2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第十一章第1講含答案

2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第十一章第1講含答案第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題．1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有eq\x(\s\up1(01))兩類不同的方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝eq\x(\s\up1(02))m＋n種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要eq\x(\s\up1(03))兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝eq\x(\s\up1(04))m×n種不同的方法．兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點用來計算完成一件事的方法種數(shù)不同點分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的每一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏,步步相依，缺一不可1．(人教A選擇性必修第三冊6.1練習(xí)T3改編)快遞員去某小區(qū)送快遞，該小區(qū)共有四個出入口，每個出入口均可進出，則該快遞員進出該小區(qū)的方案種數(shù)為()A．6 B．8C．16 D．14答案C解析方案種數(shù)為4×4＝16，故選C.2．(人教B選擇性必修第二冊3.1.1練習(xí)AT1改編)某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中的一本，則購買方案有()A．3種 B．6種C．7種 D．9種答案C解析買一本，有3種方案；買兩本，有3種方案；買三本，有1種方案．因此共有3＋3＋1＝7種購買方案．故選C.3．將3張不同的奧運會門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是()A．2160 B．720C．240 D．120答案B解析分步來完成此事．第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法．共有10×9×8＝720種分法．故選B.4．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定的不同平面的個數(shù)為()A．40 B．16C．13 D．10答案C解析分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．故選C.5．(人教A選擇性必修第三冊習(xí)題6.1T6(1)改編)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點有________個．答案6解析第一象限內(nèi)不同的點有2×2＝4個，第二象限內(nèi)不同的點有1×2＝2個，故共有4＋2＝6個．考向一分類加法計數(shù)原理例1(1)我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的共有()A．18個 B．15個C．12個 D．9個答案B解析依題意知，這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4，0，0組成的有3個，分別為400，040，004；由3，1，0組成的有6個，分別為310，301，130，103，013，031；由2，2，0組成的有3個，分別為220，202，022；由2，1，1組成的有3個，分別為211，121，112，共3＋6＋3＋3＝15(個)．(2)設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，則方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示的焦點位于y軸上的橢圓有()A．6個 B．8個C．12個 D．16個答案A解析因為橢圓的焦點在y軸上，所以m<n，當(dāng)m＝1時，n＝2，3，4；當(dāng)m＝2時，n＝3，4；當(dāng)m＝3時，n＝4，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個)．故選A.使用分類加法計數(shù)原理時應(yīng)注意的三個方面(1)各類方法之間相互獨立，每種方法都能完成這件事，且方法總數(shù)是各類方法數(shù)相加得到的．(2)分類時，首先要在問題的條件之下確定一個分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類標(biāo)準(zhǔn)下進行分類．(3)完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同類的方法都是不同的．1.某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有()A．4種 B．10種C．18種 D．20種答案B解析依題意，得可能剩余一本畫冊或一本集郵冊兩類情況．第一類，剩余的是一本畫冊，此時滿足題意的贈送方法共有4種；第二類，剩余的是一本集郵冊，此時滿足題意的贈送方法共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)．因此滿足題意的贈送方法共有4＋6＝10種．故選B.2．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．10答案B解析當(dāng)a＝0時，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時有序數(shù)對(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均滿足要求；當(dāng)a≠0時，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時滿足要求的有序數(shù)對為(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)．綜上，滿足要求的有序數(shù)對共有13個．故選B.3．如果一個三位正整數(shù)形如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A．240 B．204C．729 D．920答案A解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，凸數(shù)為120與121，共2個．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則凸數(shù)有2×3＝6(個)．若a2＝4，滿足條件的凸數(shù)有3×4＝12(個)，…，若a2＝9，滿足條件的凸數(shù)有8×9＝72(個)．所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．故選A.考向二分步乘法計數(shù)原理例2(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．9答案B解析分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B.(2)“數(shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為()5A．72 B．108C．144 D．196答案C解析依題意，5的上方和左邊所填數(shù)字只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊所填數(shù)字只能從6，7，8，9中選取．第一步，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法．由分步乘法計數(shù)原理，得不同的填法種數(shù)為4×3×4×3＝144.故選C.(3)現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天或不值班，但相鄰兩天不能同一個人值班，則此值班表共有________種不同的排法．答案1280解析完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法計數(shù)原理，分步進行：第一天有5種不同排法，第二天不能與第一天已排的人相同，所以有4種不同排法，依次類推，第三、四、五天都有4種不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280種不同的排法．利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．