α3]＝[α1，α2，α3]＝[α1，α2，α3]G4，而｜G4｜＝＝0，故(D)中向量組線性相關(guān)，僅(C)入選。解二也可用定義判別，對于選項(xiàng)(C)，令k1(α1＋2α2)＋k2(2α2＋3α3)＋k3(3α3＋α1)＝0，即(k1＋k3)α1＋(2k1＋2k2)α2＋(3k2＋3k3)α3＝0。因α1，α2，α3線性無關(guān)，故因該方程組的系數(shù)矩陣行列式不等于0，故該方程組只有零解，即k1＝k2＝k3＝0，所以該向量組線性無關(guān)，僅(C)入選。6、設(shè)X為隨機(jī)變量，若矩陣的特征值全為實(shí)數(shù)的概率為0．5，則()。A、X服從區(qū)間[0，2]上的均勻分布B、X服從二項(xiàng)分布B(2，0．5)C、X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布D、X服從正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：[解題思路]先計(jì)算A的特征多項(xiàng)式，再由特征值全為實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的概率條件進(jìn)而確定X的分布。解因｜λE－A｜＝＝(λ－2)(λ2＋2λ＋X)，故A的特征值全為實(shí)數(shù)的條件為b2－4ac＝4－4X≥0，由題設(shè)有P(4－4X≥0)＝0．5，即P(X≤1)＝P(0≤X≤1)＝(1－0)／(2－0)＝0．5，因而X服從區(qū)間[0，2]上的均勻分布，僅(A)入選。7、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若概率P(aX－bY＜μ)＝1／2，則()。A、a＝1／2，b＝1／2B、a＝1／2，b＝－1／2C、a＝－1／2，b＝1／2D、a＝－1／2，b＝－1／2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：[解題思路]先求出aX－bY服從的正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)：其隨機(jī)變量在其數(shù)學(xué)期望的左右兩側(cè)取值的概率均為1／2，找出a與b的關(guān)系并由此關(guān)系判定選項(xiàng)。解因X，Y相互獨(dú)立，且都服從N(μ，σ2)，故aX－bY服從正態(tài)分布，且aX－bY～N(aμ－bμ，(a2＋b2)σ2)，所以P(X≤aμ－bμ)＝1／2。于是aμ－bμ＝μ，即a－b＝1，因而僅(B)入選。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、向量ν＝xi＋yj＋zk穿過封閉圓錐曲面z2＝x2＋y2，0≤z≤h的流量等于＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：πh3知識點(diǎn)解析：解所求流量為9、設(shè)L為橢圓，其周長為π，則(2xy＋3x2＋5y2)ds＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：15π知識點(diǎn)解析：解由L的橢圓方程得到3x2＋5y2＝15，代入被積函數(shù)得到又因L關(guān)于x軸與y軸對稱，而2xy關(guān)于y為奇函數(shù)，故因L的周長為π，所以10、曲線Γ：處的切線方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：解一易寫出切曲線Γ的參數(shù)方程：x＝cost，y＝sint，z＝2－cost＋sint。點(diǎn)P在曲線上對應(yīng)于t＝π／4，則Γ在P點(diǎn)的切線向量為于是Γ在點(diǎn)P處的切線方程為解二空間曲線Γ的方程為面交式方程在點(diǎn)P處的切線方向向量為τ＝n1×n2＝grad(x2＋y2－1)×grad(x－y＋z－2)｜P其中n1＝(F’x，F(xiàn)’y，F(xiàn)’z)｜P，n2＝(G’x，G’y，G’z)｜P分別為兩相交曲面的法向量，于是Γ在P點(diǎn)的切線方程為解三為求交面式方程表示切線，先求x2＋y2－1＝0在P點(diǎn)的切平面方程，為此求出x2＋y2－1＝0在點(diǎn)P處的法向量為n＝(2x，2y，0)｜P＝于是設(shè)該面在P點(diǎn)的切平面方程為即x＋y＝，則Γ在P點(diǎn)的切線方程為11、設(shè)S為圓錐面被曲面x2＋y2＝2ax(a>0)所截下部分，則曲面積分＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：設(shè)曲面S在平面xOy上的投影區(qū)域?yàn)镈xy，則Dxy＝{(x，y)｜x2＋y2≤2ax}，或D＝{(r，θ)｜－π／2≤θ≤π／2，0≤r≤2acosθ}。12、已知，A*是A的伴隨矩陣，則(A*A2)－1＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：13、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，已知統(tǒng)計(jì)量服從t分布，則常數(shù)α＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：解因Xi～N(0，1)(i＝1，2，…，n)且X2，X3，…，Xn相互獨(dú)立，故X22＋X32＋…＋Xn2～χ2(n－1)。又X1～N(0，1)且與X22＋X32＋…＋Xn2相互獨(dú)立，故由t分布的典型模式得到三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設(shè)x2＞x1＞0，證明＝sinξ－ξcosξ(x1＜ξ＜x2)。標(biāo)準(zhǔn)答案：證令φ(x)＝sinx／x，g(x)＝1／x，對φ(x)，g(x)在[x1，x2]上使用柯西中值定理，得到知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求函數(shù)f(x，y)＝4x－4y－x2－y2在區(qū)域D：x2＋y2≤18上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：解先求出f(x，y)在開區(qū)域x2＋y2＜18內(nèi)的可能極值點(diǎn)，解方程組得其駐點(diǎn)(2，－2)∈D。再求f(x，y)在邊界x2＋y2＝18上的可能極值點(diǎn)，下用拉格朗日乘數(shù)法求之。為此，設(shè)F(x，y，λ)＝4x－4y－x2－y2＋λ(x2＋y2－18)，則由前兩個(gè)方程易得，于是xy－2y＝xy＋2x，即y＝－x，將其代入第三個(gè)方程得到x＝±3，y＝3，求得邊界區(qū)域D上的駐點(diǎn)(3，－3)，(－3，3)，因f(2，－2)＝8，f(3，－3)＝6，f(－3，3)＝－42，故f(x，y)在D上的最大值為8，最小值為－42。知識點(diǎn)解析：暫無解析16、(1)證明曲線積分在曲線L不經(jīng)過x軸的情況下，積分與路徑無關(guān)；(2)如果曲線L的兩端點(diǎn)為A(π，1)及B(π，2)，計(jì)算積分的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：在曲線不經(jīng)過x軸時(shí)，連續(xù)，由此可知該積分與路徑無關(guān)。