學(xué)業(yè)水平考試要點解讀

2009年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試要點解讀

數(shù)學(xué)

湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試大綱專家組編寫

二。。九年二月

口錄

數(shù)學(xué)1

第一章集合與函數(shù)概念.............................

第二章基本初等函數(shù)（I）...........................

第三章函數(shù)的應(yīng)用........................................

數(shù)學(xué)1檢測卷.........................................

數(shù)學(xué)2

第一章簡單幾何體.......................................

第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系.....................

第三章直線與方程.......................................

第四章圓與方程.........................................

數(shù)學(xué)2檢測卷.........................................

數(shù)學(xué)3

第一章算法初步.........................................

第二章統(tǒng)計.................................

第三章概率.....................................

數(shù)學(xué)3檢測卷.........................................

數(shù)學(xué)4

第一章三角函數(shù).........................................

第二章平面向量.........................................

第三章三角恒等變換.....................................

數(shù)學(xué)4檢測卷.........................................

數(shù)學(xué)5

第一章解三角形.........................................

第二章數(shù)列.......................................

第三章不等式.........................................

數(shù)學(xué)5檢測卷.........................................

學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)檢測卷（一）.........................................

學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)檢測卷（二）.........................................

數(shù)學(xué)1：

第一章集合與函數(shù)概念

★學(xué)習(xí)目標(biāo)

節(jié)次學(xué)習(xí)目標(biāo)

知道集合的含義，了解集合之間的包含與相等的含義，知道全集與空集的

集合含義，理解兩個集合的并集與交集的含義及運(yùn)算，理解補(bǔ)集的含義及求法，

理解用Venn圖表示集合的關(guān)系及運(yùn)算，

知道映射的概念，了解函數(shù)的概念，理解求簡單函數(shù)的定義域和值域，理

函數(shù)及其表示

解函數(shù)的表示法，了解簡單的分段函數(shù)及應(yīng)用。

理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x，理解奇偶性的含義，利

函數(shù)的基本性質(zhì)

用函數(shù)的圖象理解和探究函數(shù)的性質(zhì)。

★要點解讀

本章主干知識：集合、子集、并集、交集、補(bǔ)集，函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的定義域和值

域，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和最值。

1.集合

集合是指定的某些對象的全體。集合中元素的特性有：確定性（集合中的元素應(yīng)該是確

定的，不能模棱兩可）、互異性（集合中的元素應(yīng)該是互不相同的）、無序性（集合中元素的

排列是無序的）.元素和集合的關(guān)系是屬于不屬于關(guān)系.表示集合的方法要掌握字母表示法、

列舉法、描述法及Venn圖法。根據(jù)元素個數(shù)的多少集合可分為：有限集，無限集。

2.集合間的基本關(guān)系及基本運(yùn)算

關(guān)系或運(yùn)算自然語言符號語言圖形語言

集合A中任意一個元素都是集合BAcB(或Bq⑷=(xeA=>xeB)

（或83力）中的元素。CD

AAB由所有屬于集合A且屬于集合B4cB={xIX￡4且XGB}

的所有元素所組成的集合

AUB由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧4U3={X|X￡B}

的元素組成的集合。

C"已知全集U,集合AQU,由U中CuA={x\xeA}。

所有不屬于A的元素組成的集合，

叫作A相對于U的補(bǔ)集。91)

3.函數(shù)及其表示

(1)函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集

合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱78

為從集合A到集合B的一個函數(shù)。

(2)函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系。

(3)函數(shù)的表示：解析法、列表法、圖象法。

4.函數(shù)的基本性質(zhì)

(1)函數(shù)的最值：函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在使得

/(x0)=M；函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的xe/，都

(2)函數(shù)的單調(diào)性：如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x“xz,

當(dāng)x《X2時，都有f(xj<(>)f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，函數(shù)的單

調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)。

(3)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是定義域關(guān)于

原點對稱.偶函數(shù)的圖象關(guān)于丁軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

5.要注意區(qū)分一些容易混淆的符號

(1)E與二的區(qū)別：W表示元素與集合之間的關(guān)系；匚表示集合與集合之間的關(guān)系.

(2)a與㈤的區(qū)別：a表示一個元素，｛a｝而表示只有一個元素a的集合.

(3){0}與①的區(qū)別:是含有一個元素0的集合，中是不含任何元素的集合,因此①'={0}

但不能寫成①={0},①百{0}.

