2016二次根式勾股定理中難題專練9套

勾股定理中難題（一）（本題10分）利用平分去根號(hào)可以由一個(gè)無理數(shù)構(gòu)造一個(gè)整系數(shù)方程，例如：時(shí)，移項(xiàng)得，兩邊平分得(a－1)2＝，所以a2－2a＋1＝2，即a2－2a－1＝0．仿照上述方法完成下面解答：已知a＝，求：a2＋a的值(2)a3－2a＋2009的值24．（本題10分）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝DC，∠BAD＝120°(1)求證：AB＝AD(2)點(diǎn)M在邊CD上（端點(diǎn)除外），點(diǎn)N在BC上，使∠MAN＝∠BCD，連接MN，如圖2①試判斷線段BN、MD、NM之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明②若CM＝4，MD＝1，求CN的長25．（本題12分）如圖，△ACB為等腰直角三角形，AC＝BC，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB上，且DC＝DE(1)若∠CDE＝45°，①求證：AD＝BE；②求的值(2)過點(diǎn)E作EM⊥AB于M點(diǎn)，求的值勾股定理中難題（二）10.(2011·重慶)如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．416．若，在x的取值范圍內(nèi)，y的值最小為_________24.(2013·威海)將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合．問題解決．將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②(1)求證：△CDO是等腰三角形(2)若DF＝8，求AD的長25．已知∠ABC＝90°，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ，連接QE并延長交BP于點(diǎn)F(1)如圖1，若AB＝2，點(diǎn)A、E、P恰好在一條直線上時(shí)，求此時(shí)EF的長（直接寫出結(jié)果）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想EF與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產(chǎn)生新的線段），并加以證明(3)若AB＝2，設(shè)BP＝4，求QF的長勾股定理中難題（三）10．如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE，AB相交于點(diǎn)G，若∠BAC＝30°，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④15．若，在x的取值范圍內(nèi)，y的值最小為_________16．已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(10，0)、C(0，4)，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________24．（本題10分）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝DC，∠BAD＝120°(1)求證：AB＝AD(2)點(diǎn)M在邊CD上（端點(diǎn)除外），點(diǎn)N在BC上，使∠MAN＝∠BCD，連接MN，如圖2①試判斷線段BN、MD、NM之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明②若CM＝4，MD＝1，求CN的長25．（本題12分）已知直線AB分別交x、y軸于A(4，0)、B兩點(diǎn)，C(－4，a)為直線AB上且在第二象限內(nèi)一點(diǎn)，若△COA的面積為8(1)如圖1，求C點(diǎn)的坐標(biāo)(2)如圖2，直線OM經(jīng)過O點(diǎn)，過C作CM⊥OM于M，CN⊥y軸于點(diǎn)N，連MN，求式子的值(3)如圖3，過C作CN⊥y軸于點(diǎn)N，G為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且∠NGO＝45°，試探究GC2、GN2、GO2之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由勾股定理中難題（四）10．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于點(diǎn)P，則下列結(jié)論：①∠DEC＝∠COD；②CD＋CE＝OA；③AD2＋BE2＝2OD2；④若AB＝2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)△DOE的面積為S，則1≤S≤2，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)20．（本題8分）如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠NPQ＝30°，點(diǎn)A處有一處中學(xué)，PA＝800m，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍500m以內(nèi)會(huì)受到噪聲影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度為5m/s，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？22．（本題10分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．設(shè)D為邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），且CD＝x，S△ADB＝y(tǒng)(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍(2)當(dāng)AD平分∠BAC，求y的值23．（本題10分）如圖在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)(1)若AC＝，AP＝4，求PC的長(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究AP、BP、CP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q在線段PA上，且∠PCQ＝45°，AC＝，PB＝3，則的值為（只填結(jié)果，不需證明）24．（本題12分）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊(1)如圖甲，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O(0，0)、A(3，0)，B(0，4)，請你畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊且其中有一邊長為的勾股四邊形OAMB（格點(diǎn)小正方形的邊長為單位1）(2)如圖乙，若點(diǎn)C(1，2)，那么在圖中所有格點(diǎn)中是否能找到一點(diǎn)D，使以CA、CB為勾股邊的四邊形ACBD是勾股四邊形．