知識點(diǎn)解析：暫無解析17、計(jì)算曲面積分其中S是球面x2＋y2＋z2＝a2的上半部分與平面z＝0所圍成的閉曲面外側(cè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：解因P＝xz2，Q＝x2y，R＝y(tǒng)2z，故由高斯公式得(xz2dydz＋x2ydzdx＋y2zdxdy)＝(x2＋y2＋z2)dxdydz。因積分區(qū)域由球面所圍成，且被積函數(shù)中含有x2＋y2＋z2因子，用球坐標(biāo)系計(jì)算較簡，故xz2dydz＋x2ydzdx＋y2zdxdy＝∫02πdθ∫0π/2dφ∫0aρ2·ρ2sinφdρ＝。知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y"＋αy’＋βy＝γe2x的一個(gè)特解為y＝e2x＋(1＋x)ex，求此方程的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：解由所給方程的非齊次項(xiàng)為γe2x及特解中含有e2x項(xiàng)知，y*＝e2x是原方程的一個(gè)特解，于是y＝(1＋x)ex應(yīng)是對應(yīng)齊次方程的特解，因而1為特征方程的二重特征根，于是特征方程為r2－2r＋1＝0，則齊次方程應(yīng)是y"－2y’＋y＝0。故α＝－2，β＝1。又y*為非齊次方程的特解，代入其中得4e2x－2·2e2x＋e2x＝γe2x，故γ＝1。因y1＝ex，y2＝xex都是y"－2y’＋y＝0的解，且故其線性無關(guān)，所以Y＝(c1＋c2x)ex為y"－2y’＋y＝0的通解，又y*＝e2x是非齊次方程的一個(gè)特解，故y＝(c1＋c2x)ex＋e2x是非齊次方程的通解。知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求作一個(gè)齊次線性方程使得它的解空間由下面四個(gè)向量所生成α1＝[－1，－1，1，2，0]T，α2＝[－1／2，－1／2，1／2，6，4]T，α3＝[1／4，0，0，5／4，1]T，α4＝[－1，－2，2，9，4]T。標(biāo)準(zhǔn)答案：解因故α1，α2線性無關(guān)，α3，α4可由α1，α2線性表出。令，求BX＝0的基礎(chǔ)解系，由于故BX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為β1＝[0，1，1，0，0]T，β2＝[－5，7，0，1，0]T，β3＝[－4，4，0，0，1]T，于是，所求的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為知識點(diǎn)解析：暫無解析20、A，B，C均是n階矩陣，且AB＝O，AC＋C＝O。如秩(B)＋秩(C)＝n，證明A∽Λ，并求對角陣Λ。標(biāo)準(zhǔn)答案：證設(shè)B，C的n個(gè)列向量分別為B＝[β1，β2，…，βn]，C＝[η1，η2，…，ηn]，則由AB＝O得A[β1，β2，…，βn]＝O，即Aβi＝0＝0βi(i＝1，2，…，n)，又設(shè)秩(B)＝k，則0為A的特征值，且屬于特征值0的線性無關(guān)的特征向量有k個(gè)，又由AC＋C＝O得到AC＝－C，即A[η1，η2，…，ηn]＝－[η1，η2，…，ηn]，則Aηi＝－ηi＝(－1)ηi，故－1為A的特征值，因秩(C)＝n－秩(B)＝n－k，故屬于特征值－1的線性無關(guān)的特征向量共有n－k個(gè)，因而A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A∽Λ，且知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)隨機(jī)變量k在區(qū)間(－5，5)內(nèi)服從均勻分布，求方程x2＋kx＋1＝0有實(shí)根的概率。標(biāo)準(zhǔn)答案：解隨機(jī)變量k的概率密度為要使二次方程x2＋kx＋1＝0有實(shí)根，其判別式必不小于0，即k2－4≥0，亦即｜k｜≥2，故k≥2或k≤－2時(shí)方程有實(shí)根，其概率為P({k≤－2}∪{k≥2})＝P(k≤－2)＋P(k≥2)＝P(－5≤k≤－2)＋P(2≤k≤5)或P(k≤－2)＋P(k≥2)＝∫－∞－2f(x)dx＋∫2＋∞f(x)dx知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度函數(shù)為求常數(shù)c及條件概率密度fY｜X(y｜z)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)A與B均為n,階矩陣，且A與B合同，則()．A、A與B有相同的特征值B、detA=detC、A與B相似D、r(A)=r(B)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)(x)=丨x(1-x)丨，則A、x=0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．B、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．C、x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，0)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：5、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：6、函數(shù)f(x)＝ccosx(c≈2.71828)不是_________.A、偶函數(shù).B、有界函數(shù).C、周期函數(shù).D、單調(diào)函數(shù).標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析7、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于P{X=1}=P{X≤1}-P{X<1}=F(1)-F(1-0)=1-e-1-1/2=1/2-e-1，故C是正確的．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、微分方程y’’+4y=cos2x的通解為y=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：y’’+4y=cos2x對應(yīng)的齊次方程的特征方程是r2+4=0．它的兩個(gè)特征根為r1.2=±2i．因此對應(yīng)的齊次方程的通解為y=C1cos2x+C2sin2x．λ±wi=±2i是特征方程的根，所以，設(shè)非齊次方程的特解為y*=x(Acos2x+Bsin2x)，則(y*)’=x(一2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，(y*)’’=一X(4Acos2x+4Bsin2x)一4Asin2x+4Bcos2x．將上兩式代入方程y’’+4y=cos2x中，得一4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．比較上式系數(shù)得A=0，．故原方程的通解為13、標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)14、設(shè)D={(x，y)丨x2+y2≤x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過1+x2+y2的最大整數(shù)，計(jì)算二重積分xy[1+x2+y2]dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、已知向量組(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量組的秩分別為r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．