12.2 三角形全等的判定 課件 2024-2025學年人教版八年級數(shù)學上冊

12.2三角形全等的判定（1）什么是全等三角形？（2）如果△ABC≌△A'B'C'，你能得到哪些相等的量？（3）根據(jù)全等三角形的定義，△ABC與△A'B'C'具備什么條件才能得到△ABC≌△A'B'C'？回顧思考能夠完全重合對應邊相等，對應角相等（4）△ABC與△A'B'C'全等是不是一定要滿足三邊分別相等、三個角分別相等這六個條件呢？滿足上述六個條件中的一部分是否也可以保證△ABC與△A'B'C’呢？也就是說，能否在上述六個條件中選擇部分條件，簡捷地判定兩個三角形全等呢？探究發(fā)現(xiàn)三角形的三條邊和三個內(nèi)角是構成三角形的重要元素.如果兩個三角形全等，那么它們的對應邊相等，對應角相等.反過來，根據(jù)全等三角形的定義，如果兩個三角形滿足三條邊及三個角對應相等，則這兩個三角形全等.為了尋求比六個條件更簡捷的判定方法，從“一個條件”開始，逐漸增加條件的數(shù)量，依次探究“一個條件”“兩個條件”“三個條件”能否保證兩個三角形全等.問題1如果兩個三角形滿足上述六個條件中的一個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？即如果兩個三角形有一條邊或者有一個角對應相等，那么這兩個三角形全等嗎？數(shù)學中真命題的正確性是由事件檢驗或由條件通過推理方式來證實的，而假命題的證明只需要舉出一個反例就行.即證明一個命題是假命題，只要能舉出一個符合條件但又與結論不相符的例子就可以.（1）兩個三角形有一條邊相等.如圖，在△ABC與△DEF中，AB=DE.但△ABC與△DEF不全等.即一條邊相等的兩個三角形不一定全等.問題1如果兩個三角形滿足上述六個條件中的一個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？即如果兩個三角形有一條邊或者有一個角對應相等，那么這兩個三角形全等嗎？（2）兩個三角形有一個角相等.如圖，在△ABC與△DEF中，∠A=∠D.但△ABC與△DEF不全等.即一個角相等的兩個三角形不一定全等.結論：如果兩個三角形有一個相等的部分（邊或角），那么這兩個三角形不一定全等（甚至形狀都有可能不相同）.問題2如果兩個三角形滿足上述六個條件中的兩個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？如果兩個三角形有兩個相等的部分（邊或角），共有幾種可能的情況？這兩個三角形一定全等嗎？（1）兩個三角形有兩條邊分別對應相等.如圖，△ABC與△EDF，AB=ED，AC=EF，但△ABC與△EDF不全等.即兩邊分別相等的兩個三角形不一定全等.問題2如果兩個三角形滿足上述六個條件中的兩個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？如果兩個三角形有兩個相等的部分（邊或角），共有幾種可能的情況？這兩個三角形一定全等嗎？（2）兩個三角形的兩個內(nèi)角分別對應相等.如圖，△ABC與△EDF，∠A=∠D，∠B=∠E，但圖中AB≠DE，但△ABC與△EDF不全等.

即兩角分別相等的兩個三角形不一定全等.問題2如果兩個三角形滿足上述六個條件中的兩個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？（3）兩個三角形的一條邊和一個內(nèi)角分別對應相等.如圖1，△ABC與△EDF，AB=DE，∠B=∠E，但△ABC與△EDF不全等.

即一邊及此邊的鄰角分別相等的兩個三角形不一定全等.

如圖2，△ABC與△EDF，AC=DF，∠B=∠E，但△ABC與△EDF不全等.