(2)將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵，從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù)．1.(2023·汕頭二模)電腦調(diào)色板有紅、綠、藍三種基本顏色，每種顏色的色號均為0～255.在電腦上繪畫可以分別從三種顏色的色號中各選一個配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種數(shù)為()A．2563 B．27C．2553 D．6答案A解析分3步取色，第一、第二、第三次都有256種取法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得共可配成256×256×256＝2563種顏色．故選A.2．為響應(yīng)國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有()A．48種 B．36種C．24種 D．12種答案B解析由題意可知，分三步完成：第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有2×3×6＝36(種)不同的選取方法．故選B.3．從－1，0，1，2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個．(用數(shù)字作答)答案186解析一個二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理，知共有3×3×2＝18個不同的二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6個偶函數(shù)．多角度探究突破考向三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用角度與數(shù)字有關(guān)的問題例3(1)用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279答案B解析由分步乘法計數(shù)原理知，用0，1，…，9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個數(shù)為9×10×10＝900，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900－648＝252.故選B.(2)從2，3，4，5，6，7，8，9這8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所產(chǎn)生的不同對數(shù)值的個數(shù)為()A．56 B．54C．53 D．52答案D解析在8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字共可產(chǎn)生8×7＝56個對數(shù)值，在這56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，則滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52個．故選D.角度與幾何有關(guān)的問題例4(1)從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有()A．8種 B．12種C．16種 D．20種答案B解析正方體共有3組對面互不相鄰．與正方體的每組對面相鄰的面有4個，所以有3×4＝12種選法．故選B.(2)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24答案B解析長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個對角面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.故選B.角度與涂色、種植有關(guān)的問題例5(1)(2023·常州模擬)中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同．若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有()A．1050種 B．1260種C．1302種 D．1512種答案C解析由題意可得，只需確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，即可確定整個傘面的涂色．先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有6種選擇．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋6)＝1302種．故選C.(2)在一塊并排10壟的田地中，種植作物時每種作物種植一壟，相鄰的壟不種同一種作物．現(xiàn)有3種作物可選，則有________種種植方法；若3種作物必須都種，則有________種種植方法；若只在其中2壟種植其中的A，B兩種作物，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則有________種種植方法．答案1536153012解析3種作物任選時，種植第1壟有3種選擇，第2壟有2種選擇，后面的壟只需與前一壟不同即可，共有3×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝1536(種)種植方法.3種作物都選時，只需排除只用2種作物完成種植的情況，共有1536－3×2×1×1×1×1×1×1×1×1＝1530(種)種植方法．兩種作物的間隔不小于6壟時，分兩步：第一步，先選壟，如圖所示，共有6種選法；第二步，種植A，B兩種作物，有2種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得有6×2＝12(種)種植方法．利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點(1)當(dāng)題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法．(2)分類時，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律．(3)對于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步．1.如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是()A．48 B．18C．24 D．36答案D解析分類討論：第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24個；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36個．故選D.2．(2023·菏澤模擬)某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法種數(shù)為()A．288 B．336C．576 D．1680答案B解析第一步：排白車，第一行選一個位置，則第二行有三個位置可選，由于白車是不相同的，故白車的停法有4×3×2＝24種；第二步：排黑車，若白車選AF，則黑車有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG，共7種選擇，由于黑車是不相同的，故黑車的停法有2×7＝14種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的停車方法種數(shù)為24×14＝336.故選B.3.某社區(qū)新建了一個休閑小公園，幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域，如圖．社區(qū)準(zhǔn)備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域，要求每個區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉顏色不能相同，則不同的種植方法種數(shù)為()A．96 B．114C．168 D．240答案C解析首先在a中種植，有4種不同方法，其次在b中種植，有3種不同方法，再次在c中種植，若c與b同色，則c有1種方法，d有3種不同方法，若c與b不同色，則c有2種不同方法，d有2種不同方法，最后在e中種植，有2種不同方法，所以不同的種植方法共有4×3×(1×3＋2×2)×2＝168(種)．故選C.課時作業(yè)一、單項選擇題1．在某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著——《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》《西游記》(每種名著至少有5本)，若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為()A．1024 B．625C．120 D．5答案A解析對于五名同學(xué)來說，每人都有4種借閱可能，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有45＝1024種可能．