2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步 1 直線與直線的方程 1.5 平面直角坐標(biāo)系中的距離公式（教師用書）教案 北師大版必修2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章解析幾何初步1直線與直線的方程1.5平面直角坐標(biāo)系中的距離公式（教師用書）教案北師大版必修2學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)——解析幾何初步

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高中二年級(jí)一班

3.授課時(shí)間：2024年10月10日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

二、教學(xué)內(nèi)容

1.課程主題：直線與直線的方程——平面直角坐標(biāo)系中的距離公式

2.教學(xué)目標(biāo)：

（1）理解平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式

（2）學(xué)會(huì)運(yùn)用距離公式解決實(shí)際問題

3.教學(xué)重點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用

4.教學(xué)難點(diǎn)：距離公式的靈活運(yùn)用和解決實(shí)際問題

三、教學(xué)過程

1.導(dǎo)入：通過生活實(shí)例引入平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離問題

2.新課導(dǎo)入：介紹平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式

3.課堂講解：

（1）講解距離公式的推導(dǎo)過程

（2）舉例說明距離公式的應(yīng)用

4.課堂練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)

5.拓展提高：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用距離公式解決實(shí)際問題

6.課堂小結(jié)：總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容

四、教學(xué)評(píng)價(jià)

1.課堂練習(xí)：評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)距離公式的掌握程度

2.課后作業(yè)：布置相關(guān)練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)

3.學(xué)生反饋：了解學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的掌握情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法

五、教學(xué)資源

1.教材：北師大版必修2

2.多媒體課件：PPT或其他展示軟件

3.練習(xí)題：課后習(xí)題及補(bǔ)充練習(xí)題

六、教學(xué)注意事項(xiàng)

1.注重學(xué)生的主體地位，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論

2.注重?cái)?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題

3.關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，及時(shí)解答學(xué)生的疑問

4.創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣核心素養(yǎng)目標(biāo)1.邏輯推理：通過推導(dǎo)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使其能夠運(yùn)用邏輯推理解決實(shí)際問題。

2.數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用距離公式解決實(shí)際問題，提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力，培養(yǎng)其運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的素養(yǎng)。

3.直觀想象：通過圖形演示和實(shí)例分析，幫助學(xué)生建立直觀的數(shù)學(xué)想象，使其能夠更好地理解和運(yùn)用距離公式。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過課堂練習(xí)和課后作業(yè)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使其能夠熟練運(yùn)用距離公式進(jìn)行計(jì)算。

5.數(shù)據(jù)分析：通過分析實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生收集、整理、分析數(shù)據(jù)的能力，使其能夠運(yùn)用數(shù)據(jù)分析解決實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式：√((x2-x1)2+(y2-y1)2)

公式是本節(jié)課的核心內(nèi)容，要求學(xué)生熟練掌握并能夠靈活運(yùn)用。在講解過程中，要通過圖形演示、實(shí)例分析等方式，幫助學(xué)生理解公式的推導(dǎo)過程和含義。

（2）直線方程的求法：截距式、斜截式、兩點(diǎn)式

直線方程是解析幾何的基礎(chǔ)，要求學(xué)生掌握直線的各種表示方法，并能根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方程求法。

（3）直線與直線的交點(diǎn)求法：

要求學(xué)生掌握直線與直線相交、平行、重合時(shí)的判斷方法，并能求出交點(diǎn)坐標(biāo)。

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）距離公式的推導(dǎo)過程：

學(xué)生難以理解的是距離公式的推導(dǎo)過程，尤其是涉及到平方、開方等運(yùn)算。教學(xué)中，可以通過圖形演示、分步講解等方式，幫助學(xué)生理解并掌握推導(dǎo)過程。

（2）直線的截距式、斜截式、兩點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化：

學(xué)生難以掌握的是直線方程的各種表示方法之間的轉(zhuǎn)化。教學(xué)中，可以通過示例、練習(xí)等方式，引導(dǎo)學(xué)生掌握各種表示方法的相互轉(zhuǎn)化。

（3）直線與直線的交點(diǎn)求法：

學(xué)生難以掌握的是直線與直線相交、平行、重合時(shí)的判斷方法和交點(diǎn)坐標(biāo)的求法。教學(xué)中，可以通過圖形演示、練習(xí)等方式，幫助學(xué)生理解和掌握判斷方法和求法。

（4）實(shí)際問題的解決：

學(xué)生難以將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問題中。教學(xué)中，可以結(jié)合實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，提高其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有《北師大版必修2》第2章“解析幾何初步”的相關(guān)內(nèi)容，包括1.5節(jié)“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，例如：

-平面直角坐標(biāo)系的示意圖

-兩點(diǎn)間距離公式的圖示解釋

-直線方程的各種表示方法的示例圖

-直線與直線相交、平行、重合的示意圖

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果涉及實(shí)驗(yàn)，確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性，例如：

-測(cè)量工具（尺子、量角器等）

-繪圖工具（白板、粉筆、彩筆等）

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)等，以便于學(xué)生進(jìn)行小組討論和實(shí)驗(yàn)操作。

