2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-概率專題六（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--概率專題六知識(shí)點(diǎn)一寫出簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量分布列,獨(dú)立事件的乘法公式,求離散型隨機(jī)變量的均值,均值的實(shí)際應(yīng)用典例1、猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有，，三類歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三類歌曲中各隨機(jī)選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金.假設(shè)甲猜對(duì)每類歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三類歌曲的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金如下表：歌曲類別猜對(duì)的概率0.80.5獲得的獎(jiǎng)勵(lì)基金額/元100020003000（1）求甲按“，，”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名的概率；（2）若，設(shè)甲按“，，”的順序猜歌名獲得的獎(jiǎng)勵(lì)基金總額為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）寫出的一個(gè)值，使得甲按“，，”的順序猜歌名比按“，，”的順序猜歌名所得獎(jiǎng)勵(lì)基金的期望高.（結(jié)論不要求證明）

隨堂練習(xí)：為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村的全面振興，某地區(qū)依托鄉(xiāng)村特色優(yōu)勢(shì)資源，鼓勵(lì)當(dāng)?shù)剞r(nóng)民種植中藥材，批發(fā)銷售．根據(jù)前期分析多年數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，某品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝種植成本為5000元，此品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝產(chǎn)量與此品種中藥材的國(guó)內(nèi)市場(chǎng)批發(fā)價(jià)格均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：該地區(qū)此品種中藥材各年的平均每畝產(chǎn)量情況各年的平均每畝產(chǎn)量頻率0.250.75（注：各年的平均每畝純收入=各年的平均每畝產(chǎn)量×批發(fā)價(jià)格-各年的平均每畝種植成本）（1）以頻率估計(jì)概率，試估計(jì)該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材獲得最高純收入的概率；（2）設(shè)該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材的平均每畝純收入為X元，以頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）已知該地區(qū)某農(nóng)民有一塊土地共10畝，該塊土地現(xiàn)種植其他農(nóng)作物，年純收入最高可達(dá)到45000元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該農(nóng)民下一年是否應(yīng)該選擇在這塊土地種植此品種中藥材？說明理由．典例2、自2019年底開始，一種新型冠狀病毒COVID-19開始肆虐全球.人感染了新型冠狀病毒后初期常見發(fā)熱乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹瀉等癥狀，嚴(yán)重者可致呼吸困難、臟器衰竭甚至死亡.篩查時(shí)可通過鼻拭子或咽拭子進(jìn)行核酸檢測(cè)判斷.某定點(diǎn)醫(yī)院對(duì)來院就診的發(fā)熱病人的鼻拭子進(jìn)行化驗(yàn)，現(xiàn)A、B、C、D、E，F(xiàn)六人均出現(xiàn)了發(fā)熱咳嗽等癥狀，經(jīng)過初次鼻拭子化驗(yàn)已確定其中有且僅有一人罹患新冠肺炎，其余五人只是普通流感，但化驗(yàn)報(bào)告不慎遺失，現(xiàn)需要再次化驗(yàn)以確定六人中唯一的陽(yáng)性患者的姓名.假設(shè)在接受化驗(yàn)的鼻拭子樣本中每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果是等可能的，且每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的.下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患者為止；方案乙：混合化驗(yàn)，先任取兩人鼻拭子樣本混合在一起化驗(yàn)，若混合樣本化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則在這2人中任選一人進(jìn)行化驗(yàn)；若結(jié)果呈陰性，則再任取兩人鼻拭子樣本混合重復(fù)第一次混合化驗(yàn)過程；若結(jié)果還是陰性，則在最后兩份血樣中任選一人進(jìn)行化驗(yàn)；（1）求方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)的分布列及其期望.（2）求方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率.

