2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷02（新高考專用）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷02（新高考專用）（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．（5分）（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知全集U=?1,3,5,7,9，?UA=?1,9，B=3,7,9A．3,7 B．3,5 C．3 D．9【解題思路】根據(jù)補(bǔ)集、交集的知識(shí)求得正確答案.【解答過程】因?yàn)閁=?1,3,5,7,9，?UA=因?yàn)锽=3,7,9，所以A∩B=故選：A.2．（5分）（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知i是虛數(shù)單位，若非零復(fù)數(shù)z滿足1?iz=z2，則A．1 B．?1 C．i D．?【解題思路】設(shè)z=a+bia,b∈R，利用復(fù)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式以及復(fù)數(shù)相等可得出a、b的值，可得出z的值，由此可求得【解答過程】設(shè)z=a+bia,b∈R，則由1?iz=z所以，a+b=a2+b2b?a=0，又因?yàn)閦≠0，所以，故選：A.3．（5分）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(A．2 B．3 C．5 D．6【解題思路】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算將向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為(a+b)?(a【解答過程】因?yàn)閍=(x,1)，b由(a+b即x2+1?又因?yàn)閍∥b，所以聯(lián)立x2?y2=3故|c故選C.4．（5分）（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）江南的周莊、同里、甪直、西塘、鳥鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國(guó)江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計(jì)劃今年暑假從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，則只選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為（

）A．25 B．35 C．15【解題思路】應(yīng)用組合數(shù)求出所有可能情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率即可.【解答過程】從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游的可能情況有C6只選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為P=C故選：B.5．（5分）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2=1，S4=8．若A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程組，解方程求出a1,d，即可求出a【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d．由條件可知a1所以an=?1+2n?1由Sn?2an=6，得n2?2n?2故選：B．6．（5分）（2023·山東·山東省校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0A．?1 B．?2 C．?3 【解題思路】由圖象求得函數(shù)解析式，可求fπ【解答過程】函數(shù)fx由圖象可知，A=2，函數(shù)最小正周期為T，有T4=π12?得fx由f?π12則fxfπ故選：B.7．（5分）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)與實(shí)軸的右端點(diǎn)分別為點(diǎn)F，A，以點(diǎn)A為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)P，A．3 B．2 C．34 D．2或【解題思路】設(shè)漸近線bx?ay=0，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A(a,0)到漸近線的距離，得出OP，再分類討論△OPF為等腰三角形，分別求解即可．【解答過程】如圖，不妨取漸近線bx?ay=0，則點(diǎn)A(a,0)到漸近線的距離d=ab所以O(shè)P=2若|OP|=|OF|，則2a2c若|OP|=|PF|，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=c2，將x=c2代入bx?ay=0，得點(diǎn)所以(c2)2+若|OF|=|PF|，取OP的中點(diǎn)E，連接EF，由等腰三角形三線合一知，EF⊥OP，連接EA，由垂徑定理知，EA⊥OP，顯然矛盾，故|OF|=|PF|不成立；綜上，雙曲線C的離心率為2或34故選：D．8．（5分）（2023·河北邢臺(tái)·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知f(x)=x2+cosx，x∈RA．