12.2 三角形全等的判定 課件 2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

12.2三角形全等的判定（1）什么是全等三角形？（2）如果△ABC≌△A'B'C'，你能得到哪些相等的量？（3）根據(jù)全等三角形的定義，△ABC與△A'B'C'具備什么條件才能得到△ABC≌△A'B'C'？回顧思考能夠完全重合對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（4）△ABC與△A'B'C'全等是不是一定要滿(mǎn)足三邊分別相等、三個(gè)角分別相等這六個(gè)條件呢？滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的一部分是否也可以保證△ABC與△A'B'C’呢？也就是說(shuō)，能否在上述六個(gè)條件中選擇部分條件，簡(jiǎn)捷地判定兩個(gè)三角形全等呢？探究發(fā)現(xiàn)三角形的三條邊和三個(gè)內(nèi)角是構(gòu)成三角形的重要元素.如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.反過(guò)來(lái)，根據(jù)全等三角形的定義，如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足三條邊及三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等.為了尋求比六個(gè)條件更簡(jiǎn)捷的判定方法，從“一個(gè)條件”開(kāi)始，逐漸增加條件的數(shù)量，依次探究“一個(gè)條件”“兩個(gè)條件”“三個(gè)條件”能否保證兩個(gè)三角形全等.問(wèn)題1如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的一個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？即如果兩個(gè)三角形有一條邊或者有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等嗎？數(shù)學(xué)中真命題的正確性是由事件檢驗(yàn)或由條件通過(guò)推理方式來(lái)證實(shí)的，而假命題的證明只需要舉出一個(gè)反例就行.即證明一個(gè)命題是假命題，只要能舉出一個(gè)符合條件但又與結(jié)論不相符的例子就可以.（1）兩個(gè)三角形有一條邊相等.如圖，在△ABC與△DEF中，AB=DE.但△ABC與△DEF不全等.即一條邊相等的兩個(gè)三角形不一定全等.問(wèn)題1如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的一個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？即如果兩個(gè)三角形有一條邊或者有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等嗎？（2）兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等.如圖，在△ABC與△DEF中，∠A=∠D.但△ABC與△DEF不全等.即一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等.結(jié)論：如果兩個(gè)三角形有一個(gè)相等的部分（邊或角），那么這兩個(gè)三角形不一定全等（甚至形狀都有可能不相同）.問(wèn)題2如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)相等的部分（邊或角），共有幾種可能的情況？這兩個(gè)三角形一定全等嗎？（1）兩個(gè)三角形有兩條邊分別對(duì)應(yīng)相等.如圖，△ABC與△EDF，AB=ED，AC=EF，但△ABC與△EDF不全等.即兩邊分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.問(wèn)題2如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)相等的部分（邊或角），共有幾種可能的情況？這兩個(gè)三角形一定全等嗎？（2）兩個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等.如圖，△ABC與△EDF，∠A=∠D，∠B=∠E，但圖中AB≠DE，但△ABC與△EDF不全等.

即兩角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.問(wèn)題2如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？（3）兩個(gè)三角形的一條邊和一個(gè)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等.如圖1，△ABC與△EDF，AB=DE，∠B=∠E，但△ABC與△EDF不全等.

即一邊及此邊的鄰角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

如圖2，△ABC與△EDF，AC=DF，∠B=∠E，但△ABC與△EDF不全等.

