2025高考總復習專項復習-概率專題二（含解析）

21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數學--概率專題二知識點一由頻率分布直方圖估計平均數,利用二項分布求分布列典例1、2022年卡塔爾世界杯正賽在北京時間11月21日-12月18日進行，共有32支球隊獲得比賽資格．賽場內外，豐富的中國元素成為世界杯重要的組成部分：“中國制造”的盧賽爾體育場將見證新的世界冠軍產生，中國企業(yè)成為本屆世界杯最大贊助商，世界杯周邊商品七成“義烏造”．某企業(yè)還開展了豐富多彩的宣傳和教育活動，努力讓大家更多的了解世界杯的相關知識，并倡議大家做文明球迷．該企業(yè)為了解廣大球迷對世界杯知識的知曉情況，在球迷中開展了網上問卷調查，球迷參與度極高，現從大批參與者中隨機抽取200名幸運球迷，他們得分（滿分100分）數據的頻率分布直方圖如圖所示：（1）若用樣本來估計總體，根據頻率分布直方圖，求m的值，并計算這200人得分的平均值（同一組數據用該區(qū)間中點值作為代表）；（2）該企業(yè)對選中的200名幸運球迷組織抽獎活動：每人可獲得3次抽獎機會，且每次抽中價值為100元紀念品的概率均為，未抽中獎的概率為，現有幸運球迷張先生參與了抽獎活動，記Y為他獲得紀念品的總價值，求Y的分布列和數學期望．隨堂練習：青少年近視問題備受社會各界廣泛關注，某研究機構為了解學生對預防近視知識的掌握程度，對某校學生進行問卷調查，并隨機抽取200份問卷，發(fā)現其得分（滿分：100分）都在區(qū)間中，并將數據分組，制成如下頻率分布表：分數頻率00.10（1）試估計這200份問卷得分的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）用樣本估計總體，用頻率估計概率，從該校學生中隨機抽取4人深入調查，設X為抽取的4人中得分在的人數，求的分布列與數學期望．典例2、第屆冬季奧林匹克運動會，于年月在北京市和張家口市聯合舉行．某校寒假期間組織部分滑雪愛好者參加冬令營集訓．訓練期間，冬令營的同學們都參加了“單板滑雪”這個項目相同次數的訓練測試，成績分別為、、、、五個等級，分別對應的分數為、、、、．甲、乙兩位同學在這個項目的測試成績統(tǒng)計結果如圖所示．（1）根據上圖判斷，甲、乙兩位同學哪位同學的單板滑雪成績更穩(wěn)定？（結論不需要證明）（2）求甲單板滑雪項目各次測試分數的眾數和平均數；（3）若甲、乙再同時參加兩次測試，設甲的成績?yōu)榉植⑶乙业某煽優(yōu)榉只蚍值拇螖禐椋蟮姆植剂校l率當作概率使用）．

隨堂練習：“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心，據此，某網站調查了人們對生態(tài)文明建設的關注情況，調查數據表明，參與調查的人員中關注生態(tài)文明建設的約占80%.現從參與調查的關注生態(tài)文明建設的人員中隨機選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這200人的平均年齡（每一組用該組區(qū)間的中點值作為代表）；（2）現在要從年齡在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查，求抽取的3人中至少1人的年齡在第1組中的概率；（3）用頻率估計概率，從所有參與生態(tài)文明建設關注調查的人員（假設人數很多，各人是否關注生態(tài)文明建設互不影響）中任意選出3人，設這3人中關注生態(tài)文明建設的人數為X，求隨機變量X的分布列.典例3、某工廠為了檢測一批新生產的零件是否合格，從中隨機抽測100個零件的長度d（單位：）．該樣本數據分組如下：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．經檢測，樣本中d大于61的零件有13個，長度分別為61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，62.6.（1）求頻率分布直方圖中a，b，c的值及該樣本的平均長度（結果精確到，同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）；（2）視該批次樣本的頻率為總體的概率，從工廠生產的這批新零件中隨機選取3個，記ξ為抽取的零件長度在的個數，求ξ的分布列和數學期望；