5.教學(xué)軟件：準(zhǔn)備教學(xué)所需的軟件，如PPT、GeoGebra等，用于展示多媒體資源和進(jìn)行交互式教學(xué)。

6.練習(xí)題庫：準(zhǔn)備與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的練習(xí)題，包括基礎(chǔ)題、提高題和應(yīng)用題，以供課堂練習(xí)和課后作業(yè)使用。

7.反饋表格：準(zhǔn)備學(xué)生反饋表格，用于收集學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容掌握情況的反饋，以便于及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法和策略。

確保所有教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，以便于教學(xué)的順利進(jìn)行，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解“直線與直線的方程——平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問或不懂的地方。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題，激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)“直線與直線的方程——平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確“直線與直線的方程——平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)。

準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確?！爸本€與直線的方程——平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”教學(xué)過程的順利進(jìn)行。

設(shè)計(jì)課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)“直線與直線的方程——平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”的積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

激發(fā)興趣：

提出問題或設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入“直線與直線的方程——平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”學(xué)習(xí)狀態(tài)。

回顧舊知：

簡(jiǎn)要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的“直線與直線的方程”內(nèi)容，幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系。

提出問題，檢查學(xué)生對(duì)舊知的掌握情況，為“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”新課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計(jì)用時(shí)：25分鐘）

知識(shí)講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

突出“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)過程和應(yīng)用方法，通過對(duì)比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動(dòng)探究：

設(shè)計(jì)小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞“如何推導(dǎo)平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”展開討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。

鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的觀點(diǎn)和疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

技能訓(xùn)練：

設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)或?qū)嶒?yàn)，讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)距離公式的應(yīng)用，提高實(shí)踐能力。

在“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”新課呈現(xiàn)結(jié)束后，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理和總結(jié)。

強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)，幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)體系。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對(duì)“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”知識(shí)的掌握情況。

鼓勵(lì)學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決練習(xí)題。

錯(cuò)題訂正：

針對(duì)學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，進(jìn)行及時(shí)訂正和講解。

引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，避免類似錯(cuò)誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

知識(shí)拓展：

介紹與“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”相關(guān)的拓展知識(shí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野。

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動(dòng)態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。

情感升華：

結(jié)合“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)科與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感。

鼓勵(lì)學(xué)生分享學(xué)習(xí)“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”的心得和體會(huì)，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計(jì)用時(shí)：2分鐘）

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

肯定學(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的“平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時(shí)間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。教學(xué)資源拓展（一）拓展資源

1.平面直角坐標(biāo)系中的距離公式推導(dǎo)過程的數(shù)學(xué)史：

-介紹古代數(shù)學(xué)家對(duì)距離公式的探索和研究，如勾股定理的發(fā)現(xiàn)。

-引導(dǎo)學(xué)生了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)距離公式的定義和發(fā)展，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

2.直線方程在實(shí)際應(yīng)用中的案例：

-提供一些實(shí)際問題，如工程測(cè)量、地理信息系統(tǒng)中的應(yīng)用，讓學(xué)生了解直線方程在現(xiàn)實(shí)世界中的重要性。

-通過案例分析，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際問題抽象為直線方程模型，提高其數(shù)學(xué)建模能力。

3.直線與直線的方程的圖形演示軟件：

-推薦一些數(shù)學(xué)軟件或在線工具，如GeoGebra、Desmos等，讓學(xué)生在圖形界面中探索直線與直線的交點(diǎn)、距離等性質(zhì)。

-引導(dǎo)學(xué)生利用這些軟件進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和探究，增強(qiáng)其數(shù)形結(jié)合的能力。

4.數(shù)學(xué)游戲和謎題：

-提供一些與直線方程相關(guān)的數(shù)學(xué)游戲和謎題，如通過解謎題來學(xué)習(xí)直線方程的性質(zhì)。

-這些游戲和謎題可以讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中提高數(shù)學(xué)思維能力。

（二）拓展建議

1.讓學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，搜集與平面直角坐標(biāo)系中的距離公式相關(guān)的數(shù)學(xué)史資料，了解distanceformula的發(fā)現(xiàn)和演變過程。

2.組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享各自找到的資料，并在班級(jí)內(nèi)進(jìn)行匯報(bào)，以此提高學(xué)生的表達(dá)能力和合作精神。

3.鼓勵(lì)學(xué)生在課余時(shí)間使用GeoGebra或其他數(shù)學(xué)軟件，探索直線方程的圖形表示，加深對(duì)直線方程的理解。

4.布置相關(guān)的數(shù)學(xué)作業(yè)，讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)的直線方程知識(shí)，解決實(shí)際問題，提高其應(yīng)用能力。

5.定期舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽或數(shù)學(xué)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生參與，激發(fā)其對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。教學(xué)反思本節(jié)課是關(guān)于“直線與直線的方程——平面直角坐標(biāo)系中的距離公式”的教學(xué)。通過本節(jié)課的教學(xué)，我對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法有了更深入的思考和反思。

首先，我意識(shí)到在講解距離公式時(shí)，我應(yīng)該更加注重公式的推導(dǎo)過程，而不是僅僅給出結(jié)論。通過圖形演示和實(shí)例分析，學(xué)生可以更好地理解公式的含義和推導(dǎo)過程，從而加深對(duì)公式的理解和記憶。