★學(xué)法指導(dǎo)

1.弄清元素的特征，從元素的分析上尋找解題的突破口

【方法點撥】集合中的元素具有“三性”：確定性、互異性和無序性，集合的關(guān)系、集合的

運(yùn)算等都是從元素的角度予以定義的。因此，求解集合問題時，應(yīng)抓住元素的特征進(jìn)行分析。

【案例剖析】已知A={x|x^3V2,xeR),a=y/l5,b=M,則()

(A)aGA月"任A(B)。eA且6dA

(C)t/GAJiftSA(D)且/，任A

【解析】由于后<3a=JTi,所以aGA,

又M>3叵=屈,所以beA,故選A.

【點評】：本題屬于“知道”層次，能準(zhǔn)確識別或再認(rèn)集合中的元素；這類集合問題，元素

的確定性是解決問題的入手點。

2.準(zhǔn)確理解集合的相關(guān)概念，從集合的相關(guān)概念上尋找解題的突破口

【方法點撥】概念抽象、符號術(shù)語多是集合單元的一個顯著特點，交集、并集、補(bǔ)集的概念

及子集、真子集、集合相等的定義等等。準(zhǔn)確理解這些概念是求解集合問題的依據(jù)和突破口。

【案例剖析】已知NqB,4.C,8={1,2,3,5},C={0,2,4,8},則4可以為()

A.{1,2}B.{2,4}C.⑵D.{4}

【解析】：對于選項A：{1,2}生C,選項B：{2,4}$B,選項D：⑷生B,只有C符合要求，

故選C。

【點評】：(1)本題屬于“了解”層次，考查考生的辨別、比較能力；(2)本題解答的關(guān)

鍵是分析選項的元素特征，把握集合與集合的關(guān)系，運(yùn)用子集的定義來直接判斷。

3、正確掌握集合運(yùn)算的內(nèi)涵，從集合運(yùn)算的轉(zhuǎn)化上尋找解題的突破口

【方法點撥】明確ACB=B、AuB=B、ACBH。與ACB=。的含義，根據(jù)問題的需要，

可以轉(zhuǎn)化為等價的關(guān)系式：BqA、AqB.A、B有公共元素與A、B沒

有公共元素

【案例剖析】設(shè)人={—4,0},B={x|(x+a)(x+4)=0},

(1)若ADB=B,求0的值；

(2)若ACBH0,求？的取值范圍.

【解析】：(1)因為AuB=B,所以〃=8,又八={-4,0},而B至多只有兩個根，因

此應(yīng)有A=B,故a=0。

(2)由于—4e8,AcB至少含有元素一4,因此不論；取何值A(chǔ)cBH。，故

aE.Ro

【點評】：本題屬于“理解”層次，解答這類問題的關(guān)鍵是集合運(yùn)算關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

4.多角度審視函數(shù)概念，從函數(shù)的本質(zhì)上尋找解題突破口

【方法點撥】體會用集合與對應(yīng)的觀點來理解函數(shù)概念，明確函數(shù)表達(dá)式可以是解析式，

圖象，也可以是表格，了解構(gòu)成函數(shù)的三要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值

域。

【案例剖析】求下列函數(shù)的定義域：

2\-1<X<1

(1)fix')=+V16-X2(2)/(x)="1

Inx—,l<x<4

x-2i------

【解析】：(1)對于-,要求x>0且xwl,即xe(0,l)u(l,+8)；對于J16-x2,

\nx

^16-x2>0,即/<16,它等價于|x|W4,即xe|-4,4],再取兩個函數(shù)

定義域的公共部分，得所求函數(shù)定義域為：

(2)兩個分段區(qū)間是(-1,1]和(1,4],取它們的并集得所求函數(shù)的定義域為(-1,4].

【點評】：本題屬于“理解”層次，考查考生對所學(xué)過的內(nèi)容能進(jìn)行理性分析；本題的第

Y—2/------

(1)問：函數(shù)是由—與J16-的和構(gòu)成的，應(yīng)先分別求出各表達(dá)式的

Inx

定義域，再取公共部分；第(2)是個分段函數(shù)，先確定函數(shù)在各段上自變量

的取值范圍，再取并集.