隨堂練習：新高考模式下，數學試卷不分文理卷，學生想得高分比較困難．為了調動學生學習數學的積極性，提高學生的學習成績，張老師對自己的教學方法進行改革，經過一學期的教學實驗，張老師所教的名學生，參加一次測試，數學學科成績都在內，按區(qū)間分組為，，，，，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于分（百分制）為優(yōu)秀．（1）求這名學生的平均成績（同一區(qū)間的數據用該區(qū)間中點值作代表）；（2）按優(yōu)秀與非優(yōu)秀用分層抽樣方法隨機抽取名學生座談，再在這名學生中，選名學生發(fā)言，記優(yōu)秀學生發(fā)言的人數為隨機變量，求的分布列和期望．知識點二計算古典概型問題的概率,利用互斥事件的概率公式求概率,寫出簡單離散型隨機變量分布列,求離散型隨機變量的均值典例4、甲、乙兩個學校進行球類運動比賽,比賽共設足球、籃球、排球三個項目,每個項目勝方得100分,負方得0分,沒有平局,三個項目比賽結束后,總得分高的學校獲得冠軍,已知甲校在三個項目中獲勝的概率分別為0.4,0.6,0.5,各項目比賽互不影響.（1）求乙獲得冠軍的概率;（2）用表示甲校的總得分,求的分布列與期望.

隨堂練習：有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：雙方每次游戲均從裝有5個球的袋中（3個白球和2個黑球）輪流摸出1球（摸后不放回），摸到第2個黑球的人獲勝，同時結束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準備下一次游戲.（1）分別求先摸球者3輪獲勝和5輪獲勝的概率；（2）小李和小張準備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小李先摸球，并且規(guī)定某一次游戲輸者在下一次游戲中先摸球.每次游戲獲勝得1分，失敗得0分.記3次游戲中小李的得分之和為X，求X的分布列和數學期望.

典例5、我市擬建立一個博物館，采取競標的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經過層層師選，甲?乙兩家建筑公司進入最后的招標．現從建筑設計院聘請專家設計了一個招標方案：兩家公司從6個招標問題中隨機抽取3個問題，已知這6個招標問題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲?乙兩家公司對每題的回答都是相互獨立，互不影響的．（1）求甲公司至少答對2道題目的概率；（2）請從期望和方差的角度分析，甲?乙兩家哪家公司競標成功的可能性更大？

隨堂練習：某社區(qū)為豐富居民的業(yè)余文化生活，打算在周一到周五連續(xù)為該社區(qū)居民舉行“社區(qū)音樂會”，每晚舉行一場，但若遇到風雨天氣，則暫停舉行.根據氣象部門的天氣預報得知，在周一到周五這五天的晚上，前三天每天出現風雨天氣的概率均為，后兩天每天出現風雨天氣的概率均為，每天晚上是否出現風雨天氣相互獨立.已知前兩天的晚上均出現風雨天氣的概率為，且這五天至少有一天晚上出現風雨天氣的概率為.（1）求該社區(qū)能舉行4場音樂會的概率；（2）求該社區(qū)舉行音樂會場數的分布列和數學期望.

典例6、足球比賽兩隊踢平，需要通過點球決勝。1、撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數X的分布列和期望；2、好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲?乙?丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住．記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數列；②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?/p>