隨堂練習(xí)：首屆以進(jìn)口為主題的國(guó)家級(jí)博覽會(huì)在中國(guó)拉開大幕，本次博覽會(huì)包括企業(yè)產(chǎn)品展、國(guó)家貿(mào)易投資展．其中企業(yè)產(chǎn)品展分為7個(gè)展區(qū)，每個(gè)展區(qū)統(tǒng)計(jì)了備受關(guān)注百分比，如下表：展區(qū)類型智能及高端裝備消費(fèi)電子及家電汽車服裝服飾及日用消費(fèi)品食品及農(nóng)產(chǎn)品醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健服務(wù)貿(mào)易展區(qū)的企業(yè)數(shù)（家）40060706501670300450備受關(guān)注百分比25％20％10％23％18％8％24％備受關(guān)注百分比指：一個(gè)展區(qū)中受到所有相關(guān)人士關(guān)注（簡(jiǎn)稱備受關(guān)注）的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的企業(yè)數(shù)的比值．（1）從企業(yè)產(chǎn)品展7個(gè)展區(qū)的企業(yè)中隨機(jī)選取1家，求這家企業(yè)是選自“智能及高端裝備”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率；（2）從“消費(fèi)電子及家電”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中，任選2家接受記者采訪．記X為這2家企業(yè)中來自于“消費(fèi)電子及家電”展區(qū)的企業(yè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列．典例3、中華獼猴桃果樹喜濕怕旱，喜水怕澇，在我國(guó)種植范圍較廣.某地一生態(tài)農(nóng)業(yè)公司建立了一個(gè)大型獼猴桃種植基地，該地區(qū)雨量充沛，陽(yáng)光與溫度條件也對(duì)果樹的成長(zhǎng)十分有利，但干旱或雨量過大也會(huì)造成損失.公司管理人員依據(jù)往年獼猴桃生長(zhǎng)期30個(gè)周降雨量（單位：）的數(shù)據(jù)，得到如下莖葉圖（表中的周降雨量為一周內(nèi)降雨量的總和）.另外，獼猴桃果樹發(fā)生災(zāi)害與周降雨量的關(guān)系如下表所示.周降雨量（單位：）獼猴桃災(zāi)害等級(jí)輕災(zāi)正常輕災(zāi)重災(zāi)根據(jù)上述信息，解答如下問題.（1）根據(jù)莖葉圖中所給的數(shù)據(jù)，寫出周降雨量的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）以收集數(shù)據(jù)的頻率作為概率.①估計(jì)該地區(qū)在今年發(fā)生重災(zāi)、輕災(zāi)以及無災(zāi)害的概率；②若無災(zāi)害影響，每畝果樹獲利6000元：若受輕災(zāi)害影響，則每畝損失5400元；若受重災(zāi)害影響則每畝損失10800元.為保護(hù)獼猴桃產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，該地區(qū)農(nóng)業(yè)部門有如下三種防控方案；方案1：防控到輕災(zāi)害，每畝防控費(fèi)用400元.方案2：防控到重災(zāi)害，每畝防控費(fèi)用1080元.方案3：不采取防控措施.問：如從獲利角度考慮，哪種方案比較好？說明理由.

