2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-空間向量和立體幾何專題十一（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題十一知識點(diǎn)一求點(diǎn)面距離,線面角的向量求法,點(diǎn)到平面距離的向量求法典例1、如圖，在直三棱柱中，E，F(xiàn)，G分別為線段及的中點(diǎn)，P為線段上的點(diǎn)，，三棱柱的體積為240．（1）求點(diǎn)F到平面的距離；（2）試確定動點(diǎn)P的位置，使直線與平面所成角的正弦值最大．

隨堂練習(xí)：如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，已知，．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）求到平面的距離．典例2、如圖，在三棱柱中，平面平面，是矩形，已知，動點(diǎn)在棱上，點(diǎn)在棱上，且.（1）求證：;（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值;（3）在滿足（2）的條件下，求點(diǎn)到平面的距離.

隨堂練習(xí)：如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．

典例3、已知是銳角三角形，分別以為直徑作三個球.這三個球交于一點(diǎn).（1）若，求到平面的距離；（2）記直線與平面的夾角為，直線與平面的夾角為，直線與平面的夾角為，證明：為定值.

隨堂練習(xí)：如圖所示，在三棱柱中，，，，平面平面，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）若點(diǎn)在線段上，且平面，求點(diǎn)到平面的距離.知識點(diǎn)二證明線面垂直,求點(diǎn)面距離,證明面面垂直典例4、如圖，四棱錐的底面是梯形，為延長線上一點(diǎn)，平面是中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，三棱錐的體積為，求點(diǎn)到平面的距離.隨堂練習(xí)：邊長為1的正方形中，點(diǎn)M，N分別是DC，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P，連接PC，得到四棱錐.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.典例5、如圖,在四棱錐中,已知棱兩兩垂直且長度分別1,1,2,,．（1）若中點(diǎn)為,證明:平面;（2）求點(diǎn)到平面的距離．

隨堂練習(xí)：在邊長為2的正方形外作等邊（如圖1），將沿折起到的位置，使得（如圖2）.（1）求證：平面平面；（2）若F，M分別為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離.

典例6、如圖，在四棱錐中，底面ABCD，梯形ABCD中，，，E是PD的中點(diǎn).（1）求證：平面平面PBC；（2）若，求P到平面AEC的距離.

隨堂練習(xí)：如圖，D，O是圓柱底面的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為圓柱的一條母線，P為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，（1）若，證明：平面；（2）設(shè)，圓柱的側(cè)面積為，求點(diǎn)B到平面的距離.空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題十一答案典例1、答案：（1）（2）P為中點(diǎn)解：（1）在中，，為的中點(diǎn)，，即，由直三棱柱的體積，則=240解得，以為原點(diǎn)，并分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，由為的中點(diǎn)，則，由為的中點(diǎn)，則，在平面中，取，，設(shè)該平面的法向量為，則，即，令，則，故平面的一個法向量為，取，由點(diǎn)面距公式，可得到平面的距離.（2）由（1）可知：，，，，，由，平面，則設(shè)，，設(shè)，即，，在平面內(nèi)，取，，設(shè)其法向量，則，即，令，則，故平面的一個法向量，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，則當(dāng)時，P與B重合，當(dāng)時，，令，當(dāng)時，即，P為中點(diǎn)時，隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）（3）解：（1）證明：連接，，連接，在直三棱柱中為矩形，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，平面，平面．平面．（2），，，，．由直三棱柱中，底面，底面，，．以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為；（3）設(shè)到平面的距離為，則；典例2、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）點(diǎn)到平面的距離為.解：（1）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，?）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，，所以平面，又，所以兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，,設(shè)，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，，則，，取，可得，設(shè)直線與平面的夾角為，則，所以，化簡可得，又，所以，所以；（3）由(2)平面的法向量為，，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.所以點(diǎn)到平面的距離為.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）（3）1解：（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，又P，O分別為DF和DB的中點(diǎn)，所以BF//PO，因?yàn)镻O?平面APC，BF?平面APC，所以BF//平面APC；（2）直線AF⊥平面，AB?平面ABCD，所以AF⊥AB，由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB，所以以A為原點(diǎn)，AB，AD，AF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，所以，，，設(shè)平面BCF的法向量，則，令，則設(shè)直線DE與平面BCF所成角的正弦值θ，所以，所以直線DE與平面BCF所成角的正弦值；（3）由（2），設(shè)平面APC的法向量為，則，令，則所以平面APC的法向量，則點(diǎn)E到平面APC的距離，所以E到平面APC的距離1．典例3、答案：（1）；（2）證明見解析.解：（1）依題意得，故可以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.而，故，故，則，設(shè)平面的法向量為則，故，設(shè)到平面的距離為d，則.（2）按（1）方式建系，設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量為，同（1）可得：，，，故故為定值.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）（3）解：（1）取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，所以平面，因?yàn)?，，所以是正三角形，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以.可以建立以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，，，，，，，，證明：，，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨令，可得，又，故，因此平面.（2）依意，，由（I）知為平面的法向量.因此，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）依題意，設(shè)，，所以，因此，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨令，可得，，因?yàn)槠矫?，所以，解得，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.典例4、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）連接，平面平面，同理，，，.又平面,平面.平面.取的中點(diǎn)，連接為的中點(diǎn)，，.，，為的中點(diǎn)，.又平面，平面.平面.（2）.，且四邊形為矩形，即，又由（1），平面，，平面.∴.連接，中，中.為中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離中，.由（1）知面，在中，，中，∴，.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則即，解得.所以點(diǎn)到平面的距離為.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：在正方形中有，，，，又因?yàn)椋云矫?，而平面，所以平面平?（2）連接MN,由題意可得，，，由，所以為直角三角形，即，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，，即，得，即四棱錐的體積為典例5、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明:取中點(diǎn)為,連接,如圖所示:分別為中點(diǎn),,且,,,,故四邊形為平行四邊形,故,不含于平面,平面,故平面;（2）連接,兩兩垂直且長度分別為1,1,2,且,,,將底面拿出考慮如下:,,,,,,記到平面的距離為,則,解得:,故到平面的距離為.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）由于，所以，由于四邊形是正方形，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）連接，由于三角形是等邊三角形，所以，由于平面平面且交線為，平面，所以平面.由于是的中點(diǎn)，所以到平面的距離是，且到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)這個距離為.由于平面，所以，所以，，在三角形中，由余弦定理得，所以，，在三角形中，，則為銳角，，所以，，由得，解得，所以點(diǎn)P到平面的距離為.典例6、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）∵PC⊥平面ABCD，平面ABCD，∴.取AB的中點(diǎn)M，連接CM，∵，，∴，，∴四邊形ADCM為平行四邊形.∵，∴為菱形，∴.∵，∴四邊形BMDC為平行四邊形,∴,∴.又有，平面PBC,∴AC⊥平面PBC.平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.（2）∵，，，∴，又有，，，∴.，E為PD的中點(diǎn)，，∴在中，.由,得,求得.在中，，則，∴的面積.設(shè)P到平面AEC的距離為d，又，解得.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）∵D，O為圓柱底面的圓心，∴平面.而為圓柱的一條母線，∴.又∵P為的中點(diǎn)，Q為的