其次，我注意到學(xué)生在學(xué)習(xí)直線方程的各種表示方法時(shí)，存在一定的困難。為了幫助學(xué)生更好地掌握直線方程的表示方法，我應(yīng)該提供更多的實(shí)例和練習(xí)，讓學(xué)生通過實(shí)踐來加深對(duì)直線方程的理解。

此外，我在課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)上還有待改進(jìn)。通過小組討論和實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生可以更好地參與課堂學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)積極性和思維能力。我應(yīng)該在未來的教學(xué)中更多地采用這種教學(xué)方式，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

最后，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)，往往難以將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中。為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，我應(yīng)該在教學(xué)中更多地結(jié)合實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。典型例題講解1.例題1：求兩點(diǎn)的距離

已知兩點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)，求兩點(diǎn)間的距離。

解答：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，兩點(diǎn)間的距離為√((x2-x1)2+(y2-y1)2)。將A和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式，計(jì)算得到距離d。

答案：d=√((x2-x1)2+(y2-y1)2)

2.例題2：求直線的截距式方程

已知直線過點(diǎn)C(x3,y3)且斜率為k，求直線的截距式方程。

解答：根據(jù)直線的截距式方程y=(y3-kx3)/(1-k2)和點(diǎn)C的坐標(biāo)，將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，計(jì)算得到截距式方程。

答案：y=(y3-kx3)/(1-k2)

3.例題3：求兩直線的交點(diǎn)

已知直線l1：y=m1*x+b1和直線l2：y=m2*x+b2，求兩直線的交點(diǎn)。

解答：將直線l1和直線l2的方程聯(lián)立，解得x的值，再代入直線l1的方程求得y的值，得到交點(diǎn)坐標(biāo)。

答案：交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，其中x=(b2-b1)/(m1-m2)，y=m1*x+b1

4.例題4：求兩直線的距離

已知直線l1：A1x+B1y+C1=0和直線l2：A2x+B2y+C2=0，求兩直線的距離。

解答：根據(jù)兩條平行直線間的距離公式，將直線l1和直線l2的系數(shù)代入公式，計(jì)算得到兩直線的距離d。

答案：d=|A1*A2+B1*B2|/(√(A12+B12)*√(A22+B22))

5.例題5：求直線的斜截式方程

已知直線過點(diǎn)D(x4,y4)且斜率為m，求直線的斜截式方程。

解答：根據(jù)直線的斜截式方程y=mx+y4和點(diǎn)D的坐標(biāo)，將D點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，計(jì)算得到斜截式方程。

答案：y=mx+y4課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)（一）課堂小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系中的距離公式，直線方程的求法以及直線與直線的交點(diǎn)求法。這些內(nèi)容是解析幾何的基礎(chǔ)，對(duì)于理解和解決實(shí)際問題具有重要意義。

首先，我們通過圖形演示和實(shí)例分析，深入理解了平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，即√((x2-x1)2+(y2-y1)2)。這個(gè)公式可以幫助我們計(jì)算任意兩點(diǎn)之間的距離，對(duì)于解決實(shí)際問題非常有用。

其次，我們學(xué)習(xí)了直線方程的求法，包括截距式、斜截式和兩點(diǎn)式。這些方程可以幫助我們描述直線的幾何特征，從而更好地理解和解決與直線相關(guān)的問題。

最后，我們學(xué)習(xí)了直線與直線的交點(diǎn)求法。通過解聯(lián)立方程，我們可以找到兩條直線相交的點(diǎn)，這對(duì)于解決實(shí)際問題，如測(cè)量、工程設(shè)計(jì)等非常有幫助。

在教學(xué)過程中，我們通過大量的實(shí)例和練習(xí)，幫助學(xué)生理解和掌握這些概念和方法。通過小組討論和實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生可以更好地參與課堂學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)積極性和思維能力。

（二）當(dāng)堂檢測(cè)

為了檢查學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況，我將進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)。請(qǐng)學(xué)生們認(rèn)真完成以下題目，并在下節(jié)課前提交。

1.求兩點(diǎn)間的距離。已知點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(4,6)，求兩點(diǎn)間的距離。

2.求直線的截距式方程。已知直線過點(diǎn)C(1,2)且斜率為3，求直線的截距式方程。

3.求兩直線的交點(diǎn)。已知直線l1：y=2x-3和直線l2：y=3x+1，求兩直線的交點(diǎn)。

4.求兩直線的距離。已知直線l1：2x+3y-5=0和直線l2：x-4y+7=0，求兩直線的距離。

5.求直線的斜截式方程。已知直線過點(diǎn)D(3,1)且斜率為-2，求直線的斜截式方程。

請(qǐng)學(xué)生們認(rèn)真完成這些題目，這將對(duì)你們理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容非常有幫助。在完成題目時(shí)，如果遇到問題，可以參考課堂筆記和教材，也可以與同學(xué)討論。希望你們能夠通過這些練習(xí)，更好地掌握平面直角坐標(biāo)系中的距離公式，直線方程的求法和直