隨堂練習(xí)：近年來，新能源汽車受到越來越多消費(fèi)者的青睞．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2021年12月至2022年5月全國(guó)新能源市場(chǎng)三種車型月度零售銷量數(shù)據(jù)如下（單位：萬輛）：12月1月2月3月4月5月轎車28.421.315.426.016.721.0MPVSUV18.113.711.718.111.314.5（1）從2021年12月至2022年5月中任選1個(gè)月份，求該月零售銷量超過這6個(gè)月該車型月度零售銷量平均值的概率；（2）從2022年1月至2022年5月中任選3個(gè)月份，將其中的月度零售銷量相比上個(gè)月份增加的月份個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記2021年12月至2022年5月轎車月度零售銷量數(shù)據(jù)的方差為，同期各月轎車與對(duì)應(yīng)的月度零售銷量分別相加得到6個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，寫出與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）知識(shí)點(diǎn)二計(jì)算幾個(gè)數(shù)的平均數(shù),計(jì)算古典概型問題的概率,獨(dú)立事件的乘法公式典例4、單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽中的一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)入決賽階段的12名運(yùn)動(dòng)員按照預(yù)賽成績(jī)由低到高的出場(chǎng)順序輪流進(jìn)行三次滑行，裁判員根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的騰空高度、完成的動(dòng)作難度和效果進(jìn)行評(píng)分.最終取每站三次滑行成績(jī)的最高分作為該站比賽成績(jī).現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在2021賽季單板滑雪U型池世界杯分站比賽成績(jī)?nèi)缦卤恚悍终具\(yùn)動(dòng)員甲的三次滑行成績(jī)運(yùn)動(dòng)員乙的三次滑行成績(jī)第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70（1）從上表5站中隨機(jī)選取一站，求在該站甲運(yùn)動(dòng)員的比賽成績(jī)高于乙運(yùn)動(dòng)員的比賽成績(jī)的概率；（2）設(shè)甲乙成績(jī)相互獨(dú)立，從甲的5站比賽成績(jī)和乙的5站比賽成績(jī)中分別隨機(jī)選取一個(gè)，求兩人的比賽成績(jī)中至少有一人高于88分的概率；（3）甲5站的比賽成績(jī)的平均值為，甲乙5站比賽成績(jī)的總平均值記為，比較與的大小（直接寫出結(jié)果）.

隨堂練習(xí)：某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A、B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計(jì)得分，求的值；（2）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；（3）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必說明理由．

典例5、某工廠兩條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)甲、乙兩種元件，元件質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于76為正品，小于76為次品.現(xiàn)分別從兩條生產(chǎn)線隨機(jī)抽取元件甲和元件乙各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)試指標(biāo)元件甲12840337元件乙17840287（1）試分別估計(jì)生產(chǎn)一件元件甲、一件元件乙為正品的概率；（2）生產(chǎn)一件元件甲，若是正品則盈利90元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件乙，若是正品則盈利100元，若是次品則虧損20元，則在（1）的前提下：①求生產(chǎn)5件元件乙所獲得的利潤(rùn)不少于300的概率；②記X，Y分別為生產(chǎn)1000件元件甲和1000件元件乙所得的總利潤(rùn)，試比較和的大小.（結(jié)論不要求證明）

隨堂練習(xí)：汽車租賃公司為了調(diào)查兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)51030351532B型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)1420201615105（1）從出租天數(shù)為3天的汽車（僅限兩種車型）中隨機(jī)抽取一輛，估計(jì)這輛汽車恰好是A型車的概率；（2）根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（用頻率估計(jì)概率），求該公司一輛型車，一輛型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率；（3）如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤(rùn)相同，該公司需要從A，B兩種車型中購(gòu)買一輛，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給出建議應(yīng)該購(gòu)買哪一種車型，并說明你的理由.

典例6、某超市從年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機(jī)抽取個(gè)，并按、、、、分組，得到頻率分布直方圖如下：假設(shè)甲、乙兩種酸奶獨(dú)立銷售且日銷售量相互獨(dú)立.（1）估計(jì)在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個(gè)高于箱且另一個(gè)不高于箱的概率；（2）設(shè)表示在未來天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于箱的天數(shù)，以日銷售量落入各組的頻率作為概率，求的數(shù)學(xué)期望；（3）記甲種酸奶與乙種酸奶口銷售量（單位：箱）的方差分別為、，試比較與的大小（只需寫出結(jié)論）.

