第01講 數(shù)列的基本知識與概念（六大題型）（講義）（原卷版）

第01講數(shù)列的基本知識與概念目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．2021年北京卷第10題，4分2020年浙江卷第11題，4分高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是數(shù)列與函數(shù)結(jié)合考查單調(diào)性、周期性、最值性.知識點一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．知識點二、數(shù)列的分類（1）按照項數(shù)有限和無限分：（2）按單調(diào)性來分：知識點三、數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．【解題方法總結(jié)】（1）若數(shù)列的前項和為，通項公式為，則注意：根據(jù)求時，不要忽視對的驗證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則題型一：數(shù)列的周期性例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，，且，則（

）A． B． C． D．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，對所有的正整數(shù)都有，則（

）A．

B．

C．

D．例3．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的第100項為（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式1．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．1變式2．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)函數(shù)定義如下，數(shù)列滿足，且對任意自然數(shù)均有，則的值為（

）x1234541352A．1 B．2 C．4 D．5變式3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）在數(shù)列中，已知，當(dāng)時，是的個位數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1變式4．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．4【解題方法總結(jié)】解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．題型二：數(shù)列的單調(diào)性例4．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，則“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不是充分也不是必要條件例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若存在實數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5．（2023·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式7．（2023·江蘇南通·高三期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式9．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前n項和，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關(guān)系進行判斷數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷題型三：數(shù)列的最大（?。╉椑?．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項等于______.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項和，若，則的最小值為______．例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為_________變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項，則k的取值范圍為______．變式11．（2023·高三課時練習(xí)）數(shù)列的通項公式為若是中的最大項，則a的取值范圍是______．變式12．（2023·北京·高三北京八中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項的值是__________．變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若數(shù)列中最小項為第3項，則______．變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則的最小值為___________.【解題方法總結(jié)】求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進而求出數(shù)列的最大（小）項．（2）通過通項公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項，利用確定最小項．（3）比較法：若有或時，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項為；若有或時，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項為．題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．110 B．128 C．144 D．89例11．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為.記第n個k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：，可以推測的表達(dá)式，由此計算（

）A．4020 B．4010 C．4210 D．4120變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（

）A．28 B．36 C．45 D．55變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開始用數(shù)字來表達(dá)這個世界．在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”進行了一系列推論，用來解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖．該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數(shù)列為，則（

）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）觀察下列各式：；；；；；則（

）A．28 B．76 C．123 D．10變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列．類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（）A．36 B．25 C．49 D．64【解題方法總結(jié)】特殊值法、列舉法找規(guī)律題型五：數(shù)列的恒成立問題例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式，前n項和是，對于，都有，則k＝______．例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若恒成立，則實數(shù)k的最小值為______．例15．（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿足(，且)，，對于任意有恒成立，則的取值范圍是___________.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．變式20．（2023·河北唐山·高三唐山一中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，，若不等式，對任何正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題．題型六：遞推數(shù)列問題例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2009項之和為______.例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正項數(shù)列中，，，猜想通項公式為_________．例18．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，寫出一個符合上述條件的數(shù)列的通項公式______.變式21．（2023·全國·模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第______項．變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將一個2021邊形的每個頂點染為紅、藍(lán)、綠三種顏色之一，使得相鄰頂點的顏色互不相同．問：有多少種滿足條件的染色方法？變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上有n條直線，其中任意兩條不平行，任何三條不共線．問：這些直線把平面分成多少個部分？其中有多少個部分是無界的？變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）學(xué)生甲手里有一枚質(zhì)地均勻的硬幣，他投擲10次，不連