5.正確畫圖、準(zhǔn)確識圖、合理利用圖形建立函數(shù)關(guān)系

【方法點撥】一方面，通過畫圖、識圖、用圖可以研究函數(shù)的解析式及其性質(zhì)；另一方面,

函數(shù)的解析式及其性質(zhì)可以通過圖象反映出來。

【案例剖析】如圖，已知底角為45°的等腰梯形/sc。，

底邊BC長為7cm，腰長為2岳“7,當(dāng)一條垂直于底邊

BC(垂足為尸)的直線/從左至右移動(與梯形有

公共點)時，直線/把梯形分成兩部分，令BF=x，試寫

出左邊部分的面積V與X的函數(shù)。

【解析】：過點4。分別作/GA.BC,DH±BC,垂足分別是G,H。因為458

是等腰梯形，底角為45°,AB-2y［2cm)所以BG=AG=DH-HC=2cm,又

BC=1cm,所以AD=GH=3cm。

⑴當(dāng)點尸在3G上時，即xe(0,2］時，

⑵當(dāng)點尸在G"上時，即xe(2,5］時，y=2+(x-2)?2=2x-2

⑶當(dāng)點尸在HC上時，即xe(5,7］時，

2

y=S五邊形ABFED=S梯形“Be-SR,ACEFTO-y(7-x)。

xe(0,2],

所以，函數(shù)解析式為

y=<2x-2,xe(2,51

xe(5,7]

【點評】：本題屬于“理解”中簡單應(yīng)用層次，考查考生能運(yùn)用所學(xué)過的知識分析生產(chǎn)實踐

中的數(shù)學(xué)問題；本題解題的關(guān)鍵是就直線/所在的位置分類討論左邊部分的圖形

特征，然后根據(jù)圖形形狀求出面積。

6.以函數(shù)問題為主線，探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

【方法點撥】數(shù)學(xué)規(guī)律的探索，既要會觀察分析已有規(guī)律，又要不斷發(fā)現(xiàn)和完善規(guī)律。

4

【案例剖析】探究函數(shù)f(x)=x+—,xe(0,+8)的最小值,并確定取得最小值時x的值.

X

列表如下：

X???0.511.51.71.922.12.22.33457…

y???8.554.174.054.00544.0054.024.044.355.87.57…

請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.

4

(1)根據(jù)上表分析函數(shù)f(x)=x+—(x>0)在何區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)x為何值時？y有

X

最小值.

4

(2)證明：函數(shù)f(x)=x+-(x>0)在區(qū)間(0,2)上遞減.

X

4

(3)思考：函數(shù)f(x)=x+—(x<0)有最值嗎？如果有，那么它是最大值還是最小值？

X

此時X為何值？(直接回答結(jié)果，不需證明)

4

【解析】(1)函數(shù)f(x)=x+—(x>0)在區(qū)間(2,+8)上遞增.

X

當(dāng)x=2時，y展小二4。

(2)任取Xi,X2W(0,2)且Xi〈X2于是

f(X,)-f(X2)=(x,+-1)-(X2+-i)=(x「xJ(X|X「4)①

X]X2X[X2

Xj,x2(0,2)且Xj<x2/.X,—x2<0；Xjx2—4<0；Xjx2>0

J①式>0即f(X1)—f(x2)>0,f(x,)>f(x2)

：.f(x)在區(qū)間(0,2)遞減.

(3)f(x)在(-8,o)U(0,8)為奇函數(shù).圖象關(guān)于原點對稱.

故當(dāng)x=-2時，有最大值一4。

【點評】：(1)本題屬于“理解”中簡單應(yīng)用層次，主要考查考生能運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行簡

單探究的能力；(2)本題解題的關(guān)鍵是合理分析已給的各種數(shù)據(jù)，并由此發(fā)現(xiàn)

和探究函數(shù)性質(zhì)。

★階梯練習(xí)；

A級

1.已知全集。={一1,0,1,2,3,4},/={—1,0,2,4},則CUA=()

A.°B.{0,2,4}C.{1,3}D.{-1,1,3}

2.圖中陰影部分表示的集合是()

A./nC/)B.(Q4)(18C.Q(/n8)D.

3.函數(shù)/。)=業(yè)」的定義域為()

x-2

A.[1,2)U(2,+8)B.(1,+8)C.ri,2)D.