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a(chǎn)<c<b【解題思路】借助導(dǎo)數(shù)先分析函數(shù)fx的性質(zhì)，由偶函數(shù)性質(zhì)可得c=f?14=f14，構(gòu)造函數(shù)先比較sin14與14的大小關(guān)系，結(jié)合fx單調(diào)性可得a【解答過程】f′(x)=2x?sinx，令故gx=2x?sinx在故當(dāng)x≥0時(shí)，f′(x)=gx>0，故又f(?x)=x2+故a?c=fsin令?x=sin故?x在R上單調(diào)遞減，故?14由f(x)在0,+∞上單調(diào)遞增，故f即a<c；b?c=fe由e?14>e綜上可得：a<c<b.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．（5分）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了實(shí)現(xiàn)教育資源的均衡化，某地決定派遣480名教師志愿者（480名教師情況如圖）輪流支援當(dāng)?shù)氐慕逃ぷ鳎舻谝慌驹刚卟捎梅謱映闃拥姆椒S機(jī)派遣150名教師，則（

）A．派遣的青年男、女教師的人數(shù)之和與老年教師的人數(shù)相同B．派遣的青年女教師的人數(shù)占派遣人員總數(shù)的10%C．派遣的老年教師有144人D．派遣的青年女教師有15人【解題思路】利用分層抽樣結(jié)合各比例關(guān)系求解【解答過程】因?yàn)?6480所以派遣的青年男教師的數(shù)量占派遣總數(shù)的20%，則派遣的青年女教師的人數(shù)占派遣人員總數(shù)的1?30%則派遣的青年男、女教師的人數(shù)之和與老年教師的人數(shù)相同，均占總數(shù)的30%，故A，B正確；派遣的老年教師人數(shù)為150×0.3=45，故C錯(cuò)誤；派遣的青年女教師的人數(shù)為150×0.1=15，故D正確．故選：ABD．10．（5分）（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱DDA．AB．三棱錐B?AEF的體積為1C．直線AF與直線BE所成角的余弦值為4D．直線A1G與平面BD【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決位置關(guān)系的角度距離問題.【解答過程】以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1的方向?yàn)閯tD0,0,0,A2,0,0B1D=?2,?2,?2，B1D?A1C1即B1D⊥A1C1，B1B1D⊥平面A1BC1，正方體中有AB//D1C1，AB?平面ABE，D1CVB?AEF即三棱錐B?AEF的體積為23AF=?2,1,2，BE=所以直線AF與直線BE所成角的余弦值為49DB=2,2,0，DC1=則有n?DB=2x+2y=0n?DC設(shè)C1G=λC1直線A1G與平面BDC當(dāng)λ=12時(shí)，直線A1G與平面故選：ACD.11．（5分）（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:x2=4y，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線與y軸交于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作不垂直于y軸的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，且AB⊥PQA．當(dāng)AF=3FB時(shí)，直線lB．ABC．BFD．若正三角形△ODE的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，則△ODE的周長(zhǎng)為4【解題思路】設(shè)直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及AF=3FB求k，可判斷A，由點(diǎn)差法及垂直關(guān)系，拋物線的定義可得AB=2PF判斷B，由kAM+k【解答過程】如圖，

對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)過焦點(diǎn)F0,1的直線l的方程為y=kx+1，Ax1由y=kx+1x2=4y，得x2?4kx?4=0由AF=3FB可知?x1=3x2由x1x2=?4，得?12k對(duì)于選項(xiàng)B，F(xiàn)0,1，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為x0,y0由x12=4y1x12=4因?yàn)锳B⊥PQ，所以直線PQ的斜率為?2x0，則直線PQ令x=0，則y=y0+2，所以點(diǎn)P則PF=由拋物線的定義可知，AB=所以AB=2對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閗=k所以直線AM與直線BM關(guān)于y軸對(duì)稱，即MF平分∠AMB，所以AMBM=AF整理得BFMA對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)Dx3,則OD=OE?又x3則4y因y3，y則x4y4得△ODE的周長(zhǎng)為243故選：AC.12．（5分）（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=axA．fx在?1,1單調(diào)遞減，則B．若a>0，則函數(shù)fxC．若a=1，則fxD．若fx≥0在?1,1【解題思路】依題意若fx在?1,1單調(diào)遞減可求得a≤1，可知A錯(cuò)誤；若a>0，可判斷出函數(shù)fx的單調(diào)性，即可求出函數(shù)fx存在2個(gè)極值點(diǎn)，即B正確；將a=1【解答過程】易知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且f若fx在?1,1單調(diào)遞減，可得f′x即ax2≤1在?1,1上恒成立，當(dāng)x=0當(dāng)x∈?1,0∪0,1時(shí)，可得a≤1x即函數(shù)y=1x2在x∈所以可得a≤1即可，可得A錯(cuò)誤；若a>0，令f′x=3ax2?3=0，可知方程所以當(dāng)x∈?∞,?1a∪1即fx在?∞,?1a所以函數(shù)fx若a=1，則f′x=3x2?3，易知x∈?即fx在?∞,?1和1,+所以fx的極大值為f?1=3>0畫出其函數(shù)圖象如下圖所示：