隨堂練習(xí)：為慶祝元旦，班委會(huì)決定組織游戲，主持人準(zhǔn)備好甲?乙兩個(gè)袋子.甲袋中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙袋中有4個(gè)白球，4個(gè)黑球.參加游戲的同學(xué)每抽出1個(gè)白球須做3個(gè)俯臥撐，每抽出1個(gè)黑球，須做6個(gè)俯臥撐方案①：參加游戲的同學(xué)從甲?乙兩個(gè)袋子中各隨機(jī)抽出1個(gè)球；方案②：主持人隨機(jī)將甲袋中的2個(gè)球放入乙袋，然后參加游戲的同學(xué)從乙袋中隨機(jī)抽出1個(gè)球；方案③：主持人隨機(jī)將乙袋中的2個(gè)球放入甲袋，然后參加游戲的同學(xué)從甲袋中隨機(jī)抽出1個(gè)球.（1）若同學(xué)小北選擇方案①，求小北做6個(gè)俯臥撐的概率；（2）若同學(xué)小北選擇方案，設(shè)小北做俯臥撐的個(gè)數(shù)為，求的分布列；（3）如果你可以選擇按方案②或方案③參加游戲，且希望少做俯臥撐，那么你應(yīng)該選擇方案②還是方案③，還是兩個(gè)方案都一樣？（直接寫出結(jié)論）人教A版數(shù)學(xué)--概率專題六答案典例1、答案：（1）0.4（2）分布列見解析，期望為1900（3）均可解：（1）設(shè)“甲按“，，”的順序猜歌名至少猜對(duì)兩首歌名”為事件，則.所以，甲按“，，”的順序猜歌名至少猜對(duì)兩首歌名的概率為0.4.（2）的所有可能取值為0，1000，3000，6000，，，，.所以隨機(jī)變量的分布列為：01000300060000.1所以.（3）證明：設(shè)甲按“，，”的順序猜歌名所得獎(jiǎng)勵(lì)基金的總額為,甲按“，，”的順序猜歌名所得獎(jiǎng)勵(lì)基金的總額為則的所有可能取值為0，3000，5000，6000，，，，，所以，則的所有可能取值為0，1000，3000，6000，所以要，即，解得，因此均符合要求.隨堂練習(xí)：答案:（1）；（2）分布列見解析，期望為5925元；（3）應(yīng)該，理由見解析.解：（1）要使此品種中藥材獲得最高純收入，則每畝產(chǎn)量和批發(fā)價(jià)格均要最高，所以其概率為.（2）由題意，每畝產(chǎn)量×批發(fā)價(jià)格-平均每畝種植成本，每畝產(chǎn)量400千克，批發(fā)價(jià)格20元/千克：元；每畝產(chǎn)量400千克，批發(fā)價(jià)格25元/千克：元；每畝產(chǎn)量500千克，批發(fā)價(jià)格20元/千克：元；每畝產(chǎn)量500千克，批發(fā)價(jià)格25元/千克：元；所以X的可能值為，且，，，則X的分布列如下：3000500075000.10.450.45所以元.（3）由（2）知：種植中藥材的每畝期望年純收入為5925元，而種植其他農(nóng)作物每畝年純收入為4500元，所以應(yīng)該選擇種植此品種中藥材.典例2、答案：（1）分布列見解析，期望為；（2）.解：（1）的可能取值為，，，，，，所以的分布列為：12345所以；（2）的可能取值為，，，所以隨堂練習(xí)：答案:（1）（2）解：（1）7個(gè)展區(qū)企業(yè)數(shù)共有家，其中備受關(guān)注的智能及高端裝備企業(yè)共家，設(shè)從各展區(qū)隨機(jī)選1家企業(yè)，這家企業(yè)是備受關(guān)注的智能及高端裝備為事件，所以.（2）由表格可知：消費(fèi)電子及家電備受關(guān)注的企業(yè)有家，醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健備受關(guān)注的企業(yè)有家，共家.所以的可能取值為.則；；.所以隨機(jī)變量的分布列為：典例3、答案：（1）中位數(shù)為12.5，眾數(shù)為10；（2）①估計(jì)該地在今年發(fā)生重、輕害的概率分別為和，無災(zāi)害概率為；②選擇方案一比較好；答案見解析.