2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-空間向量和立體幾何專題十三（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題十三知識點一多面體與球體內(nèi)切外接問題,由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）,棱錐表面積的有關(guān)計算典例1、在高為、底面半徑為的圓錐內(nèi)作一內(nèi)接圓柱體．則圓柱體的半徑為多大時：（1）圓柱體的體積最大？（2）圓柱體的表面積最大？

隨堂練習(xí)：如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為5，該紙片上的正方形的中心為，，，，為圓上的點，，，，分別是以，，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，，，，使得，，，重合，得到四棱錐，設(shè)．（1）試把四棱錐的體積表示為的函數(shù)；（2）多大時，四棱錐的體積最大？

典例2、如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.（1）證明：平面；（2）若，設(shè)為棱的中點，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時與所成角的正切值.

隨堂練習(xí)：如圖，已知是以的直角三角形鐵皮，米，分別是邊上不與端點重合的動點，且.現(xiàn)將鐵皮沿折起至的位置，使得平面平面，連接，如圖所示.現(xiàn)要制作一個四棱錐的封閉容器，其中鐵皮和直角梯形鐵皮分別是這個封閉容器的一個側(cè)面和底面，其他三個側(cè)面用相同材料的鐵皮無縫焊接密封而成（假設(shè)制作過程中不浪費材料，且鐵皮厚度忽略不計）．（1）若為邊的中點，求制作三個新增側(cè)面的鐵皮面積是多少平方米？（2）求這個封閉容器的最大體積．典例3、蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值．

隨堂練習(xí)：雙層的溫室大棚具有很好的保溫效果，某農(nóng)業(yè)合作公司欲制作這樣的大棚用于蔬菜的種植，如圖（1）所示，工人師傅在地面上畫出一個圓，然后用鋼絲網(wǎng)編織出一個網(wǎng)狀空心球的上部分鋼結(jié)構(gòu)，使得地面上的圓為空心球的一個截面圓，同時在其外部用塑料薄膜覆蓋起來作外部保溫.如圖（1）所示，用塑料薄膜覆蓋起來的內(nèi)部保溫層鋼結(jié)構(gòu)為一個圓柱面，制作方法如下：工人師傅將圓柱面的下底面圓置于球O在地面上的截面圓內(nèi)（可與截面圓重合），把下底面的圓心固定在球O在地面上截面圓的圓心位置上，圓柱面的上底面圓的圓周固定在球的內(nèi)壁上，已知球O的半徑為3．如圖（2），取圓柱的軸截面為矩形PQRS，．（1）設(shè)為圓上任意一點，RO與底面所成的角為，將圓柱體積V表示為的函數(shù)并判斷的范圍；（2）求V的最大值．知識點二證明線面平行,面面角的向量求法典例4、如圖所示的幾何體中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F(xiàn)分別為，的中點．（1）證明：面ABCD；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

隨堂練習(xí)：已知將圓柱沿著軸截面分割，得到如圖所示的幾何體，若四邊形是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)分別是上的點，H是的中點，與交于點O，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．典例5、四棱雉中，平面，底面是等腰梯形，且，點在棱上.（1）當(dāng)是棱的中點時，求證:平面;（2）當(dāng)直線與平面所成角最大時，求二面角的大小.

隨堂練習(xí)：在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個三等分點，、、都是圓柱的母線．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值．

典例6、如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，，M，N分別是對角線BD，AE上異于端點的動點，且．（1）求證：直線平面CDE；（2）當(dāng)MN的長最小時，求二面角A-MN-D的正弦值．

