【專項(xiàng)精練】第14 課 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值-2024年新高考數(shù)學(xué)分層專項(xiàng)精練(解析版)_第1頁
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文檔簡介

第14課導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(分層專項(xiàng)精練)【一層練基礎(chǔ)】一、單選題1.(2023春·四川遂寧·高三射洪中學(xué)??茧A段練習(xí))已知,且函數(shù)恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)在,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】運(yùn)用整體思想法,求得的范圍,再運(yùn)用正弦函數(shù)圖象分析即可.【詳解】∵,,∴,又∵在恰有2個(gè)極大值點(diǎn),∴由正弦函數(shù)圖象可知,,解得:.故選:B.2.(2023·四川宜賓·四川省宜賓市第四中學(xué)校??既#┮阎瘮?shù)和有相同的極大值,則(

)A.0 B.2 C. D.【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù),先求得的極大值,然后根據(jù)與有相同的極大值求得.【詳解】求導(dǎo),令,解得,令,解得,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在處取得極大值,,令,解得,令,解得,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在處取得極大值,依據(jù)題意,和有相同的極大值,故,解得.故選:A3.(2023·廣西南寧·南寧三中??寄M預(yù)測)當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,則(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù),由題意,解得,即可計(jì)算.【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,所以,所以,得,又,根據(jù)函數(shù)在處取得最值,所以即得,所以,.故選:C.4.(2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)存在最大值0,則的值為(

)A. B. C.1 D.【答案】B【分析】討論與0的大小關(guān)系確定的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】因?yàn)?,,所以?dāng)時(shí),恒成立,故函數(shù)單調(diào)遞增,不存在最大值;當(dāng)時(shí),令,得出,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,所以,解得:.故選:B.二、多選題5.(2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)??寄M預(yù)測)關(guān)于函數(shù),下列判斷正確的是(

)A.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為B.是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí),D.當(dāng)時(shí),不等式的解集為【答案】ACD【分析】先對函數(shù)求導(dǎo),得到,求出函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程,即判斷A;根據(jù)時(shí),恒成立,得到函數(shù)單調(diào),無極值點(diǎn),可判斷B;根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出時(shí),的最小值,即可判斷C;根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判斷時(shí)函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性列出不等式組求解,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,,所以,因此函?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為,即,故A正確;當(dāng)時(shí),在上恒成立,即函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,無極值點(diǎn);故B錯(cuò);當(dāng)時(shí),,由得;由得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;因此,即;故C正確;當(dāng)時(shí),在上恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;由可得,解得:,故D正確;故選:ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查求曲線在某一點(diǎn)處的切線方程,以及導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值等,屬于??碱}型.6.(2023·全國·高三專題練習(xí))對于函數(shù),則(

)A.有極大值,沒有極小值B.有極小值,沒有極大值C.函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)D.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AD【分析】對函數(shù)求導(dǎo),通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而可知函數(shù)是否有極值;畫出函數(shù)與的圖象從而可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù);函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)價(jià)于函數(shù)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】,則,因?yàn)樵诤愠闪?所以當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增;所以在處有極大值,沒有極小值,故A正確,B錯(cuò)誤;根據(jù)的單調(diào)性,畫出函數(shù)圖像,以及的圖象,如圖:由此可知,函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),故C錯(cuò)誤;函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn),如下圖所示:由此可知,函數(shù)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);故D正確.故選:AD.三、填空題7.(2023·湖南岳陽·湖南省岳陽縣第一中學(xué)??级#┮阎瘮?shù)有2個(gè)極值點(diǎn),,則.【答案】0【分析】由得,然后根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)與由,則的兩根為與,所以,即,由,可得,所以.故答案為:0.8.(2023·遼寧沈陽·沈陽二中??寄M預(yù)測)函數(shù)的極小值點(diǎn)為.【答案】2【分析】利用求解函數(shù)的極值點(diǎn),再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),所以,得,令可得函數(shù)增區(qū)間為,可得函數(shù)的減區(qū)間為,所以在處取得極小值為,所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為2.故答案為:2.9.(2023·全國·高三專題練習(xí))若是函數(shù)的極小值點(diǎn),則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.【答案】/【分析】求導(dǎo),根據(jù)極值點(diǎn)可得,進(jìn)而解得或,代入驗(yàn)證極值點(diǎn)可確定,進(jìn)而根據(jù)極大值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較即可求解.【詳解】由,得,因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn),所以,即,即,解得或.當(dāng)時(shí),,當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以是函數(shù)的極大值點(diǎn),不符合題意;當(dāng)時(shí),,當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以是函數(shù)的極小值點(diǎn),是函數(shù)的極大值點(diǎn),故又因?yàn)?,,所以函?shù)在的最大值為.故答案為:.10.(2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)??寄M預(yù)測)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性與最值情況.【詳解】由,得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,所以,即,所以的取值范圍是,故答案為:.【二層練綜合】一、單選題1.(2023春·陜西商洛·高二??茧A段練習(xí))已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),且,關(guān)于軸對稱,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱,根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn),即方程在上有解,即在上有解.令,,則,可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),,由于,,且,所以.故選:A.2.(2023秋·福建莆田·高三莆田第四中學(xué)??茧A段練習(xí))若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,則(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】由極值點(diǎn)定義確定的關(guān)系,化簡,由此求的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),又函數(shù)的定義域?yàn)?,?dǎo)函數(shù)為,所以方程由兩個(gè)不同的正根,且為其根,所以,,,所以,則,又,即,可得,所以或(舍去),故選:C.二、多選題3.(2023春·湖南郴州·高二??茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù),則下列說法正確的是(