,,,2x,x>0

4.函數(shù)/q)=\，則/(-2)=()

x(x+l),x<0

A.1B.2C.3D.4

5.下列五個關(guān)系式①{0}=。②。=0③。,{。}④0e。⑤{0}3。

其中正確的是___________________

6.函數(shù)歹=ex~x?lg(2-x)的定義域是

7.已知全集U=R,集合Z={x|-lWx<3},8={x[2<xW5},求:

(1)A[\B,A\^B(2)^A(QtS)

8.已知A={xIx2—8x+15=0),B={xI辦一1=0},且BqA,求實數(shù)a組成

的集合。

B級

4

9.函數(shù)y=——在區(qū)間［3,6］上的最小值是（）

x—2

A.1B.3C.-2D.5

10.下列說法錯誤的是（）

A.y=/+/是偶函數(shù)B.偶函數(shù)的圖象關(guān)于P軸成軸對稱

C.歹二、3+工2是奇函數(shù)D.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱

11.已知函數(shù)/（》）=》2+2、+.在區(qū)間［一3,2］上的最大值是4,則［=

12.已知函數(shù)/(x)=-x2+2x.

（1）證明/（x）在［1,+8）上是減函數(shù)；（2）當(dāng)xe［-5,2］時，求的最大值和最小值.

13.某廠準(zhǔn)備投資100萬生產(chǎn)A,B兩種新產(chǎn)品，據(jù)測算，投產(chǎn)后的年收益，A產(chǎn)品是總投

入的,，B產(chǎn)品則是總投入開平方后的2倍.問應(yīng)該怎樣分配投入數(shù)，使兩種產(chǎn)品的年總收

5

益最大？

C級

14.若函數(shù)/(2X+1)=X2—2X,貝U/(3)=.

15.已知/(x)=竺舊也ceZ)是奇函數(shù),又f⑴=2,f(2)<3,求a,b,c的值

hx+1

第二章基本初等函數(shù)(I)

★學(xué)習(xí)目標(biāo)

節(jié)次學(xué)習(xí)目標(biāo)

了解有理指數(shù)幕的含義、幕的運(yùn)算。理解指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及其意義、

指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，了解指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用。

理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然

對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)函數(shù)的概念、圖象、單調(diào)性與特殊點，知道指

對數(shù)函數(shù)

數(shù)函數(shù)y=a"與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,aH1)互為反函數(shù)，

了解事函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)尸x,y=x,y=x,y=1/x,尸尸的圖像，了

幕函數(shù)解它們的變化情況。

★要點解讀

本章主干知識：指數(shù)的概念與運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)、圖象及其性質(zhì)，對數(shù)的概念與運(yùn)算，對數(shù)函

數(shù)、圖象及其性質(zhì)，塞函數(shù)的概念

1.指數(shù)函數(shù)：(1)有理指數(shù)事的含義及其運(yùn)算性質(zhì)：

(2)函數(shù)y=a%a>。且叫做指數(shù)函數(shù)。

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=ax0<67<1a>1

/，y/，y

V

圖象_____-___—-

~~cT

X0X

定義域R

值域(0,+8)

性過定點(0,1),即工=0時，y=1

定點(1)a>1,當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1。

質(zhì)

(2)0<a<1,當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1。

單調(diào)性在R上是減函數(shù)在夫上是增函數(shù)

對稱性丁=罐和歹=尸關(guān)于y軸對稱

2.對數(shù)函數(shù)

(1)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0,a#1,例>0,N>0,那么:

M

①1嗚MN=logaM+log"?loga-=log,M-log.N；

n

③log”M-nlogaM(nGR)O

(2)換底公式：log"bJ。*"(a>0且QWl,c>0且cHl,b>0)

logca

⑶對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=iog“x0<a<1a>1

1

J>|4r3川

圖廠

J~-

象1<o<a<h

定義域(0,+°0)

值域R

(1)過定點(1,0),即x=1時，)=0

性（2）在不上是減函數(shù)（2）在不上是增函數(shù)

(3)同正異負(fù)，即0<。<1,0<工<1或時，logx>0；

質(zhì)rt

0<a<l,x>lWta>l,0<x<l時，logflx<0o

3.募函數(shù)

函數(shù)y=x”叫做暴函數(shù)（只考慮a=1,2,3,—1,；的圖象）。

★學(xué)法指導(dǎo)

1.弄清根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，掌握從指數(shù)轉(zhuǎn)化上處理指數(shù)問題

【方法點撥】類比整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算，根式一般先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指

數(shù)幕,然后再利用有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算；

【案例剖析】化簡下列各式（a>0,b>0）

212125

(1)(?>0)(2)(2涼涼)(_6臣臣)+(_3a?)