如果能找到，請求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，試說明理由(3)如圖丙，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線，△ABD是等邊三角形，∠DCB＝30°，設(shè)CD＝a，BC＝b，AC＝，試求a＋b的最大值勾股定理中難題（五）勾股定理中難題（六）10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3，AD是∠BAC的平分線，若P、Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PQ的最小值是（）A． B． C． D．122．（本題8分）閱讀下列材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：已知：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求△ABC的面積．小明是這樣解決問題的：如圖1所示，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），從而借助網(wǎng)格就能計(jì)算出△ABC的面積．他把這種解決問題的方法稱為構(gòu)圖法．請回答：(1)圖1中△ABC的面積為；參考小明解決問題的方法，完成下列問題：(2)圖2是一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）①利用構(gòu)圖法在答題卡的圖2中畫出三邊長分別為、、的格點(diǎn)△DEF②計(jì)算△DEF的面積為_________(3)如圖3，已知△ABC，以AB、AC、BC為邊向外作正方形ABDE、ACFG、BCKL，連接EF、DL、GK．若AB＝，BC＝，AC＝，則六邊形DEFGKL的面積為_________23．（本題10分）如圖，△ABC中，∠A＝45°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊AC上，DB＝BC，若S△ABC＝，求線段CD的長24．（本題12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(a，b)，且a、b滿足(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)及線段OA的長度(2)點(diǎn)P為x軸正半軸上一點(diǎn)，且△AOP是等腰三角形，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_________________(3)如圖2，若B(1，0)，C(0，3)，試確定∠ACO＋∠BCO的值是否發(fā)生變化，若不變，說明理由；若變化，請求出變化范圍勾股定理中難題（七）10、如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D在AB上，且CD=AD＝BD，點(diǎn)F在BC上，過D作DE⊥DF交AC于E，過F作 FG⊥AB于G，以下結(jié)論：①△ABC為直角三角形②③④其中結(jié)論正確的序號(hào)是（）A、①②B、①④C、①②③D、①②③④23、（本題10分）如圖，已知四邊形ABCD中，AD=4，CD＝3，AB=AC（1）如圖1，若∠CAB＝60°，∠ADC＝30°，求BD的長；（2）如圖2，若∠CAB＝90°，∠ADC＝45°，求BD的長。圖1圖24、（本題12分）已知直線AB分別交、軸于A（4，0）、B兩點(diǎn)，C（－4，）為直線AB上且在第二象限內(nèi)一點(diǎn)，若△COA的面積為8，圖1圖2（1）如圖1，求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)M為第二象限內(nèi)一點(diǎn)，CM⊥OM于M，CN⊥軸于N，連MN，求證：的值。（3）如圖3，過C作CN⊥軸于N，G為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且∠NGO＝45°，試探究GC2、GN2與GO2之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由。圖3勾股定理中難題（八）勾股定理中難題（九）10．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB＝，BC＝，CD＝4，則AD邊的長為（）A． B． C． D．16．從到之間（包括這兩個(gè)數(shù)）恰好有3個(gè)整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)n有_________個(gè)22．（本題10分）閱讀與思考：已知：0＜x＜1，求的最小值分析：如圖，我們可以構(gòu)造邊長為1的正方形ABCD，P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP＝x，則PC＝1－x，那么可以用含x的式子表示AP、DP問題可以轉(zhuǎn)化為求AP與PD的和的最小值，用幾何知識(shí)可以解答閱讀上面材料，回答以下問題：(1)直接寫出表示AP、DP的式子(2)求AP＋PD的最小值(3)運(yùn)用以上方法求的最小值，其中0＜x＜423．（本題10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°(1)如圖1，若∠ADC＝120°，求證：AD＋CD＝BD(2)如圖2，若∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(3)如圖3，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APD＝120°，若PA＝1，PD＝2，PC＝4，BD＝5，求∠DPC的度數(shù)24．（本題12分）甲、乙兩名同學(xué)做課本第39面第12題時(shí)出現(xiàn)了不同方法，我們不妨將他們的解題方法中螞蟻爬行的路徑分別稱為甲路徑、乙路徑題目：如圖，圓柱的底面半徑為6cm，高為10cm，螞蟻在圓柱表面爬行，從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路程是多少厘米（π的值取3，結(jié)果可以保留根號(hào)）？甲路徑：先沿圓柱的母線爬到上底面，再沿底面直徑爬到點(diǎn)B處，其長為10＋12＝22cm乙路徑：沿圓柱的側(cè)面直接爬到點(diǎn)B處(1)請寫出乙同學(xué)的解題過程，并比較甲路徑和乙路徑的長短(2)如果將題目中的高改為5cm，底面半徑不變，請分別求出甲路徑、乙路徑的長并比較大小(3)如果圓柱的底面半徑為rcm，高為hcm，請比較甲路徑、乙路徑的大小勾股定理中難題（九）24．（本題10分）如圖1，△ACB為等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，點(diǎn)E、F分別在BC上，且CE＝BF，CM⊥AE，AE與MF的延長線相交于N點(diǎn)(1)求證：∠BMF＝∠AMC(2)如圖2，若CM為AN的垂直平分線，MF與AE的延長線交于N點(diǎn)，求證：BM＋CM＝MN(3)若AC＝2＋，在(2)的條件下，求EF的長25．（本題10分）解答題：(1)已知：x＝，y＝，求的值(2)當(dāng)x＝時(shí)，求＋＋的值24．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(6，6)、B(12，0)、M(3，0)，∠MAN＝45°(1)判斷△AOB的形狀為__________(2)求