2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-數(shù)列專題四（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題四知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列新定義典例1、對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)任意都成立，則稱數(shù)列為“擬等比數(shù)列”．（1）已知，，且，若數(shù)列和滿足：，且，；①若，求的取值范圍；②求證：數(shù)列是“擬等比數(shù)列”；（2）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，，，且是“擬等比數(shù)列”，求的取值范圍（請(qǐng)用、表示）．隨堂練習(xí)：已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，最小值記為，令，并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；（3）若是等比數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列．典例2、已知數(shù)列：，，…，，其中是給定的正整數(shù)，且.令，，，，，.這里，表示括號(hào)中各數(shù)的最大值，表示括號(hào)中各數(shù)的最小值.（1）若數(shù)列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，且，求的值；（3）若數(shù)列是公差的等差數(shù)列，數(shù)列是數(shù)列中所有項(xiàng)的一個(gè)排列，求的所有可能值（用表示）.

隨堂練習(xí)：已知無窮數(shù)列滿足：①；②（；；）.設(shè)為所能取到的最大值，并記數(shù)列.（1）若，寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列A的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值；（3）若，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.典例3、對(duì)于序列，實(shí)施變換T得序列，記作；對(duì)繼續(xù)實(shí)施變換T得序列，記作．最后得到的序列只有一個(gè)數(shù)，記作．（1）若序列為1，2，3，求；（2）若序列為1，2，…，n，求；（3）若序列A和B完全一樣，則稱序列A與B相等，記作，若序列B為序列的一個(gè)排列，請(qǐng)問：是的什么條件？請(qǐng)說明理由．

隨堂練習(xí)：若數(shù)列滿足，則稱為E數(shù)列.記.（1）寫出一個(gè)滿足，且的E數(shù)列；（2）若，，證明E數(shù)列是遞減數(shù)列的充要條件是；（3）對(duì)任意給定的整數(shù)，是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由.知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算,等比中項(xiàng)的應(yīng)用,數(shù)列不等式能成立（有解）問題典例4、設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，對(duì)任意恒成立.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．典例5、設(shè)首項(xiàng)為a的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若等差數(shù)列的前三項(xiàng)恰為，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（用字母a表示）（2）令，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列和，記，分別為和的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，且滿足，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.典例6、若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題四答案典例1、答案：（1）①；②證明見解析（2）解：（1）①因?yàn)?，，且，，，所以，的取值范圍是；②由題意可得，則，即，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，即，所以，對(duì)任意的，，所以，，，即存在，使得，所以，數(shù)列是“擬等比數(shù)列”.（2）因?yàn)?，，，即，所以，即，且有，因?yàn)?，則，所以，，又因?yàn)閿?shù)列是“擬等比數(shù)列”，故存在，使得，且數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，，因?yàn)?，則，因?yàn)閿?shù)列在時(shí)單調(diào)遞減，故，而；②當(dāng)時(shí)，，則，由，則，因?yàn)閿?shù)列在時(shí)單調(diào)遞減，故.由①②可得，即的取值范圍是.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.解：（1）因?yàn)椋裕?，所以，，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：；（2）由題意可知，，所以，所以．所以，所以，由“生成數(shù)列”的定義可得，所以．累加可得.（3）由題意知．由（2）可知．①當(dāng)時(shí)，得，即，所以，所以.即為公比等于1的等比數(shù)列，②當(dāng)時(shí)，令，則.當(dāng)時(shí)，顯然．若，則，與矛盾,所以，即.取，當(dāng)時(shí)，，顯然是等比數(shù)列,綜上，存在正整數(shù)，使得時(shí)，是等比數(shù)列.典例2、答案：（1），；（2）；（3）所有可能值為.解：（1）由題設(shè)，，，，則，，，，則，所以，.（2）若數(shù)列任意兩項(xiàng)均不相等，當(dāng)時(shí)；當(dāng)且時(shí)，，又，，此時(shí)；綜上，，故，不合要求；要使，即存在且使，即，又，則，當(dāng)，則，不合要求；當(dāng)，則，滿足題設(shè)；綜上，.（3）由題設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增且，由（2）知：，根據(jù)題設(shè)定義，存在且，，則，由比數(shù)列中個(gè)項(xiàng)大，，同理，所以；又至少比數(shù)列中一項(xiàng)小，，同理，所以；綜上，.令數(shù)列，下證各值均可取到，ⅰ、當(dāng)，而數(shù)列遞增，，且，此時(shí)，，，則；ⅱ、當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且時(shí)，令，則，所以，，此時(shí)；ⅲ、給定，令()且()，則()，()，又?jǐn)?shù)列遞增，，()，()，所以，此時(shí)且，故，綜上，.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）；（3）.解：（1）；（2）因?yàn)椋?，所以?因此.當(dāng)時(shí)，且同時(shí)成立，此時(shí).當(dāng)時(shí)，且同時(shí)成立，此時(shí)矛盾.綜上，.（3）因?yàn)?，所?所以.由知，.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，與同時(shí)成立，所以，從而.猜想數(shù)列：1，2，4，5，7，8，，即數(shù)列由不能被3整除的正整數(shù)從小到大排列組成，且滿足數(shù)A：的兩條性質(zhì).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.②假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，由于；；上面各式均成立，此時(shí)有.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，由于；；上面各式均成立，此時(shí)有.綜上，數(shù)列是由不能被3整除的正整數(shù)從小到大排列組成.數(shù)列的前100項(xiàng)和為：.典例3、答案：（1）（2）（3）充分不必要條件解：（1）序列為1，2，3，，，，即8，．（2）時(shí)，時(shí)，．時(shí)，，時(shí)，，，取時(shí)，，取時(shí)，①，則②，①②得，所以．由序列為1，2，，，可得．（3）序列為序列，2，，的一個(gè)排列，．而反之不成立．例如取序列為：，，，2，1，滿足．因此是的充分不必要條件．隨堂練習(xí)：答案：（1）0,1,2,1,0（或