-fa-y[a^

211115

(2)(2加及)(一6a)+(_3。6加)

2+1」11_5

=[2x(-6)+(-3)]尸一獷丁+K

=4a6。=4a;

【點評】：（1）本題屬于“了解”層次，主要考查考生對有理指數(shù)塞的含義、帚的運(yùn)算的

識記了解情況；（2）解答這類問題的關(guān)鍵是先把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的最簡

形式，然后做事的運(yùn)算。

2.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，會利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡、計算及求值

【方法點撥】一方面，要理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，理解對數(shù)式和指數(shù)式的互化，另一方

面，計算、化簡及求值首先尋找同底轉(zhuǎn)化，當(dāng)不同底時，要靈活運(yùn)用換底公式

處理。

【案例剖析】計算:

7

(1)Igl4-21g-+lg7-lgl8(2)2log525+3log264(3)log34-log48-log8731.

7,2

【解析】：(1)lg14-21g-+lg7-lgl8=lg(2X7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(3X2)

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2=0

2

(2)2log525+3log264=2log55+3log2=2X2+3X6=22

/r_lg4lg8lgV3_lg4lg8

3

(3)log34-log48-log8-lg3lg4lg8-lg3%41g8

2

【點評】：（1）本題屬于“理解”層次，要理解對數(shù)運(yùn)算的基本公式，熟練掌握化簡求值

的常見技能；（2）注意式與式之間的聯(lián)系，對數(shù)式要化到最簡形式.

3.理解指（對）數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)，從函數(shù)表達(dá)式的特征上尋找解題途徑。

【方法點撥】能根據(jù)指（對）數(shù)函數(shù)表達(dá)式有意義和單調(diào)性求定義域和值域。解題時特別注

意對數(shù)的真數(shù)大于零。

【案例剖析】求下列函數(shù)的定義域、值域：

2v-12

(1)y=8(2)y=.(3)y=log2(x-4x+6)

【解析】：（1）v2x-l^0,,原函數(shù)的定義域是｛x|x€g

令，=一!—,貝1"。0,/€尺，

2x-l

，y=8'(/e火/。0)得丁>0,^/1,

所以，原函數(shù)的值域是：｛布＞0,尸1｝.

(2)vl-(-r>0.,.x>0原函數(shù)的定義域是［0,+8),

令f=l一(g)x(xNO)貝???^=”在［0,1)是增函數(shù)

所以，原函數(shù)的值域是［0,1).

(3).由于Y-4x+6=(x-2>+2>0,函數(shù)定義域是R

2

y=log2(x-4x+6)>log22=1,故函數(shù)的值域是｛y\y>1)

【點評】：(1)本題屬于“了解”層次，主要考查考生對函數(shù)定義域和值域掌握情況；(2)

求函數(shù)的定義域的主要依據(jù)是：分式的分母不等于零；偶次方根的被開方數(shù)不小

于零；對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于lo求

函數(shù)的值域的常用方法有：配方法、換元法、均值不等式法及單調(diào)性法等.

4.掌握指(對)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

【方法點撥】利用指(對)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量值的大小，求某些函數(shù)

的值或最值，解不等式。有些含字母參數(shù)的問題，要對參數(shù)范圍進(jìn)行討論。

x

【案例剖析】已知/(x)=logaCa~a')

(1)當(dāng)OVaVl時，求/(x)的定義域；

(2)判斷/(2)是否大于零，并說明理由。

【解析】：(1)為使函數(shù)有意義，需滿足。一儲>0,即

V0<a<1,：.x>l,故定義域為(1,+8)。

(2),:f(2)=log“((?—/),loga1=0,

i3

又1-(a—a2)—a2-a+1=(a——)-+—>0,

(a~a2)<1>

當(dāng)0<a<1時，/(2)>0

當(dāng)心1時，/(2)<0o

【點評】：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解題時，指(對)數(shù)函數(shù)的底數(shù)對單調(diào)性的影

響要了解透徹。

5.掌握有關(guān)指（對）數(shù)函數(shù)奇偶性的判定

【方法點撥】對于和指（對）數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性的判定，首先看函數(shù)定義域是否關(guān)

于原點對稱,然后尋找/（X）與/（-%）的關(guān)系,并由此判斷函數(shù)的奇偶性.