故選A.2．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6答案B解析分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，有3×2×2＝12個奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，有3×2×1＝6個奇數(shù)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋6＝18個奇數(shù)．故選B.3．7人站成兩排隊列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為()A．120 B．240C．360 D．480答案C解析第一步，從甲、乙、丙三人中選一個加到前排，有3種方法；第二步，前排3人形成了4個空，任選一個空加一人，有4種方法；第三步，后排4人形成了5個空，任選一個空加一人，有5種方法，此時形成了6個空，任選一個空加一人，有6種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的加入方法種數(shù)為3×4×5×6＝360.故選C.4．甲、乙、丙三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種 B．6種C．10種 D．16種答案B解析分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)；同理，甲先傳給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6種傳遞方式．故選B.5．(2023·寶雞模擬)某社區(qū)計劃在端午節(jié)前夕按如下規(guī)則設(shè)計香囊：在基礎(chǔ)配方以外，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選一味添加到香囊中，則不同的添加方案有()A．13種 B．14種C．15種 D．16種答案C解析從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選一味，有Ceq\o\al(1,4)＝4種方法；選兩味，有Ceq\o\al(2,4)＝6種方法；選三味，有Ceq\o\al(3,4)＝4種方法；四味中藥全選，有Ceq\o\al(4,4)＝1種方法，所以從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選一味添加到香囊中，不同的添加方案共有4＋6＋4＋1＝15種．故選C.6.(2023·南通模擬)在中華傳統(tǒng)文化里，建筑、器物、書法、詩歌、對聯(lián)、繪畫幾乎無不講究對稱之美．如圖所示是清代詩人黃柏權(quán)的《茶壺回文詩》，其以連環(huán)詩的形式展現(xiàn)，20個字繞著茶壺成一圓環(huán)，無論順著讀還是逆著讀，皆成佳作．?dāng)?shù)學(xué)與生活也有許多奇妙的聯(lián)系，如2020年02月02日(20200202)被稱為世界完全對稱日(公歷紀年日期中數(shù)字左右完全對稱的日期)．?dāng)?shù)學(xué)上把20200202這樣的對稱數(shù)叫回文數(shù)，如11，242，5225都是回文數(shù)，則用0，1，2，3，4，5這些數(shù)字構(gòu)成的所有三位數(shù)的回文數(shù)中，能被3整除的個數(shù)是()A．8 B．10C．11 D．13答案B解析當(dāng)三位數(shù)的三個數(shù)位上的數(shù)字都相同時，有111，222，333，444，555，共5個；當(dāng)三位數(shù)的三個數(shù)位上的數(shù)字有兩個相同時，有141，252，303，414，525，共5個，所以滿足題意的回文數(shù)共有10個．故選B.7.《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是()A．8 B．12C．16 D．18答案C解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，當(dāng)A1ABB1為底面矩形時，有4個滿足題意；當(dāng)A1AFF1為底面矩形時，有4個滿足題意；當(dāng)A1ACC1為底面矩形時，有4個滿足題意；當(dāng)A1AEE1為底面矩形時，有4個滿足題意．故共有4＋4＋4＋4＝16個．故選C.8.(2023·南寧模擬)五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想．多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面．五行學(xué)說是華夏文明重要的組成部分．古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系．五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運動變化．所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源．如圖是五行圖，現(xiàn)有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色(例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色)，五行相克可以用同一種顏色(例如火與水相克可以用同一種顏色)，則不同的涂色方法種數(shù)是()A．30 B．120C．150 D．240答案D解析由題意，不妨設(shè)4種顏色分別為A，B，C，D，先填涂區(qū)域“火”，有4種選擇，不妨設(shè)區(qū)域“火”填涂的顏色為A，接下來填涂區(qū)域“土”，有3種選擇，分別為B，C，D，若區(qū)域“土”填涂的顏色為B，則區(qū)域“金”填涂的顏色可為A，C，D；若區(qū)域“土”填涂的顏色為C，則區(qū)域“金”填涂的顏色可為A，B，D；若區(qū)域“土”填涂的顏色為D，則區(qū)域“金”填涂的顏色可為A，B，C.綜上所述，區(qū)域“金”填涂A，B，C，D的方案種數(shù)分別為3，2，2，2，接下來考慮區(qū)域“水”的填涂方案：若區(qū)域“金”填涂的顏色為A，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為B，C，D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為B，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A，C，D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為C，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A，B，D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為D，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A，B，C.則區(qū)域“水”填涂A的方案種數(shù)為2×3＝6，填涂B的方案種數(shù)為3＋2×2＝7，填涂C的方案種數(shù)為3＋2×2＝7，填涂D的方案種數(shù)為3＋2×2＝7.從區(qū)域“火”“土”“金”填涂至區(qū)域“水”，填涂區(qū)域“水”的方案還和填涂區(qū)域“木”有關(guān)，若區(qū)域“水”填涂的顏色為A，則區(qū)域“木”填涂的顏色可為B，C，D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為B，則區(qū)域“木”填涂的顏色可為C，D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為C，則區(qū)域“木”填涂的顏色可為B，D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為D，則區(qū)域“木”填涂的顏色可為B，C.所以，當(dāng)區(qū)域“火”填涂顏色A時，填涂方案種數(shù)為6×3＋7×2×3＝60.因此不同的涂色方法種數(shù)是4×60＝240.故選D.二、多項選擇題9．現(xiàn)有4個數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說法正確的是()A．選1人為負責(zé)人的選法有34種B．每組選1名組長的選法有5400種C．若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法有420種D．