證明向量組α1，α2，α3，α5-α4的秩為4．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(I)=r(II)=3，所以α1，α2，α3線性無關(guān)，而α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，因此α4可由α1，α2，α3線性表出，設(shè)為α4=lα1+lα2+lα3．若k知識點(diǎn)解析：暫無解析16、已知三階矩陣B為非零向量，且B的每一個(gè)列向量都是方程組的解，(I)求λ的值；(Ⅱ)證明｜B｜＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)因｜B｜≠0，故曰中至少有一個(gè)非零列向量，依題意，所給齊次方程組非零解，故必有系數(shù)行列式由此可得λ＝1．(Ⅱ)因B的每一列向量都是原方程的解，故AB＝0．因A≠0則必有｜B｜＝0．事實(shí)上，倘若不然，設(shè)｜B｜≠0，則曰可逆，故由AB＝0兩邊右乘B－1，得A＝0，這與已知條件矛盾，可見必有｜B｜＝0．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為｜λE—A｜＝λ3一λ2－λ＋1＝(λ－1)2(λ＋1)＝0，即特征值λ1＝1(二重)，λ2＝－1．知識點(diǎn)解析：暫無解析(2005年試題，22)設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求：20、(X，Y)的邊緣概率密度fX(x)fY(y)；標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意，作圖如圖3—3—2所示．(I)當(dāng)0當(dāng)x≤0或x≥1時(shí)，fx(x)=0．即有由此可計(jì)算得知識點(diǎn)解析：暫無解析21、Z=2X—Y的概率密度fZ(Z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)z≤0時(shí)，F(xiàn)z(z)=0；當(dāng)z≥2時(shí)，F(xiàn)z(z)=1；當(dāng)0Z的概率密度為解析二(I)同解析一(Ⅱ)因?yàn)镻{0≤2X—Y<2}=1，所以當(dāng)z≤0或z>12時(shí)fz(z)=0；當(dāng)01952故隨機(jī)變量z的概率密度為解析三(I)同解析一(Ⅱ)因?yàn)?X，Y)的聯(lián)合概率密度在直角三角形區(qū)域D={(x，y)101上取值的概率與該子區(qū)域面積成正比，即求導(dǎo)得概率密度為知識點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x，y，z)是連續(xù)函數(shù)，f(0，0，0)=0，I(R)=f(x，y，z)dxdydz則R→0時(shí)，下面說法正確的是()．A、I(R)是R的一階無窮小B、I(R)是R的二階無窮小C、I(R)是R的三階無窮小D、I(R)至少是R的三階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因f(x，y，z)為連續(xù)函數(shù)，由積分中值定理得到I(R)=f(ξ，η，ζ).dxdydz=f(ξ，η，ζ).πR3，其中ξ2+η2+ζ2≤R2．當(dāng)R→0時(shí)，(ξ，η，ζ)→(0，0，0)，于是當(dāng)f(0，0，0)≠0時(shí)，I(R)是R的三階無窮小，當(dāng)f(0，0，0)=0時(shí)，I(R)是比R3高階的無窮小，因而I(R)至少是R的三階無窮?。畠H(D)入選．2、設(shè)vn均收斂，則下列命題中正確的是()．A、un收斂B、unvn絕對收斂C、(－1)n條件收斂D、(un+vn)2發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因｜unvn｜≤收斂，從而unvn絕對收斂，僅(B)入選．3、設(shè)函數(shù)f(x，y，z)=2xy—z2，則f(x，y，z)在點(diǎn)(2，－1，1)處的方向?qū)?shù)的最大值為()．A、2B、4C、2D、24標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：=－2i+4j－2k，故f(x，y，z)在點(diǎn)(2，一1，1)處的方向?qū)?shù)的最大值為僅(A)入選．4、設(shè)L是圓域x2+y2≤一2x的正向邊界曲線，則(x3一y)dx+(x—y3)dy等于()．A、一2πB、0C、3π／2D、2π標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：利用格林公式求之．5、設(shè)A為m×s矩陣，B為s×n矩陣，使ABX=0與BX=0為同解方程組的充分條件是()．A、r(A)=mB、r(A)=sC、r(B)=sD、r(B)=n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：顯然，方程組BX=0的解是ABX=0的解．要使方程組ABX=0的解也是BX=0的解，即由ABX=0推導(dǎo)出BX=0，只需方程組AX=0只有零解，即r(A)=s，僅(B入選．6、已知α1=[一1，1，a，4]T，α2=[一2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是四階方陣A的三個(gè)不同特征值的特征向量，則a的取值為()．A、a≠5B、a≠一4C、a≠一3D、a≠一3且a≠一4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：將α1，α2，α3作為A的列向量組，將其化為階梯形即可確定a的取值．α1，α2，α3是三個(gè)不同特征值的特征向量，必線性無關(guān)．可知a≠5．僅(A)入選．7、假設(shè)事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則事件A，B，C相互獨(dú)立的充分必要條件是()．A、A和BC獨(dú)立B、A+B和B+C獨(dú)立C、AB和BC獨(dú)立D、AB和A+C獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：直選法．因事件A，B，C兩兩獨(dú)立，所以為說明選項(xiàng)(A)正確，只需證明：如果A和BC獨(dú)立，則P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．事實(shí)上，有P(ABC)=P(A∩BC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)．可見，A和BC獨(dú)立是事件A，B，C相互獨(dú)立的充分必要條件，故僅(A)入選．8、設(shè)X，Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且D(X+Y)=D(X)+D(Y)，則必有()．A、X與Y獨(dú)立B、X與Y不獨(dú)立C、D(X2+Y2)=D(X2)+D(Y2)D、D(X－Y)=D(X)+D(Y)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y)，而已知D(X+Y)=D(X)+D(Y)，故2cov(X，Y)=0，即cov(X，Y)=0．