【案例剖析】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

X.10

（1）f（x）=x------（。>0且aWl）（2）/（x）=lg（....-1）

ax-11+x

【解析】：（1）/（x）定義域為：卜卜€(wěn)火月/WO},

a+11+a"Cl'+1rg

-x-------=一x-------=x'———=j{x),故/(x)為偶函數(shù)。

a-1\-aa-1

22—1—x1—x

,:f(-x)=lg=lg(^—=-lg=一/(x)

l-xl+x1

：.f（X）是奇函數(shù),

【點評】：判定和指（對）數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性，關(guān)鍵是由/（一X）的解析式向目標(biāo)

/（X）的解析式轉(zhuǎn)化，解題要明確目標(biāo)和方向。

★階梯練習(xí)

A級

1.指數(shù)函數(shù)y="的圖像經(jīng)過點（2,16）則。的值是（）

A.—B.—C.2D.4

42

2.下列函數(shù)是帚函數(shù)的是（）

\_

A、y—2x2B>y=x3+xC、y=3*D、y

3.計算510g3I2-log32=()

A.V3B.2V3C.-D.3

2

4.在區(qū)間(0,+8)上不是增函數(shù)的是()

2

A.y=2XB.y=log^xC.y=-D.y=2/+x+l

x

2x

5.函數(shù)/'(x)=---的定義域是

log2(x-2)

6.若lg2=a,lg3=b,則log512=.

7.iH：(V2xV3)6+(5/2V2-4(—-^2x8°25-(-2005)°

49

8.設(shè)函數(shù)/(x)=2'%<1,求滿足/(x)=，的x的值.

log4xx>14

B級

9.方程炫》+愴。-3)=1的解為()

A、5或-2B、5C、-2D、無解

10.已知函數(shù)f(x)=「°g；x，(x；。)，則f［f(J_)］的值為

11.函數(shù)y=(2-4)、在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則。的取值范圍是

12.已知/(x)=2*,g(x)是一次函數(shù),并且點(2,2)在函數(shù)_/Ig(x)］的圖象上，點(2,5)在

函數(shù)g［/(x)］的圖象上，求g(x)的解析式.

13.畫出函數(shù)歹=|3'-1|的圖象，并利用圖象回答：々為何值時，方程|3*—1|=在解?

有一-解？有兩解？

C級

14.函數(shù)/(x)=a'+log“(x+l)在［0,1］上的最大值與最小值之和為。，則a的值為

)

A.—B.—C.2D.4

42

—2'+b

15.已知定義域為R的函數(shù)/(x)=尸15是奇函數(shù)。

(I)求6的值;(II)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性;

(III)若對任意的不等式/(/-27)+/(2/—左)<0恒成立，求左的取值范圍.

第三章函數(shù)的應(yīng)用

★學(xué)習(xí)目標(biāo)

節(jié)次學(xué)習(xí)目標(biāo)

函數(shù)與方程知道函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，理解用二分法求方程的近似解

函數(shù)的模型及其應(yīng)用理解常見的函數(shù)模型及其應(yīng)用

★要點解讀

本章主干知識是：零點與方程根，用二分法求方程的近似解，函數(shù)的模型及其應(yīng)用

1.函數(shù)與方程

(1)方程的根與函數(shù)的零點：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,b\上的圖象是連續(xù)不

斷的一條曲線，并且有那么，函數(shù)V=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即

存在ce(a,6),使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的根。

(2)二分法：二分法主要應(yīng)用在求函數(shù)的變號零點當(dāng)中，牢記二分法的基本計算步驟，

即基本思路為：任取兩點為和X],判斷(為，范)區(qū)間內(nèi)有無一個實根，如果f(xO和f

(照)符號相反，說明(小，及)之間有??個實根，取(小，及)的中點小檢查/'(x)與f

(X,)是否同符號，如果不同號，說明實根在(x,汨)區(qū)間，這樣就已經(jīng)將尋找根的范圍減

少了?半了.然后用同樣的辦法再進(jìn)一步縮小范圍，直到區(qū)間相當(dāng)小為止.