)A.沒有零點(diǎn) B.當(dāng)時(shí),的圖象位于軸下方C.存在單調(diào)遞增區(qū)間 D.有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】BC【分析】根據(jù),求得的符號,即可判斷B;利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可判斷C;再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可判斷A;再根據(jù)極值點(diǎn)的定義即可判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,,令,則,所以函數(shù)在上遞減,又,所以存在上,使得,即函數(shù)有唯一零點(diǎn),且,當(dāng)時(shí),,即,函數(shù)遞增,故C正確;當(dāng)時(shí),,即,函數(shù)遞減,所以為函數(shù)的極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn),即有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),故D錯(cuò)誤;所以,又,所以函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn),故A錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以,即當(dāng)時(shí),的圖象位于軸下方,故B正確.故選:BC.三、填空題4.(2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中??寄M預(yù)測)函數(shù),若關(guān)于x的不等式的解集為,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】分和兩種情況討論,當(dāng)時(shí),根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到,當(dāng)時(shí),分和兩種情況討論,時(shí),將轉(zhuǎn)化為,然后借助函數(shù)的單調(diào)性和最值解不等式即可.【詳解】由題意知,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,結(jié)合圖象知;當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),,令,則,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,所以.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為:.【三層練能力】1.(2023·全國·高三專題練習(xí))函數(shù),則(

)A.,使得在上遞減B.,使得直線為曲線的切線C.,使得既為的極大值也為的極小值D.,使得在上有兩個(gè)零點(diǎn),且【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)由即可求解A,根據(jù)切點(diǎn)為的切線,即可求解B,求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性即可確定極小值,結(jié)合對稱性即可確定極大值,舉例求解D.【詳解】A.若,使得在上遞減,則,代入得,解得且,故不存在,因此不存在,使得在上遞減,故A錯(cuò);B.當(dāng)時(shí),,當(dāng)切點(diǎn)為時(shí),則只需,故B對;C.注意到,令,另一方面,時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),此時(shí)時(shí),取極小值,此時(shí)為極小值,由,所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,由對稱性可知:為的極大值,此時(shí)也為極大值.故C對;對于D,令,,函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),,所以,故D正確;故選:BCD【點(diǎn)睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略:1、通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍;2、利用可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí),一般涉及分離參數(shù)法,但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況,進(jìn)行求解,若參變分離不易求解問題,就要考慮利用分類討論法和放縮法,注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.2.(2023·高二單元測試)函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則下列選項(xiàng)正確的有(

)A.函數(shù)的極大值為1B.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為C.當(dāng)時(shí),方程恰有2個(gè)不等實(shí)根D.當(dāng)時(shí),方程恰有3個(gè)不等實(shí)根【答案】BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)探討極大值判斷A;利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷B;分析函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合函數(shù)圖象判斷CD作答.【詳解】對于A:,在區(qū)間,上,,單調(diào)遞增,在區(qū)間上,,單調(diào)遞減,所以的極大值為,A錯(cuò)誤;對于B:,,則函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即,B正確;對于C、D:因?yàn)?/p>

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