即一邊及此邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.圖1圖2問(wèn)題3如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的三個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？如果兩個(gè)三角形有三個(gè)部分（邊或角）分別對(duì)應(yīng)相等，會(huì)有哪些可能情況？這兩個(gè)三角形一定全等嗎？（1）兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等.我們通過(guò)作圖的方法驗(yàn)證其正確性.已知：如圖，已知△ABC.求作：△DEF，使DE=AB，EF=BC，DF=AC.作法：①畫(huà)射線(xiàn)EG；②在射線(xiàn)EG上截取EF=BC；③分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，線(xiàn)段AB，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D；D連接DE，DF.△DEF即為所求.三角形全等的判定方法1：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”）.在△ABC和△DEF中，已經(jīng)有三邊分別相等.根據(jù)全等三角形的定義，我們?cè)俣攘恳幌氯龑?duì)角的大小.我們發(fā)現(xiàn)，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠EFD.這樣，我們就得到了三角形全等的一個(gè)重要的判定方法：符號(hào)語(yǔ)言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.問(wèn)題3如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的三個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？如果兩個(gè)三角形有三個(gè)部分（邊或角）分別對(duì)應(yīng)相等，會(huì)有哪些可能情況？這兩個(gè)三角形一定全等嗎？（2）兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等.在前面已經(jīng)探究過(guò)，有兩個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，又因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，所以∠C=∠F.但△ABC與△DEF不全等.即三個(gè)內(nèi)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.問(wèn)題3如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的三個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？如果兩個(gè)三角形有三個(gè)部分（邊或角）分別對(duì)應(yīng)相等，會(huì)有哪些可能情況？這兩個(gè)三角形一定全等嗎？（3）兩個(gè)三角形的兩邊及一角分別對(duì)應(yīng)相等.我們依然通過(guò)作圖的方式進(jìn)行判斷.①探究?jī)蛇吋八鼈兊膴A角分別相等的兩個(gè)三角形是否全等.如圖，已知△ABC，作△DEF，使DE=AB，EF=BC，∠E=∠B.作法：畫(huà)射線(xiàn)EG；在射線(xiàn)EG上截取EF=BC；作∠KEF=∠B；在射線(xiàn)EK上截取DE=AB；連接DF.△DEF即為所求.三角形全等的判定方法2：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊角邊”或“SAS"）.在△ABC和△DEF中，已經(jīng)有兩邊及它們的夾角分別相等.根據(jù)全等三角形的定義，我們?cè)俣攘恳幌铝硗庖贿吋傲硗鈨蓪?duì)角的大小.我們發(fā)現(xiàn)，AC=DF，∠A=∠FDF，∠C=∠DFE.這樣，我們就得到了三角形全等的又一個(gè)重要的判定方法：符號(hào)語(yǔ)言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）.問(wèn)題3如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的三個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？如果兩個(gè)三角形有三個(gè)部分（邊或角）分別對(duì)應(yīng)相等，會(huì)有哪些可能情況？這兩個(gè)三角形一定全等嗎？（3）兩個(gè)三角形的兩邊及一角分別對(duì)應(yīng)相等.②探究?jī)蛇吋捌渲幸贿叺膶?duì)角分別相等的兩個(gè)三角形是否全等.如圖，已知△ABC，作△DEF，使DE=AB，DF=AC，∠F=∠C.作法：畫(huà)射線(xiàn)FM；在射線(xiàn)FM上截取DF=AC；作∠DFN=∠C；以點(diǎn)D為圓心，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交FN于點(diǎn)E，G兩點(diǎn)；連接D，DG.△DEF，△DGF即為所求.顯然，與△ABC的兩邊及一邊的對(duì)角都分別相等的三角形有兩個(gè).通過(guò)度量其他邊和角的大小，我們發(fā)現(xiàn)，△DEF與△ABC全等，而△DGF與△ABC不全等.結(jié)論：兩邊及一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.因此，一般我們不能利用“邊邊角”（“SSA”）來(lái)判定兩個(gè)三角形全等.問(wèn)題3如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的三個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？如果兩個(gè)三角形有三個(gè)部分（邊或角）分別對(duì)應(yīng)相等，會(huì)有哪些可能情況？這兩個(gè)三角形一定全等嗎？（4）兩個(gè)三角形的兩角及一邊分別對(duì)應(yīng)相等.①探究?jī)山羌八鼈兊膴A邊分別相等的兩個(gè)三角形是否全等.如圖，已知△ABC，作△DEF，使∠E=∠B，∠DFE=∠C，EF=BC.作法：畫(huà)射線(xiàn)EG；在射線(xiàn)EG上截取EF=BC；作∠MEF=∠B，∠NFE=∠C，ME與NF交于點(diǎn)D.△DEF即為所求.三角形全等的判定方法3：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）.在△ABC和△DEF中，已經(jīng)有兩角及它們的夾邊分別相等.根據(jù)全等三角形的定義，我們?cè)俣攘恳幌铝硗鈨蛇吋傲硗庖粚?duì)角的大小.我們發(fā)現(xiàn)，AB=DE，AC=DF，∠A=∠EDF.這樣，我們就得到了三角形全等的又一個(gè)重要的判定方法：符號(hào)語(yǔ)言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）.問(wèn)題3如果兩個(gè)三角形滿(mǎn)足上述六個(gè)條件中的三個(gè)，那么可以判定兩個(gè)三角形全等嗎？如果兩個(gè)三角形有三個(gè)部分（邊或角）分別對(duì)應(yīng)相等，會(huì)有哪些可能情況？這兩個(gè)三角形一定全等嗎？（4）兩個(gè)三角形的兩角及一邊分別對(duì)應(yīng)相等.②如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊相等，那么這兩個(gè)三角形是否全等呢？想一想，有什么辦法說(shuō)明它的正確與否嗎？已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，AB=DE.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵∠A+∠B+∠C=180，D+∠E+∠F=180且∠A=∠D，∠C=∠F，∴∠B=∠E.∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）.三角形全等的判定方法4：

兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）.這樣，我們就得到了三角形全等的又一個(gè)重要的判定方法：符號(hào)語(yǔ)言在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）.判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：（1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為：SSS（2）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為：ASA（3）兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為：AAS（4）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為：SAS探究歸納典型例題例1如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)共線(xiàn)，MC與D交于點(diǎn)G.（1）若AB=DE，AC=DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（2）若AB∥DE，AB=DE，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（3）若AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF.證明：（1）∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量，和相等）.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（邊邊邊）.例1如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)共線(xiàn)，MC與D交于點(diǎn)G.（1）若AB=DE，AC=DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（2）若AB∥DE，AB=DE，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（3）若AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF.證明：（2）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）.∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（邊角邊）.例1如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)共線(xiàn)，MC與D交于點(diǎn)G.（1）若AB=DE，AC=DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（2）若AB∥DE，AB=DE，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF；（3）若AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求證：△ABC≌△DEF.證明：（3）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）.∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）.∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）.即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（角邊角）.例2如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AC，AB上，若△DEF是等邊三角形，探究△AEF，△BFD，△CDE是否全等.解：∵等邊三角形ABC，等邊三角形DEF，∴∠A=∠B=60°，EF=FD，∠DFE=60°（等邊三角形的性質(zhì)）.∴∠BFD+∠AFE=120°.∵在△AEF中，∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∴∠AEF+∠AFE=120°.∴∠AEF=∠BFD（等量代換）.例2如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AC，AB上，若△DEF是等邊三角形，探究△AEF，△BFD，△CDE是否全等.在△AEF和△BFD中，∴△AEF≌△BFD（角角邊）.同理可得，△AEF≌△BFD≌△CDE.請(qǐng)大家回顧本節(jié)課的內(nèi)容，總結(jié)梳理：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？2.探索三角形全等的條件，其基本思路是什么？3.這四種判定方法有何作用？總結(jié)提升達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.下列各條件中，可以確定三角形的形狀與大小的是_________（填序號(hào)）.①已知兩邊和夾角②已知兩角和夾邊③已知兩邊和其中一邊的對(duì)角④已知三邊