2025年高考數學一輪專題復習-數列專題四（含解析）

21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數學--數列專題四知識點一數列新定義典例1、對于數列，若存在正數，使得對任意都成立，則稱數列為“擬等比數列”．（1）已知，，且，若數列和滿足：，且，；①若，求的取值范圍；②求證：數列是“擬等比數列”；（2）已知等差數列的首項為，公差為，前項和為，若，，，且是“擬等比數列”，求的取值范圍（請用、表示）．隨堂練習：已知是由正整數組成的無窮數列，該數列前項的最大值記為，最小值記為，令，并將數列稱為的“生成數列”．（1）若，求數列的前項和；（2）設數列的“生成數列”為，求證：；（3）若是等比數列，證明：存在正整數，當時，是等比數列．典例2、已知數列：，，…，，其中是給定的正整數，且.令，，，，，.這里，表示括號中各數的最大值，表示括號中各數的最小值.（1）若數列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；（2）若數列是首項為1，公比為的等比數列，且，求的值；（3）若數列是公差的等差數列，數列是數列中所有項的一個排列，求的所有可能值（用表示）.

隨堂練習：已知無窮數列滿足：①；②（；；）.設為所能取到的最大值，并記數列.（1）若，寫出一個符合條件的數列A的通項公式；（2）若，求的值；（3）若，求數列的前100項和.典例3、對于序列，實施變換T得序列，記作；對繼續(xù)實施變換T得序列，記作．最后得到的序列只有一個數，記作．（1）若序列為1，2，3，求；（2）若序列為1，2，…，n，求；（3）若序列A和B完全一樣，則稱序列A與B相等，記作，若序列B為序列的一個排列，請問：是的什么條件？請說明理由．

隨堂練習：若數列滿足，則稱為E數列.記.（1）寫出一個滿足，且的E數列；（2）若，，證明E數列是遞減數列的充要條件是；（3）對任意給定的整數，是否存在首項為0的E數列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由.知識點二等差數列通項公式的基本量計算,等差數列前n項和的基本量計算,等比中項的應用,數列不等式能成立（有解）問題典例4、設等差數列的前n項和為，數列是首項為1公比為的等比數列，其前n項和為，且，對任意恒成立.（1）求數列，的通項公式；（2）設，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

隨堂練習：已知數列的前項和為，且滿足．設，數列的前項和為．（1）證明：數列是等比數列；（2）設，若對任意的恒成立，求實數的取值范圍．典例5、設首項為a的等比數列的前項和為，若等差數列的前三項恰為，，.（1）求數列，的通項公式；（用字母a表示）（2）令，若對恒成立，求實數a的取值范圍.

隨堂練習：已知數列和，記，分別為和的前項和，為的前項積，且滿足，，.（1）求數列和的通項公式；（2）設，記數列的前項和為，若對任意的恒成立，求實數的取值范圍.典例6、若數列的前n項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列滿足，其前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

