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第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識點(diǎn)1:導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義 4知識點(diǎn)2:導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 4解題方法總結(jié) 6題型一:導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題 6題型二:導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 7題型三:在點(diǎn)P處的切線 9題型四:過點(diǎn)P的切線 9題型五:公切線問題 10題型六:已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題 11題型七:切線的條數(shù)問題 12題型八:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題 13題型九:牛頓迭代法 14題型十:切線平行、垂直、重合問題 16題型十一:奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題 17題型十二:切線斜率的取值范圍問題 1804真題練習(xí)·命題洞見 1805課本典例·高考素材 1906易錯分析·答題模板 20易錯點(diǎn):求曲線的切線方程時(shí)忽視點(diǎn)的位置 20答題模板:求曲線過點(diǎn)P的切線方程 20
考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)導(dǎo)數(shù)的定義(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(3)導(dǎo)數(shù)的幾何意義2024年甲卷第6題,5分2024年I卷第13題,5分2023年甲卷第8題,5分2022年I卷第15題,5分2021年甲卷第13題,5分2021年I卷第7題,5分高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定,考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求切線方程為主.復(fù)習(xí)目標(biāo):(1)了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(2)通過函數(shù)圖象,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(3)能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
知識點(diǎn)1:導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義1、概念函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是,我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作或.知識點(diǎn)詮釋:①增量可以是正數(shù),也可以是負(fù),但是不可以等于0.的意義:與0之間距離要多近有多近,即可以小于給定的任意小的正數(shù);②當(dāng)時(shí),在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù),即存在一個(gè)常數(shù)與無限接近;③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限,即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率,即.2、幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率.3、物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度,即;在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度,即.【診斷自測】設(shè)為R上的可導(dǎo)函數(shù),且,則=(
)A.2 B.-2 C.1 D.-1知識點(diǎn)2:導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1、求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(為常數(shù))2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則:;(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則:;(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則:,則.3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù),的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為:【診斷自測】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1);(2).解題方法總結(jié)1、在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算:函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,抓住關(guān)鍵.2、過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為,則斜率,過切點(diǎn)的切線方程為:,又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn),所以然后解出的值.(有幾個(gè)值,就有幾條切線)注意:在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.3、高考??嫉那芯€方程(1)是的切線,同時(shí)是的切線,也是和的切線.(2)是的切線,是y=tanx的切線.(3)是的切線,是的切線.題型一:導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題【典例1-1】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且,則的值為(
)A. B.C. D.0【典例1-2】如圖1,現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為高為的圓錐容器,以的速度向該容器內(nèi)注入溶液,隨著時(shí)間(單位:)的增加,圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加,如圖2所示,忽略容器的厚度,則當(dāng)時(shí),圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為(
)A. B. C. D.【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的定義,對所給函數(shù)式經(jīng)過拆項(xiàng)、添項(xiàng)等變形和導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)一致,然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求解.【變式1-1】(多選題)已知,在R上連續(xù)且可導(dǎo),且,下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極限的說法中正確的是(
)A. B.C. D.【變式1-2】(2024·上海閔行·二模)某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間t的關(guān)系為,用的大小評價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱,已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.則下列正確的命題是(
)
A.在這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱;B.在時(shí)刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱;C.在時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達(dá)標(biāo);D.甲企業(yè)在,,這三段時(shí)間中,在的污水治理能力最強(qiáng)題型二:導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【典例2-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)(2);(3)(4).【典例2-2】已知函數(shù)滿足滿足;求的解析式【方法技巧】(1)對所給函數(shù)求導(dǎo),其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問題.(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時(shí)要進(jìn)行換元.【變式2-1】已知,則.【變式2-2】設(shè)函數(shù),則的值為(