因而D(X—Y)=D(X)+D(Y)一2cov(X，Y)=D(X)+D(Y)．僅(D)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、計(jì)算(a＞0，b＞0)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：先用提公因式的方法將分子、分母化成乘積形式，再用等價(jià)無窮小代換ax一1～xlna(x→0)求之．當(dāng)然，也可用洛必達(dá)法則求之，但較煩．10、設(shè)x≥－1，則(1－｜t｜)dt=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：為去掉被積函數(shù)中的絕對值符號，須將x的取值范圍分段求出積分．當(dāng)一1≤x＜0時(shí)，｜t｜=－t，則(1+x)2；當(dāng)x≥0時(shí)，原式=(1一x)2；故11、將函數(shù)f(x)=展為麥克勞林級數(shù)是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一1＜x＜1知識點(diǎn)解析：注意到，可先將展為麥克勞林級數(shù)，再逐項(xiàng)求導(dǎo)即得的麥克勞林展開式．也可直接利用公式nxn－1(｜x｜＜1)求之．因xn，逐項(xiàng)求導(dǎo)得到=1+2x+3x2+…+nxn－1+…，①其收斂區(qū)間為一1＜x＜1．12、設(shè)S為橢球+z2=1的上半部分，已知S的面積為A，則第一類曲面積分(4x2+9y2+36z2+xyz)dS=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：36A知識點(diǎn)解析：(4x2+9y2+36z2+xyz)dS=36xyzdS．因曲面關(guān)于平面zOx對稱，而被積函數(shù)關(guān)于y為奇函數(shù)，故xyzdS=0．將上半個(gè)橢球方程代入上式第一個(gè)積分的被積函數(shù)得+z2)dS=dS=A，故第一類曲面積分(4x2+9y2+36z2+xyz)dS=36A．13、設(shè)三階矩陣A=，則｜(A*)*+4A｜=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－16知識點(diǎn)解析：利用矩陣(A*)*與A的關(guān)系，再由｜A｜求出所求的行列式．因(A*)*=｜A｜n－2A，而｜A｜=－2，故｜(A*)*+4A｜=｜｜A｜3－2A+4A｜=｜－2A+4A｜=｜2A｜=8｜A｜=－16．14、設(shè)X～B(3，p)，Y～B(2，p)，已知P(X≥1)=，則P(Y＜1)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因X～B(3，p)，P(X≥1)=1一P(X=0)=1一p0(1一p)3=1一(1一p)3=，故1一P=則P(Y＜1)=P(Y=0)=p0(1一p)2=．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1．證明(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=；(2)存在ξ≠η∈(0，1)，使得=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令F(x)=f(x)一1／2，則F(0)=f(0)一1／2=－1／2＜0，F(xiàn)(1)=f(1)一1／2=1—1／2=1／2＞0．由零點(diǎn)(介值)定理知，存在c∈(0，1)，使F(c)=0，即f(c)=1／2．(2)在[0，c]及[c，1]上對f(x)分別使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得于是=2c+2(1一c)=2．得證．注意上面利用(1)的結(jié)論證明了(2)的結(jié)論，但(1)的結(jié)論也可由(2)的結(jié)論推出．事實(shí)上，由得到2f2(c)一2cf(c)一f(c)+c=f(c)[2f(c)一1]一c[2f(c)一1]=[f(c)一c][2f(c)一1]=0．因f(x)不一定滿足f(x)=x，故有2f(c)一1=0，即f(c)=1／2．知識點(diǎn)解析：(1)設(shè)F(x)=f(x)一1／2，對F(x)在[0，1]上使用零點(diǎn)定理即可．(2)應(yīng)利用(1)中結(jié)論，用C將[0，1]分為[0，c]，[c，1]兩個(gè)子區(qū)間，且在這兩個(gè)不同的區(qū)間上使用拉格朗日中值定理．16、設(shè)f(x)=dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因在[一1，3]內(nèi)有f(x)的兩個(gè)瑕點(diǎn)0與2，故所求的積分是瑕積分．知識點(diǎn)解析：所求積分形式上是定積分但由于f(x)在x=0，2處無界，因而所求積分實(shí)質(zhì)上是無界函數(shù)的反常積分．用其定義計(jì)算其積分．17、將f(x)=展為x一1的冪級數(shù)，并指出其收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由=1一x+x2一…+(一1)nxn+…，一1＜x＜1，得到(2)由于級數(shù)①的收斂區(qū)間為一1＜＜1，即一1＜x＜3，級數(shù)②的收斂區(qū)間為一1＜＜1，即一3＜x＜5，故級數(shù)③的收斂區(qū)間為一1＜x＜3．但在x=－1與x=3處，級數(shù)③發(fā)散，故收斂域?yàn)?一1，3)．知識點(diǎn)解析：(1)用間接展開法求之．即通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃螌⑵浞纸鉃榈拇鷶?shù)和，再利用如下展開式求之：(2)求出展開式后要寫出展開式成立的區(qū)間，需判另IJ在收斂區(qū)間的端點(diǎn)處是否收斂．18、證明(a+b).[(b+c)×(c+a)]=2a.(b×c)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(a+b).[(b+c)×(c+a)]=(a+b).[b×(c+a)+c×(c+a)]=(a+b).[b×c+b×a+c×c+c×a]=a.(b×c)+b.(b×c)+a.(b×a)+b.(b×a)+a.(c×a)+b.(c×a)=a.(b×c)+0+0+0+0+b.(c×a)=a.(b×c)+a.(b×c)=2a.(b×c)．知識點(diǎn)解析：利用混合積的常用性質(zhì)證之．19、設(shè)ABCDA為一矩形回路，其中A=A(－1，1)，B=B(－1，－1)，C=C(ξ，一1)，D=D(ξ，1)，求∮ABCDA標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)ξ＜0時(shí)，P=在矩形回路中連續(xù)可導(dǎo)，易求得由格林公式即得=0．當(dāng)ξ＞0時(shí)，這時(shí)矩形回路含有原點(diǎn)，為挖掉這個(gè)原點(diǎn)以r＜min(1，ξ)為半徑作圓，則可在以圓外到ABCDA所圍的區(qū)域D內(nèi)使用格林公式：或由(xdy—ydx)表示x2+y2=r2所圍圓域的面積，即得當(dāng)ξ＞0時(shí)，知識點(diǎn)解析：為考慮ABCDA是否包圍原點(diǎn)，應(yīng)分ξ＜0及ξ＞0兩種情況計(jì)算待求的積分．