即可知fx若fx≥0在?1,1恒成立，易知當(dāng)x=0時(shí)，無論a取何值時(shí)，當(dāng)x>0，即0<x≤1時(shí)，需滿足a≥3不妨設(shè)?x=3所以當(dāng)0<x<12時(shí)，?′當(dāng)12<x≤1時(shí)，?′所以?x≤?1當(dāng)x<0時(shí)，即?1≤x<0，需滿足a≤3易知函數(shù)y=3x2?1x3即函數(shù)y=3x2?1可得a≤4；綜上可得a=4，所以，若fx≥0在?1,1恒成立，則故選：BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式(x?2)(1+x)n的展開式中，所有項(xiàng)系數(shù)和為?256，則x2的系數(shù)為【解題思路】利用賦值法求得n，再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【解答過程】令x=1可得二項(xiàng)式(x?2)(1+x)n的所有項(xiàng)系數(shù)和為?2二項(xiàng)式(1+x)8的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=所以(x?2)(1+x)n的展開式中，x2的系數(shù)為C故答案為：?48.14．（5分）（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、F分別為PC、AD的中點(diǎn)，平面BEF將四棱錐P?ABCD分成兩部分的體積分別為V1,V275【解題思路】利用椎體的體積公式求解.【解答過程】如圖，延長(zhǎng)BF,CD交于點(diǎn)G，連接GE交PD于點(diǎn)M，因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以△FDG與△FAB全等，且△FDG與△BCG相似，相似比為12設(shè)△FDG的面積為S，則四邊形BCDF的面積為3S，設(shè)點(diǎn)P到底面ABCD的距離為?，則VE?BCDF又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以VE?DFM而VE?DFG=1所以V2所以V1所以V1故答案為:7515．（5分）（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知⊙O1:x2+y?22=1，⊙O2:x?32+y?62【解題思路】Pt,0，則PM+PN=t2+3+(t?3)2+27=(t?0)2+[0?(?3【解答過程】⊙O1:x2⊙O2:x?32設(shè)Pt,0，則PMPN所以PM+取A(0,?3)則PM+當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)AB直線：y+令y=0，則x=34，故答案為：34

16．（5分）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinωx?π3ω>0在π,3【解題思路】先通過有3個(gè)零點(diǎn)列不等式求ω的取值范圍，再通過在π,3π2上單調(diào)遞減列不等式求【解答過程】設(shè)t=ωx?π3，當(dāng)x∈0,2因?yàn)楹瘮?shù)fx在0,2則2π<2π當(dāng)x∈π,3因?yàn)楹瘮?shù)fx在π所以πω?π3≥π取k=0，則56綜上，76故答案為：76四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）（2023·山東·山東校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知b2(1)求bc：(2)若acosB?bcos【解題思路】（1）由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式，可求bc；（2）由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)等式，求出角A，面積公式求△ABC面積.【解答過程】（1）由余弦定理a2=b所以bc=2.（2）若acosacosB?bcosbc+1=b+c所以?2cos因?yàn)锽∈0,π，故0<sin又0<A<π，所以sin故△ABC的面積為S△ABC18．（12分）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=3，a2+a3=36，(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求數(shù)列an+1【解題思路】（1）根據(jù)條件可知數(shù)列an是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合題中條件解出即可求得an的通項(xiàng)公式，繼而可求得（2）化簡(jiǎn)數(shù)列an+1【解答過程】（1）因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且a所以數(shù)列an設(shè)等比數(shù)列an的公比為q（q>0且q≠1由a1=3，a2即q2+q?12=0，解得q=3或所以an設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d由題意，得b解得b所以bn（2）因?yàn)镾n所以an所以T==319．