隨堂練習：為弘揚中國傳統(tǒng)文化，山東電視臺舉行國寶知識大賽，先進行預賽，規(guī)則如下：①有易、中、難三類題，共進行四輪比賽，每輪選手自行選擇一類題，隨機抽出該類題中的一個回答；②答對得分，答錯不得分；③四輪答題中，每類題最多選擇兩次．四輪答題得分總和不低于10分進入決賽．選手甲答對各題是相互獨立的，答對每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對概率答對得分345（1）若甲前兩輪都選擇了中等題，并只答對了一個，你認為他后兩輪應該怎樣選擇答題并說明理由；（2）甲四輪答題中，選擇了一個容易題、兩個中等題、一個難題，若容易題答對，記甲預賽四輪得分總和為X，求隨機變量X的數學期望．人教A版數學--概率專題二答案典例1、答案：（1），（2）分布列見解析，解：（1），解得..由題知：，，，，，的分布列.隨堂練習：答案：（1）（2）答案見解析解：（1）由頻率分布表可得，解得，所以這200份問卷得分的平均值為：；由題意可得的可能取值為，則，又，則的分布列為：典例2、答案：（1）乙比甲的單板滑雪成績更穩(wěn)定（2）眾數為分，平均數為分（3）分布列答案見解析解：（1）由圖可知，乙比甲的單板滑雪成績更穩(wěn)定.（2）因為甲單板滑雪項目測試中分和分成績的頻率之和為，分成績的頻率為，所以，甲單板滑雪項目各次測試分數的眾數為分，測試成績分的頻率為，所以，甲單板滑雪項目各次測試分數的平均數為.（3）由題意可知，在每次測試中，甲的成績?yōu)榉?，并且乙的成績?yōu)榉只蚍值母怕蕿椋?，依題意，，所以，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：隨堂練習：答案：（1）41.5（歲）．（2）（3）分布列見解析解：（1）由小矩形面積和等于1可得：，∴a＝0.035∴平均年齡為（歲）．（2）第1組總人數為200×0.01×10＝20，第2組總人數為200×0.015×10＝30故用分層抽樣后，第1組抽取人，第2組抽取人∴再從這5人中抽取3人，設至少1人的年齡在第1組中的事件為A，其概率為：.（3）由題意可知X服從二項分布X～B（3，），，，.∴X的分布列為：X0123P典例3、答案：（1），，，60（2）分布列見解析，2.1解：（1）由題意可得，，所以，，..（2）由（1）可知從該工廠生產的新零件中隨機選取1件，長度d在的概率且隨機變量ξ服從二項分布，所以，，，，所以隨機變量ξ分布列為ξ0123P0.0270.1890.4410.343.隨堂練習：答案：（1）（2）分布列見解析；期望解：（1）名學生的平均成績?yōu)?（2）根據頻率分布直方圖知：優(yōu)秀學員對應的頻率為，則非優(yōu)秀學員對應的頻率為，抽取的名學生中，有優(yōu)秀學生人，非優(yōu)秀學生人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數學期望.典例4、答案：（1）0.5（2）分布列見解析,150解:（1）由題知,乙獲得冠軍時,需要乙在兩個項目中獲勝或三個項目均獲勝,乙在兩個項目中獲勝的概率,乙在三個項目均獲勝的概率,故乙獲得冠軍的概率;（2）由題分析可得,的所有可能取值為0,100,200,300,,,,,所以的分布列如下：01002003000.120.380.380.12的期望.隨堂練習：答案：（1）；.（2）分布列見解析，.解：（1）設“3輪獲勝”為事件，“5輪獲勝”為事件，3輪：白黑黑：，黑白黑：，所以，先摸球者3輪獲勝的概率為若進行5輪，前四個球的情況為：黑白白白：，白黑白白：，白白黑白：，白白白黑：，所以，先摸球者5輪獲勝的概率為（2）由（1）得先摸球者獲勝的概率為.X的所有可能取值為：0?1?2?3，，，，，所以X的分布列為：X0123P則.典例5、答案：（1）；（2）甲公司競標成功的可能性更大．解：（1）由題意可知，甲公司至少答對2道題目可分為答對兩題或者答對三題；所求概率（2）設甲公司正確完成面試的題數為，則的取值分別為．．則的分布列為：123，；設乙公司正確完成面試的題為，則取值分別為．，，，則的分布列為：0123．．由可得，甲公司競標成功的可能性更大．隨堂練習：答案：（1）（2）分布列見解析，解：（1）由已知可得，，又，解得設表示第i天可以舉行音樂會，B表示該社區(qū)能舉行4場音樂會則（2）的可能取值為0，1，2，3，4，5；所以的分布列為012345P從而數學期望為：典例6、答案：（）1分布列見解析；期望為（2）①證明見解析；②解：（1）方法一：的所有可能取值為，在一次撲球中，撲到點球的概率，所以，，所以的分布列如下：0123方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為，門將在前三次撲到點球的個數可能的取值為，易知，所以，故的分布列為：0123所以的期望．（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，即，又，所以是以為首項，公比為的等比數列．