2025高考總復(fù)習(xí)專項復(fù)習(xí)-圓錐曲線的方程專題一

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題一知識點一求橢圓中的最值問題典例1、如圖，橢圓的左、右焦點為，過的直線與橢圓相交于、兩點.（1）若，且求橢圓的離心率.（2）若，求的最大值和最小值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點分別為，橢圓E的離心率為，且通徑長為1．（1）求E的方程；（2）直線l與E交于M，N兩點（M，N在x軸的同側(cè)），當時，求四邊形面積的最大值．典例2、已知橢圓：與拋物線：有相同的焦點，拋物線的準線交橢圓于，兩點，且.（1）求橢圓與拋物線的方程；（2）為坐標原點，過焦點的直線交橢圓于，兩點，求面積的最大值.

隨堂練習(xí)：在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，過點，且是橢圓的內(nèi)接三角形.（1）若點為橢圓的上頂點，且原點為的垂心，求線段的長；（2）若點為橢圓上的一動點，且原點為的重心，求原點到直線距離的最小值.典例3、在平面直角坐標系中，已知點，，過點的動直線與過點的動直線的交點為P，，的斜率均存在且乘積為，設(shè)動點Р的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程;（2）若點M在曲線C上，過點M且垂直于OM的直線交C于另一點N，點M關(guān)于原點O的對稱點為Q.直線NQ交x軸于點T，求的最大值.

隨堂練習(xí)：對于橢圓，有如下性質(zhì)：若點是橢圓外一點，，是橢圓的兩條切線，則切點A，B所在直線的方程是，可利用此結(jié)論解答下列問題．已知橢圓C：和點，過點P作橢圓C的兩條切線，切點是A，B，記點A，B到直線（O是坐標原點）的距離是，．（1）當時，求線段的長；（2）求的最大值．