（12分）（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）2025年四川省將實(shí)行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”為語文、數(shù)學(xué)，外語3門參加全國(guó)統(tǒng)一考試，選擇性考試科目為政治、歷史、地理、物理、化學(xué)，生物6門，由考生根據(jù)報(bào)考高校以及專業(yè)要求，結(jié)合自身實(shí)際，首先在物理，歷史中2選1，再從政治、地理、化學(xué)、生物中4選2，形成自己的高考選考組合.(1)若某小組共6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，求恰好選到“物化生”組合的人數(shù)的期望；(2)由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解高一新生選科的需求.隨機(jī)選取100名高一新生進(jìn)行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，寫出下列聯(lián)表中a，d的值，并判斷是否有95％的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”？選擇物理選擇歷史合計(jì)男生a10女生30d合計(jì)30附：K2P0.100.050.0250.010.005k2.7063.8415.0246.6357.879【解題思路】（1）根據(jù)列舉法求出一個(gè)學(xué)生恰好選到“物化生”組合的概率，確定6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，符合二項(xiàng)分布，即可求得答案；（2）由題意確定a,d的值，計(jì)算K2【解答過程】（1）設(shè)物理、歷史2門科目為m,n，政治、地理、化學(xué)、生物科目為e,b,c,f，則根據(jù)高考選考組合要求共有組合為(m,e,b),(m,e,c),(m,e,f),(m,b,c)，(m,b,f),(m,c,f),(n,e,b),(n,e,c),(n,e,f),(n,b,c),(n,b,f),(n,c,f)，共12種，所以一個(gè)學(xué)生恰好選到“物化生”組合的概率為P=1則6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，符合二項(xiàng)分布B(6,1故恰好選到“物化生”組合的人數(shù)的期望為6×1（2）由題意可得a=40,d=20；則K2所以有95％的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”.20．（12分）（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，∠PAD=π6，PD=2，

(1)證明：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若E為PC的中點(diǎn)，求二面角A?BE?C的余弦值.【解題思路】（1）在△PAD中，利用正弦定理證得∠APD=π（2）利用空間向量法，求平面ABE與平面ABE的法向量，利用兩個(gè)法向量的余弦值得到結(jié)果.【解答過程】（1）證明：在△PAD中，由2sinπ6=4所以∠APD=π2，則又PB=27，AB=4所以PB2=P因?yàn)锳B⊥AD，又AD,PA?平面PAD，AD∩PA=A，所以AB⊥平面PAD，因?yàn)锳B?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則CD∥又因?yàn)锳B⊥平面PAD，則CD⊥平面PAD，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC所在直線分別為x、y軸，平面PAD內(nèi)過點(diǎn)D且與直線AD垂直的直線為z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A4,0,0，B4,4,0，C0,4,0，P所以，BA=0,?4,0，BE=設(shè)平面ABE的法向量為u=則u?BA=?4y1設(shè)平面BCE的法向量為v=則v?BC=?4x2設(shè)二面角A?BE?C的平面角大小為θ，則cosθ=所以，二面角A?BE?C的余法值為?1421．（12分）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若過點(diǎn)P的直線PA,PB分別與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B，線段AB的中點(diǎn)為M，且直線PA,PB的傾斜角互補(bǔ)，則雙曲線上是否存在定點(diǎn)N，使得△PMN的面積為定值？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)和△PMN的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解題思路】（1）利用雙曲線的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離計(jì)算即可；（2）設(shè)直線PA,PB方程，利用其斜率表示A、B、M坐標(biāo)，得出點(diǎn)M在直線y=?32x上，從而判定PN與y=?【解答過程】（1）由題意不妨設(shè)一焦點(diǎn)為Fc,0易知雙曲線的一條漸近線為l:y=bax則點(diǎn)F到l的距離d=bc∵點(diǎn)P4,6在雙曲線C∴16a2?36∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）顯然直線PA,PB的斜率均存在且不為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為?k，直線PA的方程為y?6=kx?4聯(lián)立直線PA與雙曲線方程，得y?6=kx?4化簡(jiǎn)得3?k2x2?2k設(shè)Ax1,