若另有3名學(xué)生加入這4個小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有37種答案AD解析對于A，4個數(shù)學(xué)課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故選1人為負責(zé)人的選法有34種，A正確；對于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名組長，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040(種)，B錯誤；對于C，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法，從第一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法，從第一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法，從第二、三組中各選1人，有8×9種不同的選法，從第二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法，從第三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法．所以不同的選法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)，C錯誤；對于D，若不考慮限制條件，每個人都有4種選法，共有43＝64種選法，其中第一組沒有人選，每個人都有3種選法，共有33＝27種選法，所以不同的選法共有64－27＝37(種)，D正確．10.(2023·嘉興模擬)如圖，把圖中A，B，C，D，E五塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，現(xiàn)有n種不同的顏色可供選擇，則()A．n≥3B．當(dāng)n＝4時，若B，D同色，共有48種涂法C．當(dāng)n＝4時，若B，D不同色，共有48種涂法D．當(dāng)n＝5時，總的涂色方法有420種答案ABD解析對于A，由于區(qū)域A與B，C，D均相鄰，所以至少需要三種及以上的顏色才能保證相鄰區(qū)域不同色，故A正確．對于B，當(dāng)n＝4時，按照ABC的順序涂，每一個區(qū)域需要一種顏色，此時有4×3×2＝24種涂法，涂D時，由于B，D同色(D只有一種顏色可選)，所以只需要從剩下的顏色或與A同色的兩種顏色中選擇一種涂E，共有24×2＝48種涂法，故B正確．對于C，當(dāng)n＝4時，涂ABC有4×3×2＝24種涂法，由于B，D不同色(D只有一種顏色可選)，此時A，B，C，D四塊區(qū)域所用顏色各不相同，涂E只能用與A同色的顏色，此時共有24種涂法，故C錯誤．對于D，當(dāng)n＝5時，按照ABC的順序涂，每一個區(qū)域需要一個顏色，此時有5×4×3＝60種涂法，涂D時，若B，D同色(D只有一種顏色可選)，只需要從剩下的兩種顏色中或與A同色的顏色中選擇一種涂E，共有60×3＝180種涂法；若B，D不同色，此時A，B，C，D四塊區(qū)域所用顏色各不相同，有5×4×3×2＝120種涂法，只需要從剩下的顏色或與A同色的兩種顏色中選擇一種涂E，此時共有120×2＝240種涂法．綜上可知，總的涂色方法有180＋240＝420種，故D正確．故選ABD.11．用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，則下列結(jié)論中正確的是()A．組成的三位數(shù)的個數(shù)為60B．在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為30C．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為20D．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為30答案BC解析對于A，因為百位數(shù)上的數(shù)字不能為零，所以組成的三位數(shù)的個數(shù)為4×4×3＝48，故A錯誤；對于B，將所有三位數(shù)的偶數(shù)分為兩類：①個位數(shù)為0，則有4×3＝12個，②個位數(shù)為2或4，則有2×3×3＝18個，所以在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為12＋18＝30，故B正確；對于C，D，將這些“凹數(shù)”分為三類：①十位為0，則有4×3＝12個，②十位為1，則有3×2＝6個，③十位為2，則有2×1＝2個，所以在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為12＋6＋2＝20，故C正確，D錯誤．故選BC.三、填空題12．世界杯參賽球隊共32支，現(xiàn)分成8個小組進行單循環(huán)賽，決出16強(各組的前2名小組出線)，這16支隊伍按照確定的程序進行淘汰賽，決出8強，再決出4強，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進行的總場數(shù)為________．答案64解析因為8個小組進行單循環(huán)賽，每個小組進行6場小組賽，所以小組賽的場數(shù)為8×6＝48，因為16支隊伍按照確定的程序進行淘汰賽，所以淘汰賽的場數(shù)為8＋4＋2＋2＝16，因此比賽進行的總場數(shù)為48＋16＝64.13．4張卡片的正、反面分別寫有0與1，2與3，4與5，6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成________個不同的三位數(shù)．答案168解析要組成三位數(shù)，根據(jù)首位、十位、個位應(yīng)分三步：第一步：首位可放8－1＝7個數(shù)；第二步：十位可放6個數(shù)；第三步：個位可放4個數(shù)．故由分步乘法計數(shù)原理，得共可組成7×6×4＝168個不同的三位數(shù)．14.(2023·重慶聯(lián)考階段練習(xí))某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域(有公共邊)不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有________種．答案1560解析如圖，不同的布置方案分兩類：當(dāng)A與C布置相同的花卉時，先安排E，有6種不同的選擇，再安排A與C，有5種不同的選擇，再安排B，有4種不同的選擇，最后安排D，有4種不同的選擇，共有6×5×4×4＝480種不同的選擇．當(dāng)A與C布置不同的花卉時，先安排E，有6種不同的選擇，再安排A與C，有5×4種不同的選擇，再安排B，有3種不同的選擇，最后安排D，有3種不同的選擇，共有6×5×4×3×3＝1080種不同的選擇．所以不同的布置方案有480＋1080＝1560種．四、解答題15．已知a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰(含等邊)三角形，這樣的三角形一共有多少個？解先考慮等邊的情況，a＝b＝c＝1，2，…，6，有6個，再考慮等腰的情況，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此時c＝1與等邊重復(fù)；若a＝b＝2，c<a＋b＝4，則c＝1，3，有2個；若a＝b＝3，c<a＋b＝6，則c＝1，2，4，5，有4個；若a＝b＝4，c<a＋b＝8，則c＝1，2，3，5，6，有5個；若a＝b＝5，c<a＋b＝10，則c＝1，2，3，4，6，有5個；若a＝b＝6，c<a＋b＝12，則c＝1，2，3，4，5，有5個，故這樣的三角形一共有27個．16．有六名同學(xué)報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(六名同學(xué)不一定都能參加)(1)每人只參加一項，每項人數(shù)不限；(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限．解(1)每人都可以從三個競賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729種．(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120種．(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六名同學(xué)中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216種．第2講排列與組合[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.理解排列、組合的概念.2.能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用排列組合解決簡單的實際問題．1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并按照eq\x(\s\up1(01))一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列組合eq\x(\s\up1(02))作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有eq\x(\s\up1(03))不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號eq\a\vs4\al(\x(\s\up1(04))Aeq\o\al(m,n))表示．