20、已知n維向量α1，α2，…，αs線性無關(guān)，如果n維向量β不能由α1，α2，…，αs線性表出，而γ可由α1，α2，…，αs線性表出，證明α1，α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，β+γ線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用拆項(xiàng)重組法及線性無關(guān)的定義證之．由題設(shè)γ可由α1，α2，…，αs線性表出，可設(shè)γ=c1α1+c2α2+…+csαs，又令k1α1+k2(α1+α2)+…+ks(αs+αs－1)+k(β+γ)=0．將其拆項(xiàng)重組得到(k1+k2+kc1)α1+(k2+k3+kc2)α2+…+(ks+kcs)αs+kβ=0．因α1，α2，…，αs線性無關(guān)，而β不能由α1，α2，…，αs線性表出，故α1，α2，…，αs，β線性無關(guān)．因而k=0，k1+k2+kc1=0，k2+k3+kc2=0，…，ks+kcs=0，即k1+k2=0，k2+k3=0，…，ks－1+ks=0，ks=0，解得k1=k2=…=ks－1=ks=0，即α1，α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，β+γ線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：利用線性無關(guān)的定義證之，也可用矩陣表示法證之．21、設(shè)A是n階方陣，A+E可逆，且f(A)=(E—A)(E+A)－1．證明：(1)[E+f(A)](E+A)=2E；(2)f[f(A)]=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)[E+f(A)](E+A)=E+A+f(A)(E+A)=E+A+(E—A)(E+A)－1(E+A)=E+A+E—A=2E．(2)f[f(A)]=[E—f(A)][E+f(A)]－1．由(1)可知[E+f(A)]－1=，故f[f(A)]=[E一f(A)](E+A)／2=[E一(E—A)(E+A)－1](E+A)／2=(E+A)／2一(E一A)(E+A)－1(E+A)／2=(E+A)／2一(E一A)／2=A．知識點(diǎn)解析：利用矩陣運(yùn)算及可逆矩陣的定義證之．22、設(shè)隨機(jī)變量(ξ，η)的概率密度為試求(1)(ξ，η)的分布函數(shù)；(2)P(η＜)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)將φ(x，y)定義域中的邊界線段延長為直線，它們將整個(gè)平面分成5個(gè)子區(qū)域：①D1：x≤0或y≤0時(shí)，F(xiàn)(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=0dxdy=0．②D2：0＜x≤1，0＜y≤2時(shí)，F(xiàn)(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=φ(x，y)dxdy=x2y2．③D3：x＞1，0＜y≤2時(shí)，F(xiàn)(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=P(0≤X＜1，0＜Y≤y)④D4：0＜x≤1，y＞2時(shí)，F(xiàn)(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=P(0≤X≤x，0≤Y≤2)⑤D5：x＞1，y＞2時(shí)，F(xiàn)(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=P(0≤X≤1，0≤Y≤2)因當(dāng)0≤x≤1時(shí)，φξ(x)=知識點(diǎn)解析：連續(xù)型隨機(jī)變量(ξ，η)的概率密度為φ(x，y)．則分布函數(shù)F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=φ(x，y)dxdy．若φ(x，y)的取值不分區(qū)域，則求二次積分即可求出F(x，y)．若φ(x，y)分區(qū)域定義時(shí)，則先繪出φ(x，y)取非零值的區(qū)域D，再將其邊界線段延長為直線，于是它們將整個(gè)平面分成若干個(gè)子區(qū)域，然后再根據(jù)P((ξ，η)∈G)=φ(x，y)dxdy，其中G為子區(qū)域與φ(x，y)取非零值的定義域的交集，求出各個(gè)小區(qū)域上的分布函數(shù)的表達(dá)式，即得F(x，y)．23、食用加碘鹽對人的身體有利，但鹽中含碘量過多，則會對身體有害，國家有關(guān)部門規(guī)定：每公斤食用鹽內(nèi)含碘量不得超過20mg．現(xiàn)對某廠生產(chǎn)的食鹽進(jìn)行抽查，隨機(jī)地抽出16包(每包1kg)，測量每包含碘量的平均值為24mg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=2．6mg．設(shè)每包含碘量服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．問該廠生產(chǎn)的加碘鹽的含碘量是否合格?(a=0．05)，并求μ的置信度為95％的置信區(qū)間．參考數(shù)據(jù)：t0．05(15)=1．7531，t0．05(16)=1．7459，t0．025(15)=2．1315，t0．025(16)=2．1199．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)H0：μ=μ0=20，H1：μ＞μ0=20．檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為T=～t(n一1)，H0的拒絕域?yàn)镽={T＞tα(n—1)}．計(jì)算觀測值為t==6．1538，查表得tα(n一1)=t0．05(15)=1．7531．因6．1538＞1．7531，即t＞tα(n一1)落在拒絕域內(nèi)，拒絕H0，接受H1：μ＞μ2，即含碘量超過標(biāo)準(zhǔn)，不合格．(2)σ2未知，μ的置信度為1一α=0．95即α=0．05的置信區(qū)間為其中=24，tn／2(n一1)=t0．025(15)=2．1315，代入上式即得所求的置信區(qū)間為(24—2．1315×)=(24－1．39，24+1．39)=(22．61，25．39)．知識點(diǎn)解析：先寫出零假設(shè)(待檢假設(shè))H0與備擇假設(shè)H1，選出已知其分布的恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，求出其拒絕域，算出觀測值，兩者進(jìn)行比較．求置信區(qū)間較簡單，只要記住有關(guān)的公式即可求得．考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)平面π平行于兩直線及2x=y=z且與曲面z=x2+y2+1相切，則平面π的方程為()．A、4x+2y—z=0B、4x一2y+z+3=0C、16x+8y一16z+11=0D、16ax-8y+8z-1=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：平面π的法向量為n={2，一2，1}×{1，2，2}=一3{2，1，一2}．