解:（1）根據(jù)莖葉圖，可得中位數(shù)為12.5，眾數(shù)為10（2）①根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得該地區(qū)周降雨量（單位：）的概率：，，，，（輕災(zāi)），（重災(zāi)）因此估計(jì)該地在今年發(fā)生重、輕害的概率分別為和，無災(zāi)害概率為②方案1：設(shè)每畝的獲利為（元），則的可能取值為600，，則的分布列如下：6000則（元），則每畝凈利潤(rùn)為（元）；方案2：設(shè)每畝的獲利為（元），則的可能取值為6000元，于是，，凈利潤(rùn)為（元）；方案3：設(shè)每畝的獲利為（元），則的可能取值為6000，，，則的分布列如下：6000則（元），于是每畝虧損為1400（元）；由此得出，方案一的獲利最多，所以選擇方案一比較好.隨堂練習(xí)：答案:（1）（2）分布列見解析，（3）解：（1）這6個(gè)月MPV車型月度零售銷量平均值為故MPV月度零售銷量超過的月份為12月，4月，5月，所以從2021年12月至2022年5月中任選1個(gè)月份，該月MPV零售銷量超過的概率為.（2）從2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售銷量相比上個(gè)月份增加的月份有2個(gè)：3月和5月，所以的所有可能取值為，則，所以的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望.（3）依題意，2021年12月至2022年5月轎車月度零售銷量分別為，其平均值為，所以轎車各月度零售銷量與平均值的差約為，所以，同期各月轎車與對(duì)應(yīng)的月度零售銷量分別相加得到6個(gè)數(shù)據(jù)為：，其平均值為，所以轎車與對(duì)應(yīng)的各月度零售銷量與平均值的差為，所以，故.典例4、答案：（1）；（2）；（3）<.解：（1）由表格數(shù)據(jù)知：各站甲乙對(duì)應(yīng)成績(jī)?nèi)缦?，甲乙?站86.2088.40第2站92.8088.60第3站87.5089.10第4站89.5088.20第5站86.0087.70其中第2、4站甲成績(jī)比乙高，故隨機(jī)選取一站，甲運(yùn)動(dòng)員成績(jī)高于乙運(yùn)動(dòng)員的概率.（2）由（1）知：甲成績(jī)低于88分有3站,，乙成績(jī)低于88分有1站，所以抽到甲低于88分的概率為，抽到乙低于88分的概率為，抽到甲乙都低于88分的概率為，則兩人至少有一人高于88分的概率為.（3）由（1），，，所以.隨堂練習(xí)：答案:（1）（2）分布列見解析（3）小明應(yīng)選擇先回答類問題解：（1）依題意可得（2）由已知可得，的所有可能取值為0，20，100，則，，所以的分布列為：0201000.20.320.48（2）由（2）可知小明先回答類問題累計(jì)得分的期望為，若小明先回答類問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為0，80，100，，，，則的期望為，因?yàn)?，所以為使累?jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答類問題．典例5、答案：（1）甲為正品的概率，乙為正品的概率（2）①；②解：（1）由已知100件甲元件的樣本中正品的頻率為，100件乙元件的樣本中正品的頻率為，所以生產(chǎn)一件元件甲為正品的概率為，（2）生產(chǎn)一件元件乙為正品的概率為；①設(shè)生產(chǎn)的5件乙元件中正品件數(shù)為，則有次品件，由題意知得到，設(shè)“生產(chǎn)5件乙元件所獲得的利潤(rùn)不少于300元”為事件，則．②設(shè)生產(chǎn)一件甲元件的利潤(rùn)為，則的所有取值為90,-10，則，，所以的分布列為：90-10P，所以設(shè)生產(chǎn)一件乙元件的利潤(rùn)為，則的所有取值為100,-20，則，，所以的分布列為：100-20P，所以所以隨堂練習(xí)：答案:（1）0.6（2）（3）,理由見解析.解：（1）出租天數(shù)為3天的汽車型車有30輛，型車20輛．從中隨機(jī)抽取一輛，這輛汽車是型車的概率約為．（2）設(shè)“事件表示一輛型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為天”，“事件表示一輛型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為天”，其中，，2，，