)A.10 B.59 C. D.0【變式2-3】在等比數(shù)列中,,若函數(shù),則(
)A. B. C. D.【變式2-4】若定義域都為R的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù),滿足對任意實(shí)數(shù)x都有,則.【變式2-5】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1);(2);(3);(4).題型三:在點(diǎn)P處的切線【典例3-1】(湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)模擬試題)曲線在點(diǎn)處的切線方程為(
)A. B. C. D.【典例3-2】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知曲線在點(diǎn)處的切線為,則在軸上的截距為(
)A. B. C.1 D.2【方法技巧】函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,抓住關(guān)鍵.【變式3-1】曲線在點(diǎn)處的切線方程為(
)A. B. C. D.【變式3-2】(2024·山東濟(jì)寧·三模)已知函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則曲線在點(diǎn)處的切線方程是(
)A. B. C. D.【變式3-3】(2024·四川·三模)已知函數(shù),則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為(
)A. B.C. D.題型四:過點(diǎn)P的切線【典例4-1】已知函數(shù),直線過點(diǎn)且與曲線相切,則直線的斜率為(
)A.24 B.或 C.45 D.0或45【典例4-2】過點(diǎn)可作的斜率為1的切線,則實(shí)數(shù).【方法技巧】設(shè)切點(diǎn)為,則斜率,過切點(diǎn)的切線方程為:,又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn),所以然后解出的值.【變式4-1】曲線過點(diǎn)的切線方程為.【變式4-2】過點(diǎn)作曲線的切線,則切線方程為.【變式4-3】(2024·山西呂梁·二模)若曲線在點(diǎn)處的切線過原點(diǎn),則.【變式4-4】(2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試)已知函數(shù),過原點(diǎn)作曲線的切線,則切線的斜率為.題型五:公切線問題【典例5-1】若直線與曲線和曲線同時(shí)相切,則(
)A. B. C. D.【典例5-2】(2024·湖南長沙·一模)若直線與曲線相切,直線與曲線相切,則的值為(
)A.1 B. C. D.【方法技巧】公切線問題應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等,并且切點(diǎn)不但在切線上而且在曲線上,羅列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組,通過解方程組進(jìn)行求解.【變式5-1】(2024·廣東茂名·一模)曲線與曲線有公切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【變式5-2】(2024·遼寧大連·一模)斜率為的直線與曲線和圓都相切,則實(shí)數(shù)的值為(
)A.或 B.或 C.或 D.或【變式5-3】若存在直線,使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足,則稱此直線為和的“隔離直線”.已知函數(shù),,若和存在唯一的“隔離直線”,則(
)A. B. C. D.【變式5-4】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù),若直線是曲線與曲線的公切線,則的方程為(
)A. B.C. D.題型六:已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題【典例6-1】若直線與曲線相切,則實(shí)數(shù)(
)A. B.C. D.【典例6-2】(2024·全國·模擬預(yù)測)若直線與曲線相切,則的最小值為(
)A. B.-2 C.-1 D.0【方法技巧】已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題,核心是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程:①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;②切點(diǎn)在曲線上;③切點(diǎn)在切線上.【變式6-1】已知直線與函數(shù)的圖象相切,則的最小值為.【變式6-2】(2024·重慶·模擬預(yù)測)已知直線與曲線相切于點(diǎn),若,則的取值范圍為(
)A. B. C. D.【變式6-3】已知函數(shù),若曲線在處的切線方程為,則.【變式6-4】(2024·四川·模擬預(yù)測)已知,直線與曲線相切,則.【變式6-5】對給定的實(shí)數(shù),總存在兩個(gè)實(shí)數(shù),使直線與曲線相切,則的取值范圍為.題型七:切線的條數(shù)問題【典例7-1】若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線,則(
)A. B.C. D.【典例7-2】若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線,則(
)A. B. C. D.【方法技巧】設(shè)切點(diǎn)為,則斜率,過切點(diǎn)的切線方程為:,又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn),所以然后解出的值,有多少個(gè)解對應(yīng)有多少條切線.【變式7-1】(2024·內(nèi)蒙古·三模)若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線,則的取值范圍為(
)A. B.C. D.【變式7-2】若曲線有且僅有一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則正數(shù)a的值為()A. B. C. D.【變式7-3】(2024·全國·二模)若曲線有三條過點(diǎn)的切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(
)A. B. C. D.【變式7-4】已知,如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線.則下列結(jié)論中正確的是(
)A. B. C. D.【變式7-5】已知函數(shù),若過點(diǎn)可作兩條直線與曲線相切,則下列結(jié)論正確的是(
).A. B.C.的最大值為2 D.【變式7-6】過點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,則(
)A. B. C.1 D.2【變式7-7】(2024·高三·北京海淀·期末)若關(guān)于的方程(且)有實(shí)數(shù)解,則的值可以為(
)A.10 B. C.2 D.題型八:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題【典例8-1】(2024·四川眉山·三模)若關(guān)于的不等式恒成立,則的最大值為(
)A. B. C. D.【典例8-2】(2024·四川涼山·二模)已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),則的最大值為(
)A. B. C. D.【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題,利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決,常用方法平移切線法.【變式8-1】(2024·湖北·模擬預(yù)測)設(shè),其中,則的最小值為()A. B. C. D.【變式8-2】(2024·遼寧遼陽·一模)設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為l,P為l上一點(diǎn),Q為圓上一點(diǎn),則的最小值為(
)A. B. C. D.【變式8-3】(2024·寧夏銀川·一模)已知實(shí)數(shù)滿足,,則的最小值為(