2.函數(shù)的模型及其應(yīng)用

(1)幾類不同增長的函數(shù)模型

利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及基函數(shù)增長差異；結(jié)合實例體會直線上升、

指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。

(2)函數(shù)模型及其應(yīng)用

建立函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟：①收集數(shù)據(jù)；②畫散點圖，選擇函數(shù)模型；③

待定系數(shù)法求函數(shù)模型；④檢驗是否符合實際，如果不符合實際，則改用其它函數(shù)模型，重

復(fù)②至④步；如果符合實際，則可用這個函數(shù)模型來解釋或解決實際問題.

解函數(shù)實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵：耐心讀題，理解題意，分析題中所包含的數(shù)量關(guān)系(包括

等量關(guān)系和不等關(guān)系).

★學(xué)法指導(dǎo)

1.函數(shù)零點的求法

【方法點撥】對于一些比較簡單的方程，我們可以通過因式分解、公式等方法求函數(shù)的零點,

對于不能用公式解決的方程，我們可以把這些方程/(x)=0與函數(shù)y=/(x)聯(lián)

系起來，并利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點，從而求出方程的根。

【案例剖析】求函數(shù)yud-Zx?—x+2的零點.

【解析】：對求簡單的三次函數(shù)的零點：一般原則是進(jìn)行分解因式，再轉(zhuǎn)化為求方程的根將

零點求出.y=x3-2x2-x+2=(x—2)(x—1)(x+1),令y=0可求得已知函

數(shù)的零點為一1、1、2.

【點評】：本題主要考查考生對函數(shù)零點概念的理解，函數(shù)零點與方程的關(guān)系.

2.二分法求方程近似解

【方法點撥】對于在區(qū)間［。，切上連續(xù)不斷，且滿足/（。）?/。）＜0的函數(shù)y=/（x）,

通過不斷地把函數(shù)/（x）的零點所在的區(qū)間-分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步

逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值.

【案例剖析】借助計算器或計算機(jī)，用二分法求方程ln（2x+6）+2=3,在區(qū)間（1,2）內(nèi)

的近似解（精確到0.1）。

【解析】：原方程即ln（2x+6）-3'+2=0,令/（x）=ln（2x+6）-3、+2,用計算器或

計算機(jī)作出函數(shù)x、/（x）的對應(yīng)值表（如下表）和圖象（如下圖）。

X-2-1012

/(x)2.58203.05302.79181.0794-4.6974

觀察圖或上表可知/（1＞/（2）＜0,說明這個函數(shù)在區(qū)間（1,2）內(nèi)有零點x。。

取區(qū)間（1,2）的中點項=1.5,用計算器可得/（1.5）?-1.00?因為/（1＞/（1.5）＜0,

所以項）w（1,1.5）。

再?。?,1.5）的中點々=125,用計算器可算得了（1.25）=0.20。因為

/（1.25）-/（1.5）＜0,所以（1.25,1.5）。

同理，可得(1.25,1.375),x0e(1.25,1.3125)?

由于ll.3125T.25=0.0625<0.1,此時區(qū)間（1.25,1.3125）的兩個端點精確到0.1的

近似值都是L3,所以原方程精確到0.1的近似值為1.3。

【點評】：一?般地，對于不能用公式法求根的方程f8=0來說，我們用二分法求出方

程的近似解.

3.利用給定函數(shù)模型解決實際問題

【方法點撥】這類問題是指在問題中明確了函數(shù)關(guān)系式，我們需要根據(jù)函數(shù)關(guān)系式來處理實

際問題，有時關(guān)系式中帶有需確定的參數(shù)，這些參數(shù)需要根據(jù)問題的內(nèi)容或性

質(zhì)來確定之后，才能使問題本身獲解.

【案例剖析】有甲乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品所能獲得的利潤依次是P和Q萬元，它們與

3-r23

投入資金x（萬元）的關(guān)系為：P=2——，。=—（—》+3）,今投入3萬元資金生產(chǎn)甲、乙

44

兩種產(chǎn)品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種產(chǎn)品的資金投入分別應(yīng)為多少？最大利潤是多少？