(2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的eq\x(\s\up1(05))所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作eq\x(\s\up1(06))Ceq\o\al(m,n)．3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝eq\x(\s\up1(07))n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(n！,（n－m）！)；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\x(\s\up1(09))eq\f(n（n－1）…（n－m＋1）,m！)＝eq\x(\s\up1(10))eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，且m≤n)性質(zhì)(1)Aeq\o\al(n,n)＝eq\x(\s\up1(11))n！；(2)0！＝eq\x(\s\up1(12))1；(3)Ceq\o\al(0,n)＝eq\x(\s\up1(13))1，Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(\x(\s\up1(14))Ceq\o\al(n－m,n))；(4)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝eq\x(\s\up1(15))Ceq\o\al(m,n＋1)解決排列與組合問題的“四項基本原則”(1)特殊優(yōu)先原則：如果問題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原則：在既有取出又需要對取出的元素進行排列時，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進行排列．(3)正難則反原則：當(dāng)直接求解困難時，采用間接法解決問題．(4)先分組后分配原則：在分配問題中如果被分配的元素多于位置，這時要先進行分組，再進行分配．1．(人教B選擇性必修第二冊習(xí)題3－1AT2(1)改編)若Aeq\o\al(3,2n)＝10Aeq\o\al(3,n)，則n＝()A．1 B．8C．9 D．10答案B解析原式等價于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，且n≥3，整理，得n＝8.故選B.2．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有()A．Ceq\o\al(45,400)·Ceq\o\al(15,200)種 B．Ceq\o\al(20,400)·Ceq\o\al(40,200)種C．Ceq\o\al(30,400)·Ceq\o\al(30,200)種 D．Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種答案D解析根據(jù)比例分配的分層隨機抽樣的定義知，初中部共抽取60×eq\f(400,600)＝40名，高中部共抽取60×eq\f(200,600)＝20名，根據(jù)組合數(shù)的概念及分步乘法計數(shù)原理，知不同的抽樣結(jié)果共有Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種．故選D.3．若原來站成一排的4個人重新站成一排，恰有一個人站在自己原來的位置上，則不同的站法種數(shù)為()A．4 B．8C．12 D．24答案B解析根據(jù)題意，分兩步考慮：第一步，先從4個人里選1人，其位置不變，站法有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)；第二步，剩余3人都不站在自己原來的位置上，有2種站法．故不同的站法共有4×2＝8(種)．故選B.4．(多選)(2023·邢臺檢測)生命在于運動，小蘭給自己制定了周一到周六的運動計劃，這六天每天安排一項運動，其中有兩天練習(xí)瑜伽，另外四天的運動項目互不相同，且運動項目為跑步、爬山、打羽毛球和跳繩．()A．若瑜伽被安排在周一和周六，則共有48種不同的安排方法B．若周二和周五至少有一天安排練習(xí)瑜伽，則共有216種不同的安排方法C．若周一不練習(xí)瑜伽，周三爬山，則共有36種不同的安排方法D．若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則共有240種不同的安排方法答案BCD解析對于A，若瑜伽被安排在周一和周六，則共有Aeq\o\al(4,4)＝24種不同的安排方法，故A錯誤；對于B，若周二和周五至少有一天安排練習(xí)瑜伽，則由間接法可得，不同的安排方法種數(shù)為Aeq\o\al(4,6)－Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,4)＝216，故B正確；對于C，若周一不練習(xí)瑜伽，周三爬山，則共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＝36種不同的安排方法，故C正確；對于D，若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則先排其他四項運動，共有Aeq\o\al(4,4)種不同的安排方法，再從5個空位里插入2個安排練習(xí)瑜伽，故共有Aeq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,5)＝240種不同的安排方法，故D正確．故選BCD.5．(人教A選擇性必修第三冊6.2.3練習(xí)T3改編)現(xiàn)有1，3，7，13這4個數(shù)，從這4個數(shù)中任取2個相加，可以得到________個不相等的和；從這4個數(shù)中任取2個相減，可以得到________個不相等的差．答案610解析從這4個數(shù)中任取2個相加有1＋3＝4，1＋7＝8，1＋13＝14，3＋7＝10，3＋13＝16，7＋13＝20，可以得到6個不相等的和．從這4個數(shù)中任取2個相減有1－3＝－2，3－1＝2，1－7＝－6，7－1＝6，1－13＝－12，13－1＝12，3－7＝－4，7－3＝4，3－13＝－10，13－3＝10，7－13＝－6，13－7＝6，可以得到10個不相等的差．考向一排列問題例1有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排一排，女生必須站在一起；(5)全體排一排，男生互不相鄰；(6)全體排一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；(7)全體排一排，甲必須排乙前面；(8)全體排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端．解(1)Aeq\o\al(5,7)＝2520種方法．(2)Aeq\o\al(7,7)＝5040種方法．(3)解法一：先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600種方法．解法二：先排排頭和排尾有Aeq\o\al(2,6)種方法，其余位置有Aeq\o\al(5,5)種排法，故共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600種方法．(4)將女生看成一個整體，用捆綁法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝576種方法．(5)先排女生有Aeq\o\al(4,4)種，再將男生插空有Aeq\o\al(3,5)種，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440種方法．(6)將甲、乙及中間三人看作一個整體，先排甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方法，再排中間三人有Aeq\o\al(3,5)種方法，最后將他們看作一個整體與剩下的2人全排列，有Aeq\o\al(3,3)種方法，故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝720種方法．(7)eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(2,2))＝2520種方法．(8)Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720種方法．