云南紅河州第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線：（，）的焦距為.點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．32．定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”，對(duì)任意，滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：①★，◆；②（）★★，◆◆，則（◆2020）（2020★2018）的值為()A． B． C． D．3．已知集合，則元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．44．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．5．已知不同直線、與不同平面、，且，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．射線測(cè)厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過(guò)被測(cè)物前后的強(qiáng)度，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為被測(cè)物厚度，為被測(cè)物的密度，是被測(cè)物對(duì)射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測(cè)量鋼板的厚度.若這種射線對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（）（注：半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，，結(jié)果精確到0.001）A．0.110 B．0.112 C． D．7．若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則它的一條對(duì)稱軸方程可能是（）A． B． C． D．8．定義在上函數(shù)滿足，且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．9．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)為（）A． B． C． D．10．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時(shí)，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒(méi)有走天外村汽車登山線路，三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述：甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；事實(shí)上，甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說(shuō)法正確的是（）A．甲走桃花峪登山線路 B．乙走紅門盤道徒步線路C．丙走桃花峪登山線路 D．甲走天燭峰登山線路12．在滿足，的實(shí)數(shù)對(duì)中，使得成立的正整數(shù)的最大值為()A．5 B．6 C．7 D．9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足，．，若是等比數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式_______．14．“”是“”的__________條件.（填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）15．正四面體的各個(gè)點(diǎn)在平面同側(cè)，各點(diǎn)到平面的距離分別為1，2，3，4，則正四面體的棱長(zhǎng)為__________．16．某同學(xué)周末通過(guò)拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習(xí)，拋一枚硬幣兩次，若兩次都是正面朝上，就在家學(xué)習(xí)，否則出去看電影，則該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)，且，滿足條件的點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為和，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，射線與曲線相交于點(diǎn)，射線與曲線相交于點(diǎn)，求的值.19．（12分）金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來(lái)了一大批優(yōu)秀的學(xué)生．新生接待其實(shí)也是和社會(huì)溝通的一個(gè)平臺(tái)．校團(tuán)委、學(xué)生會(huì)從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生，對(duì)是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根據(jù)上表說(shuō)明，能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；（2）現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人．若從這10人中隨機(jī)選取3人到火車站迎接新生，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為，寫出的分布列，并求．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.82820．（12分）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.21．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；（ii）試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元？說(shuō)明你的理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

由點(diǎn)到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點(diǎn)到直線距離公式是解題基礎(chǔ)．2．B【解析】

根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值，可得選項(xiàng).【詳解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此類推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此類推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算，關(guān)鍵在于理解，運(yùn)用新定義進(jìn)行求值，屬于中檔題.3．B【解析】

作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).【詳解】由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以元素個(gè)數(shù)為2，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán)，輸出，選D.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng).5．C【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于，若，則可能為平行或異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則可能為平行、相交或異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正確；對(duì)于，若，只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.6．C【解析】

根據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.7．B【解析】

把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出，然后驗(yàn)證各選項(xiàng)．【詳解】由題意，，或，，不妨取或，若，則函數(shù)為，四個(gè)選項(xiàng)都不合題意，若，則函數(shù)為，只有時(shí)，，即是對(duì)稱軸．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱軸，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡(jiǎn)題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)于恒成立,即即對(duì)恒成立即對(duì)恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.9．C【解析】程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量值變化如下表：KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時(shí)，要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù)．尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí)，注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別．10．C【解析】

直線過(guò)定點(diǎn)，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=120°（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小，求得結(jié)果．【詳解】如圖，直線過(guò)定點(diǎn)（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對(duì)稱性可知k=±．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)定點(diǎn)的直線系問(wèn)題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．11．D【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個(gè)是正確另外兩個(gè)錯(cuò)誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯(cuò)誤,又三人的陳述都只對(duì)一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯(cuò)誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯(cuò)誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷與推理的問(wèn)題,重點(diǎn)是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題型.12．A【解析】