0,1,0,1,0）（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.解：（1）（或）（2）必要性：因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；充分性：由于，，…，，所以，即，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是遞減數(shù)列.綜上，結(jié)論得證．令，則．（3）因?yàn)椋?，…?，所以因?yàn)?，所以為偶?shù)，所以為偶數(shù)．所以要使，必須使為偶數(shù)，即整除，亦即或．當(dāng)時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)滿足，，時(shí)，有，；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)滿足，，，時(shí)，有，．當(dāng)，時(shí)，不能被整除，所以對(duì)任意給定的整數(shù),不存在數(shù)列使得，．典例4、答案：（1），（2）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為則由，得即由①得，由②得，由③得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，所以，①②②-①得：化簡(jiǎn)得：，又因?yàn)?，即即，（i）當(dāng)時(shí)，，所以；（ii）當(dāng)時(shí)，，令，則當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即,所以的取值范圍是.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）因?yàn)?，①所以，②?①得，．所以，又，即．在①中，令得，，又，所以．所以，即．所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可得，，所以，所以時(shí)，．當(dāng)時(shí)，適合上式，所以．所以，所以．令，得，即恒成立．令，則．當(dāng)時(shí)，，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．典例5、答案：（1），（2）解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意有，故，所以，即，解得，所以，又，所以公差，所以；（2），令，則，，所以，所以，由題意，對(duì)都有，即恒成立，令，則時(shí)，故時(shí)，數(shù)列遞減，又，故，所以，即的取值范圍為.隨堂練習(xí)：答案：（1），（2）解：（1）時(shí)，①，②，①-②得，當(dāng)時(shí)，③，④，③÷④得.由上可得，即，化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，，，兩式相等得，.故，因此且，故.綜上，.（2），⑤⑥⑤－⑥得：，，將代入得，化簡(jiǎn)得，因在單調(diào)遞增，故的最小值為－4，故.典例6、答案：（1）；（2）.解：（1）因?yàn)椋?，?dāng)，時(shí)，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以，則；（2）因?yàn)?，所以，由?），所以恒成立，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，恒成立，所以，設(shè)，由于，所以，當(dāng)