設(shè)平面π與曲面z=x2+y2+1相切的切點(diǎn)為(x0，y0，z0)，則曲面在該點(diǎn)處的法向量為{2x0，2y0，一1}，因此π的方程為整理得16x+8y一16z+11=0，選C2、設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(0，0)可偏導(dǎo)，且f’x(0，0)=a，f’y(0，0)=b，下列結(jié)論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：取f(x，y)=f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)，但(x，y)不存在，且f(x，y)在(0，0)處不連續(xù)，不選(A)，(B)；因?yàn)閦=f(x，y)可偏導(dǎo)不一定可微，所以不選(C)，應(yīng)選(D)．3、設(shè)D為xOy平面上的有界閉區(qū)域，z=f(x，y)在D上連續(xù)，在D內(nèi)可偏導(dǎo)且滿足若f(x，y)在D內(nèi)沒有零點(diǎn)，則f(x，y)在D上()．A、最大值和最小值只能在邊界上取到B、最大值和最小值只能在區(qū)域內(nèi)部取到C、有最小值無最大值D、有最大值無最小值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上一定取到最大值與最小值，不妨設(shè)f(x，y)在D上的最大值M在D內(nèi)的點(diǎn)(x0，y0)處取到，即f(x0，y0)=M≠0，此時(shí)矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D內(nèi)取到，同理f(x，y)在D上的最小值m不可能在D內(nèi)取到，選A4、其中a1，a2，a3，a4兩兩不等，下列命題正確的是()．A、方程組AX=0只有零解B、方程組ATX=0有非零解C、方程組ATAX=0只有零解D、方程組AATX=0只有零解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由=(a3一a1)(a3一a2)(a2一a1)≠0，得r(A)=3．由r(A)=3＜4，得方程組AX=0有非零解，不選(A)；由r(AT)=r(A)=3，得方程組ATX=0只有零解，不選(B)；由r(A)=r(ATA)=3＜4，得方程組ATAX=0有非零解，不選(C)；由r(A)=r(AAT)=3，得方程組AATX=0只有零解，應(yīng)選(D)．5、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)嚴(yán)格遞增，Y～U(0，1)，則Z=F-1(Y)的分布函數(shù)()．A、可導(dǎo)B、連續(xù)但不一定可導(dǎo)且與X分布相同C、只有一個(gè)間斷點(diǎn)D、有兩個(gè)以上的間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閅～U(0，1)，所以Y的分布函數(shù)為FY(y)=則Z=F-1(Y)的分布函數(shù)為Fz(z)=P{Z≤z)=P{F-1(Y)≤z}=P{Y≤F(z)}=FY[F(z)]，因?yàn)?≤F(z)≤1，所以Fz(z)=F(z)，即Z與X分布相同，選B6、設(shè)X1，X2，X3，…，Xn是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機(jī)變量，是樣本均值，記S12=則服從自由度為n-1的t分布的隨機(jī)變量為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、設(shè)y=y(x)為方程y"+(x一1)y’+x2y=ex的滿足初始條件的解，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：8、設(shè)z=z(x，y)由φ(x2一z2，ex+2y)=0確定，其中φ連續(xù)可偏導(dǎo)，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：φ(x2一z2，ez+2y)=0兩邊對x求偏導(dǎo)，得解得9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、微分方程yy"=y2y’+y’2滿足y(0)=1，y’(0)=2的特解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：11、設(shè)A，B為三階矩陣，A～B，λ1=一1，λ2=1為矩陣A的兩個(gè)特征值，又，則=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)閨B-1|=所以|B|=3，又因?yàn)锳～B，所以A，B有相同的特征值，設(shè)A的另一個(gè)特征值為λ3，由|A|=|B|=λ1λ2λ3，得λ3=一3，因?yàn)锳一3E的特征值為一4，一2，一6，所以|A一3E|=-48．12、設(shè)總體X～N(0，1)，X1，X2，X3，X4為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，則服從的分布為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：t(1)知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且證明：(Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)=0；(Ⅱ)存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=f(ξ)；(Ⅲ)存在η∈(0，1)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由得f(0)=0，f+’(0)=1，f(1)=0，f-’(1)=2．由f+’(0)＞0，存在x1∈(0，1)，使得f(x1)＞f(0)=0；由f1’(1)＞0，存在x2∈(0，1)，使得f(x2)＜f(1)=0．因?yàn)閒(x1)f(x2)＜0，所以由零點(diǎn)定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)=0．(Ⅱ)令h(x)=exf(x)，因?yàn)閒(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0，由羅爾定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f(x)+f’(x)]且ex≠0，所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0，f(ξ2)+f’(ξ2)=0．令φ(z)=e-x[f(x)+f’(x)]，因?yàn)棣?ξ1)=φ(ξ2)=0，所以存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，于是f"(ξ)=f(ξ)．(Ⅲ)令h(x=)exf(x)，因?yàn)閒(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0．由羅爾定理，存在η1∈(0，c)，η2∈(c，1)，使得h’(η1)=h’(η2)=0，而h’(x)=e-x[f’(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f’(x)一f(x)]，因?yàn)棣?