由題可知：，且可得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合圖像得出，即得出，從而得出的最大值.【詳解】因?yàn)?，則，即整理得，令，設(shè)，則，令,則，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因?yàn)椋深}可知：時(shí)，則，所以，所以，當(dāng)無(wú)限接近時(shí)，滿足條件，所以，所以要使得故當(dāng)時(shí)，可有，故，即，所以：最大值為5.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用遞推關(guān)系，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以數(shù)列的公比為1．又，所以當(dāng)時(shí)，有．這說(shuō)明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.14．充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.15．【解析】

不妨設(shè)點(diǎn)A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個(gè)單位，與正四面體相交，過(guò)點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，根據(jù)題意F為中點(diǎn)，E為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），設(shè)棱長(zhǎng)為a，求得，再用余弦定理求得：，從而求得，再根據(jù)頂點(diǎn)A到面EDF的距離為，得到，然后利用等體積法求解，【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個(gè)單位，與正四面體相交，過(guò)點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖所示：由題意得：F為中點(diǎn)，E為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），設(shè)棱長(zhǎng)為a，，頂點(diǎn)D到面ABC的距離為所以，由余弦定理得：，所以，所以，又頂點(diǎn)A到面EDF的距離為，所以，因?yàn)椋?，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的切割問(wèn)題以及等體積法的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象，運(yùn)算求解的能力，屬于難題，16．【解析】

采用列舉法計(jì)算古典概型的概率.【詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家學(xué)習(xí)只有1種情況，即（正，正），故該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）存在，或．【解析】

（1）由得看成到兩定點(diǎn)的和為定值，滿足橢圓定義，用定義可解曲線的方程.（2）先討論斜率不存在情況是否符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線點(diǎn)斜式方程，由，可得，再直線與橢圓聯(lián)解，利用根的判別式得到關(guān)于的一元二次方程求解.【詳解】解：設(shè)，由，，可得，即為，由，可得的軌跡是以為焦點(diǎn)，且的橢圓，由，可得，可得曲線的方程為；假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線l符合題意．當(dāng)直線的斜率不存在，設(shè)方程為，可得為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，不成立；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由，可得，即，可得，化為，由可得，由在橢圓內(nèi)，可得直線與橢圓相交，，則化為，即為，解得，所以存在直線符合題意，且方程為或．【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題.（1）定義法求軌跡方程的思路:應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解；（2）解決是否存在直線的問(wèn)題時(shí)，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解.18．（1）線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解析】試題分析：（1）（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，進(jìn)而利用即可化為極坐標(biāo)方程，同理可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）由過(guò)的圓心，得得，設(shè)，，代入中即可得解.試題解析：（1）曲線的普通方程為，化成極坐標(biāo)方程為曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）在直角坐標(biāo)系下，，，恰好過(guò)的圓心，

∴由得，是橢圓上的兩點(diǎn)，在極坐標(biāo)下，設(shè)，分別代入中，有和∴，則，即19．（1）有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；（2）詳見解析.【解析】

（1）計(jì)算得到，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù)，由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對(duì)應(yīng)的概率，由此得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算可得期望.【詳解】（1）∵的觀測(cè)值，有的把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)．（2）根據(jù)分層抽樣方法得：男生有人，女生有人，選取的人中，男生有人，女生有人．則的可能取值有，，，，，的分布列為：．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解；關(guān)鍵是能夠明確隨機(jī)變量服從于超幾何分布，進(jìn)而利用超幾何分布概率公式求得隨機(jī)變量每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率.20．（1）（2）見解析【解析】

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，得到，再結(jié)合題干所給數(shù)據(jù)得到公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用放縮法證明不等式即可；【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，放縮法證明數(shù)列不等式，屬于中檔題.21．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）解法一：作的中點(diǎn)，連接，.利用三角形的中位線證得，利用梯形中位線證得，由此證得平面平面，進(jìn)而證得平面.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，證得平面.（2）利用平面和平面法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）法一：作的中點(diǎn)，連接，.又為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，又為的中點(diǎn)，∴為梯形的中位線，∴