)A. B. C. D.【變式8-4】設(shè)點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,則的最小值為.【變式8-5】已知,則的最小值為.【變式8-6】(2024·高三·山東青島·期末)已知動點(diǎn)P,Q分別在圓和曲線上,則的最小值為.【變式8-7】(2024·河南·一模)記函數(shù)的圖象為,作關(guān)于直線的對稱曲線得到,則曲線上任意一點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為.【變式8-8】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對稱,若,分別為它們圖象上的兩個(gè)動點(diǎn),則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為(
)A. B. C. D.【變式8-9】(2024·全國·模擬預(yù)測)若函數(shù),點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離的最小值為(
)A. B. C. D.【變式8-10】若點(diǎn),則兩點(diǎn)間距離的最小值為.【變式8-11】實(shí)數(shù)滿足,,的最小值是(
)A. B. C. D.【變式8-12】已知是曲線的一條切線,則的最小值為(
)A. B. C. D.題型九:牛頓迭代法【典例9-1】(2024·山東濰坊·三模)牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法.如圖,方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn),取初始值的圖象在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的圖象在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,一直繼續(xù)下去,得到,它們越來越接近.設(shè)函數(shù),,用牛頓迭代法得到,則實(shí)數(shù)(
)A.1 B. C. D.【典例9-2】已知函數(shù),若曲線在處的切線交軸于點(diǎn),在處的切線交軸于點(diǎn),依次類推,曲線在處的切線交軸于點(diǎn),則的值是(
)A. B. C. D.【方法技巧】數(shù)形結(jié)合處理.【變式9-1】(2024·湖北咸寧·模擬預(yù)測)英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出一種求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下:設(shè)是的根,選取作為的初始近似值,過點(diǎn)做曲線的切線:,則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,稱是的一次近似值;重復(fù)以上過程,得的近似值序列,其中,稱是的次近似值.運(yùn)用上述方法,并規(guī)定初始近似值不得超過零點(diǎn)大小,則函數(shù)的零點(diǎn)一次近似值為(
)(精確到小數(shù)點(diǎn)后3位,參考數(shù)據(jù):)A.2.207 B.2.208 C.2.205 D.2.204【變式9-2】(2024·北京·模擬預(yù)測)給定函數(shù),若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列.已知為的牛頓數(shù)列,,且,數(shù)列的前項(xiàng)和為.則()A. B.C. D.【變式9-3】英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí),給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛,若數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列.如果函數(shù),數(shù)列為牛頓數(shù)列,設(shè),且,.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,則.【變式9-4】令函數(shù),對拋物線,持續(xù)實(shí)施下面牛頓切線法的步驟:在點(diǎn)處作拋物線的切線,交x軸于;在點(diǎn)處作拋物線的切線,交x軸于;在點(diǎn)處作拋物線的切線,交x軸于;……由此能得到一個(gè)數(shù)列隨著n的不斷增大,會越來越接近函數(shù)的一個(gè)零在點(diǎn),因此我們可以用這種方法求零點(diǎn)的近似值.①設(shè),則;②用二分法求方程在區(qū)間上的近似解,根據(jù)前4步結(jié)果比較,可以得到牛頓切線法的求解速度(快于?等于?慢于)二分法.題型十:切線平行、垂直、重合問題【典例10-1】(2024·高三·廣東深圳·期末)已知曲線與軸交于點(diǎn),設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的切線為,設(shè)上一點(diǎn)橫坐標(biāo)為,若直線,則所在的區(qū)間為(
)A. B. C. D.【典例10-2】(2024·高三·廣西·開學(xué)考試)曲線在A點(diǎn)處的切線與直線垂直,則切線方程為(
)A. B.C. D.【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用兩直線平行或重合則斜率相等,兩直線垂直則斜率之積為-1.【變式10-1】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn),使得曲線在點(diǎn)處的切線都與直線垂直,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【變式10-2】(2024·河北邢臺·二模)已知函數(shù)的圖像在,兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行,則下面等式可能成立的是(
)A. B. C. D.【變式10-3】已知函數(shù),過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線的切線l,切點(diǎn)為A,過A且與l垂直的直線交x軸于點(diǎn)B,則面積的取值范圍是(
)A. B. C. D.【變式10-4】已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)、,使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍可能是(
)A., B. C., D.題型十一:奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題【典例11-1】已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù),則.【典例11-2】(2024·海南??凇ざ#┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?,是偶函?shù),當(dāng)時(shí),,則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為(
)A. B. C.2 D.【方法技巧】奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).【變式11-1】(2024·北京·模擬預(yù)測)記函數(shù)的最小正周期為T,為的導(dǎo)函數(shù).若,為偶函數(shù),則的最小值為(
).A.1 B.2 C.3 D.4【變式11-2】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù),則(
)A. B.0 C.1 D.2【變式11-3】(2024·全國·模擬預(yù)測)已知為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.題型十二:切線斜率的取值范圍問題【典例12-1】過函數(shù)圖像上一個(gè)動點(diǎn)作函數(shù)的切線,則切線傾斜角范圍為(
)A. B.C. D.【典例12-2】(2024·廣東深圳·一模)已知函數(shù),設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為,若均不相等,且,則的最小值為.【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出導(dǎo)函數(shù)的值域,從而求出切線斜率的取值范圍問題.【變式12-1】(2024·廣東廣州·模擬預(yù)測)已知直線恒在曲線的上方,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【變式12-2】點(diǎn)P在曲線上移動,設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為,則角的范圍是()A. B. C. D.1.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍
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