【解析】：設(shè)投入甲產(chǎn)品資金為x萬元（0<x<3）,投入乙產(chǎn)品資金為（3—x）萬元，總

利潤為y萬元.則

1313?1

y=P+。=1（3-%2）+1％=一1（》一二）2+京

444216

321

當(dāng)x=一時，y=一

Jmamx1,

216

答：對甲、乙產(chǎn)品各投資為I.5萬元，獲最大利潤為2二1萬元。

16

【點評】：本題是給定函數(shù)求二次函數(shù)最值的應(yīng)用問題，解答這類的問題關(guān)鍵是通過配方求

二次函數(shù)的最值。

4.建立確定的函數(shù)模型解決實際問題

【方法點撥】通過觀察圖表，判斷問題適用的函數(shù)模型，借助計算器或計算機(jī)對數(shù)據(jù)進(jìn)行處

理，利用待定系數(shù)法得出具體的函數(shù)解析式，再利用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)

的問題。

【案例剖析】2008年5月12日，四川汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震.在隨后的幾天中，

地震專家對汶川地區(qū)發(fā)生的余震進(jìn)行J'監(jiān)測，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:

強(qiáng)度（J）1.6X10193.2X10'94.5X10196.4X1019

震級（里氏）5.05.25.35.4

注：地震強(qiáng)度是指地震時釋放的能量

（1）畫出震級（y）隨地震強(qiáng)度（X）變化的散點圖；

（2）根據(jù)散點圖，從下列函數(shù)中選取選取一個函數(shù)描述震級（y）隨地震強(qiáng)度（x）變化

關(guān)系：y-kx+b,y-a\gx+b,y-a-\Ox+b

（3）四川汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震時釋放的能量是多少？（取lg2=0.3）

【解析】：（1）散點圖如下圖：

（2）根據(jù)散點圖，宜選擇函數(shù)y=algx+b。

5.0=?lg(1.6xl019)+/)

（3）根據(jù)已知，得＜解得：a=0.7,6=—7.8

5.2=alg(3.2xlOl9)+Z)

y=0.71gx-7.8

當(dāng)y=8.0時，x?1024(J)

【點評】：函數(shù)模型的選擇一方面要分析題中的實際意義，另一方面，要考慮函數(shù)的本身

特點。

★階梯練習(xí)

A級

1.函數(shù)/G)=2x+7的零點為)

77

A、(—7,0)B、(—/,())C>——D、-7

2.方程x—工=0的一個實數(shù)解的存在區(qū)間為()

x

A、(0,1)B、(0.5,1.5)C、(-2,1)D、(2,3)

3.設(shè)/(x)=3'+3x—8,用二分法求方程3*+3x-8=0在xe(1,2)內(nèi)近似解的過程中得

/⑴<0,/(1.5)>0,/(1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)1),不能確定

4.某人騎自行車沿直線勻速旅行，先前進(jìn)了。千米，休息了?段時間，又沿原路返回。千

米(*a),再前進(jìn)c千米，則此人離起點的距離s與時間f的關(guān)系示意圖是()

5.方程》2+》一1=0的實數(shù)解的個數(shù)為。

6.某輪船在航行中每小時所耗去的燃料費(fèi)與該船航行速度的立方成正比，且比例系數(shù)為a,

其余費(fèi)用與船的航行速度無關(guān)，約為每小時b元，若該船以速度P千米/時航行，航行每千

米耗去的總費(fèi)用為y(元)，則y與「的函數(shù)解析式為.

7.已知函數(shù)/(X)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x,/(x)對應(yīng)值表:

X-2—1.5-1―0.500.511.52

/(X)-3.511.022.371.56-0.381.232.773.454.89

函數(shù)/(x)在哪兒個區(qū)間內(nèi)有零點？為什么？

8.一個體戶有?種貨，如果月初售出可獲利100元，再將本利都存入銀行，已知銀行月息

為2.4%,如果月末售出可獲利120元，但要付保管費(fèi)5元，問這種貨是月初售出好，還是

月末售出好？

B級

9.函數(shù)/（*）=/一3》+2在區(qū)間（1,2）內(nèi)的函數(shù)值為（）

A、大于等于0B、等于0C、大于0D、小于0

10.有一塊長為20厘米,寬為12厘米的矩形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正

方形，然后折成一個無蓋的盒子。則盒子的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式是。

11.老師今年用7200元買一臺筆記本。電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計算機(jī)成本不斷降低，每隔

一年計算機(jī)的價格降低三分之一。三年后老師這臺筆記本還值__________

12.證明：函數(shù)/（x）=——在區(qū)間（2,3）上至少有一個零點。

X’+1

13.有一片樹林現(xiàn)有木材儲蓄量為7100御:要力爭使木材儲蓄量20年后翻兩番，即達(dá)到

2840