隨堂練習(xí)：如圖，等腰直角△ACD的斜邊AC為直角△ABC的直角邊，E是AC的中點，F(xiàn)在BC上．將三角形ACD沿AC翻折，分別連接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，（1）證明：平面ABD；（2）若，求二面角的余弦值．空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題十三答案典例1、答案】：（1）；（2）.解:（1）當(dāng)圓柱的底面半徑為時，設(shè)圓柱體的高為，可得，所以，圓柱的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以圓柱的最大體積為.（2）由（1）可得：圓柱體的表面積則，①當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，所以函數(shù)沒有最大值；②當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）．解：（1）連接，交于點，，，四棱錐的高，∴．（2），令，，，令得，當(dāng)時，，在上遞增，當(dāng)時，，在上遞減，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值，．典例2、答案：（1）證明見解析（2）6解：（1）過點作交與點，平面平面，且兩平面的交線為平面又平面又且平面（2）過點作交與點,連接平面平面，且兩平面的交線為平面又平面到平面的距離相等且，平面又，令則，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值.如圖所示，以點為原點建立空間直角坐標系，則，所以.設(shè)與所成角為，則，則，即當(dāng)幾何體體積最大時，與所成角的正切值為6.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解:（1）由于，且，則，即，又平面平面，且平面平面，所以平面，易得，又為邊的中點，則米，米，于是得米，米，米，取的中點為，則，且米，則（平方米），（平方米），（平方米），故制作三個新增側(cè)面的鐵皮面積是平方米．（2）依題意，設(shè)米，則米，且．由，知與相似，則，得米．由（1）知，底面，則四棱錐的體積（），則，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則立方米．故這個封閉容器的最大體積是立方米．典例3、答案：（1）；（2）；解:（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個菱形的7個頂點的曲率之和，根據(jù)定義其度量值等于減去三個菱形的內(nèi)角和，再減去6個直角梯形中的兩個非直角內(nèi)角和，即蜂房曲頂空間的彎曲度為.（2）設(shè)底面正六邊形的邊長為1，如圖所示，連接AC，SH，則，設(shè)點在上底面ABCDEF的射影為O，則,令，則，菱形SAHC的面積，的面積為，令正六棱柱的側(cè)面積為定值時，蜂房的表面積為，，令得到，經(jīng)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)在處取得極小值，此時，在中，令，由余弦定理得,頂點的曲率為，其余弦值為.隨堂練習(xí)：答案：（1），（2）解：（1）由題意，，，所以，即，（2）當(dāng)P、Q點落在球面被地面所截得的圓周上時，RO與地面所成的角取得最小值為，此時，所以，所以；因為，所以令，，所以，因為，所以，所以在時單調(diào)遞減，所以時，．典例4、答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）證明：取的中點G，連接EG，F(xiàn)G，AC，因為，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因為，，所以四邊形AGFC是平行四邊形，，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因為，平面,所以平面平面ABCD，因為平面ABCD，所以平面ABCD．（2）設(shè)，由，得，且，由題意知CA，CB，兩兩垂直，以C為坐標原點，分別以CA，CB，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，由得，取，得，連接BD，因為，，，所以平面，所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）證明：由題意知，又，所以H為的中點．連接，因為為的中點，所以．又平面,平面,所以平面；易知，又平面,平面,所以平面又平面，所以平面平面．又平面，所以平面．（2）連接，由題意知平面，故以F為坐標原點，以所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．由題意知，所以．設(shè)平面的法向量為．則即，得，令，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，得，令，則，所以．故．所以平面與平面所成角的余弦值．典例5、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）取中點，的中點為，，且，∴四邊形是平行四邊形，，平面，平面；（2）等腰梯形中，，作于，則中，由余弦定理得，，，即，底面，則兩兩垂直如圖，以為原點，為軸、軸、軸為正方向建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面法向量，則∴平面的一個法向量，設(shè)，則，，，∴當(dāng)時，取得最大值，，設(shè)平面法向量，則∴平面的一個法向量，設(shè)平面法向量，則，∴平面的一個法向量，，∴二面角的大小為.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：連接、，在圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個三等分點，則，且，故、、均為等邊三角形，所以，在底面中，，則，平面，平面，所以，平面，因為、、都是圓柱的母線，則，平面，平面，平面，，所以，平面平面，因為平面，因此，平面.（2）連接，因為是邊長為的等邊三角形，則，因為，由余弦定理可得，，，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，所以，，由圖可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.典例6、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）過N作與ED交于點，過M作與CD交于點，連接．由已知條件，可知矩形ABCD與矩形ADEF全等．∵，，∴∴又，則四邊形為平行四邊形，所以．∵平面CDE，平面CDE，∴平面CDE．（2）由平面ABCD⊥平面ADEF，平面平面，又平面ADEF，AF⊥AD，∴AF⊥平面ABCD．以A為原點，分別以AB，AD，AF為x，y，z軸建立空間直角坐標系，過M點作MG⊥AD，垂足為G，連接NG，易知NG⊥AD，設(shè)可得，，∴，可知當(dāng)時，MN長最小值為．此時，，又，，∴，，設(shè)平面AMN的法向量為，由可得，令，可得設(shè)平面MND的法向量為，由可得，令，可得∴，∴則二面角A-MN-D的正弦值為．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）證明：過D作，垂足為G，∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF，∴平面ABC，∵平面ABC，∴