求解有限制條件排列問題的主要方法直接法分類法選定一個適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個類型，分別計算每個類型中的排列數(shù)，再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個步驟來完成，分別計算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中定序法對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以已定元素的全排列間接法對于分類過多的問題，一般利用正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法用0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字，(1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無重復(fù)數(shù)字)?解(1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類，0在個位時，有Aeq\o\al(3,5)個；第二類，2在個位時，千位從1，3，4，5中選定1個，有Aeq\o\al(1,4)種，十位和百位從余下的數(shù)字中選，有Aeq\o\al(2,4)種，于是有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)個；第三類，4在個位時，與第二類同理，也有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)個．由分類加法計數(shù)原理得，能組成Aeq\o\al(3,5)＋2Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝156個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．(2)先排0，2，4，再讓1，3，5插空，總的排法共Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144種，其中0在排頭，將1，3，5插在后3個空的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種，此時構(gòu)不成六位數(shù)，故符合要求的六位數(shù)的個數(shù)為144－12＝132.考向二組合問題例2某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名隊長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當(dāng)選；(2)兩隊長當(dāng)選；(3)至少有一名隊長當(dāng)選；(4)男生甲和女生乙當(dāng)選；(5)最多有兩名女生當(dāng)選．解(1)只有一名女生當(dāng)選即有一名女生和四名男生當(dāng)選，故共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＝350種．(2)兩隊長當(dāng)選，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,11)＝165種．(3)至少有一名隊長當(dāng)選含有兩類：只有一名隊長當(dāng)選和有兩名隊長當(dāng)選．故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,11)＝825種(或采用間接法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825種)．(4)男生甲和女生乙當(dāng)選，則需從剩余11人中選3人，有Ceq\o\al(3,11)＝165種．(5)最多有兩名女生當(dāng)選含有三類：有兩名女生當(dāng)選、只有一名女生當(dāng)選和沒有女生當(dāng)選．故共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966種．組合問題的常見類型及求解策略(1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．1.圓周上有10個等分點，以這10個等分點中的4個點為頂點構(gòu)成四邊形，其中梯形的個數(shù)為()A．10 B．20C．40 D．60答案D解析如圖所示，10點連線中有5條為圓的直徑，其每條直徑分別有4條弦與之平行，可構(gòu)成5×(Ceq\o\al(2,5)－2)＝40個梯形；10點連線中有5組與構(gòu)成的5條直徑不平行的4條平行弦，如A3A5∥A2A6∥A1A7∥A10A8，可構(gòu)成5×(Ceq\o\al(2,4)－2)＝20個梯形．由分類加法計數(shù)原理可知，共構(gòu)成40＋20＝60個梯形．故選D.2．(多選)在某地實施的新高考改革方案中，選擇性考試科目有物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門．學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是()A．若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(2,4)B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)C．若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1答案BD解析若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)，A錯誤；若化學(xué)必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)，B正確；若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1)，C錯誤；若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1，D正確．故選BD.多角度探究突破考向三分組、分配問題角度不同元素的分配問題例3按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方法？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本．解(1)無序不均勻分組問題．先選1本有Ceq\o\al(1,6)種選法；再從余下的5本中選2本有Ceq\o\al(2,5)種選法；最后余下3本全選有Ceq\o\al(3,3)種方法，故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種．(2)有序不均勻分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種．(3)無序均勻分組問題．共有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))＝15種．(4)在(3)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15Aeq\o\al(3,3)＝90種．(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，這是部分均勻分組問題，求出組合總數(shù)除以Aeq\o\al(2,2)即可，共有eq\f(Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))＝15種．(6)在(5)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15Aeq\o\al(3,3)＝90種．角度相同元素的分配問題(隔板法)例4將12個相同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中．(1)若每個盒子中至少有一個小球，則不同放法有多少種？(2)若每盒可空，則不同的放法有多少種？解(1)將12個小球排成一排，中間有11個間隔，在這11個間隔中選出3個，放上“隔板”，若把“|”看作隔板，則如圖○○|○○○○|○○○○|○○，隔板將一排球分成四塊，從左到右可以看成四個盒子放入的球數(shù)．這樣每一種隔板的插法，就對應(yīng)了球的一種放法，即每一種從11個間隔中選出3個間隔的組合對應(yīng)一種放法，所以不同的放法有Ceq\o\al(3,11)＝165(種)．(2)因為每盒可空，所以隔板之間允許無球，那么插入法就無法應(yīng)用，現(xiàn)建立如下數(shù)學(xué)模型．將三塊隔板與12個球排成一排，則如圖○○○||○○○○○|○○○○中的隔板將這一排球分成四塊．從左到右可以看成四個盒子放入的球數(shù)，即1，2，3，4四個盒子相應(yīng)放入3個，0個，5個，4個小球．這樣每一種隔板與球的排列法，就對應(yīng)了球的一種放法．排列的位置有15個，先從這15個位置中選出3個位置放隔板有Ceq\o\al(3,15)種排法，再在余下的位置放球，只有一種放法，所以隔板與球的排列法有Ceq\o\al(3,15)種，即不同的放法有Ceq\o\al(3,15)＝455(種)．解決分組、分配問題的策略相同元素的分配問題常用“隔板法”不同元素的整體均分問題分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)不同元素的部分均分問題若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！