知識點二根據(jù)橢圓過的點求標準方程,橢圓中的直線過定點問題典例4、已知橢圓的長軸長為，且經(jīng)過點.（1）求C的方程；（2）過點斜率互為相反數(shù)的兩條直線，分別交橢圓C于A，B兩點（A，B在x軸同一側(cè)）.求證：直線過定點，并求定點的坐標.隨堂練習(xí)：已知橢圓：過點，過右焦點作軸的垂線交橢圓于，兩點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）點，在橢圓上，且.證明：直線恒過定點.典例5、已知橢圓經(jīng)過點，其右頂點為．（1）求橢圓的方程；（2）若點、在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，證明直線經(jīng)過定點．隨堂練習(xí)：已知F是橢圓的左焦點，焦距為4，且C過點．（1）求C的方程；（2）過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1與C交于A，B兩點，l2與C交于D，E兩點，記AB的中點為M，DE的中點為N，試判斷直線MN是否過定點，若過點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．典例6、已知橢圓T：經(jīng)過以下四個不同點中的某三個點：，，，．（1）求橢圓T的方程；（2）將橢圓T上所有點的縱坐標縮短為原來的倍，橫坐標不變，得到橢圓E．已知M，N兩點的坐標分別為，，點F是直線上的一個動點，且直線，分別交橢圓E于G，H（G，H分別異于M，N點）兩點，試判斷直線是否恒過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．隨堂練習(xí)：已知橢圓：（）的左、右頂點分別為，，為坐標原點，直線：與的兩個交點和，構(gòu)成一個面積為的菱形.（1）求的方程；（2）圓過，，交于點，，直線，分別交于另一點，.①求的值；②證明：直線過定點.人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題一答案典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.解:（1），因為。所以，所以，所以（2）由于，得，則.①若垂直于軸，則，所以，所以②若與軸不垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為由得，方程有兩個不等的實數(shù)根.設(shè)，.,=，所以當直線垂于軸時，取得最大值當直線與軸重合時，取得最小值隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）2.解:（1）依題意可知，解得故橢圓的方程為．（2）延長交E于點，由（1）可知，設(shè)，設(shè)的方程為，由得，故．設(shè)與的距離為d，則四邊形的面積為S，，又因為，當且僅當，即時，等號成立，故四邊形面積的最大值為2．典例2、答案：（1）橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；（2）最大值為1.解：（1）因為，所以不妨設(shè)的坐標為，的坐標為，所以有：，∴，，∴橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；（2）由（1）可知：的坐標為：，設(shè)直線的方程為：，到的距離為，則，聯(lián)立可得：，則，，當且僅當時取等號，故面積的最大值為1.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）設(shè)焦距為，由題意知：，因此，橢圓的方程為：；由題意知：，故軸，設(shè)，則，，，解得：或，，不重合，故，，故；（2）設(shè)中點為，直線與橢圓交于，兩點，為的重心，則，當斜率不存在時，點在軸上，所以此時點在長軸的端點處由,則，則到直線的距離為1；當斜率存在時，設(shè)：，，，則，所以，所以，即也即，則，則：，，代入式子得：，設(shè)到直線的距離為，則時，；綜上，原點到直線距離的最小值為.典例3、答案：（1）（2）解：（1）設(shè)點坐標為，定點，，直線與直線的斜率之積為，，（2）設(shè)，，，則，，所以又，所以，又即，則直線：，直線：，由，解得，即，所以令，則，所以因為，當且僅當即時取等號，所以的最大值為；隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）．解:（1）當時，直線方程為，聯(lián)立，得．設(shè)，，則，．則．（2）直線：，即，直線：．設(shè)，，則，記，則，法一：常規(guī)換元法令，，則，當即時取得等號，則的最大值是．法二：分離常數(shù)法，顯然時不取得最大值，則，當時取得等號，則的最大值是．典例4、答案：（1）；（2）證明見解析，.解:（1）由題意得，得，所以橢圓方程為：，將代入橢圓方程得：，解得，故橢圓C的方程為（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.設(shè)A，B的坐標分別為，則，且，因為直線，斜率互為相反數(shù)，即，所以，則，即，即，所以，化簡得，所以直線的方程為，故直線過定點隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由已知得當時，，又因為橢圓過點，則，聯(lián)立解得，故橢圓的標準方程為；（2）證明設(shè)點，，因為，即，即.*當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為.代入橢圓方程消去得，，，，根據(jù)，.代入*整理，得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，.即，當時，直線方程為.過點，不符合條件.當時，直線方程為，故直線恒過定點.當直線的斜率不存在時，令點，此時，又.可得（舍去）或.當時，與點重合，與已知條件不符，∴直線的斜率一定存在，故直線恒過定點.典例5、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由題意可知，，將點的坐標代入橢圓的方程可得，可得，因此，橢圓的方程為.（2）證明：若軸，則點、關(guān)于軸對稱，則直線與也關(guān)于軸對稱，從而直線與的斜率互為相反數(shù)，不合乎題意.設(shè)直線方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，可得，由韋達定理可得，，因為，整理可得，即，化簡得，即，可得或.當時，直線的方程為，此時直線過點，不合乎題意；當時，直線的方程為，此時直線過定點，合乎題意.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）過定點，定點坐標為解：（1）依題意，由解得，所以橢圓的方程為.（2）由題意知，當其中一條的斜率不存在時，另外一條的斜率為，此時直線為軸；當?shù)男甭识即嬖谇也粸闀r，設(shè)，設(shè)，聯(lián)立，整理得，，，則，所以的中點，同理由，可得的中點，則，所以直線的方程為，化簡得，故直線恒過定點．綜上，直線過定點.典例6、答案：（1）；（2）直線恒過定點.解:（1）由題意可得A，C一定在橢圓上，即①，若B在橢圓上，則②，由①②可得，不存在，所以D在橢圓上，可得③，由①③可得，，所以橢圓的方程為：；（2）將橢圓T上所有點的縱坐標縮短為原來的倍，橫坐標不變，設(shè)E上的點為：，對應(yīng)的點，由題意可得，，所以，，所以E的方程，設(shè)，，，，所以直線的方程為：，直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程整理可得，所以，，即，聯(lián)立直線NF與橢圓的方程：整理可得，所以，即，所以直線的斜率為：，所以直線的方程為：，整理可得，當，.所以直線恒過定點．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）①②證明見解析解：（1）因為直線：與的兩個交點和，構(gòu)成的四邊形是菱形，所以垂直平分，所以，.設(shè)為直線與的一個交點，則菱形的面積為.因為菱形的面積為，所以，解得，即.