即一邊及此邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.圖1圖2問題3如果兩個三角形滿足上述六個條件中的三個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？如果兩個三角形有三個部分（邊或角）分別對應相等，會有哪些可能情況？這兩個三角形一定全等嗎？（1）兩個三角形的三條邊分別對應相等.我們通過作圖的方法驗證其正確性.已知：如圖，已知△ABC.求作：△DEF，使DE=AB，EF=BC，DF=AC.作法：①畫射線EG；②在射線EG上截取EF=BC；③分別以點E，F(xiàn)為圓心，線段AB，AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點D；D連接DE，DF.△DEF即為所求.三角形全等的判定方法1：三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）.在△ABC和△DEF中，已經(jīng)有三邊分別相等.根據(jù)全等三角形的定義，我們再度量一下三對角的大小.我們發(fā)現(xiàn)，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠EFD.這樣，我們就得到了三角形全等的一個重要的判定方法：符號語言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.問題3如果兩個三角形滿足上述六個條件中的三個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？如果兩個三角形有三個部分（邊或角）分別對應相等，會有哪些可能情況？這兩個三角形一定全等嗎？（2）兩個三角形的三個內(nèi)角分別對應相等.在前面已經(jīng)探究過，有兩個內(nèi)角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，又因為三角形的內(nèi)角和為180°，所以∠C=∠F.但△ABC與△DEF不全等.即三個內(nèi)角分別相等的兩個三角形不一定全等.問題3如果兩個三角形滿足上述六個條件中的三個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？如果兩個三角形有三個部分（邊或角）分別對應相等，會有哪些可能情況？這兩個三角形一定全等嗎？（3）兩個三角形的兩邊及一角分別對應相等.我們依然通過作圖的方式進行判斷.①探究兩邊及它們的夾角分別相等的兩個三角形是否全等.如圖，已知△ABC，作△DEF，使DE=AB，EF=BC，∠E=∠B.作法：畫射線EG；在射線EG上截取EF=BC；作∠KEF=∠B；在射線EK上截取DE=AB；連接DF.△DEF即為所求.三角形全等的判定方法2：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個角形全等（可以簡寫為“邊角邊”或“SAS"）.在△ABC和△DEF中，已經(jīng)有兩邊及它們的夾角分別相等.根據(jù)全等三角形的定義，我們再度量一下另外一邊及另外兩對角的大小.我們發(fā)現(xiàn)，AC=DF，∠A=∠FDF，∠C=∠DFE.這樣，我們就得到了三角形全等的又一個重要的判定方法：符號語言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）.問題3如果兩個三角形滿足上述六個條件中的三個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？如果兩個三角形有三個部分（邊或角）分別對應相等，會有哪些可能情況？這兩個三角形一定全等嗎？（3）兩個三角形的兩邊及一角分別對應相等.②探究兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形是否全等.如圖，已知△ABC，作△DEF，使DE=AB，DF=AC，∠F=∠C.作法：畫射線FM；在射線FM上截取DF=AC；作∠DFN=∠C；以點D為圓心，線段AB的長為半徑畫弧交FN于點E，G兩點；連接D，DG.△DEF，△DGF即為所求.顯然，與△ABC的兩邊及一邊的對角都分別相等的三角形有兩個.通過度量其他邊和角的大小，我們發(fā)現(xiàn)，△DEF與△ABC全等，而△DGF與△ABC不全等.結論：兩邊及一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.因此，一般我們不能利用“邊邊角”（“SSA”）來判定兩個三角形全等.問題3如果兩個三角形滿足上述六個條件中的三個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？如果兩個三角形有三個部分（邊或角）分別對應相等，會有哪些可能情況？這兩個三角形一定全等嗎？（4）兩個三角形的兩角及一邊分別對應相等.①探究兩角及它們的夾邊分別相等的兩個三角形是否全等.如圖，已知△ABC，作△DEF，使∠E=∠B，∠DFE=∠C，EF=BC.作法：畫射線EG；在射線EG上截取EF=BC；作∠MEF=∠B，∠NFE=∠C，ME與NF交于點D.△DEF即為所求.三角形全等的判定方法3：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.在△ABC和△DEF中，已經(jīng)有兩角及它們的夾邊分別相等.根據(jù)全等三角形的定義，我們再度量一下另外兩邊及另外一對角的大小.我們發(fā)現(xiàn)，AB=DE，AC=DF，∠A=∠EDF.這樣，我們就得到了三角形全等的又一個重要的判定方法：符號語言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）.問題3如果兩個三角形滿足上述六個條件中的三個，那么可以判定兩個三角形全等嗎？如果兩個三角形有三個部分（邊或角）分別對應相等，會有哪些可能情況？這兩個三角形一定全等嗎？（4）兩個三角形的兩角及一邊分別對應相等.②如果兩個三角形有兩個角和其中一個角的對邊相等，那么這兩個三角形是否全等呢？想一想，有什么辦法說明它的正確與否嗎？已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，AB=DE.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵∠A+∠B+∠C=180，D+∠E+∠F=180且∠A=∠D，∠C=∠F，∴∠B=∠E.∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）.三角形全等的判定方法4：

兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）.這樣，我們就得到了三角形全等的又一個重要的判定方法：符號語言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）.判定兩個三角形全等的一般方法有：（1）三邊分別相等的兩個三角形全等，簡記為：SSS（2）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡記為：ASA（3）兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等，簡記為：AAS（4）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，簡記為：SAS探究歸納典型例題例1如圖，在△ABC和△DEF中，點B，E，C，F(xiàn)共線，MC與D交于點G.（1）若AB=DE，AC=DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（2）若AB∥DE，AB=DE，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（3）若AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF.證明：（1）∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量，和相等）.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（邊邊邊）.例1如圖，在△ABC和△DEF中，點B，E，C，F(xiàn)共線，MC與D交于點G.（1）若AB=DE，AC=DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（2）若AB∥DE，AB=DE，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（3）若AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF.證明：（2）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF（兩直線平行，同位角相等）.∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（邊角邊）.例1如圖，在△ABC和△DEF中，點B，E，C，F(xiàn)共線，MC與D交于點G.（1）若AB=DE，AC=DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（2）若AB∥DE，AB=DE，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（3）若AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF.證明：（3）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF（兩直線平行，同位角相等）.∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F（兩直線平行，同位角相等）.∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（角邊角）.例2如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AC，AB上，若△DEF是等邊三角形，探究△AEF，△BFD，△CDE是否全等.解：∵等邊三角形ABC，等邊三角形DEF，∴∠A=∠B=60°，EF=FD，∠DFE=60°（等邊三角形的性質(zhì)）.∴∠BFD+∠AFE=120°.∵在△AEF中，∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∴∠AEF+∠AFE=120°.∴∠AEF=∠BFD（等量代換）.例2如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AC，AB上，若△DEF是等邊三角形，探究△AEF，△BFD，△CDE是否全等.在△AEF和△BFD中，∴△AEF≌△BFD（角角邊）.同理可得，△AEF≌△BFD≌△CDE.請大家回顧本節(jié)課的內(nèi)容，總結梳理：1.本節(jié)課學習了哪些主要內(nèi)容？2.探索三角形全等的條件，其基本思路是什么？3.這四種判定方法有何作用？總結提升達標檢測1.下列各條件中，可以確定三角形的形狀與大小的是_________（填序號）.①已知兩邊和夾角②已知兩角和夾邊③已知兩邊和其中一邊的對角④已知三邊