提醒：隔板法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確確定空位個數(shù)以及需要的隔板個數(shù)，使用這種方法需要注意兩個方面的問題：一是要根據(jù)題意確定能否轉(zhuǎn)化為“每組至少一個”的問題，以便確定能否利用隔板法；二是要注意準(zhǔn)確確定空位數(shù)以及需要的隔板數(shù)，一般來說，兩端不能插隔板．1.(2023·福建省高考適應(yīng)性練習(xí))中國救援力量在國際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽．現(xiàn)有5支救援隊前往A，B，C三個受災(zāi)點執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊只能去其中的一個受災(zāi)點，且每個受災(zāi)點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去B，C兩個受災(zāi)點中的一個，則不同的安排方法種數(shù)是()A．72 B．84C．88 D．100答案D解析若甲去B受災(zāi)點，則剩余4支救援隊可只去A，C兩個受災(zāi)點，也可分為3組去A，B，C三個受災(zāi)點．當(dāng)剩余4支救援隊只去A，C兩個受災(zāi)點時，可按1，3或2，2分配，此時的分配方法有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,1)·Aeq\o\al(2,2)＋eq\f(Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝14種；當(dāng)剩余4支救援隊分為3組去A，B，C三個受災(zāi)點時，先從4支救援隊中選出2支救援隊，即可分為3組，然后分配到三個受災(zāi)點即可，此時的分配方法有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36種．綜上可得，甲去B受災(zāi)點，不同的安排方法種數(shù)是14＋36＝50.同理，甲去C受災(zāi)點，不同的安排方法種數(shù)也是50，所以不同的安排方法種數(shù)是50＋50＝100.故選D.2．某市擬成立一個由6名高中學(xué)生成立的調(diào)查小組，并準(zhǔn)備將這6個名額分配給本市的4所重點中學(xué)，要求每所重點中學(xué)都有學(xué)生參加，那么不同名額分配方法的種數(shù)是()A．10 B．20C．24 D．28答案A解析如圖所示，6個名額排成一列，6個名額之間有5個空，任找3個空插入隔板就是一種名額分配方法，故共有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)分配方法．故選A.○|○○|○|○○3．某省示范性高中安排6名高級教師(不同姓)到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進行支教，每所學(xué)校至少去1人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為________．答案360解析解法一：根據(jù)6名高級教師到甲、乙、丙三所中學(xué)進行支教，每所學(xué)校至少去1人，可分四種情況：①甲校安排1名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(1,5)(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2))＝150；②甲校安排2名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(2,5)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2))＝140；③甲校安排3名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝60；④甲校安排4名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝10.由分類加法計數(shù)原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(種)分配方案．解法二：由6名教師到三所學(xué)校，每所學(xué)校至少去1人，可能的分組情況為4，1，1；3，2，1；2，2，2.①對于第一種情況，由于李老師不去甲校，李老師自己去一個學(xué)校有Ceq\o\al(1,2)種，其余5名老師分成一人組和四人組有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)種，共Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)＝20(種)；李老師分配到四人組且該組不去甲校有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝40(種)，則第一種情況共有20＋40＝60(種)；②對于第二種情況，李老師分配到一人組有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝40(種)，李老師分配到兩人組有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＝80(種)，李老師分配到三人組有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝120(種)，所以第二種情況共有40＋80＋120＝240(種)；③對于第三種情況，共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝60(種)．綜上所述，共有60＋240＋60＝360(種)分配方案．4．把分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，且若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案36解析先將卡片分為符合條件的3份，由題意，3人分5張卡片，且每人至少一張，至多三張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，相當(dāng)于將1，2，3，4，5這5個數(shù)用2個板子隔開，在4個空位插2個板子，共有Ceq\o\al(2,4)＝6種情況，再對應(yīng)到3個人，有Aeq\o\al(3,3)＝6種情況，則共有6×6＝36種分法．課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2023·全國甲卷)有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()A．120 B．60C．40 D．30答案B解析先從五名志愿者中選擇1人連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)，有Ceq\o\al(1,5)＝5種方法；再從剩余的4人中選擇2人分別參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有Aeq\o\al(2,4)＝12種方法．所以恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為5×12＝60.故選B.2．甲、乙兩人要在一排8個空座上就座，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有()A．10種 B．16種C．20種 D．24種答案C解析一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就座，故有6個空座．∵要求每人兩旁均有空座，∴在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就座，即有Aeq\o\al(2,5)＝20種坐法．故選C.3．(2023·滄州模擬)用短語“mathstest”中所有的重復(fù)字母重新排列，能組成不同排列的個數(shù)為()A．10 B．20C．30 D．40答案A解析由s有2個，t有3個，則將這5個字母看成不同時的排列為Aeq\o\al(5,5)，故所求排列個數(shù)為eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3))＝10.故選A.4．(2023·佛山二模)“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學(xué)術(shù)大師．已知浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)、中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地，某班級有5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，則每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇的不同方法共有()A．