η1)=φ(η2)=0，所以存在η∈(η1，η2)(0，1)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，于是f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、計(jì)算I=(x2+y2)zdxdy—ydzdx，其中∑為z=x2+y2被z=0與z=1所截部分的下側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∑1：x2+y2≤1，取上側(cè)，由高斯公式得知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求直線繞z軸一周所形成的曲面介于z=2與z=4之間的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)直線繞z軸一周所形成的曲面為∑，任取M(x，y，z)∈∑，點(diǎn)M所在的圓與直線的交點(diǎn)為M0(x0，y0，z)，圓心為T(0，0，z)，由|MT|=|M0T|，得x2+y2=x02+y02，因?yàn)辄c(diǎn)M0(x0，y0，z)在直線上，所以于是x0=z一1，y0=2z，故所求的曲面方程為x2+y2=(z一1)2+4z2，即x2+y2=5z2一2z+1，所求的幾何體的體積為V=∫24A(z)dz知識點(diǎn)解析：暫無解析16、將函數(shù)f(x)=展開成x一1的冪級數(shù)，并求標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊對x求導(dǎo)，得知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)y=y(x)二階可導(dǎo)，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．(Ⅰ)將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)所滿足的微分方程；(Ⅱ)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)代入原方程得y”—y=sinx．(Ⅱ)特征方程為r2一1=0，特征根為r1，2=±1，因?yàn)閕不是特征值，所以設(shè)特解為y*=acosx+bsinx．代入方程得a=0，b=故于是方程的通解為由初始條件得C1=1，C2=一1，滿足初始條件的特解為y=ex一e-x一知識點(diǎn)解析：暫無解析18、(Ⅰ)設(shè)α1，α2，…，αn為n個(gè)n維線性無關(guān)的向量，且β與α1，α2，…，αn正交．證明：β=0；(Ⅱ)設(shè)α1，α2，…，αn-1為n一1個(gè)n維線性無關(guān)的向量，α1，α2，…，αn-1與非零向量β1，β2正交，證明：β1，β2線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令因?yàn)棣?，α2，…，αn線性無關(guān)，所以r(A)=n．又因?yàn)棣?，α2，…，αn與β正交，所以Aβ=0，從而r(A)+r(β)≤n，注意到r(A)=n，于是r(β)=0，即β為零向量．(Ⅱ)方法一：令B=(β1，β2)，因?yàn)棣?，α2，…，αn-1線性無關(guān)，所以r(A)=n一1．又因?yàn)棣?，α2，…，αn-1與β1，β2正交，所以AB=0，從而r(A)+r(B)≤n，注意到r(A)=n一1，所以r(B)≤1，即β1，β2線性相關(guān)．方法二：令因?yàn)棣?，α2，…，αn-1線性無關(guān)，所以r(A)=n一1．因?yàn)棣?，α2，…，αn-1與β1，β2正交，所以β1，β2為方程組AX=0的兩個(gè)解，而方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)線性無關(guān)的解向量，所以β1，β2線性相關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形2y12+2y22+by32．(Ⅰ)求常數(shù)a，b；(Ⅱ)求正交變換矩陣；(Ⅲ)當(dāng)|X|=1時(shí)，求二次型的最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令則f(x1，x2，x3)=XTAX．因?yàn)槎涡徒?jīng)過正交變換化為2y12+2y22+by32，所以矩陣A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=b．由特征值的性質(zhì)得解得a=一1，b=一1．(Ⅱ)當(dāng)λ1=λ2=2時(shí)，由(2E—A)X=0，得當(dāng)λ3=一1時(shí)，由(一E—A)X=0，得(Ⅲ)因?yàn)镼為正交矩陣，所以|X|=1時(shí)，|Y|=1，當(dāng)|Y|=1時(shí)，二次型的最大值為2．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)X的密度為f(x)=其中θ＞0為未知參數(shù)．(Ⅰ)求參數(shù)θ的最大似然估計(jì)量θ．(Ⅱ)是否是參數(shù)θ的無偏估計(jì)量?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)似然函數(shù)為知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)xn≤zn≤yn，且(yn-xn)=0，則zn()A、存在且等于零。B、存在但不一定等于零。C、不一定存在。D、一定不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由xn≤zn≤yn可得0≤zn-xn≤yn-xn，又因?yàn)?yn-xn)=0，所以只可得到(zn-xn)=0，至于zn的存在性則無法判斷。例如：取xn=(-1)n+，此時(shí)有xn≤zn≤yn且(yn-xn)=0，但zn不存在。故選C。2、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，D={(x，y)|x2+y2≤t2}，則f(x，y)dσ=()A、f(0，0)。B、-f(0，0)。C、f’(0，0)。D、不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x，y)在D上連續(xù)，由積分中值定理可知，在D上至少存在一點(diǎn)(ξ，η)使f(x，y)dσ=πt2f(ξ，η)。因?yàn)?ξ，η)在D上，所以當(dāng)t→0+時(shí)，(ξ，η)→(0，0)。則故選A。3、函數(shù)f(x，y)=在(0，0)點(diǎn)()A、不連續(xù)且不可偏導(dǎo)。B、連續(xù)但不可偏導(dǎo)。C、可偏導(dǎo)且可微。D、可偏導(dǎo)但不可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于|f(x，y)|=．|y|=|y|，所以f(x，y)在(0，0)點(diǎn)連續(xù)。由定義可知fx(0，0)==0，同理可得fy(0，0)=0，故f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)。因f(△x，△y)-f(0，0)-fx(0，0)△x-fy(0，0)△y=f(△x，△y)，但≠0(實(shí)際上當(dāng)△y→0+時(shí)，極限為1；當(dāng)△y→0-時(shí)，極限為-1)，故f(x，y)在(0，0)處不可微。故選D。4、設(shè)α，β，γ均為大于1的常數(shù)，則級數(shù)()A、當(dāng)α＞γ時(shí)收斂。B、當(dāng)α＜γ時(shí)收斂。C、當(dāng)γ＞β時(shí)收斂。