隨堂練習：已知數列的前項和為，，數列滿足，.（1）求數列和的通項公式；（2）設數列滿足：，，若不等式恒成立，求實數的取值范圍.人教A版數學--數列專題四答案典例1、答案：（1）①；②證明見解析（2）解：（1）①因為，，且，，，所以，的取值范圍是；②由題意可得，則，即，假設當時，，則當時，，即，所以，對任意的，，所以，，，即存在，使得，所以，數列是“擬等比數列”.（2）因為，，，即，所以，即，且有，因為，則，所以，，又因為數列是“擬等比數列”，故存在，使得，且數列為單調遞減數列.①當時，此時，所以，，因為，則，因為數列在時單調遞減，故，而；②當時，，則，由，則，因為數列在時單調遞減，故.由①②可得，即的取值范圍是.隨堂練習：答案：（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.解：（1）因為，所以．所以，所以，，所以，因為，所以數列是等比數列，所以數列的前項和為：；（2）由題意可知，，所以，所以．所以，所以，由“生成數列”的定義可得，所以．累加可得.（3）由題意知．由（2）可知．①當時，得，即，所以，所以.即為公比等于1的等比數列，②當時，令，則.當時，顯然．若，則，與矛盾,所以，即.取，當時，，顯然是等比數列,綜上，存在正整數，使得時，是等比數列.典例2、答案：（1），；（2）；（3）所有可能值為.解：（1）由題設，，，，則，，，，則，所以，.（2）若數列任意兩項均不相等，當時；當且時，，又，，此時；綜上，，故，不合要求；要使，即存在且使，即，又，則，當，則，不合要求；當，則，滿足題設；綜上，.（3）由題設數列單調遞增且，由（2）知：，根據題設定義，存在且，，則，由比數列中個項大，，同理，所以；又至少比數列中一項小，，同理，所以；綜上，.令數列，下證各值均可取到，ⅰ、當，而數列遞增，，且，此時，，，則；ⅱ、當時，，則，當且時，令，則，所以，，此時；ⅲ、給定，令()且()，則()，()，又數列遞增，，()，()，所以，此時且，故，綜上，.隨堂練習：答案：（1）；（2）；（3）.解：（1）；（2）因為，所以，所以或.因此.當時，且同時成立，此時.當時，且同時成立，此時矛盾.綜上，.（3）因為，所以.所以.由知，.事實上，當時，與同時成立，所以，從而.猜想數列：1，2，4，5，7，8，，即數列由不能被3整除的正整數從小到大排列組成，且滿足數A：的兩條性質.下面用數學歸納法證明.①當時結論成立.②假設時結論成立，則當時，當時，此時，由于；；上面各式均成立，此時有.當時，此時，由于；；上面各式均成立，此時有.綜上，數列是由不能被3整除的正整數從小到大排列組成.數列的前100項和為：.典例3、答案：（1）（2）（3）充分不必要條件解：（1）序列為1，2，3，，，，即8，．（2）時，時，．時，，時，，，取時，，取時，①，則②，①②得，所以．由序列為1，2，，，可得．（3）序列為序列，2，，的一個排列，．而反之不成立．例如取序列為：，，，2，1，滿足．因此是的充分不必要條件．隨堂練習：答案：（1）0,1,2,1,0（或

0,1,0,1,0）（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.解：（1）（或）（2）必要性：因為數列是遞減數列，所以，所以是首項為，公差為的等差數列，所以；充分性：由于，，…，，所以，即，因為，所以，所以數列是遞減數列.綜上，結論得證．令，則．（3）因為，，……,，所以因為，所以為偶數，所以為偶數．所以要使，必須使為偶數，即整除，亦即或．當時，數列的項滿足，，時，有，；當時，數列的項滿足，，，時，有，．當，時，不能被整除，所以對任意給定的整數,不存在數列使得，．典例4、答案：（1），（2）解：（1）設等差數列的首項為，公差為則由，得即由①得，由②得，由③得，所以數列的通項公式為，所以數列的通項公式為.（2）由（1）知，，所以，①②②-①得：化簡得：，又因為，即即，（i）當時，，所以；（ii）當時，，令，則當時，，所以單調遞減；當時，，所以單調遞增；當時，取得最小值為，即,所以的取值范圍是.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）因為，①所以，②②-①得，．所以，又，即．在①中，令得，，又，所以．所以，即．所以，故數列是以為首項，為公比的等比數列．（2）由（1）可得，，所以，所以時，．當時，適合上式，所以．所以，所以．令，得，即恒成立．令，則．當時，，所以，解得，故實數的取值范圍為．典例5、答案：（1），（2）解：（1）設等比數列的公比為，依題意有，故，所以，即，解得，所以，又，所以公差，所以；（2），令，則，，所以，所以，由題意，對都有，即恒成立，令，則時，故時，數列遞減，又，故，所以，即的取值范圍為.隨堂練習：答案：（1），（2）解：（1）時，①，②，①-②得，當時，③，④，③÷④得.由上可得，即，化簡得.當時，，，兩式相等得，.故，因此且，故.綜上，.（2），⑤⑥⑤－⑥得：，，將代入得，化簡得，因在單調遞增，故的最小值為－4，故.典例6、答案：（1）；（2）.解：（1）因為，所以，當，時，所以，所以數列為等比數列，首項為，公比為2，所以，則；（2）因為，所以，由（1），所以恒成立，當n為偶數時，恒成立，所以，設，由于，所以，當