120種 B．180種C．240種 D．300種答案C解析將5位同學(xué)分為2，1，1，1的分組，再分配到4所學(xué)校，共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240種方法．故選C.5．將5件相同的小禮物全部送給3個不同的球迷，要讓每個球迷都得到禮物，不同的分法有()A．2種 B．10種C．5種 D．6種答案D解析把5件相同的小禮物排成一排，5件禮物之間共有4個空，任選2個空插入板子，共有Ceq\o\al(2,4)＝6種不同的方法．故選D.6．(2024·百色模擬)某中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強中有3個種子選手，將這12人任意分成3組(每組4個人)，則3個種子選手恰好被分在同一組的分法種數(shù)為()A．210 B．105C．315 D．630答案C解析由題意，12人任意分成3組，3個種子選手恰好被分在同一組的方法有eq\f(Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(2,2))＝315種．故選C.7．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()A．12種 B．24種C．36種 D．48種答案B解析因為丙、丁要在一起，先把丙、丁捆綁，看作一個元素，連同乙、戊看成三個元素排列，有Aeq\o\al(3,3)種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插入方式；注意到丙、丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有Aeq\o\al(3,3)×2×2＝24種不同的排列方式．故選B.8．將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同偶數(shù)的個數(shù)為()A．72 B．120C．192 D．240答案D解析末尾是2或6，不同偶數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,5)＝120；末尾是4，不同偶數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＝120，故共有120＋120＝240個．故選D.二、多項選擇題9．(2024·鄭州開學(xué)考試)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加演出，下列說法中正確的是()A．若甲不在正中間，則不同的排列方式共有96種B．若甲、乙、丙三人互不相鄰，則不同的排列方式共有6種C．若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則不同的排列方式共有20種D．若甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的排列方式共有36種答案ACD解析對于A，因為甲不在正中間，則甲的不同的排列方式有Ceq\o\al(1,4)＝4種，剩余的四人全排列，不同的排列方式有Aeq\o\al(4,4)＝24種，所以不同的排列方式共有4×24＝96種，故A正確．對于B，若甲、乙、丙三人互不相鄰，則甲、乙、丙三人在首位、中間和末位，則不同的排列方式有Aeq\o\al(3,3)＝6種，剩余的兩人全排列，不同的排列方式有Aeq\o\al(2,2)＝2種，所以不同的排列方式共有6×2＝12種，故B錯誤．對于C，若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則有四個間隔空位，若乙、戊不相鄰，把乙、戊安排在四個間隔空位中，不同的排列方式有Aeq\o\al(2,4)＝12種；若乙、戊相鄰，把兩人看成整體安排在四個間隔空位中，不同的排列方式有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝8種，所以不同的排列方式共有12＋8＝20種，故C正確．對于D，若甲與乙相鄰，有2Aeq\o\al(4,4)＝48種排法，若甲與乙相鄰又滿足甲與丙相鄰，首先將甲、乙、丙捆綁起來作為一個整體并把甲放在乙與丙之間，乙與丙可互換位置，所以首先排列甲、乙、丙有2種排法，把甲、乙、丙組成的整體和剩下的兩人進行排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，所以甲與乙相鄰，且甲與丙相鄰，有2×6＝12種排法，所以若甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的排列方式共有48－12＝36種，故D正確．故選ACD.10．(2023·哈爾濱期末)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加亞運會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作可以安排，若每人都安排一項工作，則以下說法錯誤的是()A．不同的安排方法數(shù)為54B．若每項工作至少有1人參加，則不同的安排方法數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．每項工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同的安排方法數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)D．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則不同的安排方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)答案ABD解析對于A，安排5人參加四項工作，若每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則共有45種不同的安排方法，A錯誤；對于B，根據(jù)題意，分兩步進行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排四項工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種不同的安排方法，B錯誤；對于C，根據(jù)題意，分兩種情況討論：①從丙、丁、戊中選出2人開車，②從丙、丁、戊中選出1人開車，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)種不同的安排方法，C正確；對于D，分兩步分析：先將5人分為3組，有eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2),Aeq\o\al(2,2))＋eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3),Aeq\o\al(2,2))種分組方法，再給分好的3組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項工作，有Aeq\o\al(3,3)種情況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2),Aeq\o\al(2,2))＋\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3),Aeq\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種不同的安排方法，D錯誤．故選ABD.11．現(xiàn)有4個小球和4個小盒子，下列相關(guān)結(jié)論正確的是()A．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法B．若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒的放法共有18種C．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒的放法共有144種D．若編號為1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同的放法共有9種答案BCD解析若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有44＝256種放法，故A錯誤；若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒，則一個盒子放3個小球，另一個盒子放1個小球或兩個盒子均放2個小球，共有Ceq\o\al(2,4)(Aeq\o\al(2,2)＋1)＝18種放法，故B正確；若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒，則兩個盒子中各放1個小球，另一個盒子中放2個小球，共有Ceq\o\al(1,4)·eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\a