D、當(dāng)γ＜β時(shí)收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：這里有三種類型的無窮大量：nμ(μ＞0)，qn(q＞1)，lnδn(δ＞0)，其中n→+∞，它們的關(guān)系是=0，現(xiàn)考察此正項(xiàng)級數(shù)的一般項(xiàng)：＜1，即α＜γ。因此原級數(shù)收斂α＜γ。故選B。5、已知向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，α1，α2，α3，α5線性無關(guān)，則r(α1，α2，α3，α4+α5)=()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，所以可首先排除選項(xiàng)A和B，則r(α1，α2，α3，α4+α5)只可能為3或4。若r(α1，α2，α3，α4+α5)=3，則α4+α5可由α1，α2，α3線性表示，設(shè)α4+α5=k1α1+k2α2+k3α3，因?yàn)棣?，α2，α3，α4線性相關(guān)，所以α4可由α1，α2，α3線性表示，設(shè)α4=λ1α1+λ2α3+λ3α3，則α5=(k1-λ1)α1+(k2-λ2)α2+(k3-λ3)α3，這和α1，α2，α3，α4線性無關(guān)矛盾，故選D。6、已知P-1AP=，α1是矩陣A屬于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩陣A屬于特征值λ=6的特征向量，那么矩陣P不能是()A、(α1，-α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2-2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1-α2，α3)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：若P-1AP=，P=(α1，α2，α3)，則有AP=P，即A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)亦即(Aα1，Aα2，Aα3)=(a1α1，a2α2，a3α3)?？梢姦羒是矩陣A屬于特征值ai的特征向量(i=1，2，3)，又因矩陣P可逆，因此α1，α2，α3線性無關(guān)。若α是屬于特征值λ的特征向量，則-α仍是屬于特征值λ的特征向量，故選項(xiàng)A正確。若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則α，β的線性組合仍是屬于特征值λ的特征向量。本題中，α2，α3是屬于λ=6的線性無關(guān)的特征向量，故α2+α3，α2-2α3，仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3線性無關(guān)，故選項(xiàng)B正確。對于選項(xiàng)C，因?yàn)棣?，α3均是λ=6的特征向量，所以α2與α3誰在前誰在后均正確。即選項(xiàng)C正確。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1-α2不再是矩陣A的特征向量，故選D。7、假設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中f1(x)是正態(tài)分布N(0，σ2)的密度函數(shù)，f2(x)是參數(shù)為λ的指數(shù)分布的密度函數(shù)，已知F(0)=1／8，則()A、a=1，b=0。B、a=3／4，b=1／4。C、a=1／2，b=1／2。D、a=1／4，b=3／4。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由∫-∞+∞f(x)dx=a∫-∞+∞f1(x)dx+b∫-∞+∞f2(x)dx=a+b=1，知四個(gè)選項(xiàng)均符合這個(gè)要求。因此只好通過F(0)=1／8確定正確選項(xiàng)。由于F(0)=∫-∞0f(x)dx=a∫-∞0f1(x)dx+b∫-∞0f2(x)dx=aΦ()=aΦ(0)=a／2=1／8，因此a=1／4，故選D。8、設(shè)X1，…，Xn是取自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機(jī)樣本，其均值和方差分別為，S2，則下列服從自由度為n的χ2分布的隨機(jī)變量是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于總體X～N(μ，σ2)，因此～χ2(n-1)。又因?yàn)?，因此～χ2(1)。，S2是相互獨(dú)立的，根據(jù)χ2分布的可加性，可知服從自由度為n的χ2分布。故選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)函數(shù)S(x)=∫0x|cost|dt。則_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2／π知識點(diǎn)解析：對于任意的x∈(nπ，(n+1)π)，有∫0nπ|cost|dt≤∫0xcost|dt≤∫0(n+1)π|cost|dt，而∫0nπ|cost|dt=2∫0π／2costdt，∫0(n+1)πI|cost|dt=2(n+1)，所以當(dāng)n→∞時(shí)，x→+∞，所以由極限的夾逼準(zhǔn)則有=2／π。10、過點(diǎn)(1，0)且切線斜率為-的曲線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2-知識點(diǎn)解析：由題意可知，f’(x)=-，且f(1)=0，對微分方程兩邊積分，得函數(shù)f(x)與坐標(biāo)軸所圍的圖形如下圖所示，f(x)與x軸交于點(diǎn)(1，0)，所以平面圖形的面積為S=∫01f(x)dx=ln2-11、設(shè)方程確定y為x的函數(shù)，其中t為參變量，則dy／dx|t=0=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識點(diǎn)解析：當(dāng)t=0時(shí)，可得x=0，y=π／2。在兩個(gè)方程中對t求導(dǎo)，得：ex=6t+2，siny+(tcosy-1)=0，12、設(shè)f(x)=dx=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1-e-1知識點(diǎn)解析：積分區(qū)域如圖交換積分次序I=∫01|01=1-e-1。13、設(shè)A是三階矩陣，且特征值為λ1=1，λ2=-1，λ3=2，A*是A的伴隨矩陣，E是三階單位陣，則||A||=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：211知識點(diǎn)解析：由A的特征值λ1=1，λ2=-1，λ3=2，可知|A|=λi=-2，|A*|=|A|3-1=4。注意到是六階方陣，所以=-26．(-2)3|A*|=211。14、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，若X與Y分別服從X—～b(2，1／2)，Y～b(3，1／2)，則P{X+Y≥1}=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：31／32知識點(diǎn)解析：隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X與Y分別服從X～b(2，1／2)，Y～b(3，1／2)，令隨機(jī)變量函數(shù)Z=X+Y，則Z～b(5，1／2)，由分布律可得P{X+Y≥1}=P{Z≥1}=1-P{Z=0}=1-(1／2)5=